ベッセル関数

Families of solutions to related differential equations

ベッセル関数は円形膜の振動の放射状部分を記述します。

ベッセル関数は、波動、熱伝導、その他円対称性または円筒対称性を持つ物理現象に関する問題でよく見られる数学的な 特殊関数です。 1824年に体系的に研究したドイツの天文学者で数学者のフリードリヒ・ベッセルにちなんで名付けられました。^[1]

ベッセル関数は、特定の種類の常微分方程式の解です。ここで、 は解の形状を決定する数です。この数はベッセル関数の位数と呼ばれ、任意の複素数を取ることができます。 と はどちらも同じ方程式となりますが、数学者は位数の変化に対して関数が滑らかに振る舞うように、それぞれに別々のベッセル関数を定義します 。 $${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)y=0,}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle -\alpha }$

最も重要なケースは、が整数または半整数の場合です。が整数の場合、結果として得られるベッセル関数は、円筒座標における問題（ラプラス方程式など）を解く際に自然に生じるため、円筒関数または円筒調和関数と呼ばれることがよくあります。が半整数の場合、その解は球面ベッセル関数と呼ばれ、球面座標におけるヘルムホルツ方程式の解など、球面系で使用されます。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

アプリケーション

ベッセル方程式は、円筒座標系または球座標系においてラプラス方程式とヘルムホルツ方程式の分離解を求める際に生じる。したがって、ベッセル関数は波動伝播や静的ポテンシャルに関する多くの問題において特に重要である。円筒座標系における問題を解く場合、ベッセル関数は整数次（ α = n ）となる。球面座標系における問題を解く場合、ベッセル関数は半整数次（α = n + 1/2）となる。例えば、

• 円筒導波管内の電磁波
• 非粘性回転流の圧力振幅
• 円筒形物体の熱伝導
• 薄い円形または環状の音響膜（ドラムヘッドやその他の膜鳴楽器など）または金属板などの厚い板の振動モード（キルヒホッフ・ラブ板理論、ミンドリン・ライスナー板理論を参照）
• 格子上の拡散問題
• 自由粒子に対する球座標と円筒座標におけるシュレーディンガー方程式の解
• 量子場理論におけるファインマン伝播関数の位置空間表現
• 音響放射のパターンを解く
• 円形パイプラインにおける周波数依存摩擦
• 浮体のダイナミクス
• 角度分解能
• DNAを含むらせん状の物体からの回折
• 2つの正規分布する確率変数の積の確率密度関数^[2]
• 地球物理学および地震学における、微動によって生成される表面波の解析。

ベッセル関数は、信号処理などの他の問題にも登場します (例: FM オーディオ合成、カイザー ウィンドウ、ベッセル フィルターを参照)。

定義

これは線型微分方程式であるため、解は任意の振幅にスケールできます。関数に選択された振幅は、関数が微分方程式の解ではなく定積分の解として現れた初期の研究に由来しています。この微分方程式は2階微分方程式であるため、線型的に独立な解が2つ存在する必要があります。1つは第1種、もう1つは第2種です。しかし、状況に応じて、これらの解の様々な定式化が便利です。様々なバリエーションを下の表にまとめ、以降のセクションで説明します。下付き文字nは、が整数であることが分かっている場合、通常、の代わりに使用されます。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

タイプ	第一種	第二種
ベッセル関数	Jα	Yα
修正ベッセル関数	I α	Kα​
ハンケル関数	H（1） α= J α + iY α	H（2） α= J α − iY α
球面ベッセル関数	j n	はい​
修正球面ベッセル関数	で​	k n
球面ハンケル関数	h（1） n= j n + iy n	h（2） n= j n − iy n

第二種ベッセル関数と第二種球面ベッセル関数は、 Y _nとy _nではなく、それぞれN _nとn _nと表記されることもある。^{[3] [4]}

第一種ベッセル関数:Jα_​

第一種ベッセル関数 の整数次数に対するプロット。 ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle \alpha =0,1,2}$

からまでの平面内での第一種ベッセル関数のプロット。 ${\displaystyle J_{\alpha }(z)}$ ${\displaystyle \alpha =0.5}$ ${\displaystyle -4-4i}$ ${\displaystyle 4+4i}$

第一種ベッセル関数はJ _α ( x )と表記され、ベッセルの微分方程式の解である。  αが整数または正の場合、第一種ベッセル関数は原点 ( x = 0 ) で有限であるが、 α が負の非整数の場合 、第一種ベッセル関数はx が0 に近づくにつれて発散する。 関数をマクローリン級数で定義することが可能であり( α は整数である必要はなく、テイラー級数では非整数のべき乗は許されないことに注意)、ベッセル方程式にフロベニウス法を適用することで求めることができる: ^[5]ここでΓ( z )はガンマ関数で、階乗関数を非整数値にシフトした一般化である。 初期の著者の中には、第一種ベッセル関数を異なる方法で定義している者もいるが、基本的にはにおけるによる除算を行わない。^[6]この定義はこの記事では使用しない。第一種ベッセル関数は、 αが整数の場合には整関数であり、それ以外の場合には特異点がゼロである多価関数である。ベッセル関数のグラフは、ほぼ比例的に減衰する振動正弦関数または振動余弦関数に似ている（以下の漸近形も参照）。ただし、その根はxが大きい場合に漸近的に減衰する場合を除き、一般に周期的ではない。（この級数は、− J ₁ ( x )がJ ₀ ( x )の導関数であることを示している。これは、 −sin xがcos xの導関数であるのと同様である。より一般的には、 J _n ( x )の導関数は、以下の恒等式によってJ _{n ± 1} ( x )を用いて表すことができる。） ${\displaystyle x^{\alpha }}$ $${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha },}$$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x/2}$ ${\displaystyle x^{-{1}/{2}}}$

αが非整数の場合、関数J _α ( x )とJ _{− α} ( x )は線形独立であり、したがって微分方程式の2つの解となる。一方、整数位nの場合、次の関係が成立する（ガン​​マ関数は非正整数のそれぞれに単純な極を持つ）：^[7] $${\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).}$$

これは、2つの解がもはや線形独立ではないことを意味します。この場合、2番目の線形独立解は、以下で説明するように、第二種ベッセル関数であることが分かります。

ベッセル積分

nが整数値の場合のベッセル関数の別の定義は、積分表現を使用して可能です。^[8]これはハンセン・ベッセルの公式とも呼ばれます。^[9] $${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin \tau )\,d\tau ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \left(\int _{0}^{\pi }e^{i(n\tau -x\sin \tau )}\,d\tau \right),}$$

これはベッセルが用いたアプローチであり^[10]、この定義から関数のいくつかの性質を導出した。この定義は、シュレーフリの積分の一つによって非整数次数に拡張することができる。Re ( x ) > 0の場合：^{[8] [11] [12] [13] [14]} $${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,d\tau -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh t-\alpha t}\,dt.}$$

超幾何級数との関係

ベッセル関数は、一般化された超幾何級数を使って次のように表すことができる^[15]。 $${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\;_{0}F_{1}\left(\alpha +1;-{\frac {x^{2}}{4}}\right).}$$

この表現は、ベッセル・クリフォード関数の観点からベッセル関数の発展に関連しています。

ラゲール多項式との関係

ラゲール多項式 L _kと任意に選ばれたパラメータtを用いて、ベッセル関数は次のように表される^[16]。 $${\displaystyle {\frac {J_{\alpha }(x)}{\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}}={\frac {e^{-t}}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {L_{k}^{(\alpha )}\left({\frac {x^{2}}{4t}}\right)}{\binom {k+\alpha }{k}}}{\frac {t^{k}}{k!}}.}$$

第二種ベッセル関数:Y _α

第二種ベッセル関数の整数次数に対するプロット ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle \alpha =0,1,2}$

第二種ベッセル関数（Y _α ( x )、あるいはN _α ( x )と表記される）は、ベッセル微分方程式の解のうち、原点（x = 0）に特異点を持ち、多価である。これらはHMウェーバー（1873）によって導入されたためウェーバー関数と呼ばれることもある。 また、カール・ノイマンにちなんでノイマン関数と呼ばれることもある。^[17]

αが整数でない場合、Y _α ( x )はJ _α ( x )と次の関係にある。 $${\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}.}$$

整数次数nの場合、関数は非整数αがnに近づくという極限をとることによって定義されます。 $${\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{\alpha \to n}Y_{\alpha }(x).}$$

nが非負の整数の場合には、次の級数が得られる^[18]。ここで、はディガンマ関数、ガンマ関数の対数微分である。^[4] $${\displaystyle Y_{n}(z)=-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{-n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}+{\frac {2}{\pi }}J_{n}(z)\ln {\frac {z}{2}}-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }(\psi (k+1)+\psi (n+k+1)){\frac {\left(-{\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}}{k!(n+k)!}}}$$ ${\displaystyle \psi (z)}$

対応する積分公式も存在する（Re( x )>0の場合）: ^[19] $${\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x\sin \theta -n\theta )\,d\theta -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left(e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt}\right)e^{-x\sinh t}\,dt.}$$

n = 0の場合:(オイラー定数) ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle Y_{0}\left(x\right)={\frac {4}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\cos \left(x\cos \theta \right)\left(\gamma +\ln \left(2x\sin ^{2}\theta \right)\right)\,d\theta .}$$

からまでの複素平面内の第2種ベッセル関数のプロット。 ${\displaystyle Y_{\alpha }(z)}$ ${\displaystyle \alpha =0.5}$ ${\displaystyle -2-2i}$ ${\displaystyle 2+2i}$

Y _α ( x )は、 αが整数のとき、ベッセル方程式の第二線型独立解として必須です。しかし、 Y _α ( x )にはそれ以上の意味があります。これはJ _α ( x )の「自然な」パートナーと考え​​ることができます。以下のハンケル関数の項も参照してください。

さらに、 αが整数の場合には、第 1 種の関数の場合と同様に、次の関係が成立します。 $${\displaystyle Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x).}$$

J _α ( x )とY _α ( x )はどちらも、負の実軸に沿って切断された複素平面上のxの正則関数である。αが整数のとき、ベッセル関数Jはxの整関数である。x が非ゼロの値に固定されている場合、ベッセル関数はαの整関数である。

αが整数の場合の第二種ベッセル関数は、フックスの定理における第二種の解の例である。

ハンケル関数:H^（1）
_α、H^（2）
_α

第一種ハンケル関数Hのプロット^（1）
_n( x )において、n = −0.5、複素平面上で−2 − 2 iから2 + 2 iまで

第二種ハンケル関数Hのプロット^（2）
_n( x )において、n = −0.5、複素平面上で−2 − 2 iから2 + 2 iまで

ベッセル方程式の2つの線形独立解のもう一つの重要な定式化は、第1種および第2種のハンケル関数Hである。^（1）
_α( x )とH^（2）
_α( x )は^[20]で定義され、iは虚数単位である。これらの線型結合は第三種ベッセル関数とも呼ばれ、ベッセル微分方程式の2つの線型独立な解である。ヘルマン・ハンケルにちなんで名付けられた。 $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x),\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x),\end{aligned}}}$$

これらの線形結合の形式は、漸近公式や積分表現など、一見単純に見える多くの性質を満たしています。ここで「単純」とは、e ^{i f (x)}の形式の因子が現れることを意味します。実数（ただし、 、は実数値）の場合、第一種ベッセル関数と第二種ベッセル関数は、それぞれ第一ハンケル関数の実部と虚部、第二ハンケル関数の実部と負​​の虚部です。したがって、上記の式は、Hをと置き換えたオイラーの公式の類似物です。 ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$^（1）
_α（x） , H^（2）
_α( x )および、、については、漸近展開で明示的に示されるとおりです。 ${\displaystyle e^{\pm ix}}$ ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle \cos(x)}$ ${\displaystyle \sin(x)}$

ハンケル関数は、円筒波方程式の外向きおよび内向きに伝播する円筒波解を表現するために使用されます（周波数の符号規則に応じて、その逆も同様です）。

これまでの関係を用いると、次のように表現できる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{-\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{i\sin \alpha \pi }},\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{-i\sin \alpha \pi }}.\end{aligned}}}$$

αが整数の場合、極限を計算する必要がある。αが整数かどうかに関わらず、以下の関係式は成立する。[ 21 ^] $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{-\alpha }^{(1)}(x)&=e^{\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(1)}(x),\\[6mu]H_{-\alpha }^{(2)}(x)&=e^{-\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(2)}(x).\end{aligned}}}$$

特に、α = m + ⁠1/2⁠ mが非負の整数である場合 $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m+1}Y_{m+{\frac {1}{2}}}(x),\\[5pt]Y_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m}J_{m+{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}$$

これらは球面ベッセル関数の開発に役立ちます (下記参照)。

ハンケル関数はRe( x )>0に対して以下の積分表現が許される：^[22]ここで積分限界は以下のように選択できる積分曲線に沿った積分を示す：負の実軸に沿って−∞から0まで、虚軸に沿って0から± πiまで、実軸に平行な曲線に沿って± πiから+∞± πiまで。 ^[19] $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty +\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty -\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\end{aligned}}}$$

修正ベッセル関数:I _α、Kα_​

ベッセル関数は複素引数xに対しても有効であり、重要な特別なケースとして純虚引数の場合があります。この場合、ベッセル方程式の解は第一種および第二種の修正ベッセル関数（または双曲型ベッセル関数と呼ばれることもあります）と呼ばれ、 α が整数でない場合は^[23]のように定義されます。αが整数の場合は極限が使用されます。これらは、実数および正の引数xに対して実数値になるように選択されます。したがって、 I _α ( x )の級数展開はJ _α ( x )の級数展開と似ていますが、交代(-1) ^m因子がありません。 $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha },\\[5pt]K_{\alpha }(x)&={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin \alpha \pi }},\end{aligned}}}$$

${\displaystyle K_{\alpha }}$ハンケル関数で表現できる。 $${\displaystyle K_{\alpha }(x)={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix)&-\pi <\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}\\{\frac {\pi }{2}}(-i)^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(2)}(-ix)&-{\frac {\pi }{2}}<\arg x\leq \pi \end{cases}}}$$

これら2つの公式を用いると、ニコルソン積分またはニコルソン公式として知られる次のような結果が得られる。 ${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(z)+Y_{\alpha }^{2}(z)}$ $${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\cosh(2\alpha t)K_{0}(2x\sinh t)\,dt,}$$

条件Re( x ) > 0が満たされていることを前提とする。また、| Re( α ) | < ⁠の場合にのみ、 $${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8\cos(\alpha \pi )}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }K_{2\alpha }(2x\sinh t)\,dt,}$$1/2⁠そしてRe( x )≥0であるが、 x = 0のときはそうではない。 ^[24]

第一ベッセル関数と第二ベッセル関数は、修正ベッセル関数で表すことができます（これらは、− π < arg z ≤ ⁠π/2⁠ ): ^[25] $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {\alpha \pi i}{2}}I_{\alpha }(z),\\[1ex]Y_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {(\alpha +1)\pi i}{2}}I_{\alpha }(z)-{\tfrac {2}{\pi }}e^{-{\frac {\alpha \pi i}{2}}}K_{\alpha }(z).\end{aligned}}}$$

I _α ( x )とK _α ( x )は修正ベッセル方程式の2つの線形独立な解である: ^[26] $${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-\left(x^{2}+\alpha ^{2}\right)y=0.}$$

実引数の関数として振動する通常のベッセル関数とは異なり、I _αとK _αはそれぞれ指数関数的に増加および減少する関数です。通常のベッセル関数J _αと同様に、関数I _αはα > 0の場合にはx = 0でゼロとなり、 α = 0の場合にはx = 0で有限となります。同様に、K _αはx = 0で発散し、K ₀の場合には対数型の特異点を持ちます。また、⁠1/2⁠ Γ(| α |)(2/ x ) ^{| α |}それ以外の場合。 ^[27]

第一種修正ベッセル関数 、に対して。 ${\displaystyle I_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle \alpha =0,1,2,3}$

第二種修正ベッセル関数、、 について。 ${\displaystyle K_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle \alpha =0,1,2,3}$

修正ベッセル関数の2つの積分公式は次の通りである（Re( x )>0の場合）^[28] $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x\cos \theta }\cos \alpha \theta \,d\theta -{\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]K_{\alpha }(x)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t}\cosh \alpha t\,dt.\end{aligned}}}$$

ベッセル関数は、二次関数のべき乗のフーリエ変換として記述できます。例えば（Re(ω) > 0の場合）： $${\displaystyle 2\,K_{0}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{i\omega t}}{\sqrt {t^{2}+1}}}\,dt.}$$

これは、 K ₀の上記の積分定義と等しいことを示すことで証明できます。これは、複素平面の第一象限にある閉曲線を積分することで行われます。

第二種修正ベッセル関数はバセット積分^{[29]で表される。} $${\displaystyle K_{n}(xz)={\frac {\Gamma {\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}(2z)^{n}}{{\sqrt {\pi }}x^{n}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(xt)\,dt}{(t^{2}+z^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}}}.}$$

修正ベッセル関数K _1/3とK _2/3は急速に収束する積分で表される^[30] $${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{3}}(\xi )&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx,\\[5pt]K_{\frac {2}{3}}(\xi )&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}}\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx.\end{aligned}}}$$

修正ベッセル関数は、ラプラス分布を正規分布の指数スケールの混合として表すのに役立ちます。 ${\displaystyle K_{\frac {1}{2}}(\xi )=(2\xi /\pi )^{-1/2}\exp(-\xi )}$

第二種修正ベッセル関数は、次のような名前でも呼ばれてきました (現在ではあまり使われません)。

• アルフレッド・バーナード・バセットにちなんで名付けられたバセット関数
• 第三種修正ベッセル関数
• 修正ハンケル関数^[31]
• ヘクター・マンロー・マクドナルドにちなんで名付けられたマクドナルド関数

球面ベッセル関数:j _n、はい_​

n = 0.5の第一種球面ベッセル関数j _n ( z )の複素平面における-2 − 2 iから2 + 2 iまでのプロット

第二種球面ベッセル関数y _n ( z )（n = 0.5 ）の複素平面における−2 − 2 iから2 + 2 iまでのプロット

第一種球面ベッセル関数、 の場合。 ${\displaystyle j_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle \alpha =0,1,2}$

第二種球面ベッセル関数、 の場合。 ${\displaystyle y_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle \alpha =0,1,2}$

球座標におけるヘルムホルツ方程式を変数分離法で解く場合、放射状方程式は次のようになる。 $${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}$$

この方程式の2つの線形独立な解は球面ベッセル関数 j _nとy _nと呼ばれ、通常のベッセル関数J _nとY _nと次式で関連付けられています^[32]。 $${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x),\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}$$

y _nはn _nまたはη _nとも表記されます。一部の著者はこれらの関数を球面ノイマン関数と呼んでいます。

通常のベッセル関数との関係から次のことが直接わかります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-1)^{n}y_{-n-1}(x)\\y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)\end{aligned}}}$$

球面ベッセル関数は次のようにも書ける（レイリーの公式）^[33] $${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\sin x}{x}},\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned}}}$$

0次の球面ベッセル関数j ₀ ( x )は（正規化されていない） sinc関数とも呼ばれます。最初の球面ベッセル関数は以下のとおりです：^[34]と^[35] $${\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x}}.\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}},\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x}},\\y_{1}(x)&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}},\\y_{2}(x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned}}}$$

最初のいくつかの球面ベッセル関数の最初のいくつかの非ゼロ根は次のとおりです。

球面ベッセル関数（第一種）の非零根

注文	ルート1	ルート2	ルート3	ルート4	ルート5
${\displaystyle j_{0}}$	3.141593	6.283185	9.424778	12.566371	15.707963
${\displaystyle j_{1}}$	4.493409	7.725252	10.904122	14.066194	17.220755
${\displaystyle j_{2}}$	5.763459	9.095011	12.322941	15.514603	18.689036
${\displaystyle j_{3}}$	6.987932	10.417119	13.698023	16.923621	20.121806
${\displaystyle j_{4}}$	8.182561	11.704907	15.039665	18.301256	21.525418

球面ベッセル関数の非零根（第二種）

注文	ルート1	ルート2	ルート3	ルート4	ルート5
${\displaystyle y_{0}}$	1.570796	4.712389	7.853982	10.995574	14.137167
${\displaystyle y_{1}}$	2.798386	6.121250	9.317866	12.486454	15.644128
${\displaystyle y_{2}}$	3.959528	7.451610	10.715647	13.921686	17.103359
${\displaystyle y_{3}}$	5.088498	8.733710	12.067544	15.315390	18.525210
${\displaystyle y_{4}}$	6.197831	9.982466	13.385287	16.676625	19.916796

母関数

球面ベッセル関数の生成関数は^[36] $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).\end{aligned}}}$$

有限級数展開

整数ベッセル関数Jn ₍ x )、Yn ₍ x )とは対照的に、球面ベッセル関数jn ₍ x )、yn ₍ x )は有限級数表現を持つ: [ 37 ^] $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=\\&={\frac {1}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}\right]\\&={\frac {1}{x}}\left[\sin \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}+\cos \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n-1}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\\y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)=(-1)^{n+1}{\frac {\pi }{2x}}J_{-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}(x)=\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}\right]=\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{x}}\left[\cos \left(x+{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}-\sin \left(x+{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n-1}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\end{alignedat}}}$$

微分関係

以下、f _nはj _n、y _n、hのいずれかである。^（1）
_n、h^（2）
_nn = 0, ±1, ±2, ... [ ^38] $${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z)\right)&=z^{n-m+1}f_{n-m}(z),\\\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z)\right)&=(-1)^{m}z^{-n-m}f_{n+m}(z).\end{aligned}}}$$

球面ハンケル関数:h^（1）
_n、h^（2）
_n

第一種球面ハンケル関数のプロットh^（1）
_n( x )において、n = −0.5、複素平面上で−2 − 2 iから2 + 2 iまで

第二種球面ハンケル関数hのプロット^（2）
_n( x )において、n = −0.5、複素平面上で−2 − 2 iから2 + 2 iまで

ハンケル関数の球面類似物も存在します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}^{(1)}(x)&=j_{n}(x)+iy_{n}(x),\\h_{n}^{(2)}(x)&=j_{n}(x)-iy_{n}(x).\end{aligned}}}$$

半整数位のベッセル関数は標準的な三角関数を用いて簡単に閉じた形で表現できる。したがって、球面ベッセル関数についても同様に表現できる。特に、非負整数n :およびhに対しては、 $${\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=(-i)^{n+1}{\frac {e^{ix}}{x}}\sum _{m=0}^{n}{\frac {i^{m}}{m!\,(2x)^{m}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}},}$$^（2）
_nはこれの複素共役です（実数xについて）。したがって、例えばj ₀ ( x ) = ⁠罪x/×⁠そしてy ₀ ( x ) = − ⁠cos x/×⁠など。

球面ハンケル関数は、例えば電磁場の多重極展開などの球面波の伝播を伴う問題に現れます。

リカッチ・ベッセル関数:S _n、C _n、ξ _n、ζ _n

リカッティ-ベッセル関数は球面ベッセル関数とわずかに異なります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(x)&=xj_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\C_{n}(x)&=-xy_{n}(x)=-{\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\\xi _{n}(x)&=xh_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(1)}(x)=S_{n}(x)-iC_{n}(x)\\\zeta _{n}(x)&=xh_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+iC_{n}(x)\end{aligned}}}$$

リカッチ・ベッセル関数 Sn 複素プロット（−2 − 2 iから2 + 2 i まで）

これらは微分方程式を満たす $${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}$$

例えば、この種の微分方程式は、仮想的な円筒形無限ポテンシャル障壁を持つシュレーディンガー方程式のラジアル成分を解く際に量子力学に現れる。 ^[39]この微分方程式とリカッチ・ベッセル解は、球面による電磁波の散乱問題にも現れる。この散乱は、ミー（1908）によって初めて発表された解にちなんでミー散乱と呼ばれる。最近の進展や参考文献については、例えばDu（2004）^[40]を参照のこと。

Debye (1909)に従って、 S _n、C _nの代わりにψ _n、χ _nという表記が使用されることもあります。

漸近形式

ベッセル関数は以下の漸近形を持つ。小さな引数に対して、負の整数でないとき、次式が得られる。^[5] ${\displaystyle 0<z\ll {\sqrt {\alpha +1}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }.}$$

αが負の整数のとき、 $${\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {(-1)^{\alpha }}{(-\alpha )!}}\left({\frac {2}{z}}\right)^{\alpha }.}$$

第二種のベッセル関数には、次の3つのケースがあります。ここで、γはオイラー・マスケロニ定数（0.5772...）です。 $${\displaystyle Y_{\alpha }(z)\sim {\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}\left(\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)+\gamma \right)&{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]-{\dfrac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }+{\dfrac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }\cot(\alpha \pi )&{\text{if }}\alpha {\text{ is a positive integer (one term dominates unless }}\alpha {\text{ is imaginary)}},\\[1ex]-{\dfrac {(-1)^{\alpha }\Gamma (-\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha {\text{ is a negative integer,}}\end{cases}}}$$

大きな実引数zの場合≫ | α ² − ⁠1/4⁠ | の場合、第一種および第二種のベッセル関数の真の漸近形を書くことはできない（α半整数でない）。なぜなら、これらの零点arg zの値が与えられた場合、| z | ⁻¹の項を含む方程式を書くことができる。^[41] $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\cos \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi ,\\Y_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\sin \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi .\end{aligned}}}$$

（α = ⁠1/2⁠、これらの式の最後の項は完全に消えます。上記の球面ベッセル関数を参照してください。

ハンケル関数の漸近形は次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<2\pi ,\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-2\pi <\arg z<\pi .\end{aligned}}}$$

これらは、 Hに関連する方程式を使用してarg zの他の値に拡張できます。^（1）
_α( ze ^{im π} )とH^（2）
_α( ze ^{im π} )からH^（1）
_α( z )とH^（2）
_α（z） [ ^42]

興味深いことに、第一種ベッセル関数は2つのハンケル関数の平均であるにもかかわらず、zが負の場合、 J _α ( z )はこれら2つの漸近形式の平均に漸近しません（使用されるarg zに応じて、どちらか一方が正しくないため）。しかし、ハンケル関数の漸近形式は、| z |が一定の位相角arg zで無限大に向かう限り、複素数（非実数）zに対して第一種および第二種のベッセル関数の漸近形式を次のように記述することを可能にします（正の実部を持つ平方根を使用）。 $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi ,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim -i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi .\end{aligned}}}$$

修正ベッセル関数に対して、ハンケルは漸近展開も開発した： ^{[43] [44]} $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}-{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {\pi }{2}},\\K_{\alpha }(z)&\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\left(1+{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {3\pi }{2}}.\end{aligned}}}$$

漸近形（大きな実数の場合）もある^[45] ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi z}}{\sqrt[{4}]{1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\exp \left(-\alpha \operatorname {arcsinh} \left({\frac {\alpha }{z}}\right)+z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}\right)\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

α = ⁠のとき1/2⁠、最初の項以外の項はすべて消え、 $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sinh(z)}{\sqrt {z}}}\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\tfrac {\pi }{2}},\\[1ex]K_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {e^{-z}}{\sqrt {z}}}.\end{aligned}}}$$

小さな引数の場合、 ${\displaystyle 0<|z|\ll {\sqrt {\alpha +1}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha },\\[1ex]K_{\alpha }(z)&\sim {\begin{cases}-\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)-\gamma &{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]{\frac {\Gamma (\alpha )}{2}}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha >0\end{cases}}\end{aligned}}}$$

プロパティ

整数次数α = nの場合、J _{n は}生成関数のローラン級数によって定義されることが多く、 これは 1843 年にPA Hansenが使用したアプローチです。(これは、等高線積分やその他の方法によって非整数次数に一般化できます。) $${\displaystyle e^{{\frac {x}{2}}\left(t-{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)t^{n}}$$

の形をとるベッセル関数の無限級数は多くの物理系で現れ、ソン級数によって閉じた形で定義される。^[46]例えば、N = 3のとき：。より一般的には、ソン級数と交代ソン級数は次のように表される。 ${\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)}$ $\nu ,p\in \mathbb {Z} ,\ N\in \mathbb {Z} ^{+}$ ${\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{3\nu +p}(x)={\frac {1}{3}}\left[1+2\cos {(x{\sqrt {3}}/2-2\pi p/3)}\right]}$ $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {2\pi q/N}}e^{-i2\pi pq/N}}$$ $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }(-1)^{\nu }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {(2q+1)\pi /N}}e^{-i(2q+1)\pi p/N}}$$

ベッセル関数（カプタイン級数）を用いた級数展開は $${\displaystyle {\frac {1}{1-z}}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{n}(nz).}$$

整数次数に関するもう1つの重要な関係は、ヤコビ・アンガー展開です。これ は、平面波を円筒波の和として展開したり、トーン変調されたFM信号のフーリエ級数を求めたりするために使用されます。 $${\displaystyle e^{iz\cos \phi }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}J_{n}(z)e^{in\phi }}$$ $${\displaystyle e^{\pm iz\sin \phi }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\phi )\pm 2i\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(z)\sin((2n+1)\phi )}$$

より一般的には、級数はfのノイマン展開と呼ばれる。ν = 0の係数は明示的な形を持ち、 O _kはノイマン多項式である。^[47] $${\displaystyle f(z)=a_{0}^{\nu }J_{\nu }(z)+2\cdot \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{\nu }J_{\nu +k}(z)}$$ $${\displaystyle a_{k}^{0}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=c}f(z)O_{k}(z)\,dz}$$

選択された関数は、直交関係により、 $${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}^{\nu }J_{\nu +2k}(z)}$$ $${\displaystyle a_{k}^{\nu }=2(\nu +2k)\int _{0}^{\infty }f(z){\frac {J_{\nu +2k}(z)}{z}}\,dz}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\alpha }(z)J_{\beta }(z){\frac {dz}{z}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\sin \left({\frac {\pi }{2}}(\alpha -\beta )\right)}{\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}$$

より一般的には、fがそのような性質の原点の近くに分岐点を持つ場合、またはfのラプラス変換はどこにあるか。^[48] $${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}(z)}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}\right\}(s)={\frac {1}{\sqrt {1+s^{2}}}}\sum _{k=0}{\frac {a_{k}}{\left(s+{\sqrt {1+s^{2}}}\right)^{\nu +k}}}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=0}a_{k}\xi ^{\nu +k}={\frac {1+\xi ^{2}}{2\xi }}{\mathcal {L}}\{f\}\left({\frac {1-\xi ^{2}}{2\xi }}\right)}$$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}}$

ベッセル関数を定義する別の方法は、ポアソン表現式とメーラー・ソニン式である。ここで、ν > − ⁠ $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\nu }(z)&={\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }}{\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {\pi }}}}\int _{-1}^{1}e^{izs}\left(1-s^{2}\right)^{\nu -{\frac {1}{2}}}\,ds\\[5px]&={\frac {2}{{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\cdot {\sqrt {\pi }}\cdot \Gamma \left({\frac {1}{2}}-\nu \right)}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\sin zu}{\left(u^{2}-1\right)^{\nu +{\frac {1}{2}}}}}\,du\end{aligned}}}$$1/2⁠そしてz∈C 。 ^{[49]この式}は特にフーリエ変換を扱うときに便利です。

ベッセル方程式はxで割るとエルミート（自己随伴）となるため、適切な境界条件において解は直交関係を満たす必要がある。特に、次式が成り立つ。α > −1 、 δ m _{、 nは}クロネッカーのデルタ、u _α、mはJ _α ( x )のm番目の零点である。この直交関係は、フーリエ・ベッセル級数の係数を抽出するために用いることができる。ここで、関数は、 αを固定しmを変化させた場合の関数J _α ( x u _α、m )の基底において展開される。 $${\displaystyle \int _{0}^{1}xJ_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)J_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha }'\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}}$$

球面ベッセル関数についても同様の関係が直ちに成り立ちます。 $${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[j_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}}$$

小さなパラメータεに依存するxのボックスカー関数を次のように定義すると: (ここでrectは矩形関数)、そのハンケル変換(任意の次数α > − ⁠ $${\displaystyle f_{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x-1}{\varepsilon }}\right)}$$1/2⁠）、 g _ε ( k ) は、任意のkに対して、 ε が0 に近づくにつれてJ _α ( k )に近づきます。逆に、 g _ε ( k )のハンケル変換（同じ次数）はf _ε ( x )です。これは、1 付近を除いてどこでも 0 です。 ε が0 に近づくにつれて、右辺はδ ( x − 1)に近づきます。ここで、 δはディラックのデルタ関数です。これは（分布の意味で）極限を許容します。 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)g_{\varepsilon }(k)\,dk=f_{\varepsilon }(x)}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)J_{\alpha }(k)\,dk=\delta (x-1)}$$

変数変換により閉包方程式が得られる: ^[50] α > − ⁠ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }xJ_{\alpha }(ux)J_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {1}{u}}\delta (u-v)}$$1/2⁠ . 球面ベッセル関数の直交関係は、 α > −1の場合。 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}j_{\alpha }(ux)j_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {\pi }{2uv}}\delta (u-v)}$$

ベッセル方程式のもう一つの重要な性質は、アーベルの恒等式から導かれるもので、解のロンスキアンに関係しています。 ここで、A _αとB _αはベッセル方程式の任意の2つの解であり、C _αはxに依存しない定数です（xはαと、対象となる特定のベッセル関数に依存します）。特に、 α > −1の場合には、 と なります。 $${\displaystyle A_{\alpha }(x){\frac {dB_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dA_{\alpha }}{dx}}B_{\alpha }(x)={\frac {C_{\alpha }}{x}}}$$ $${\displaystyle J_{\alpha }(x){\frac {dY_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dJ_{\alpha }}{dx}}Y_{\alpha }(x)={\frac {2}{\pi x}}}$$ $${\displaystyle I_{\alpha }(x){\frac {dK_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dI_{\alpha }}{dx}}K_{\alpha }(x)=-{\frac {1}{x}},}$$

α > −1の場合、種数1の偶関数x ^{− α} J _α ( x )は実零点のみを持つ。その正の零点をすべて とすると、 $${\displaystyle 0<j_{\alpha ,1}<j_{\alpha ,2}<\cdots <j_{\alpha ,n}<\cdots }$$ $${\displaystyle J_{\alpha }(z)={\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{j_{\alpha ,n}^{2}}}\right)}$$

(ここには記載されていないが、参考文献に記載されている他の既知の積分や恒等式が多数あります。)

再帰関係

関数J _α、Y _α、H^（1）
_α、およびH^（2）
_αはすべて再帰関係^[51]を満たし、ここでZ はJ、Y、H ⁽¹⁾、またはH ⁽²⁾を表す。これらの2つの恒等式は、例えば加算または減算などして組み合わせることで、様々な他の関係式が得られる。このようにして、例えば、より低次の値（またはより低次の導関数）が与えられた場合に、より高次の値（またはより高次の導関数）のベッセル関数を計算することができる。特に、以下の式から^{[52]が成り立つ。} $${\displaystyle {\frac {2\alpha }{x}}Z_{\alpha }(x)=Z_{\alpha -1}(x)+Z_{\alpha +1}(x)}$$ $${\displaystyle 2{\frac {dZ_{\alpha }(x)}{dx}}=Z_{\alpha -1}(x)-Z_{\alpha +1}(x),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[x^{\alpha }Z_{\alpha }(x)\right]&=x^{\alpha -m}Z_{\alpha -m}(x),\\\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[{\frac {Z_{\alpha }(x)}{x^{\alpha }}}\right]&=(-1)^{m}{\frac {Z_{\alpha +m}(x)}{x^{\alpha +m}}}.\end{aligned}}}$$

前述の関係式を用いると、球面ベッセル関数についても同様の関係が得られます。

$${\displaystyle {\frac {2\alpha +1}{x}}j_{\alpha }(x)=j_{\alpha -1}+j_{\alpha +1}}$$

そして

$${\displaystyle {\frac {dj_{\alpha }(x)}{dx}}=j_{\alpha -1}-{\frac {\alpha +1}{x}}j_{\alpha }}$$

修正ベッセル関数も同様の関係に従う：およびおよび $${\displaystyle e^{\left({\frac {x}{2}}\right)\left(t+{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }I_{n}(x)t^{n}}$$ $${\displaystyle e^{z\cos \theta }=I_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)\cos n\theta }$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{z\cos(m\theta )+y\cos \theta }d\theta =I_{0}(z)I_{0}(y)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)I_{mn}(y).}$$

再帰関係は、 C _{α が}I _αまたはe ^{αi π} K _αを表す場合に成立する。これらの再帰関係は離散拡散問題に有用である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\alpha -1}(x)-C_{\alpha +1}(x)&={\frac {2\alpha }{x}}C_{\alpha }(x),\\[1ex]C_{\alpha -1}(x)+C_{\alpha +1}(x)&=2{\frac {d}{dx}}C_{\alpha }(x),\end{aligned}}}$$

超越

1929年、カール・ルートヴィヒ・シーゲルは、J _ν ( x )、J ' _ν ( x )、および対数微分 がJ ' _ν ( x )/J _ν ( x )⁠ は、 νが有理数でx が代数的かつ非零のとき超越数である^{。 [53]}同じ証明は、同じ仮定の下で が超越数であることも意味する。 ^[54] ${\displaystyle \Gamma (v+1)(2/x)^{v}J_{v}(x)}$

ベッセル関数による和

2つのベッセル関数の積は次のような和をとる。これらの等式から次の式が成り立ち、結果として $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)J_{n-\nu }(y)=J_{n}(x+y),}$$ $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(y)=J_{n}(y-x).}$$ $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(x)=\delta _{n,0}}$$ $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }^{2}(x)=1.}$$

これらの合計は、指数の多項式関数である項乗数を含めるように拡張できます。例えば、 $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(x)={\frac {x}{2}}\left(\delta _{n,1}+\delta _{n,-1}\right),}$$ $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu J_{\nu }^{2}(x)=0,}$$ $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu ^{2}J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(x)={\frac {x}{2}}\left(\delta _{n,-1}-\delta _{n,1}\right)+{\frac {x^{2}}{4}}\left(\delta _{n,-2}+2\delta _{n,0}+\delta _{n,2}\right),}$$ $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu ^{2}J_{\nu }^{2}(x)={\frac {x^{2}}{2}}.}$$

乗法定理

ベッセル関数は、λとνを任意の複素数としてとることができる乗法定理に従う。[ 55 ^{] [56]} | λ ² − 1 | < 1の場合、^[55]上記の式は、JをYに置き換えても成立する。修正ベッセル関数と| λ ² − 1 | < 1の場合の同様の恒等式は、およびである 。 $${\displaystyle \lambda ^{-\nu }J_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\left(1-\lambda ^{2}\right)z}{2}}\right)^{n}J_{\nu +n}(z),}$$ $${\displaystyle \lambda ^{-\nu }I_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\left(\lambda ^{2}-1\right)z}{2}}\right)^{n}I_{\nu +n}(z)}$$ $${\displaystyle \lambda ^{-\nu }K_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\left({\frac {\left(\lambda ^{2}-1\right)z}{2}}\right)^{n}K_{\nu +n}(z).}$$

ベッセル関数の零点

ブルジェの仮説

ベッセル自身は、非負整数nに対して、方程式J _n ( x ) = 0はxに関して無限個の解を持つことを証明した。^[57]しかし、関数J _n ( x )を同じグラフにプロットすると、 x = 0の零点を除いて、異なるnの値に対して零点が一致しないように見える。この現象は、ベッセル関数を研究した 19 世紀フランスの数学者にちなんで、ブールジェの仮説として知られている。具体的には、任意の整数n ≥ 0およびm ≥ 1に対して、関数J _n ( x )とJ _{n + m} ( x )はx = 0の零点以外に共通の零点を持たないと述べている。この仮説は1929 年にカール・ルートヴィヒ・ジーゲルによって証明された。^[58]

超越

_{シーゲルは}1929年に、 νが有理数のとき、Jν(x)とJ'ν(x)のすべての非零根は超越根であること、 [ 59 ] Kν ( _x )のすべて^の根が超越根であることを証明し_た。^{[54]また、} n≤18の高次導関数の根は、特殊値とを除いてすべて超越根であることが知られている。^[59] ${\displaystyle J_{\nu }^{(n)}(x)}$ ${\displaystyle J_{1}^{(3)}(\pm {\sqrt {3}})=0}$ ${\displaystyle J_{0}^{(4)}(\pm {\sqrt {3}})=0}$

数値的アプローチ

Bessel 関数の零点に関する数値研究については、Gil、Segura & Temme (2007)、Kravanja et al. を参照してください。 （1998）およびモーラー（2004）。

数値

_J0の最初の零点（すなわちj0,1 _、 j0,2 _、 j0,3 _）は、それぞれ約2.40483、5.52008、8.65373の引数で発生します。^[60]

歴史

波と弾性の問題

ベッセル関数が初めて登場するのは、ダニエル・ベルヌーイが1732年に振動弦の解析に取り組んでいたときである。この問題は、彼の父ヨハン・ベルヌーイが以前に取り組んでいた。^[1]ダニエルは、上部の固定点から吊り下げられ、下端が自由になっている柔軟な鎖を考えた。^[1]この微分方程式の解から、現在ではベッセル関数と考えられている関数が生まれた 。ベルヌーイはまた、この関数の零点を見つける方法も開発した。^[1] ${\displaystyle J_{0}(x)}$

1736年、レオンハルト・オイラーは、他の関数（現在ではラゲール多項式として知られている）とベルヌーイの解との関連性を発見しました。また、オイラーは非一様連鎖を導入し、これが現在では修正ベッセル関数に関連する関数の導入につながりました。^[1] ${\displaystyle I_{n}(x)}$

18世紀半ば、ジャン・ル・ロン・ダランベールは波動方程式を解く公式を発見しました。1771年までに、ベルヌーイ、オイラー、ダランベール、そしてジョゼフ＝ルイ・ラグランジュの間で、振動する弦の解の性質をめぐって論争が起こりました。^[1]

オイラーは1778年に座屈に関する研究を行い、オイラーの臨界荷重の概念を導入した。この問題を解くために、彼は の級数を導入した。^[1]また、オイラーは1780年に円筒座標系における振動する2次元膜の解を導出した。この微分方程式を解くために、彼は整数nに対して に関連するべき級数を導入した。^[1] ${\displaystyle J_{\pm 1/3}(x)}$ ${\displaystyle J_{n}(x)}$

19世紀末には、ラグランジュ、ピエール＝シモン・ラプラス、マルク＝アントワーヌ・パーセヴァルもベッセル関数に相当するものを発見しました。^[1]例えばパーセヴァルは、コサインを用いた積分表現を発見しました。^[1] ${\displaystyle J_{0}(x)}$

1800年代初頭、ジョゼフ・フーリエは円筒対称の問題における熱方程式を解きました。 ^[1]フーリエは1811年にこの研究でフランス科学アカデミー賞を受賞しました。^{[1]しかし、}フーリエ級数の使用を含む彼の研究の詳細のほとんどは、1822年まで発表されませんでした。^[1]フーリエに対抗してポアソンは1823年にフーリエの研究を拡張し、半整数次ベッセル関数（現在では球状ベッセル関数として知られています）を含むベッセル関数の新しい特性を導入しました。^[1] ${\displaystyle J_{0}(x)}$

天文学の問題

1770年、ラグランジュは、天文学における超越方程式であるケプラーの方程式を解くために、ベッセル関数の級数展開を導入した。フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセルはラグランジュの解法を知​​っていたが、扱いが難しいと感じていた。1813年、カール・フリードリヒ・ガウスに宛てた手紙の中で、ベッセルは三角関数を使って計算を簡略化した。^[1]ベッセルは1819年にその研究を発表し、後に発表されたフーリエの研究を知らずに、独自にフーリエ級数法を導入した。^[1] 1824年、ベッセルはこの関数の体系的な研究を行い、その関数に彼の名前が付けられた。^[1]古い文献では、この関数は円筒関数、あるいはベッセル・フーリエ関数と呼ばれていた。^[1]

参照

• 怒りの機能
• ベッセル多項式
• ベッセル・クリフォード関数
• ベッセル・メイトランド関数
• フーリエ・ベッセル級数
• ハーン・エクストンq-ベッセル関数
• ハンケル変換
• 不完全ベッセル関数
• ジャクソンq-ベッセル関数
• ケルビン関数
• Kontorovich-Lebedev 変換
• レンツのアルゴリズム
• レルヒェ・ニューバーガー和則
• ロンメル関数
• ロンメル多項式
• ノイマン多項式
• リカッチ・ベッセル関数
• シュレミルヒシリーズ
• ソニン式
• ストルーベ関数
• 円形膜の振動
• ウェーバー関数（アンガー関数で定義）
• ガウス円問題

注記

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参考文献

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外部リンク

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