より良い準順序付け

順序理論において、より良い準順序付け（bqo）とは、特定の種類の悪い配列を許容しない準順序付けです。すべてのより良い準順序付けは、よく準順序付けです。

モチベーション

良く準順序付けは魅力的な概念だが、多くの重要な無限演算は良く準順序付けされていない。リチャード・ラドの例がこれを示している。^{[ 1 ]} 1965年の論文で、クリスピン・ナッシュ＝ウィリアムズは、高さωの木のクラスが位相小数点関係の下で良く準順序付けされていることを証明するために、より強い概念である良く準順序付けを定式化した。^{[ 2 ]}それ以来、多くの準順序付けは、それがより良い準順序付けであることを証明することによって、良く準順序付けであることが証明されてきた。例えば、リチャード・レーバーは、散乱線状順序型のクラスがより良い準順序付けされていることを証明することによって、レーバーの定理（以前はローランド・フレッセの予想であった）を確立した。 ^{[ 3 ]}最近では、カルロス・マルティネス・ラネロは、適切な強制公理の下で、アロンザイン直線のクラスが埋め込み可能性関係の下でより良い準順序付けであることを証明した。^{[ 4 ]}

意味

より良い準順序付け理論では、最初の項を省略した数列を と書くことが一般的です。を とする有限かつ厳密増加な数列の集合を と書き、 の関係を次のように定義します。がの厳密な初期線分であり であるような数列が存在する場合、となります。この関係は推移的ではありません。 ${\displaystyle {_{*}}x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [\omega ]^{<\omega }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \triangleleft }$ ${\displaystyle [\omega ]^{<\omega }}$ ${\displaystyle s\triangleleft t}$ ${\displaystyle u\in [\omega ]^{<\omega }}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle t={}_{*}u}$ ${\displaystyle \triangleleft }$

ブロックは の無限部分集合であり、のすべての無限部分集合の初期セグメントを含みます。準順序 の場合、-パターンはあるブロックからへの関数です。となるすべてのペアに対して となる場合、 -パターンは悪いと言われます。それ以外の場合は となります。準順序付けは、悪い -パターンが存在しない場合に、より良い準順序付けと呼ばれます。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [\omega ]^{<\omega }}$ ${\displaystyle \bigcup B}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle f\colon B\to Q}$ ${\displaystyle f(s)\not \leq _{Q}f(t)}$ ${\displaystyle s,t\in B}$ ${\displaystyle s\triangleleft t}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$

この定義をより扱いやすくするために、ナッシュ＝ウィリアムズは、包含関係 の下で要素同士が比較不可能なブロックをバリアと定義します。-配列は、バリアを定義域とする -パターンです。すべてのブロックがバリアを含んでいることを観察すると、 がより良い準順序付けであるための必要十分条件は、悪い -配列が存在しないことです。 ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$

シンプソンの代替定義

シンプソンはボレル関数の観点からより良い準順序付けの代替定義を導入した。ここで、 の無限部分集合の集合には、通常の積位相が与えられる。^{[ 5 ]} ${\displaystyle [\omega ]^{\omega }\to Q}$ ${\displaystyle [\omega ]^{\omega }}$ ${\displaystyle \omega }$

を準順序付けとし、離散位相を付与する。-配列はの無限部分集合に対するボレル関数である。-配列は、任意の に対して となる場合、悪い配列である。そうでない場合、 は良い配列である。この意味で 悪い -配列が存在しない場合、準順序付けはより良い準順序付けである。 ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle [A]^{\omega }\to Q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(X)\not \leq _{Q}f({_{*}}X)}$ ${\displaystyle X\in [A]^{\omega }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$

主要定理

より良い準順序理論における多くの主要な結果は、シンプソンの論文^{[ 5 ]}に以下のように記されている最小不良配列補題の帰結である。また、最小不良配列補題が結果として初めて示されたレーバーの論文[6]も参照のこと。^{この手法は}、ナッシュ＝ウィリアムズの1965年のオリジナル論文にも存在していた。

が準順序であるとする。の部分順位付けはとなるようなの整基礎半順序付けである。（シンプソンの意味で）不正な -配列およびに対して、次を定義する。 ${\displaystyle (Q,\leq _{Q})}$ ${\displaystyle \leq '}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle q\leq 'r\to q\leq _{Q}r}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle f\colon [A]^{\omega }\to Q}$ ${\displaystyle g\colon [B]^{\omega }\to Q}$

${\displaystyle g\leq ^{*}f{\text{ if }}B\subseteq A{\text{ and }}g(X)\leq 'f(X){\text{ for every }}X\in [B]^{\omega }}$

${\displaystyle g<^{*}f{\text{ if }}B\subseteq A{\text{ and }}g(X)<'f(X){\text{ for every }}X\in [B]^{\omega }}$

となるような悪い-配列が存在しないとき、悪い -配列は（部分順位付けに関して）最小の悪い-配列であるという。 と の定義は、の部分順位付けに依存する。 関係は、関係 の厳密な部分ではない。 ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \leq '}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f<^{*}g}$ ${\displaystyle \leq ^{*}}$ ${\displaystyle <'}$ ${\displaystyle \leq '}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle <^{*}}$ ${\displaystyle \leq ^{*}}$

定理（極小不良配列補題）を部分順位付けを備えた準順序とし、を不良 -配列と仮定する。すると、を満たす極小の不良-配列が存在する。 ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g\leq ^{*}f}$

参照

• 準秩序性
• 秩序ある

参考文献

1. Rado, Richard (1954). 「ベクトル集合の部分的整列化」. Mathematika . 1 (2): 89– 95. doi : 10.1112/S0025579300000565 . MR  0066441 .
2. Nash-Williams, C. St. JA (1965). 「準順序付き無限木について」.ケンブリッジ哲学協会数学紀要. 61 (3 ) : 697– 720. Bibcode : 1965PCPS...61..697N . doi : 10.1017/S0305004100039062 . ISSN 0305-0041 . MR 0175814. S2CID 227358387 .   
3. レイバー、リチャード (1971). 「フレイセの順序型予想について」.数学年報. 93 (1): 89– 111. doi : 10.2307/1970754 . JSTOR 1970754 . 
4. マルティネス・ラネロ、カルロス (2011). 「よく似た順序のアロンザイン線」。数学の基礎。213 (3): 197–211 .土井: 10.4064/fm213-3-1。ISSN 0016-2736。MR 2822417。  
5. シンプソン, スティーブン・G. (1985). 「BQO理論とフレッセの予想」 . リチャード・マンスフィールド、ガレン・ワイトカンプ編. 『記述的集合論の再帰的側面』 . クラレンドン・プレス、オックスフォード大学出版局. pp.  124–38 . ISBN 978-0-19-503602-2. MR  0786122 .
6. レイバー、リチャード (1978). 「より良い準順序と木のクラス」. ジャン＝カルロ・ロータ (編). 『基礎論と組合せ論の研究』 . アカデミック・プレス. pp.  31– 48. ISBN 978-0-12-599101-8. MR  05205​​53 .

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