双直交系

ベクトル空間のペア

数学において、双直交系と は、ベクトルの添え字付き族のペアであり、とが双対性にある位相ベクトル空間のペアを形成し、は双線型写像であり、はクロネッカーのデルタである $${\displaystyle {\tilde {v}}_{i}{\text{ in }}E{\text{ and }}{\tilde {u}}_{i}{\text{ in }}F}$$ $${\displaystyle \left\langle {\tilde {v}}_{i},{\tilde {u}}_{j}\right\rangle =\delta _{i,j},}$$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle \delta _{i,j}}$

例としては、固有値が異なる場合、固有値でインデックス付けされた行列の左と右の固有ベクトルのペアのセットがあります。 ^[1]

およびが直交系である双直交系。 ${\displaystyle E=F}$ ${\displaystyle {\tilde {v}}_{i}={\tilde {u}}_{i}}$

射影

双直交系に関連する射影は、 その像が線形スパンであり、核がである射影である $${\displaystyle P:=\sum _{i\in I}{\tilde {u}}_{i}\otimes {\tilde {v}}_{i},}$$ ${\displaystyle (u\otimes v)(x):=u\langle v,x\rangle ;}$ ${\displaystyle \left\{{\tilde {u}}_{i}:i\in I\right\},}$ ${\displaystyle \left\{\left\langle {\tilde {v}}_{i},\cdot \right\rangle =0:i\in I\right\}.}$

構築

非直交である可能性のあるベクトルの集合とそれに関連する射影が 与えられたとき、要素を持つ行列は ${\displaystyle \mathbf {u} =\left(u_{i}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{i}\right)}$ $${\displaystyle P=\sum _{i,j}u_{i}\left(\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle ^{-1}\right)_{j,i}\otimes v_{j},}$$ ${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }$ ${\displaystyle \left(\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle \right)_{i,j}=\left\langle v_{i},u_{j}\right\rangle .}$

• ${\displaystyle {\tilde {u}}_{i}:=(I-P)u_{i},}$そしてそれは双直交系です。 ${\displaystyle {\tilde {v}}_{i}:=(I-P)^{*}v_{i}}$

参照

• 双対基底 - 線形代数の概念
• 双対空間 - 数学において、線形形式のベクトル空間
• 双対 – ベクトル空間の双対リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 直交性 – 用語の様々な意味
• 直交化 – 線形代数におけるプロセス

参考文献

1. Bhushan, Datta, Kanti (2008). 行列と線形代数 第2版：MATLAB支援. PHI Learning Pvt. Ltd. p. 239. ISBN 9788120336186。{{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)

• ジャン・ディドネ、「双直交系について」、ミシガン数学ジャーナル 2 (1953)、第1号、7～20ページ [1]

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