ブラシウス境界層

物理学および流体力学において、ブラシウス境界層（パウル・リヒャルト・ハインリヒ・ブラシウスにちなんで命名）は、一定の一方向の流れに平行に保たれた半無限板上に形成される定常な二次元層流境界層を表します。後にファルクナーとスカンは、ブラシウスの解をくさび流れ（ファルクナー・スカン境界層）に一般化しました。くさび流れとは、板が流れに平行でない流れです。

プラントルの境界層方程式

ブラシウス流れプロファイルの模式図。流れ方向の速度成分が類似度変数の関数として示されています。 $u(\eta )/U$ $\eta$

ルートヴィヒ・プラントル^{[ 1 ]}は、スケーリング論を用いて、ナビエ・ストークス方程式の項の約半分は境界層流れ（平板前縁近傍の小さな領域を除く）においては無視できると主張した。このことから、境界層方程式として知られる簡約された方程式群が導かれる。一定の粘性および密度を有する定常非圧縮流れの場合、これらの方程式は以下のように表される。

質量連続性: ${\dfrac {\partial u}{\partial x}}+{\dfrac {\partial v}{\partial y}}=0$
$x$ -勢い: $u{\dfrac {\partial u}{\partial x}}+v{\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-{\dfrac {1}{\rho }}{\dfrac {\partial p}{\partial x}}+{\nu }{\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}$
$y$ -勢い: $0=-{\dfrac {\partial p}{\partial y}}$

ここで、座標系は流れの方向にプレートに平行な座標、プレートに垂直な座標を指すように選択され、およびは速度成分、は圧力、は密度、は動粘性です。 $x$ $y$ $u$ $v$ $x$ $y$ $p$ $\rho$ $\nu$

この方程式の相似解は、薄い平板上の流れなど、様々なタイプの流れに対して数多く見つかっています。相似とは、流れの異なる位置における速度プロファイルが、スケーリング係数を除けば同じであるという性質を指します。相似スケーリング係数は、偏微分方程式を比較的簡単に解ける非線形常微分方程式に簡約します。プラントルの教え子の一人であるポール・リチャード・ハインリッヒ・ブラシウス^{[ 2 ]は}、薄い平板に沿った圧力勾配/が境界層領域の圧力勾配と比較して無視できる場合の流れに対応する相似モデルを考案しました。 ${\partial p}$ ${\partial x}$

ブラシウス方程式 - 一次境界層

ブラシウスは、の場合、プラントル運動量方程式は自己相似解を持つことを示した。この自己相似解が存在するのは、方程式と境界条件が変換に対して不変であるためである。 ${\partial p}/{\partial x}=0$ $x$

$x\rightarrow c^{2}x,\quad y\rightarrow cy,\quad u\rightarrow u,\quad v\rightarrow {\frac {v}{c}}$

ここでは任意の正の定数である。彼は自己相似変数を導入した。 $c$

発達中のブラシウス境界層（縮尺通りではありません）。プレート上の特定の位置における速度プロファイルは赤色で示されています。青色の線は、上から順に、99%自由流速度線（）、変位厚さ（）、（）を表しています。詳細な説明については、「境界層の厚さ」を参照してください。 $f'$ $\delta _{99\%},\eta \approx 5.29$ $\delta _{*},\eta \approx 1.79$ $\delta (x)$ $\eta =1.51$

$\eta ={\dfrac {y}{\delta (x)}}=y{\sqrt {\dfrac {U}{\nu x}}},\quad \psi ={\sqrt {\nu Ux}}f(\eta )$

ここで、は境界層の厚さ、は自由流の速度、は流れ関数である。流れ関数は、類似度厚さ変数のみの関数である正規化関数に正比例する。このことから、速度成分が次のように直接導かれる：^[³^]^{: 136} ${\textstyle \delta (x)\propto {\sqrt {\nu x/U}}}$ $U$ $\psi$ $f(\eta )$

$u(x,y)={\dfrac {\partial \psi }{\partial y}}=Uf'(\eta ),\quad v(x,y)=-{\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\nu U}{x}}}[\eta f'(\eta )-f(\eta )]$

ここで、プライムはに関する微分を表す。-運動量方程式に代入すると、ブラシウス方程式が得られる。 $\eta$ $x$

$2f^{(3)}+f''f=0$

境界条件は、滑りなし条件、壁の不浸透性、境界層外の自由流速度である。

${\begin{aligned}u(x,0)&=0&\rightarrow &&f'(0)&=0\\v(x,0)&=0&\rightarrow &&f(0)&=0\\u(x,\infty )&=U&\rightarrow &&f'(\infty )&=1\end{aligned}}$

これは3階の非線形常微分方程式であり、例えば射影法を用いて数値的に解くことができます。無限遠における境界条件はに変換されます。 $f''(0)=0.332043934904293$

の解とその導関数がわかれば、プラントルの運動量方程式を無次元化して整理し、圧力勾配/を次のように得ることができる。 ^[⁴^]^：46 $f$ $y$ $y$ ${\partial p}$ ${\partial y}$

${\frac {x^{2}}{U^{2}\delta ^{*}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial y}}\quad =\quad {\frac {1}{2}}\eta f^{(3)}\;+\;{\frac {1}{2}}f''\;-\;{\frac {1}{4}}ff'\;+\;{\frac {1}{4}}\eta f'^{2}\;+\;{\frac {1}{4}}\eta ff''\quad ,$ ここで、Blasius 変位厚さです。 $\delta ^{*}$

ブラシウス法線速度と- 圧力勾配は、大きな-値ではそれぞれ 0.86 と 0.43 に漸近しますが、 - 値では自由流速度に漸近します。- がゼロに近づくと、スケーリングされた- 圧力勾配は 0.16603 になります。 $v(x,y)$ $y$ $\eta$ $u(x,y)$ $U$ $\eta$ $y$

小さいの限定形は $\eta \ll 1$

$f(\eta )={\frac {1}{2}}\alpha \eta ^{2}+O(\eta ^{5}),\qquad \alpha =0.332057336215196$

そして、大きいの極限形は^[⁵^]である。 $\eta \gg 1$

$f(\eta )=\eta -\beta +O\left((\eta -\beta )^{-2}e^{-{\frac {1}{2}}(\eta -\beta )^{2}}\right),\qquad \beta =1.7207876575205$

境界層の特性パラメータは、2シグマ粘性境界層厚さ^{[ 6 ]} 、変位厚さ、運動量厚さ、壁面せん断応力、および板の長さに作用する抗力である。ブラシウス解の場合、これらは次のように与えられる。 $\delta _{v}$ $\delta ^{*}$ $\theta$ $\tau _{w}$ $F$ $l$ ${\begin{aligned}\delta _{99}&\approx \delta _{v}=5.29{\sqrt {\frac {\nu x}{U}}}\\[1ex]\delta ^{*}&=\delta _{1}=\int _{0}^{\infty }\left(1-{\frac {u}{U}}\right)dy=1.72{\sqrt {\frac {\nu x}{U}}}\\[1ex]\theta &=\delta _{2}=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{U}}\left(1-{\frac {u}{U}}\right)dy=0.665{\sqrt {\frac {\nu x}{U}}}\\[1ex]\tau _{w}&=\mu \left.{\frac {\partial u}{\partial y}}\right|_{y=0}=0.332{\sqrt {\frac {\rho \mu U^{3}}{x}}}\\[1ex]F&=2\int _{0}^{l}\tau _{w}dx=1.328{\sqrt {\rho \mu lU^{3}}}\end{aligned}}$

抗力の計算式における要素は、プレート両側を考慮することです。 $2$

フォン・カルマンの運動量積分とブラシウスプロファイルのエネルギー積分は、次のようになります。

${\begin{aligned}{\frac {\tau _{w}}{\rho U^{2}}}&={\frac {\partial \delta _{2}}{\partial x}}+{\frac {v_{w}}{U}}\\{\frac {2\varepsilon }{\rho U^{3}}}&={\frac {\partial \delta _{3}}{\partial x}}+{\frac {v_{w}}{U}}\end{aligned}}$

ここで、は壁面せん断応力、は壁面注入/吸引速度、はエネルギー散逸率、は運動量厚さ、はエネルギー厚さです。 $\tau _{w}$ $v_{w}$ $\varepsilon$ $\delta _{2}$ $\delta _{3}$

ブラシウス解の一意性

ブラシウス解は数学的観点からは一意ではない。^{[ 7 ]}^{: 131}ルートヴィヒ・プラントル自身が転置定理で指摘し、キース・スチュワートソン、ポール・A・リビーといった一連の研究者によって解析されている。^{[ 8 ]}この解には、同次条件と無限遠での指数関数的減衰を伴う線形摂動方程式を満たす、無限離散固有関数の集合のいずれかを加えることができる。これらの固有関数の最初のものは、原点の実効位置の不確実性を表す一次ブラシウス解の導関数であることが判明している。 $x$

二次境界層

この境界層近似は、壁から遠く離れた場所では非ゼロの鉛直速度を予測します。これは、次次の外側の非粘性層と対応する内側の境界層解で考慮する必要があり、さらに新たな鉛直速度を予測します。以下同様に続きます。ブラシウス方程式から導かれる一次境界層問題における無限遠点における鉛直速度は、

$v=0.86{\sqrt {\frac {\nu U}{x}}}$

2次境界層の解はゼロである。外側の非粘性境界層と内側の境界層の解は^{[ 7 ]}^{：134 である。}

$\psi (x,y)\sim {\begin{cases}y-{\sqrt {\frac {\nu }{Ux}}}\beta \ \Re {\sqrt {x+iy}},&{\text{outer }}\\{\sqrt {\nu Ux}}f(\eta )+0,&{\text{inner}}\end{cases}}$

一次境界問題と同様に、この解には無限の固有解のいずれかを加えることができます。すべての解において、はレイノルズ数とみなすことができます。 $Re=Ux/\nu$

3次境界層

2次の内部問題はゼロなので、3次の問題に対応する補正はゼロ、すなわち3次の外部問題は2次の外部問題と同じである。^{[ 7 ]}^：1393次の補正の解は正確な式を持たないが、内部境界層の展開は次の形式となる。

$\psi (x,y)\sim {\sqrt {2\nu Ux}}f(\eta )+0+\left({\frac {\nu }{Ux}}\right)^{3/2}\left[\log \left({\frac {Ux}{\nu }}\right){\sqrt {\frac {x}{2}}}f_{32}(\eta )+{\frac {1}{\sqrt {2x}}}f_{31}(\eta )\right]+\cdot \cdot \cdot$

ここで、は 1 次境界層解の最初の固有解（これは1 次ブラシウス解の導関数です）であり、の解は一意ではないため、問題には未定の定数が残ります。 $f_{32}$ $x$ $f_{31}$

吸引を伴うブラシウス境界層

吸引は境界層の剥離を遅らせるための一般的な方法の一つである。^{[ 9 ]}壁面で均一な吸引速度を考える。ブライアン・スウェイツ^[¹⁰^]は、この問題の解は、前縁に非常に近い距離では吸引がない場合のブラシウス解と同じであることを示した。変換を導入する。 $v(0)=-V$

$\psi ={\sqrt {2U\nu x}}f(\xi ,\eta ),\quad \xi =V{\sqrt {\frac {x}{2U\nu }}},\quad \eta ={\sqrt {\frac {U}{2\nu x}}}y$

境界層方程式にこれを代入すると、

$u=U{\frac {\partial f}{\partial \eta }},\quad v=-{\sqrt {\frac {U\nu }{2x}}}\left(f+\xi {\frac {\partial f}{\partial \xi }}-\eta {\frac {\partial f}{\partial \eta }}\right),$ ${\frac {\partial ^{3}f}{\partial \eta ^{3}}}+f{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \eta ^{2}}}+\xi \left({\frac {\partial f}{\partial \xi }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \eta ^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \xi \partial \eta }}{\frac {\partial f}{\partial \eta }}\right)=0$

境界条件付きで、

$f(\xi ,0)=\xi ,\quad {\frac {\partial f}{\partial \eta }}(\xi ,0)=0,\quad {\frac {\partial f}{\partial \eta }}(\xi ,\infty )=0.$

フォン・ミーゼス変換

イグリッシュは1944年に完全な数値解を得た。^{[ 11 ]}さらにフォン・ミーゼス変換^{[ 12 ]}を導入すると

$\sigma =2\xi ,\quad \psi -Vx={\frac {U\nu }{2V}}\sigma \tau ^{2},\quad \phi ={\frac {4u^{2}}{U^{2}}},\quad \chi =U^{2}-u^{2}=U^{2}\left(1-{\frac {V}{4}}\right),$

すると方程式は

${\sqrt {\phi }}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \tau ^{2}}}+\left(2\sigma \tau +\tau ^{3}-{\frac {\sqrt {\phi }}{\tau }}\right){\frac {\partial \phi }{\partial \tau }}=2\sigma \tau ^{2}{\frac {\partial \phi }{\partial \sigma }}$

境界条件付きで、

$\phi (0,\tau )=4,\quad \phi (\sigma ,0)=0,\quad \phi (\sigma ,\infty )=4.$

この放物型偏微分方程式は数値的に開始して進行することができます。 $\sigma =0$

漸近吸引プロファイル

吸引による対流と固体壁による拡散は逆方向に作用するため、境界層が無限に成長するブラシウス分布とは異なり、この分布は遠距離でも定常解に達する。この解はグリフィスとFWメレディスによって初めて得られた^{[ 13 ]}。板の前縁からの距離については、境界層の厚さと解はともに次式に依存しない。 $x\gg \nu U/V^{2}$ $x$

$\delta ={\frac {\nu }{V}},\quad u=U(1-e^{-yV/\nu }),\quad v=-V.$

スチュワートソン^{[ 14 ]}は漸近吸引プロファイルへの完全解のマッチングを研究した。

圧縮性ブラシウス境界層

ここでは、壁面における特定の比エンタルピーを持つブラシウス境界層を考察する。密度、粘性、熱伝導率はここでは一定ではない。質量、運動量、エネルギーの保存則は、 $h$ $\rho$ $\mu$ $\kappa$

${\begin{aligned}{\frac {\partial (\rho u)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho v)}{\partial y}}&=0,\\\rho \left(u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)&={\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}\right),\\\rho \left(u{\frac {\partial h}{\partial x}}+v{\frac {\partial h}{\partial y}}\right)&={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\mu }{Pr}}{\frac {\partial h}{\partial y}}\right)+\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}\end{aligned}}$

ここで、はプラントル数であり、接尾辞は無限大における特性を表す。境界条件は $Pr=c_{p_{\infty }}\mu _{\infty }/\kappa _{\infty }$ $\infty$

$u=v=h-h_{w}(x)=0\ {\text{for}}\ y=0,$ $u-U=h-h_{\infty }=0\ {\text{for}}\ y=\infty \ {\text{or}}\ x=0.$

非圧縮境界層とは異なり、相似解は変換が

$x\rightarrow c^{2}x,\quad y\rightarrow cy,\quad u\rightarrow u,\quad v\rightarrow {\frac {v}{c}},\quad h\rightarrow h,\quad \rho \rightarrow \rho ,\quad \mu \rightarrow \mu$

が成り立ち、これはの場合にのみ可能です。 $h_{w}={\text{constant}}$

ハワース変換

ハワース・ドロドニツィン変換を用いた自己相似変数の導入

$\eta ={\frac {U}{\sqrt {2\rho _{\infty }\mu _{\infty }Ux}}}\int _{0}^{y}\rho \,dy,\quad f(\eta )={\frac {\psi }{\sqrt {2\rho _{\infty }\mu _{\infty }Ux}}},\quad {\tilde {h}}(\eta )={\frac {h}{h_{\infty }}},\quad {\tilde {h}}_{w}={\frac {h_{w}}{h_{\infty }}},\quad {\tilde {\rho }}={\frac {\rho }{\rho _{\infty }}},\quad {\tilde {\mu }}={\frac {\mu }{\mu _{\infty }}}$

これらの式は次のように簡約されます。ここでは比熱比、はマッハ数、は音速です。を指定すれば、この式は解けます。境界条件は ${\begin{aligned}({\tilde {\rho }}{\tilde {\mu }}f'')'+ff''=0,\\({\tilde {\rho }}{\tilde {\mu }}{\tilde {h}}')'+Prf{\tilde {h}}'+Pr(\gamma -1)M^{2}{\tilde {\rho }}{\tilde {\mu }}f''^{2}=0\end{aligned}}$ $\gamma$ $M=U/c_{\infty }$ $c_{\infty }$ ${\tilde {\rho }}={\tilde {\rho }}({\tilde {h}}),\ {\tilde {\mu }}={\tilde {\mu }}({\tilde {h}})$

$f(0)=f'(0)=\theta (0)-{\tilde {h}}_{w}=f'(\infty )-1={\tilde {h}}(\infty )-1=0.$

空気を表す一般的な表現はです。が一定の場合、となります。境界層内の温度は、プレート温度が周囲温度と同じに維持されていても、散逸加熱により上昇します。もちろん、この散逸効果はマッハ数が大きい場合にのみ顕著になります。 $\gamma =1.4,\ Pr=0.7,\ {\tilde {\rho }}={\tilde {h}}^{-1},\ {\tilde {\mu }}={\tilde {h}}^{2/3}$ $c_{p}$ ${\tilde {h}}={\tilde {\theta }}=T/T_{\infty }$ $M$

放物座標における一次ブラシウス境界層

境界層方程式は放物型偏微分方程式であるため、この問題の自然座標は放物型座標である。^{[ 7 ]}^：142直交座標から放物型座標への変換は次のように与えられる。 $(x,y)$ $(\xi ,\eta )$

$x+iy={\tfrac {1}{2}}(\xi +i\eta )^{2},\quad x={\tfrac {1}{2}}(\xi ^{2}-\eta ^{2}),\quad y=\xi \eta .$

参照

外部リンク

[1] - Blasiusの原論文の英訳 - NACA技術覚書1256。

脚注

^プラントル、L. (1904)。「Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung」。ヴァーハンドリンガー 3. Int.数学。コングル。ハイデルベルク: 484–491。
^ブラシウス、H. (1908)。「Grenzschichten in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung」。Z.アンジュー。数学。物理学。56：1～ 37。
^ Schlichting, H., (1979).境界層理論, 第7版, McGraw-Hill, ニューヨーク.
^ウェイバーン、デイヴィッド（2022年）。境界層理論の側面。ISBN 978-0-578-98334-9。
^ Boyd, J. (2008). 「ブラシウス関数：コンピュータ以前の計算、トリックの価値、学部生のプロジェクト、そして未解決の研究課題」. SIAM Rev. 50 ( 4): 791– 804. Bibcode : 2008SIAMR..50..791B . doi : 10.1137/070681594 .
^ Weyburne, D. (2014). 「境界層速度プロファイルのための新しい厚さと形状パラメータ」.実験熱流体科学. 54 : 22–28 . doi : 10.1016/j.expthermflusci.2014.01.008 .
^ ^a ^b ^c ^dヴァン・ダイク、ミルトン（1975年）『流体力学における摂動法』パラボリック・プレス、ISBN 9780915760015。
^ポール・A・リビー、ハーバート・フォックス「層流境界層理論におけるいくつかの摂動解」流体力学ジャーナル17.3（1963）：433-449。
^ローゼンヘッド、ルイス編『層流境界層』クラレンドン・プレス、1963年。
^ブライアン・スウェイツ著「連続表面吸引を伴う特定の種類の境界層流れについて」HMステーショナリーオフィス、1946年。
^イグリッシュ、ルドルフ。均一なアブソーグンを備えた正確なベレチュングと層の厚さ。オルデンブール、1944 年。
^フォン・ミーゼス、リチャード. 「Bemerkungen zur 流体力学」。 Z.アンジュー。数学。メック 7 (1927): 425-429。
^グリフィス、AA、およびFWメレディス。「境界層吸引の利用による航空機性能の向上の可能性」英国王立航空機研究所報告書No. E 3501（1936年）：12。
^スチュワートソン、K.「境界層理論における漸近展開について」応用数学研究36.1-4（1957）：173-191。

参考文献

Parlange, JY; Braddock, RD; Sander, G. (1981). 「Blasius方程式の解に対する解析的近似」. Acta Mech . 38 ( 1–2 ): 119– 125. Bibcode : 1981AcMec..38..119P . doi : 10.1007/BF01351467 . S2CID 122114667 .
ポズリキディス, C. (1998).理論および計算流体力学入門. オックスフォード. ISBN 978-0-19-509320-9。
シュリヒティング、H. (2004)。境界層理論。スプリンガー。ISBN 978-3-540-66270-9。
ウィルコックス、デビッド C.基礎流体力学DCW Industries Inc. 2007
Boyd, John P. (1999)、「複素平面におけるブラシウス関数」、実験数学、8 (4): 381– 394、doi : 10.1080/10586458.1999.10504626、ISSN 1058-6458、MR 1737233

[1] プラントル、L. (1904)。「Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung」。ヴァーハンドリンガー 3. Int.数学。コングル。ハイデルベルク: 484–491。

[2] ブラシウス、H. (1908)。「Grenzschichten in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung」。Z.アンジュー。数学。物理学。56：1～ 37。

[3] Schlichting, H., (1979).境界層理論, 第7版, McGraw-Hill, ニューヨーク.

[Weyburne-4] ^ウェイバーン、デイヴィッド（2022年）。境界層理論の側面。ISBN 978-0-578-98334-9。

[5] Boyd, J. (2008). 「ブラシウス関数：コンピュータ以前の計算、トリックの価値、学部生のプロジェクト、そして未解決の研究課題」. SIAM Rev. 50 ( 4): 791– 804. Bibcode : 2008SIAMR..50..791B . doi : 10.1137/070681594 .

[6] Weyburne, D. (2014). 「境界層速度プロファイルのための新しい厚さと形状パラメータ」.実験熱流体科学. 54 : 22–28 . doi : 10.1016/j.expthermflusci.2014.01.008 .

[VanDyke-7] ヴァン・ダイク、ミルトン（1975年）『流体力学における摂動法』パラボリック・プレス、ISBN 9780915760015。

[8] ポール・A・リビー、ハーバート・フォックス「層流境界層理論におけるいくつかの摂動解」流体力学ジャーナル17.3（1963）：433-449。

[9] ローゼンヘッド、ルイス編『層流境界層』クラレンドン・プレス、1963年。

[10] ブライアン・スウェイツ著「連続表面吸引を伴う特定の種類の境界層流れについて」HMステーショナリーオフィス、1946年。

[11] イグリッシュ、ルドルフ。均一なアブソーグンを備えた正確なベレチュングと層の厚さ。オルデンブール、1944 年。

[12] フォン・ミーゼス、リチャード. 「Bemerkungen zur 流体力学」。 Z.アンジュー。数学。メック 7 (1927): 425-429。

[13] グリフィス、AA、およびFWメレディス。「境界層吸引の利用による航空機性能の向上の可能性」英国王立航空機研究所報告書No. E 3501（1936年）：12。

[14] スチュワートソン、K.「境界層理論における漸近展開について」応用数学研究36.1-4（1957）：173-191。

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