ブロッホ球

Geometrical representation of the pure state space of a two-level quantum mechanical system

ブロッホ球

量子力学とコンピューティングにおいて、ブロッホ球は、物理学者フェリックス・ブロッホにちなんで名付けられた、 2レベル量子力学システム（量子ビット）の純粋状態空間の幾何学的表現である。^[1]

数学的には、各量子力学系は可分な 複素 ヒルベルト空間 に関連付けられています。量子系の純粋状態はにおける非ゼロベクトル によって表されます。ベクトルと( ) は同じ状態を表します。n 個の互いに直交する量子状態を持つ系は、 n次元のヒルベルト空間で記述できます。純粋状態は同値類、または射影ヒルベルト空間における光線として表すことができます。^[2] 2 次元ヒルベルト空間の場合、このような状態すべての空間は複素射影直線です。これはブロッホ球面であり、リーマン球面にマッピングできます。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \lambda \psi }$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (H_{n})=\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}.}$

ブロッホ球は単位2次元球面であり、その対蹠点は互いに直交する状態ベクトルのペアに対応する。ブロッホ球面の北極と南極は、通常、それぞれ標準基底ベクトルとに対応するように選択され、これらは例えば電子のスピンアップとスピンダウン状態に対応する。ただし、この選択は任意である。球面の表面上の点は系の純粋状態に対応し、内部の点は混合状態に対応する。^{[3] [4]} ブロッホ球面はnレベル量子系に一般化できるが、その場合の視覚化はあまり有用ではない。 ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

ブロッホ球面上の自然計量はフビニ・スタディ計量である。2次元状態空間の単位3球面からブロッホ球面への写像はホップファイブレーションであり、スピノルの各線はブロッホ球面上の1点に写像される。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

意味

直交基底が与えられれば、2レベル量子系の任意の純粋状態は 、基底ベクトル と の重ね合わせとして表すことができます。ここで、2つの基底ベクトルのそれぞれの の係数（または からの寄与）は複素数です。これは、状態が4つの実数で記述されることを意味します。ただし、2つの基底ベクトルの係数間の相対的な位相のみが物理的な意味を持ちます（量子系の位相は で直接測定できません）。そのため、この記述には冗長性があります。 の係数は実数かつ非負とすることができます。これにより、状態を3つの実数だけで記述できるようになり、3次元のブロッホ球面が生成されます。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$

量子力学から、システム全体の確率は 1 でなければならないこともわかっています。

${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$、または同等です。 ${\displaystyle {\big \|}|\psi \rangle {\big \|}^{2}=1}$

この制約を考慮すると、次の表現を使用して記述できます。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle \,+\,e^{i\phi }\sin \left(\theta /2\right)|1\rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle \,+\,(\cos \phi +i\sin \phi )\,\sin \left(\theta /2\right)|1\rangle }$、ここで、 および。 ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$ ${\displaystyle 0\leq \phi <2\pi }$

表現は常に一意です。なぜなら、が状態 (ブラケット表記 を参照)またはの 1 つの場合、 の値は一意ではないものの 、およびで表される点は一意だからです。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$

パラメータとを球座標で再解釈すると、それぞれz軸に対する緯度とx軸に対する経度となり、点を指定する。 ${\displaystyle \theta \,}$ ${\displaystyle \phi \,}$

${\displaystyle {\vec {a}}=(\sin \theta \cos \phi ,\;\sin \theta \sin \phi ,\;\cos \theta )=(u,v,w)}$

の単位球面上にあります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

混合状態の場合、密度演算子を考慮する。任意の2次元密度演算子ρ は、恒等式Iとエルミート行列、トレースレス ・パウリ行列 を用いて展開できる。 ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+{\frac {a_{x}}{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+{\frac {a_{y}}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+{\frac {a_{z}}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+a_{z}&a_{x}-ia_{y}\\a_{x}+ia_{y}&1-a_{z}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$、

ここではブロッホベクトルと呼ばれます。 ${\displaystyle {\vec {a}}\in \mathbb {R} ^{3}}$

このベクトルは、与えられた混合状態に対応する球面内の点を示します。具体的には、パウリベクトルの基本的な特徴として、 ρの固有値は です。密度演算子は半正定値でなければならないため、 となります。 ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1\pm |{\vec {a}}|\right)}$ ${\displaystyle \left|{\vec {a}}\right|\leq 1}$

純粋状態の場合、

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\rho ^{2}\right)={\frac {1}{2}}\left(1+\left|{\vec {a}}\right|^{2}\right)=1\quad \Leftrightarrow \quad \left|{\vec {a}}\right|=1~,}$

上記に準拠して^[5]

結果として、ブロッホ球の表面は 2 次元量子システムのすべての純粋状態を表しますが、内部はすべての混合状態に対応します。

あなた、v、わ表現

ブロッホベクトルは密度演算子を参照して次の基底で表すことができる：^[6] ${\displaystyle {\vec {a}}=(u,v,w)}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle u=\rho _{10}+\rho _{01}=2\operatorname {Re} (\rho _{01})}$

${\displaystyle v=i(\rho _{01}-\rho _{10})=2\operatorname {Im} (\rho _{10})}$

${\displaystyle w=\rho _{00}-\rho _{11}}$

どこ

${\displaystyle \rho ={\begin{pmatrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+w&u-iv\\u+iv&1-w\end{pmatrix}}.}$

この基底はレーザー理論でよく使われ、反転分布として知られています。^[7]この基底では、値は3つのパウリ行列の期待値であり、3つの座標をxy軸とz軸で識別することができます。 ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle u,v,w}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$

純粋状態

nレベルの量子力学系を考えてみましょう。この系はn次元ヒルベルト空間 H _nによって記述されます。純粋状態空間は定義によりH _nの射線の集合です。

定理。U ( n )をn個のユニタリ行列のリー群とする。すると、 Hnの純粋状態空間はコンパクト剰余空間と同一視できる_。

${\displaystyle \operatorname {U} (n)/(\operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1)).}$

この事実を証明するために、 H _nの状態集合に対するU( n ) の自然な 群作用が存在することに注意する。この作用は純粋状態上で連続かつ推移的である。任意の状態 に対して、の等方性群（ U( n )の元で となる集合として定義される）は積群と同型である。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g|\psi \rangle =|\psi \rangle }$

${\displaystyle \operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1).}$

線形代数の観点から言えば、これは次のように正当化できる。U ( n )のうち不変なままのものは、固有ベクトルとしてを持つ必要がある。対応する固有値は法1の複素数でなければならないので、これは等方性群の U(1) 因子を与える。等方性群の他の部分は、U( n −1) と同型である の直交補集合上のユニタリ行列によってパラメータ化される。このことから、定理の主張は、コンパクト群の推移的群作用に関する基本事実から導かれる。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

上記で注目すべき重要な事実は、ユニタリ群が純粋状態に対して推移的に作用するということである。

U( n )の（実）次元はn ²である。これは指数写像から容易に分かる。

${\displaystyle A\mapsto e^{iA}}$

は自己随伴複素行列の空間からU( n )への局所同相写像である。自己随伴複素行列の空間は実数次元n ²を持つ。

系。H n_の純粋状態空間の実次元は2 n − 2 である。

実際には、

${\displaystyle n^{2}-\left((n-1)^{2}+1\right)=2n-2.\quad }$

これをm量子ビットの量子レジスタの実次元に適用してみましょう。対応するヒルベルト空間の次元は2m^です。

系。m量子ビット量子レジスタの純粋状態空間の実次元は2 m ^{+1 −} 2である。

ステレオグラフ投影による純粋な2スピノル状態のプロット

を原点とするブロッホ球。その上に 1 組の点と が基底として選ばれている。数学的にはこれらの点は直交しているが、図上ではそれらの間の角度は π である。これらの点の座標は (0,0,1) と (0,0,−1) である。ブロッホ球上の任意のスピノルは、2 つの基底スピノルの一意の線形結合として表すことができ、係数は複素数のペアであり、これらをαおよびβとする。これらの比を とし、これも複素数 とする。平面z  = 0、つまり球面の赤道面を複素平面とし、点uを としてその上にプロットすることを考えてみよう。点u を、いわゆる南極 (0,0,−1) から離れたブロッホ球上に立体投影する。この投影は、球面上で としてマークされた点に行われる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \left|\nearrow \right\rangle }$ ${\displaystyle u={\beta \over \alpha }}$ ${\displaystyle u_{x}+iu_{y}}$ ${\displaystyle (u_{x},u_{y},0)}$ ${\displaystyle \left|\nearrow \right\rangle }$

数学的には、2スピノル状態のブロッホ球面はリーマン球面 、すなわち射影ヒルベルト空間に写像され、 2次元複素ヒルベルト空間はSO(3)の表現空間となる。^[8]純粋状態 ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (H_{2})}$ ${\displaystyle H_{2}}$

${\displaystyle \alpha \left|\uparrow \right\rangle +\beta \left|\downarrow \right\rangle =\left|\nearrow \right\rangle }$

ここで、およびは、次のように正規化された複素数である。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =1}$

および、すなわちおよびが基底を形成し、ブロッホ球面上で正反対の表現を持つような場合、 ${\displaystyle \langle \downarrow |\uparrow \rangle =0}$ ${\displaystyle \langle \downarrow |\downarrow \rangle =\langle \uparrow |\uparrow \rangle =1}$ ${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$

${\displaystyle u={\beta \over \alpha }={\alpha ^{*}\beta \over \alpha ^{*}\alpha }={\alpha ^{*}\beta \over |\alpha |^{2}}=u_{x}+iu_{y}}$

それらの比率になります。

ブロッホ球が原点を中心とし、半径1でに埋め込まれていると考えると、平面z  = 0 （ブロッホ球と大円（いわば球の赤道）で交差する）はアルガン図と考えることができます。この平面に点uをプロットすると、 の座標は になります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle (u_{x},u_{y},0)}$

u を通り、球面上の を表す点を通る直線を描きます。((0,0,1) を、(0,0,−1) を を表すものとします。) この直線は 以外の点で球面と交差します。(唯一の例外は、つまり およびのときです。) この点をPとします。平面z = 0上の点uは、ブロッホ球面上の点Pの立体投影です。原点に尾がありPに先端があるベクトルは、スピノル に対応する 3 次元空間の方向です。Pの座標は ${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$ ${\displaystyle u=\infty }$ ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle \beta \neq 0}$ ${\displaystyle \left|\nearrow \right\rangle }$

${\displaystyle P_{x}={2u_{x} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}},}$

${\displaystyle P_{y}={2u_{y} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}},}$

${\displaystyle P_{z}={1-u_{x}^{2}-u_{y}^{2} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}.}$

密度演算子

純粋状態を用いた量子力学の定式化は孤立系には適切であるが、一般に量子力学系は密度演算子を用いて記述する必要がある。ブロッホ球面は、2準位系の純粋状態だけでなく混合状態もパラメータ化する。2準位量子系（量子ビット）の混合状態を記述する密度演算子は、ブロッホ球面内の以下の座標を持つ点に対応する。

${\displaystyle \left(\sum p_{i}x_{i},\sum p_{i}y_{i},\sum p_{i}z_{i}\right),}$

ここで、 は集団内の個々の状態の確率であり、は個々の状態の座標（ブロッホ球面上）である。ブロッホ球面上およびブロッホ球面内のすべての点の集合は、ブロッホ球と呼ばれる。 ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle x_{i},y_{i},z_{i}}$

高次元状態の場合、これを混合状態へ拡張することは困難である。ユニタリー群が密度作用素に対して推移的に作用しないという事実により、位相的記述は複雑になる。さらに、以下の観察からわかるように、軌道は極めて多様である。

定理。Aがnレベルの量子力学系上の密度作用素であり、その固有値がそれぞれμ 1 , ..., μ k で、重複度がn 1 , ..., n kであるとする。このとき、VAV _* = _Aとなる_ようなユニタリ_作用素群Vは、リー群として次式と同型である。

${\displaystyle \operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k}).}$

特にAの軌道は

${\displaystyle \operatorname {U} (n)/\left(\operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k})\right).}$

ブロッホ球の構成を2次元以上の次元に一般化することは可能であるが、そのような「ブロッホ体」の形状は球よりも複雑である。^[9]

回転

ブロッホ球表現の有用な利点は、量子ビットの状態変化がブロッホ球の回転によって記述できることである。この理由の最も簡潔な説明は、ユニタリ行列とエルミート行列の群のリー代数が、3次元回転群のリー代数と同型であるということにある。^[10] ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle SO(3)}$

ブロッホ基底に関する回転演算子

ブロッホ基底における直交座標軸の周りのブロッホ球面の回転は^{[11]で与えられる。}

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{x}(\theta )&=e^{(-i\theta X/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)X={\begin{bmatrix}\cos \theta /2&-i\sin \theta /2\\-i\sin \theta /2&\cos \theta /2\end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )&=e^{(-i\theta Y/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)Y={\begin{bmatrix}\cos \theta /2&-\sin \theta /2\\\sin \theta /2&\cos \theta /2\end{bmatrix}}\\R_{z}(\theta )&=e^{(-i\theta Z/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)Z={\begin{bmatrix}e^{-i\theta /2}&0\\0&e^{i\theta /2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

一般軸の周りの回転

が3次元の実単位ベクトルである場合、この軸の周りのブロッホ球の回転は次のように表されます。 ${\displaystyle {\hat {n}}=(n_{x},n_{y},n_{z})}$

${\displaystyle R_{\hat {n}}(\theta )=\exp \left(-i\theta {\hat {n}}\cdot {\frac {1}{2}}{\vec {\sigma }}\right)}$

注目すべき興味深い点は、この表現は再ラベル付けすると、純虚数四元数の拡張オイラー公式と同一になるということです。

${\displaystyle \mathbf {q} =e^{{\frac {1}{2}}\theta (u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )}=\cos {\frac {\theta }{2}}+(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )\sin {\frac {\theta }{2}}}$

ブロッホ回転生成器の導出

Ballentine ^[12]は、無限小ユニタリー変換の直感的な導出を示している。これは、ブロッホ球面の回転がパウリ行列の線型結合の指数関数となる理由を理解する上で重要である。したがって、ここではこの点について簡単に説明する。量子力学的な文脈におけるより完全な説明は、ここを参照のこと。

ある軸の周りの回転を表すユニタリ作用素の族を考えてみましょう。回転は自由度が1なので、この作用素はスカラー場に対して作用し、次のようになります。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle U(0)=I}$

${\displaystyle U(s_{1}+s_{2})=U(s_{1})U(s_{2})}$

どこ ${\displaystyle 0,s_{1},s_{2},\in S}$

無限小ユニタリーを、2 次で切断されたテイラー展開として定義します。

${\displaystyle U(s)=I+{\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}s+O\left(s^{2}\right)}$

ユニタリ条件により：

${\displaystyle U^{\dagger }U=I}$

したがって

${\displaystyle U^{\dagger }U=I+s\left({\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}+{\frac {dU^{\dagger }}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}\right)+O\left(s^{2}\right)=I}$

この等式が成り立つためには（無視できると仮定すると）、 ${\displaystyle O\left(s^{2}\right)}$

${\displaystyle {\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}+{\frac {dU^{\dagger }}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}=0}$。

この結果、次のような形式の解が得られます。

${\displaystyle {\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}=iK}$

ここでは任意のエルミート変換であり、ユニタリ族の生成元と呼ばれます。したがって ${\displaystyle K}$

${\displaystyle U(s)=e^{iKs}}$

パウリ行列はユニタリエルミート行列であり、ブロッホ基底に対応する固有ベクトルを持つので、任意の軸の周りのブロッホ球の回転が次のように記述されることが自然にわかる。 ${\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$ ${\displaystyle ({\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}})}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$

${\displaystyle R_{\hat {n}}(\theta )=\exp(-i\theta {\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}/2)}$

回転生成器は次のように与えられる。 ${\displaystyle K={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}/2.}$

参照

• 原子電子遷移
• ジャイロベクトル空間
• ヴェルサーズ
• ブロッホ球の具体的な実装は、量子ビットの記事に列挙されています。

参考文献

引用

1. ブロッホ 1946年。
2. Bäuerle & de Kerf、1990年、330、341ページ。
3. ニールセンとチュアン、2000.
4. 「ブロッホ球 | Quantiki」。
5. べき等密度行列

   ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(1\!\!1+{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})={\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta /2&\sin \theta /2~\cos \theta /2~e^{-i\phi }\\\sin \theta /2~\cos \theta /2~e^{i\phi }&\sin ^{2}\theta /2\end{pmatrix}}}$

   固有値が 1 の状態固有ベクトルに作用します。つまり、それに対する射影演算子のようなものです。 ${\displaystyle (\cos \theta /2,e^{i\phi }\sin \theta /2)}$
6. ファインマン、ヴァーノン＆ヘルワース 1957年。
7. ミロニ＆エバリー 1988年、340ページ。
8. ペンローズ 2007、554ページ。
9. アップルビー 2007.
10. DB Westra 2008、「SU(2)とSO(3)」、https://www.mat.univie.ac.at/~westra/so3su2.pdf
11. ニールセンとチュアン 2010、「量子計算と情報」、174ページ
12. Ballentine 2014、「量子力学 - 現代の発展」、第3章

出典

• Appleby, DM (2007). 「任意ランクの対称情報完全測定」. Optics and Spectroscopy . 103 (3): 416– 428. arXiv : quant-ph/0611260 . Bibcode :2007OptSp.103..416A. doi :10.1134/S0030400X07090111. S2CID  17469680.
• Bäuerle, Gerard GA; de Kerf, Eddy A. (1990).リー代数 第1部：有限次元および無限次元リー代数と物理学への応用. 数理物理学研究. アムステルダム: 北ホラント. ISBN 0-444-88776-8。
• Bloch, F. (1946). 「核誘導」. Physical Review . 70 ( 7–8 ): 460–474 . Bibcode :1946PhRv...70..460B. doi : 10.1103/PhysRev.70.460 . ISSN  0031-899X.
• ファインマン, リチャード・P.; ヴァーノン, フランク・L.; ヘルワース, ロバート・W. (1957). 「メーザー問題を解くためのシュレーディンガー方程式の幾何学的表現」.応用物理学ジャーナル. 28 (1): 49– 52. Bibcode :1957JAP....28...49F. doi :10.1063/1.1722572. ISSN  0021-8979. S2CID  36493808.
• ニールセン, マイケル・A.; チュアン, アイザック・L. (2000). 『量子計算と量子情報』 ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-63503-5。
• ミロニ, ピーター W.; エバリー, ジョセフ H. (1988). 『レーザー』ニューヨーク: ワイリー・インターサイエンス. ISBN 978-0-471-62731-9。
• ペンローズ、ロジャー（2007年）『現実への道』ニューヨーク：ナショナルジオグラフィック・ブックス、ISBN 978-0-679-77631-4。

外部リンク

• Konstantin Herbによるオンライン・ブロッホ球の可視化

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Bloch_sphere&oldid=1319916543"