ボクナー空間

位相空間の種類

数学において、ボッホナー空間は、必ずしも実数や複素数の空間ではないバナッハ空間に値が存在する関数に対する空間の概念の一般化です。 ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

この空間は、バナッハ空間に値を持ち、そのノルムが標準空間に含まれるすべてのボッホナー可測関数（の同値類）から構成される。したがって、が複素数全体の集合である場合、これは標準ルベーグ空間である。 ${\displaystyle L^{p}(X)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|f\|_{X}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{p}}$

空間に関するほぼすべての標準的な結果はボッホナー空間にも成り立つ。特にボッホナー空間はバナッハ空間である。 ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(X)}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}$

ボクナー空間は数学者 サロモン・ボクナーにちなんで名付けられました。

意味

測度空間 、バナッハ空間が与えられ、ボホナー空間は、対応するノルムが有限であるような すべてのボホナー可測関数の空間のコルモゴロフ商（ほぼすべての点で等式により）として定義されます。 ${\displaystyle (T,\Sigma ;\mu ),}$ ${\displaystyle \left(X,\|\,\cdot \,\|_{X}\right)}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty ,}$ ${\displaystyle L^{p}(T;X)}$ ${\displaystyle u:T\to X}$ $${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(T;X)}:=\left(\int _{T}\|u(t)\|_{X}^{p}\,\mathrm {d} \mu (t)\right)^{1/p}<+\infty {\mbox{ for }}1\leq p<\infty ,}$$ $${\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(T;X)}:=\mathrm {ess\,sup} _{t\in T}\|u(t)\|_{X}<+\infty .}$$

言い換えれば、空間の研究でよくあるように、は関数の同値類の空間であり、2 つの関数は、の-測度零部分集合を除いてどこでも等しい場合に同値であると定義されます。このような空間の研究でもよくあるように、表記法を乱用し、同値類 (技術的にはより正確) ではなく、における「関数」について話すのが普通です。 ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(T;X)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T.}$ ${\displaystyle L^{p}(T;X)}$

アプリケーション

ボホナー空間は、熱方程式などの時間に依存する偏微分方程式の研究に対する関数解析アプローチでよく使用されます。温度が時間と空間のスカラー関数である場合、おそらくボホナー空間内の空間関数のファミリ(時間によってパラメーター化) を作成するように記述できます。 ${\displaystyle g(t,x)}$ ${\displaystyle (f(t))(x):=g(t,x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(t)}$

偏微分方程式理論への応用

多くの場合、空間とは、偏微分方程式を解く対象となる時間区間であり、 1次元ルベーグ測度となる。これは、時間と空間の関数を、時間によってパラメータ化された空間関数の集合とみなすという考え方である。例えば、 の領域と時間区間における熱方程式の解を求める場合、時間微分を持つ解を求める。ここで は、 の境界で消える（トレースの意味で、あるいは同値に、 Ω にコンパクトな台を持つ滑らかな関数の極限である）の弱微分可能関数のソボレフ・ヒルベルト空間を表す。 は、の双対空間を表す。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle [0,T],}$ $${\displaystyle u\in L^{2}\left([0,T];H_{0}^{1}(\Omega )\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}\in L^{2}\left([0,T];H^{-1}(\Omega )\right).}$$ ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ ${\displaystyle H^{-1}(\Omega )}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega ).}$

(上記の時間に関する「偏微分」は、ボッホナー空間の使用により空間依存性がなくなるため、 実際には全微分です。) ${\displaystyle t}$

参照

• ボホナー積分 – 数学における概念
• ベクトル測定
• ベクトル値関数 – ベクトル空間で値をとる関数。通常は実数または複素数。リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 弱測定可能な関数

参考文献

• エヴァンス、ローレンス・C. (1998).偏微分方程式. プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学会. ISBN 0-8218-0772-2。

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