ボホナー積分

Concept in mathematics

数学において、ボクナー積分は、サロモン・ボクナーにちなんで名付けられ、単純関数の積分の極限として、多次元ルベーグ積分の定義をバナッハ空間で値を取る関数に拡張します。

ボッホナー積分は、基本的な積分変換をより抽象的な空間、ベクトル値関数、そして作用素空間へと拡張するための数学的基礎を提供する。このような拡張の例としては、ベクトル値ラプラス変換や抽象フーリエ変換などが挙げられる。^[1]

意味

を測度空間、をバナッハ空間とし、可測関数 を定義する。 のとき、標準ルベーグ積分 が成り立ち、 のとき、標準多次元ルベーグ積分 が成り立つ。一般的なバナッハ空間の場合、ボッホナー積分は上記の場合を拡張する。 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:X\to B}$ ${\displaystyle B=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \int _{X}fd\mu }$ ${\displaystyle B=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \int _{X}{\vec {f}}d\mu }$

まず、単純関数を の形式の任意の有限和として定義します。ここで、 は- 代数の互いに素な要素であり、は の異なる要素であり、 χ _Eはの特性関数です。が有限である 場合はいつでも単純関数は積分可能であり、積分は通常のルベーグ積分の場合とまったく同じように によって定義されます。 $${\displaystyle s(x)=\sum _{i=1}^{n}\chi _{E_{i}}(x)b_{i},}$$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle \mu \left(E_{i}\right)}$ ${\displaystyle b_{i}\neq 0,}$ $${\displaystyle \int _{X}\left[\sum _{i=1}^{n}\chi _{E_{i}}(x)b_{i}\right]\,d\mu =\sum _{i=1}^{n}\mu (E_{i})b_{i}}$$

測定可能な関数は、左側の積分が通常のルベーグ積分であるような一連の積分可能な単純関数が存在する場合、ボッホナー積分可能である。 ${\displaystyle f:X\to B}$ ${\displaystyle s_{n}}$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}\|f-s_{n}\|_{B}\,d\mu =0,}$$

この場合、ボホナー積分は次のように定義される。 $${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{X}s_{n}\,d\mu .}$$

この列はバナッハ空間におけるコーシー列であることが示され、したがって右辺の極限が存在する。さらに、この極限は単純関数の近似列に依存しない。これらの指摘は、積分が明確に定義されている（つまり、どのような選択にも依存しない）ことを示している。関数がボホナー積分可能であることは、それがボホナー空間に存在する場合のみ示される。 ${\displaystyle \left\{\int _{X}s_{n}\,d\mu \right\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle \{s_{n}\}_{n=1}^{\infty }.}$ ${\displaystyle L^{1}.}$

プロパティ

基本的な性質

ルベーグ積分のよく知られた性質の多くは、ボホナー積分にも当てはまります。特に有用なのは、ボホナーの積分可能性の基準です。これは、 が測度空間であるとき、ボホナー可測関数がボホナー可積分であるための必要条件であり、かつその場合に限ります。 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle f\colon X\to B}$ $${\displaystyle \int _{X}\|f\|_{B}\,\mathrm {d} \mu <\infty .}$$

ここで、関数がボッホナー可測 であるとは、関数が の可分部分空間に値を取る関数とほぼどこでも等しく、 のすべての開集合の逆像が に属する場合を言う。同様に、は可算値単純関数の列のほぼどこでもの極限である。 ${\displaystyle f\colon X\to B}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle g^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$

線形演算子

がバナッハ空間と の間の連続線型演算子であり、がボッホナー積分可能である場合、がボッホナー積分可能であり、 の積分と適用が、すべての測定可能な部分集合 に対して次のように交換可能であることを示すのは比較的簡単です。 ${\displaystyle T\colon B\to B'}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle f\colon X\to B}$ ${\displaystyle Tf\colon X\to B'}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \int _{E}Tf\,\mathrm {d} \mu =T\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu }$$ ${\displaystyle E\in \Sigma }$

この結果の非自明なほど強い形式はヒレの定理として知られ、閉じた演算子に対しても成り立ちます。^[2]がバナッハ空間との間の閉じた線型演算子であり、 と がボッホナー積分可能である 場合、すべての測定可能な部分集合 に対して が成り立ちます。 ${\displaystyle T\colon B\to B'}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle f\colon X\to B}$ ${\displaystyle Tf\colon X\to B'}$ $${\displaystyle \int _{E}Tf\,\mathrm {d} \mu =T\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu }$$ ${\displaystyle E\in \Sigma }$

優勢収束定理

優勢収束定理の一種はボッホナー積分にも成り立つ。具体的には、が完備測度空間上の測定可能関数列で、ほぼどこでも極限関数 に近づく場合、ほぼすべての、、 に対して となるならば、 となり、すべての に対してとなる。 ${\displaystyle f_{n}\colon X\to B}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \|f_{n}(x)\|_{B}\leq g(x)}$$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle g\in L^{1}(\mu )}$ $${\displaystyle \int _{E}\|f-f_{n}\|_{B}\,\mathrm {d} \mu \to 0}$$ ${\displaystyle n\to \infty }$ $${\displaystyle \int _{E}f_{n}\,\mathrm {d} \mu \to \int _{E}f\,\mathrm {d} \mu }$$ ${\displaystyle E\in \Sigma }$

がボッホナー積分可能である場合、不等式はすべての に対して成立します。 特に、集合関数はに関して絶対連続である上の可算加法値ベクトル測度を定義します。 ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \left\|\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu \right\|_{B}\leq \int _{E}\|f\|_{B}\,\mathrm {d} \mu }$$ ${\displaystyle E\in \Sigma .}$ $${\displaystyle E\mapsto \int _{E}f\,\mathrm {d} \mu }$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$

ラドン・ニコディム特性

ボホナー積分に関する重要な事実は、ラドン・ニコディム定理が一般には成り立た ず、代わりに「良い」バナッハ空間の重要なクラスを定義する特性 (ラドン・ニコディム特性) であるということです。

具体的には、 が 上の測度である場合、はに関してラドン・ニコディム性を持ち、 が上の値を持ち、 が に関して絶対連続であるような上の任意の可算加法ベクトル測度に対して、任意 の測定可能な集合^[3]に対してとなるような-積分可能な関数が存在する。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma ),}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle g:X\to B}$ $${\displaystyle \gamma (E)=\int _{E}g\,d\mu }$$ ${\displaystyle E\in \Sigma .}$

バナッハ空間がラドン・ニコディム性を持つのは、任意の有限測度に関してラドン・ニコディム性を持つ場合である。^[3] 同値な定式化には以下がある。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

• 有界離散時間マルチンゲールは次のように収束する[ ^4] ${\displaystyle B}$
• 有界変分の関数は微分可能であり、aeである^[5] ${\displaystyle B}$
• 任意の有界な に対して、任意に小さい直径を持つおよび が存在する。^[4] ${\displaystyle D\subseteq B}$ ${\displaystyle f\in B^{*}}$ ${\displaystyle \delta \in \mathbb {R} ^{+}}$ $${\displaystyle \{x:f(x)+\delta >\sup {f(D)}\}\subseteq D}$$

空間はラドン・ニコディム性を持つことが知られているが、の有界開集合の空間や無限コンパクト空間の空間はラドン・ニコディム性を持たない。^[6]ラドン・ニコディム性を持つ空間には可分双対空間（これはダンフォード・ペティスの定理である）^[要出典]や反射空間があり、反射空間には特にヒルベルト空間が含まれる。^[3] ${\displaystyle \ell _{1}}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\Omega ),}$ ${\displaystyle L^{1}(\Omega ),}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle C(K),}$ ${\displaystyle K}$

確率

ボホナー積分は、確率論において、バナッハ空間上の値をとる確率変数や確率過程を扱う際に用いられる。支配収束定理などの古典的な収束定理をボホナー積分に適用すると、バナッハ空間上の値をとる確率変数の列に対する大数の法則や中心極限定理が一般化される。このような積分は関数空間における超関数の解析において中心的な役割を果たし、確率微積分、統計場の理論、量子場の理論などの分野に応用されている。

を確率空間とし、バナッハ空間 に値を取る確率変数を考える。がボホナー積分可能である場合、その期待値は で定義され、古典的な期待値の通常の線形性と連続性の性質を継承する。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle X\colon \Omega \to B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle E[X]=\int _{\Omega }X\,d\mathbb {P} ,}$$

確率過程

バナッハ空間値をとる確率過程を考えてみましょう。ボホナー積分を用いると、各 がボホナー積分可能である場合、平均関数 を定義できます。このアプローチは、各 が関数空間内のランダムな要素である確率偏微分方程式において有用です。 ${\displaystyle (X_{t})_{t\in T}}$ $${\displaystyle \mu (t)=E[X_{t}]=\int _{\Omega }X_{t}\,d\mathbb {P} }$$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$

マルチンゲール理論では、一連の- 値ランダム変数がそれぞれ - 測定可能かつボホナー積分可能であり、次を満たす場合、そのシーケンスはフィルタリングに関してマルチンゲールと呼ばれます。ボホナー積分により、このバナッハ空間設定で条件付き期待値が明確に定義されることが保証されます。 ${\displaystyle (M_{n})_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ $${\displaystyle E[M_{n+1}\mid {\mathcal {F}}_{n}]=M_{n}.}$$

ガウス測度

ボッホナー積分は、バナッハ空間上のガウス測度のモーメントを定義することを可能にする。ボッホナー積分が存在する場合、それはで定義されるペティス積分 と同値である。ここでは双対 を表す。 ${\displaystyle \eta }$ $${\displaystyle \langle \eta ,b^{*}\rangle =\int _{B}\langle x,b^{*}\rangle \,d\mu (x),}$$ ${\displaystyle b^{*}\in B^{*}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

局所凸空間への拡張

ボホナー積分には、局所凸空間に値を持つ関数への拡張がいくつかある（1975 Rybakov, ^[7] 1981 Blondia, ^[8] 2015 Beckmann and Deitmar ^[9]）。BeckmannとDeitmarによる拡張は、ボホナーの元々のアプローチをネットに一般化したものであり、局所凸空間における仮定の3つのケースを区別している：^[10] ${\displaystyle f\colon X\to E}$ ${\displaystyle E}$

• ${\displaystyle E}$完了しました。
• ${\displaystyle E}$は準完備空間であり、関数は有界である。 ${\displaystyle f\colon X\to E}$
• ${\displaystyle E}$は準完全であり、測定は有限です。 ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$

ベックマンとデイトマーは、ボホナー積分を定義するための条件としてボホナー近似可能性という用語を用いている。関数がボホナー近似可能であるとは、任意の連続半ノルムに対して、 ${\displaystyle (s_{j})_{j\in J}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \int _{X}p(f-s_{j})d\mu \to 0}$

彼らはこの特性の同等の特徴をいくつか提供しています。

ブロンディアは局所凸空間への拡張を次のように定義している^[11]

を -有限な完備測度空間とし、その位相が半ノルム族によって誘導される完備ハウスドルフ局所凸空間とする。関数がボッホナー積分可能あるいは強積分可能と呼ばれるのは、 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (E,{\mathcal {P}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle f\colon X\to E}$ ${\displaystyle (f_{n})}$

• ${\displaystyle f_{n}(\omega )\to f(\omega )}$ほぼ確実に ${\displaystyle \omega \in X}$ ${\displaystyle \mu }$
• ${\displaystyle p(f(\omega )-f_{n}(\omega ))\in L^{1}(X;\mathbb {R} )}$それぞれおよびすべてについて、すなわち ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\int _{X}p(f(\omega )-f_{n}(\omega ))d\mu =0.}$

• ${\displaystyle \int _{A}f_{n}(\omega )d\mu }$の各測定可能な部分集合に対して収束します。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

参照

• ボッホナー空間 – 位相空間の種類
• ボクナー測定可能関数
• ペティス積分
• ベクトル測定
• 弱測定可能な関数

参考文献

1. ヴォルフガング、アーデント;バティ、チャールズ JK;ヒーバー、マティアス。フランク・ノイブランダー (2001)。ベクトル値ラプラス変換とコーシー問題。ビルクハウザー。ISBN 3764365498。
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3. バルセナス、ディオメデス (2003)。 「再帰バナッハ空間のラドン・ニコジム定理」(PDF)。ディブルガシオネス・マテマティカス。11 (1): 55–59 [pp. 55–56]。
4. Bourgin 1983、31、33 ページ。 2.3.6-7、条件 (1、4、10)。
5. Bourgin 1983, p. 16. 「この分野の初期の研究者たちは、[0,1]上の有界変分を持つ各X値関数がほぼ確実に微分可能であるというバナッハ空間の性質に注目していました。この性質（ゲルファント＝フレシェ性質として知られる）は、RNP [ラドン＝ニコディム性質] とも等価であることが判明しました。」
6. ブルギン 1983年、14ページ。
7. Vyacheslav I. Rybakov (1975). 「ボホナー積分の局所凸空間への一般化」.ソ連科学アカデミー数学ノート. 18 : 933–938 . doi :10.1007/BF01153047.
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9. Ralf BeckmannとAnton Deitmar (2015). 「ネットの2つの応用」 . Ann. Funct. Anal . 6 (3): 176– 190. doi :10.15352/afa/06-3-15.
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