ボルツァ面

In mathematics, a Riemann surface

数学において、ボルザ面（Bolza surface ）あるいは複素代数ボルザ曲線（ Oskar Bolza  (1887)によって導入された）は、種数のコンパクトリーマン面であり、この種数における共形自己同型群の最高位、すなわち48位（有限体上の行列の一般線型群）を持つ。その完全自己同型群（鏡映を含む）は96位の半直積である。（ GAPはこれらの2つの群をSmallGroup(48,29)およびSmallGroup(96,193)として識別する。）ボルザ面のアフィンモデルは、次式の軌跡として得られる。 ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle GL_{2}(3)}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$ ${\displaystyle GL_{2}(3)\rtimes \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle y^{2}=x^{5}-x}$

において、ボルザ面はこのアフィン曲線の滑らかな完備化です。ボルザ曲線は、リーマン球面の分岐二重被覆としても現れ、その分岐点は球面に内接する正八面体の6つの頂点にあります。これは上の式から、右辺が6つの点においてゼロまたは無限大になることから分かります。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle x=0,1,i,-1,-i,\infty }$

ボルザ面は量子カオスの比較的単純なモデルを提供するため、物理学者の注目を集めている。この文脈では、通常、アダマール・グッツヴィラーモデルと呼ばれる。^{[1]ボルザ面上の関数に作用する}ラプラス・ベルトラミ演算子のスペクトル理論は、数学者と物理学者の両方の関心を集めている。なぜなら、この面は、一定の負の曲率を持つ、種数のコンパクトな閉じたリーマン面すべての中で、ラプラシアンの最初の正の固有値を最大化すると予想されているからである。ラプラス・ベルトラミ演算子の固有ベクトルは、周期軌道の量子版であり、この予想の古典的な版として、すべての種数の双曲面のうち、ボルザ面が最短の閉じた測地線、つまりシストールの長さを最大化することが知られている(Schmutz 1993)。 ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2}$

三角形の表面

反射領域によるボルザ面のタイリングは、3 次二等分八角形タイリングの商です。

ポアンカレ円板におけるボルザ面の基本領域。反対側が同一視されています。

ボルザ面は三角形の曲面と共形的に同値です。シュワルツの三角形を参照してください。より具体的には、ボルザ面を定義するフックス群は、角度 の双曲三角形の辺での反射によって生成される群のサブグループです。向きを保存する等長変換群は、偶数回の反射の積で構成される反射群の指数2 の部分群のサブグループであり、生成元と関係、および によって抽象的に表現されます。ボルザ面を定義するフックス群は、三角形群の指数 2 の部分群である(3,3,4)三角形群 のサブグループでもあります。この群は、四元数代数のノルム元の群の位数商として実現されませんが、は実現されます。 ${\displaystyle (2,3,8)}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{3}},{\tfrac {\pi }{8}}}$ ${\displaystyle s_{2},s_{3},s_{8}}$ ${\displaystyle s_{2}{}^{2}=s_{3}{}^{3}=s_{8}{}^{8}=1}$ ${\displaystyle s_{2}s_{3}=s_{8}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle (2,3,8)}$ ${\displaystyle (2,3,8)}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (3,3,4)}$

ポアンカレ円板上のの作用のもとで、ボルザ面の基本領域は、 の角と頂点を持つ正八角形である。 ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$

${\displaystyle p_{k}=2^{-1/4}e^{i\left({\tfrac {\pi }{8}}+{\tfrac {k\pi }{4}}\right)},}$

ここで、八角形の対辺はフックス群の作用によって同一視される。その生成元は行列である。 ${\displaystyle k=0,\ldots ,7}$

${\displaystyle g_{k}={\begin{pmatrix}1+{\sqrt {2}}&(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{\tfrac {ik\pi }{4}}\\(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{-{\tfrac {ik\pi }{4}}}&1+{\sqrt {2}}\end{pmatrix}},}$

ここで、およびそれらの逆元である。生成元は次の関係を満たす。 ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}}$ ${\displaystyle k=0,\ldots ,3}$

${\displaystyle g_{0}g_{1}^{-1}g_{2}g_{3}^{-1}g_{0}^{-1}g_{1}g_{2}^{-1}g_{3}=1.}$

これらの生成子は長さスペクトルに接続されており、測地線ループのあらゆる長さを与える。そのような最短の長さは、面のシストールと呼ばれる。ボルザ面のシストールは

${\displaystyle \ell _{1}=2\operatorname {\rm {arcosh}} (1+{\sqrt {2}})\approx 3.05714.}$

ボルザ面の長さスペクトルの要素は次のように与えられる。 ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle \ell _{n}}$

${\displaystyle \ell _{n}=2\operatorname {\rm {arcosh}} (m+n{\sqrt {2}}),}$

ここで、正の整数（ただし、4、24、48、72、140、およびそれ以上の値は除く）は、(Aurich、Bogomolny、Steiner 1991)で、最小となる唯一の奇数である。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \vert m-n{\sqrt {2}}\vert .}$

三角形群から直接、シストールの同値な閉形を得ることができます。 (2,3,8)三角形の辺の長さを明示的に計算する公式があります。シストールは、(2,3,8)三角形の中点長の辺の長さの4倍に等しくなります。つまり、

${\displaystyle \ell _{1}=4\operatorname {\rm {arcosh}} \left({\tfrac {\csc \left({\tfrac {\pi }{8}}\right)}{2}}\right)\approx 3.05714.}$

測地線の長さは、曲面のフェンチェル・ニールセン座標にも現れます。種数2の曲面のフェンチェル・ニールセン座標は、長さとねじれを表す3組のペアで構成されます。ボルツァ面のこのような座標系として最も単純なのは、おそらく です。ここでです。 ${\displaystyle \ell _{n}}$ ${\displaystyle (\ell _{2},{\tfrac {1}{2}};\;\ell _{1},0;\;\ell _{1},0)}$ ${\displaystyle \ell _{2}=2\operatorname {\rm {arcosh}} (3+2{\sqrt {2}})\approx 4.8969}$

また、「対称的な」座標系もあり、3つの長さはすべて収縮期であり、3つのねじれはすべて^{[2]で与えられる。} ${\displaystyle (\ell _{1},t;\;\ell _{1},t;\;\ell _{1},t)}$ ${\displaystyle \ell _{1}}$

${\displaystyle t={\frac {\operatorname {\rm {arcosh}} \left({\sqrt {{\tfrac {2}{7}}(3+{\sqrt {2}})}}\right)}{\operatorname {\rm {arcosh}} (1+{\sqrt {2}})}}\approx 0.321281.}$

表面の対称性

ボルザ面の対称群の4つの生成元

ボルザ面の基本領域はポアンカレ円板の正八角形です。(完全な)対称群を生成する 4 つの対称作用は次のとおりです。

• R – 八角形の中心の周りの 8 次回転。
• S – 実数直線上の反射。
• T – 八角形をモザイク状に分割する 16 個の (4,4,4) 三角形の 1 つの側面の反射。
• U – (4,4,4)三角形の中心の周りの3次回転。

これらは隣の図の太線で示されており、以下の関係式を満たしています。

${\displaystyle \langle R,\,S,\,T,\,U\mid R^{8}=S^{2}=T^{2}=U^{3}=RSRS=STST=RURU=SUSU=R^{7}USTU=R^{4}UR^{4}U^{2}=e\rangle ,}$

ここで、は自明な（恒等）作用である。これらの関係の最初の9つは、示されている八角形をそれ自身に導くが、最後の関係は、それを辺を共有する隣接する八角形に導く。GAPにおけるこの関係集合を用いて、群（ GAPではSmallGroup(96,193)として識別される）の表現論に関する情報を得ることができる。具体的には、1次元の既約表現が4つ、2次元の既約表現が2つ、3次元の既約表現が4つ、4次元の既約表現が3つ存在し、 ${\displaystyle e}$

${\displaystyle 4(1^{2})+2(2^{2})+4(3^{2})+3(4^{2})=96}$

予想通りです。

完全対称群の別の表現は三角形群 から始まります。s、l、hを三角形の短辺、長辺、斜辺を挟んで反転するものとして、完全対称群は次のようになります 。 ${\displaystyle \Delta (2,3,8)}$

${\displaystyle \langle s,l,h\mid s^{2}=l^{2}=h^{2}=(sl)^{2}=(sh)^{3}=(lh)^{8}=(sh(lh)^{3})^{2}=e\rangle ,}$

ここで、最後の関係、つまり完全な三角形群では成立しない関係は、長さが収縮長である測地線に沿って進みます。 ${\displaystyle \ell _{1}}$

スペクトル理論

ボルザ面の最初の正の固有値に対応する3つの固有関数のプロット。水色の線上では関数はゼロである。これらのプロットはFreeFEM++を用いて作成された。

ここで、スペクトル理論はラプラシアンのスペクトルを指します。ボルザ面の最初の固有空間（つまり、最初の正の固有値に対応する固有空間）は3次元で、2番目は4次元です（Cook 2018）、（Jenni 1981）。タイヒミュラー空間の最初の固有空間での関数の節線の摂動を調べると、序論で予想された結果が得られると考えられています。この予想は、曲面と種数2の他の曲面の固有値の広範な数値計算に基づいています。特に、ボルザ面のスペクトルは非常に高い精度で知られています（Strohmaier & Uski 2013）。次の表は、ボルザ面の最初の10個の正の固有値を示しています。 ${\displaystyle \Delta }$

ボルザ面の最初の10個の正の固有値の数値計算

固有値	数値	多重性
${\displaystyle \lambda _{0}}$	0	1
${\displaystyle \lambda _{1}}$	3.8388872588421995185866224504354645970819150157	3
${\displaystyle \lambda _{2}}$	5.353601341189050410918048311031446376357372198	4
${\displaystyle \lambda _{3}}$	8.249554815200658121890106450682456568390578132	2
${\displaystyle \lambda _{4}}$	14.72621678778883204128931844218483598373384446932	4
${\displaystyle \lambda _{5}}$	15.04891613326704874618158434025881127570452711372	3
${\displaystyle \lambda _{6}}$	18.65881962726019380629623466134099363131475471461	3
${\displaystyle \lambda _{7}}$	20.5198597341420020011497712606420998241440266544635	4
${\displaystyle \lambda _{8}}$	23.0785584813816351550752062995745529967807846993874	1
${\displaystyle \lambda _{9}}$	28.079605737677729081562207945001124964945310994142	3
${\displaystyle \lambda _{10}}$	30.833042737932549674243957560470189329562655076386	4

ボルツァ面のスペクトル行列式とカシミールエネルギーは ${\displaystyle \zeta (-1/2)}$

${\displaystyle \det {}_{\zeta }(\Delta )\approx 4.72273280444557}$

そして

${\displaystyle \zeta _{\Delta }(-1/2)\approx -0.65000636917383}$

それぞれ、小数点以下の桁はすべて正しいと仮定されている。ボルザ面のスペクトル行列式は種数2で最大化されると予想されている。

ヤコビアン

ボルザ曲線のヤコビ多様体は楕円曲線の2つのコピーの積である。[ 3 ^] ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]}$

四元数代数

三角形群を記述する四元数代数は、生成元i,jと関係 によって結合代数として生成される代数として考えることができる。 ${\displaystyle (3,3,4)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

${\displaystyle i^{2}=-3,\;j^{2}={\sqrt {2}},\;ij=-ji,}$

適切な順序を選択することで^[4 ]

参照

• 超楕円曲線
• クライン四次関数
• ブリング曲線
• マクビース表面
• 最初のハーウィッツ三部作

参考文献

• ボルツァ、オスカー（1887）、「線型変換による二項六項式について」、アメリカ数学誌、10（1）：47-70、doi：10.2307/2369402、JSTOR  2369402
• Katz, M.; Sabourau, S. (2006). 「種数2におけるCAT(0)計量のための最適シストリック不等式」. Pacific J. Math. 227 (1): 95–107 . arXiv : math.DG/0501017 . doi :10.2140/pjm.2006.227.95. S2CID  16510851.
• Schmutz, P. (1993). 「最大長の最短測地線を持つリーマン面」. GAFA . 3 (6): 564– 631. doi :10.1007/BF01896258. S2CID  120508826.
• Aurich, R.; Bogomolny, EB; Steiner, F. (1991). 「正双曲八角形上の周期軌道」. Physica D: 非線形現象. 48 (1): 91– 101. Bibcode :1991PhyD...48...91A. doi :10.1016/0167-2789(91)90053-C.
• Cook, J. (2018). 大きな対称群を持つリーマン面上の固有値の性質（博士論文、未発表）ラフバラ大学.
• ジェニ、F. (1981)。ラプラスのスペクトル - シャー・コンパクター・リーマンシャー・フレーヒェンの演算子(博士論文)。バーゼル大学。OCLC  45934169。
• Strohmaier, A.; Uski, V. (2013). 「双曲面上の固有値、スペクトルゼータ関数、ゼータ行列式の計算アルゴリズム」. Communications in Mathematical Physics . 317 (3): 827– 869. arXiv : 1110.2150 . Bibcode :2013CMaPh.317..827S. doi :10.1007/s00220-012-1557-1. S2CID  14305255.
• マクラクラン, C.; リード, A. (2003).双曲型3次元多様体の算術. 大学院数学テキスト第219巻. ニューヨーク: シュプリンガー. ISBN 0-387-98386-4。

特定の

1. オーリッヒ、R.;シーバー、M.シュタイナー、F. (1988 年 8 月 1 日)。 「アダマール・ガッツウィラーモデルの量子カオス」。物理的なレビューレター。61 (5): 483–487。書誌コード:1988PhRvL..61..483A。土井：10.1103/PhysRevLett.61.483。PMID  10039347。S2CID 20390243  。
2. Strohmaier, Alexander (2017). Girouard, Alexandre (編). 「双曲面上の固有値、スペクトルゼータ関数、ゼータ行列式の計算」Contemporary Mathematics . 700 . モントリオール: Centre de Recherches Mathématiques and American Mathematical Society: 194. arXiv : 1603.07356 . doi :10.1090/conm/700. ISBN 9781470426651。
3. Koziarz, Vincent; Rito, Carlos; Roulleau, Xaxier (2021). 「ボルザ曲線といくつかのオービフォールド球状商面」.ミシガン数学ジャーナル. 70 (2): 423-448. arXiv : 1904.00793 .
4. カッツ, カリン; カッツ, ミハイル; シャイン, マイケル・M.; ヴィシュネ, ウジ (2016年10月1日). 「ボルザ四元数順序と合同部分群に沿ったシストールの漸近挙動」.実験数学. 25 (4): 399– 415. arXiv : 1405.5454 . doi :10.1080/10586458.2015.1073642. ISSN  1058-6458.

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