ボンドグラフ

Graphical representation of a dynamic system

単純な質量-バネ-ダンパーシステムと、その等価なボンドグラフ形式

ボンドグラフは、物理的な動的システムのグラフィカルな表現です。これにより、システムを状態空間表現に変換できます。ブロック線図やシグナルフローグラフに似ていますが、ボンドグラフのアークは物理エネルギーの双方向の交換を表すのに対し、ブロック線図やシグナルフローグラフのアークは一方向の情報の流れを表すという大きな違いがあります。ボンドグラフは、複数のエネルギー領域（例：機械、電気、油圧など）に対応し、領域に依存しません。つまり、ボンドグラフは複数の領域をシームレスに組み込むことができます

ボンドグラフは、「シングルポート」、「ダブルポート」、「マルチポート」の要素を結び付ける「ボンド」で構成されています（詳細は下記参照）。各ボンドは、エネルギーの瞬間的な流れ（dE / dt）または電力を表します。各ボンドのフローは、共役変数に似た電力変数と呼ばれる2つの変数で表され、その積はボンドの瞬間電力です。電力変数は、フローと努力の2つの部分に分けられます。たとえば、電気システムのボンドでは、フローは電流であり、努力は電圧です。この例では、電流と電圧を掛け合わせることで、ボンドの瞬間電力を得ることができます

結合には、ここで簡単に説明し、以下で詳しく説明する2つの特徴があります。1つは「半矢印」符号規則です。これは、正のエネルギーの流れの想定される方向を定義します。電気回路図や自由体図と同様に、正の方向の選択は任意ですが、解析者は選択した定義に一貫していなければならないという注意点があります。もう1つの特徴は「因果関係」です。これは、結合の片端にのみ配置される垂直バーです。これは任意ではありません。以下で説明するように、特定のポートに適切な因果関係を割り当てるための規則と、ポート間の優先順位に関する規則があります。因果関係は、エフォートとフローの間の数学的関係を説明します。因果関係の位置は、どの電力変数が従属し、どの電力変数が独立しているかを示します。

モデル化される物理システムのダイナミクスが大きく変化する時間スケールで動作する場合、ハイブリッド結合グラフを使用することで、高速連続時間の動作を瞬間現象としてモデル化できます。結合グラフはヘンリー・ペインターによって発明されました。^[1]

ボンドグラフのシステム

多くのシステムは、ボンドグラフで使用される用語で表現できます。これらの用語は以下の表に示されています。

以下の表の表記規則：

• ${\displaystyle P}$は有効電力です。
• ${\displaystyle {\hat {X}}}$は行列オブジェクトです。
• ${\displaystyle {\vec {x}}}$はベクトルオブジェクトです。
• ${\displaystyle x^{\dagger }}$はxのエルミート共役です。xの転置の複素共役です。xがスカラーの場合、エルミート共役は複素共役と同じです。
• ${\displaystyle D_{t}^{n}}$は微分のためのオイラー表記です。ここで： $${\displaystyle D_{t}^{n}f(t)={\begin{cases}\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(s)\,ds,&n=-1\\[2pt]f(t),&n=0\\[2pt]{\dfrac {\partial ^{n}f(t)}{\partial t^{n}}},&n>0\end{cases}}}$$
• ${\displaystyle {\begin{cases}\langle x\rangle ^{\alpha }:=|x|^{\alpha }\operatorname {sgn}(x)\\\langle {a}\rangle =k\langle b\rangle ^{\beta }\implies \langle b\rangle =\left({\frac {1}{k}}\langle a\rangle \right)^{1/\beta }\end{cases}}}$
• 収束係数： $${\displaystyle \phi _{L}={\begin{cases}{\textrm {Prismatic}}:\ {\dfrac {\textrm {length}}{{\textrm {cross-sectional}}\ {\textrm {area}}}}\\{\textrm {Cylinder}}:\ {\dfrac {\ln \left({\frac {\mathrm {radius_{out}} }{\mathrm {radius_{in}} }}\right)}{2\pi \cdot {\textrm {length}}}}\\{\textrm {Sphere}}:\ {\dfrac {1}{4\pi \left(\mathrm {radius_{in}} \parallel \mathrm {-radius_{out}} \right)}}\end{cases}}}$$

	一般化流量	一般化変位	一般化努力	一般化運動量	一般化電力（電力システムの場合はワット単位）	一般化エネルギー（電力システムの場合はジュール単位）
名称	${\displaystyle {\vec {f}}(t)}$	${\displaystyle {\vec {q}}(t)}$	${\displaystyle {\vec {e}}(t)}$	${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$	${\displaystyle P={\vec {f}}(t)^{\dagger }{\vec {e}}(t)}$	${\displaystyle E={\vec {q}}(t)^{\dagger }{\vec {e}}(t)}$
説明	変位の時間微分	静的挙動に関連する性質	変位単位あたりのエネルギー	作用力の時間積分	ある形態から別の形態へのエネルギーの変換	閉鎖系における保存量
要素
名称	ハイパーランス、ハイパーリジタンス ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P=H^{-1}}$	コンプライアンス、リジタンス ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle K=C^{-1}}$	抵抗 ${\displaystyle R}$	イナータンス（または） ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle L}$	アブラハンス ${\displaystyle A}$	マグナンス ${\displaystyle M}$
特性	電力消費要素	電荷貯蔵要素 （状態変数：変位） （共状態変数：作用力）	電力消費要素	運動量貯蔵要素 （状態変数：運動量） （共状態変数：流れ）	電力消費要素	電力消費要素
定量的挙動	1次元系（線形）の場合： $${\displaystyle P=H\cdot \left(D_{t}^{0}q(t)\right)^{2}}$$ 1次元系の場合： $${\displaystyle e(t)=P\gamma \left[D_{t}^{-1}q(t)\right]}$$ インピーダンス： $${\displaystyle Z(s)={\frac {1}{s^{2}H}}={\frac {1}{s^{2}}}P}$$	N次元系の位置エネルギー： $${\displaystyle {\begin{array}{lcl}V&=&{\frac {1}{2}}{\vec {q}}(t)^{\dagger }{\vec {e}}(t)\\{\vec {q}}(t)&=&{\hat {C}}{\vec {e}}(t)\end{array}}}$$ 位置エネルギー： $${\displaystyle V=\int _{0}^{q}e(q)\,dq}$$ 位置コエネルギー： $${\displaystyle {\overline {V}}=\int _{0}^{e}q(e)de}$$ 1次元系の場合： $${\displaystyle f(t)=C\cdot {\frac {de}{dt}}+e{\frac {dC}{dt}}}$$ インピーダンス： $${\displaystyle Z(s)={\frac {1}{sC}}={\frac {1}{s}}k}$$	1次元系（線形）の場合： $${\displaystyle P=R\cdot \left(D_{t}q(t)\right)^{2}}$$ 1次元非線形抵抗の電力（は要素によって発生する力）： ${\displaystyle e(f)}$ $${\displaystyle P=e(f)f}$$ レイリー電力： $${\displaystyle {\mathfrak {R}}={\frac {1}{2}}R\cdot f(t)^{2}}$$ 非線形抵抗のレイリー電力： $${\displaystyle {\mathfrak {R}}=\int _{0}^{f}e(f)\,df}$$ レイリー力： $${\displaystyle e_{\mathfrak {R}}={\frac {d{\mathfrak {R}}}{df}}=e(f)}$$ N次元系の場合： $${\displaystyle {\begin{array}{lcr}P&=&{\vec {f}}(t)^{\dagger }{\vec {e}}(t)\\{\vec {e}}(t)&=&{\hat {R}}{\vec {f}}(t)\end{array}}}$$ 1次元系の場合： $${\displaystyle e(t)=R\cdot \gamma \left[D_{t}^{1}q(t)\right]}$$ インピーダンス： $${\displaystyle Z(s)=R}$$	N次元系の運動エネルギー： $${\displaystyle {\begin{array}{lcl}T={\frac {1}{2}}{\vec {\rho }}(t)^{\dagger }{\vec {f}}(t)\\{\vec {\rho }}(t)={\hat {L}}{\vec {f}}(t)\end{array}}}$$ 運動エネルギー： $${\displaystyle T=\int _{0}^{\rho }f(\rho )\,d\rho }$$ 運動コエネルギー： $${\displaystyle {\overline {T}}=\int _{0}^{f}\rho (f)\,df}$$ 1次元系の場合： $${\displaystyle e(t)=L\cdot {\frac {df}{dt}}+f\cdot {\frac {dL}{dt}}}$$ インピーダンス： $${\displaystyle Z(s)=sL}$$	1次元系（線形）の場合： $${\displaystyle P=A\cdot \left(D_{t}^{2}q(t)\right)^{2}}$$ 1次元系の場合： $${\displaystyle e(t)=A\cdot \gamma \left[D_{t}^{3}q(t)\right]}$$ インピーダンス $${\displaystyle Z(s)=s^{2}A}$$	1次元系（線形）の場合 $${\displaystyle P=A\cdot \left(D_{t}^{3}q(t)\right)^{2}}$$ 1次元系の場合 $${\displaystyle e(t)=M\cdot \gamma \left[D_{t}^{5}q(t)\right]}$$ インピーダンス $${\displaystyle Z(s)=s^{4}M}$$
一般化された挙動	能動的な力源からのエネルギー： ${\displaystyle W=\int _{0}^{q}{e_{\text{source}}}\,dq}$ ラグランジアン： ${\displaystyle {\mathfrak {L}}=T-(V-W)}$ ハミルトニアン： ${\displaystyle {\mathfrak {H}}=T+(V-W)}$ ハミルトニアン力： ${\displaystyle e_{\mathfrak {H}}={\frac {d{\mathfrak {H}}}{dq}}}$ ラグランジアン力： ${\displaystyle e_{\mathfrak {L}}={\frac {d{\mathfrak {L}}}{dq}}}$ 受動的な力： ${\displaystyle e_{\mathfrak {LH}}={\frac {d}{dt}}{\frac {d{\mathfrak {L}}}{df}}}$ 電力方程式： ${\displaystyle {\frac {d{\mathfrak {L}}}{dt}}+{\frac {d{\mathfrak {H}}}{dt}}=0}$ 力方程式： ${\displaystyle e_{\mathfrak {L}}+e_{\mathfrak {H}}=0}$ ラグランジアン方程式： ${\displaystyle e_{\mathfrak {R}}+e_{\mathfrak {LH}}=e_{\mathfrak {L}}}$ ハミルトニアン方程式： ${\displaystyle e_{\mathfrak {R}}+e_{\mathfrak {LH}}=-e_{\mathfrak {H}}}$ がコエネルギー、がエネルギー、が状態変数、が共状態変数である場合、 ${\displaystyle {\overline {W}}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {W}}+W=S\cdot {\overline {S}}\\{\overline {W}}=\int _{0}^{\overline {S}}S({\overline {S}})\,d{\overline {S}}\\W=\int _{0}^{S}{\overline {S}}(S)dS\end{aligned}}}$ 線形要素の場合： ${\displaystyle {\overline {W}}=W={\frac {1}{2}}S\cdot {\overline {S}}}$

縦方向機械動力システム^[2]

流れに関連する変数	${\displaystyle D_{t}^{6}x}$：ポンポン／ポップ ${\displaystyle \mathrm {[m/s^{6}]} }$	${\displaystyle D_{t}^{5}x}$：フラウンス／パチパチ ${\displaystyle \mathrm {[m/s^{5}]} }$	${\displaystyle D_{t}^{4}x}$：ガクガク／スナップ ${\displaystyle \mathrm {[m/s^{4}]} }$	${\displaystyle D_{t}^{3}x}$：ジャーク ${\displaystyle \mathrm {[m/s^{3}]} }$
	${\displaystyle D_{t}^{2}x}$：加速度 ${\displaystyle (x_{2t})\ \mathrm {[m/s^{2}]} }$	${\displaystyle D_{t}^{1}x}$：速度 （流れ） ${\displaystyle (x_{t})\ \mathrm {[m/s]} }$	${\displaystyle D_{t}^{0}x}$：変位（変位） ${\displaystyle (x)\ \mathrm {[m]} }$	${\displaystyle D_{t}^{-1}x}$：アブセーション ${\displaystyle \mathrm {[m\cdot s]} }$
	${\displaystyle D_{t}^{-2}x}$：アブセレーション ${\displaystyle \mathrm {[m\cdot s^{2}]} }$	${\displaystyle D_{t}^{-3}x}$：アブセレーション ${\displaystyle \mathrm {[m\cdot s^{3}]} }$	${\displaystyle D_{t}^{-4}x}$：アブセレーション ${\displaystyle \mathrm {[m\cdot s^{4}]} }$
作用に関連する変数	${\displaystyle D_{t}^{1}F}$：引っ張り ${\displaystyle \mathrm {[N/s]} }$	${\displaystyle D_{t}^{0}F}$：力 （作用力） ${\displaystyle (P_{x}^{t})\ \mathrm {[N]} }$	${\displaystyle D_{t}^{-1}F}$：線形運動量 （運動量） ${\displaystyle (P_{x}^{2t})\ \mathrm {[kg\cdot m/s]} }$
受動要素
コンプライアンス（C）	抵抗（R）	イナータンス（I）	アブハンス（A）	マグナンス（M）
バネ ：バネの剛性 $${\displaystyle \langle P_{x}^{t}\rangle =k\langle x\rangle }$$ ${\displaystyle k}$	ダンパー ：ダンパーパラメータ $${\displaystyle \langle P_{x}^{t}\rangle =b\langle x_{t}\rangle }$$ ${\displaystyle b}$	質量 ：質量 $${\displaystyle \langle P_{x}^{t}\rangle =m\langle x_{2t}\rangle }$$ ${\displaystyle m}$	アブラハム・ローレンツ力 $${\displaystyle \langle P_{x}^{t}\rangle ={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\langle x_{3t}\rangle }$$ここで ${\displaystyle \mu _{0}}$は透磁率 ${\displaystyle q}$は電荷 ${\displaystyle c}$は光速	磁気放射反力 $${\displaystyle \langle P_{q}^{t}\rangle ={\frac {\mu _{0}q^{2}R}{24\pi c^{3}}}\langle x_{5t}\rangle }$$ここで ${\displaystyle \mu _{0}}$は透磁率 ${\displaystyle q}$は電荷 ${\displaystyle c}$は光速 ${\displaystyle R}$は磁気モーメントの半径
片持ち梁 $${\displaystyle \langle P_{x}^{t}\rangle ={\frac {3EI}{L^{3}}}\langle x\rangle }$$ ${\displaystyle L}$：片持ち梁の長さ ${\displaystyle E}$：ヤング率 ${\displaystyle I}$：断面二次モーメント	サイクロトロン放射抵抗 $${\displaystyle \langle P_{x}^{t}\rangle ={\frac {\sigma _{t}B^{2}}{c\mu _{0}}}\langle x_{t}\rangle }$$ここで ${\displaystyle \sigma _{t}}$：トムソン断面積 ${\displaystyle c}$：光速 ${\displaystyle \mu _{0}}$：浸透率 ${\displaystyle B}$：磁場密度
広い水域における角柱状浮体 $${\displaystyle \langle P_{x}^{t}\rangle =\rho _{L}gA\langle x\rangle }$$ここで ${\displaystyle \rho _{L}}$：液体の密度 ${\displaystyle A}$：面積 ${\displaystyle g}$：重力加速度	粘性摩擦 ：粘性摩擦パラメータ $${\displaystyle \langle P_{x}^{t}\rangle =b\langle x_{t}\rangle }$$ ${\displaystyle b}$
弾性棒 $${\displaystyle \langle P_{x}^{t}\rangle ={\frac {EA}{L}}\langle x\rangle }$$ ここで ${\displaystyle E}$：ヤング率 ${\displaystyle A}$：面積 ${\displaystyle L}$：ロッド長さ	運動移動度の逆数。運動移動度はどこにありますか？ $${\displaystyle \langle P_{x}^{t}\rangle ={\frac {1}{\mu }}\langle x_{t}\rangle }$$ ${\displaystyle \mu }$
ニュートンの万有引力の法則 $${\displaystyle \langle P_{x}^{t}\rangle =GMm\langle x\rangle ^{-2}}$$ここで ${\displaystyle G}$：万有引力定数 ${\displaystyle M}$：物体1の質量 ${\displaystyle m}$：物体2の質量	空気と相互作用する形状（例：抗力） $${\displaystyle \langle P_{x}^{t}\rangle ={\frac {1}{2}}c\rho A\langle x_{t}\rangle ^{2}}$$ここで ${\displaystyle A}$：接触面積 ${\displaystyle c}$：空気力学的形状係数 ${\displaystyle \rho }$：流体密度
クーロンの法則 $${\displaystyle \langle P_{x}^{t}\rangle ={\frac {Qq}{4\pi \varepsilon _{0}}}\langle x\rangle ^{-2}}$$ここで ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$：誘電率 ${\displaystyle Q}$：物体1の電荷 ${\displaystyle q}$：物体2の電荷	アブスクエアダンパー[説明が必要]アブスクエアダンパーパラメータはどこにありますか？ $${\displaystyle \langle P_{x}^{t}\rangle =B\langle x_{t}\rangle ^{2}}$$ ${\displaystyle B}$
カシミール力 $${\displaystyle \langle P_{x}^{t}\rangle ={\frac {A\hbar c\pi ^{2}}{240}}\langle x\rangle ^{-4}}$$ここで ${\displaystyle A}$：板の面積 ${\displaystyle \hbar }$：プランクの換算定数 ${\displaystyle c}$：光速	乾燥摩擦 $${\displaystyle \langle P_{x}^{t}\rangle =\mu F_{n}\langle x_{t}\rangle ^{0}}$$ここで ${\displaystyle \mu }$：動摩擦係数 ${\displaystyle F_{n}}$：垂直抗力
ビオ・サバールの法則 $${\displaystyle \langle P_{x}^{t}\rangle ={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}l}{2\pi }}\langle x\rangle ^{-1}}$$ここで ${\displaystyle \mu _{0}}$：浸透率 ${\displaystyle I_{1}}$：導線1の電流 ${\displaystyle I_{2}}$：導線2の電流 ${\displaystyle l}$：導線の長さ
断熱室内の流体を押すピストン $${\displaystyle P_{x}^{t}=AP_{0}\left(1+{\frac {x}{x_{0}}}\right)^{-\gamma }}$$ここで ${\displaystyle A}$：ピストンの面積 ${\displaystyle P_{0}}$：内部の初期圧力 ${\displaystyle x_{0}}$：ピストンの初期位置 ${\displaystyle \gamma }$：ポアソン係数

角動力システム

流れに関連する変数	${\displaystyle D_{t}^{3}\theta }$：角ジャーク ${\displaystyle \mathrm {[rad/s^{3}]} }$	${\displaystyle D_{t}^{2}\theta }$：角加速度 ${\displaystyle (\theta _{2t})\ \mathrm {[rad/s^{2}]} }$
	${\displaystyle D_{t}^{1}\theta }$：角速度 （流れ） ${\displaystyle (\theta _{t})\ \mathrm {[rad/s]} }$	${\displaystyle D_{t}^{0}\theta }$：角変位 （変位） ${\displaystyle (\theta )\ \mathrm {[rad]} }$
作用に関連する変数	${\displaystyle D_{t}^{1}\tau }$：回転力 ${\displaystyle \mathrm {[W/rad]} }$	${\displaystyle D_{t}^{0}\tau }$：力（力） ${\displaystyle (P_{\theta }^{t})\ \mathrm {[J/rad]} }$
	${\displaystyle D_{t}^{-1}\tau }$：角運動量 （運動量） ${\displaystyle (P_{\theta }^{2t})\ \mathrm {[J\cdot s/rad]} }$
受動要素
コンプライアンス（C）	抵抗（R）	イナータンス（I）
角バネ定数の逆数。ここでは角バネ定数です。 $${\displaystyle \langle P_{\theta }^{t}\rangle =k_{r}\langle \theta \rangle }$$ ${\displaystyle k_{r}}$	角減衰。ここでは減衰定数です。 $${\displaystyle \langle P_{\theta }^{t}\rangle =R\langle \theta _{t}\rangle }$$ ${\displaystyle R}$	質量慣性モーメント 種類 ${\displaystyle \langle P_{\theta }^{t}\rangle =I\langle \theta _{2t}\rangle }$ 質量慣性モーメント。ここでは ${\displaystyle I}$
ロッドのねじり $${\displaystyle \langle P_{\theta }^{t}\rangle ={\frac {GJ}{L}}\langle \theta \rangle }$$ここで ${\displaystyle G}$：せん断弾性係数 ${\displaystyle J}$：断面極モーメント ${\displaystyle L}$：ロッド長さ	調速機（例：オルゴールに使用）調速機定数はどこにありますか？ $${\displaystyle \langle P_{\theta }^{t}\rangle =R\langle \theta _{t}\rangle ^{2}}$$ ${\displaystyle R}$
曲げモーメント（片持ち梁） $${\displaystyle \langle P_{\theta }^{t}\rangle ={\frac {EI}{L}}\langle \theta \rangle }$$ここで ${\displaystyle E}$：ヤング率 ${\displaystyle I}$：断面二次モーメント ${\displaystyle L}$：梁の長さ
平行力場 $${\displaystyle \langle P_{\theta }^{t}\rangle =\langle P_{x}^{t}\rangle \sin \left(\alpha -\theta \right)}$$ここで ${\displaystyle \alpha }$：極軸と力場との間の角度（反時計回りが正） ${\displaystyle \theta }$：物体（例：振り子）の現在の角度

電力システム

流れに関連する変数	${\displaystyle D_{t}^{2}q}$：電気慣性 ${\displaystyle \mathrm {[A/s]} }$	${\displaystyle D_{t}^{1}q}$：電流 （流れ） ${\displaystyle (q_{t})\ \mathrm {[A]} }$	${\displaystyle D_{t}^{0}q}$：電荷 （変位） ${\displaystyle (q)\ \mathrm {[C]} }$
作用に関連する変数	${\displaystyle D_{t}^{1}V}$：膨張 ${\displaystyle \mathrm {[V/s]} }$	${\displaystyle D_{t}^{0}V}$：電圧 （作用） ${\displaystyle (P_{q}^{t})\ \mathrm {[V]} }$	${\displaystyle D_{t}^{-1}V}$：鎖交磁束 （運動量） ${\displaystyle (P_{q}^{2t})\ \mathrm {[V\cdot s]} {\text{ or }}\mathrm {[Wb\cdot turn]} }$
要素
ハイパーランス（H）	コンプライアンス（C）	抵抗（R）	イナータンス（I）	アブハンス（A）
周波数依存負性抵抗器（FDNR） $${\displaystyle \langle P_{q}^{t}\rangle ={\frac {1}{H}}\langle q^{t}\rangle }$$	線形コンデンサ $${\displaystyle \langle P_{q}^{t}\rangle ={\frac {1}{\varepsilon }}\phi _{L}\langle q\rangle }$$ここで ${\displaystyle \varepsilon }$：誘電率 ${\displaystyle \phi _{L}}$：収束係数	線形抵抗器 $${\displaystyle \langle P_{q}^{t}\rangle =\rho \phi _{L}(1+\alpha (T-T_{0}))\langle q_{t}\rangle }$$ここで ${\displaystyle \rho }$：抵抗率 ${\displaystyle \phi _{L}}$：収束係数 ${\displaystyle \alpha }$：温度係数 ${\displaystyle T}$：現在の温度 ${\displaystyle T_{0}}$：基準温度	線形インダクタ（ソレノイド） $${\displaystyle \langle P_{q}^{t}\rangle ={\frac {\mu _{0}N^{2}A}{L}}\langle q_{2t}\rangle }$$ここで ${\displaystyle \mu _{0}}$：透磁率 ${\displaystyle N}$：巻数 ${\displaystyle A}$：面積 ${\displaystyle L}$：長さ	周波数依存負性コンダクタンス（FDNC） 種類 $${\displaystyle \gamma ^{1}\iff V=RD_{t}^{2}i\quad [H\cdot s]}$$
		ダイオード $${\displaystyle P_{q}^{t}=nV_{T}\ln \left(1+{\frac {q_{t}}{I_{s}}}\right)}$$ここで ${\displaystyle n}$：理想係数 ${\displaystyle V_{T}}$：熱電圧 ${\displaystyle I_{s}}$：漏れ電流	トロイド $${\displaystyle \langle P_{q}^{t}\rangle ={\frac {\mu N^{2}A}{2\pi r}}\langle q_{2t}\rangle }$$ここで ${\displaystyle \mu }$：透磁率 ${\displaystyle N}$：巻数 ${\displaystyle A}$：断面積 ${\displaystyle r}$：中心線に対するトロイドの半径
イントラジャイレータ			インタージャイレータ
コンプライアントジャイレータ	レジスティブジャイレータ	イナータントジャイレータ
	ホール効果素子 $${\displaystyle {\begin{aligned}e_{x}=R_{H}{\frac {B_{z}}{t_{z}}}i_{y}\\e_{y}=R_{H}{\frac {B_{z}}{t_{z}}}i_{x}\end{aligned}}}$$ここで ${\displaystyle R_{H}}$：ホール係数 ${\displaystyle B_{z}}$：垂直磁気誘導場 ${\displaystyle t_{z}}$：垂直厚さ	誘導電動機 $${\displaystyle {\begin{aligned}e_{r}^{1}=M\cos(\theta )D_{t}f_{s}^{1}+f_{s}^{1}D_{t}\left[M\cos(\theta )\right]\\e_{s}^{1}=M\cos(\theta )D_{t}f_{r}^{1}+f_{r}^{1}D_{t}\left[M\cos(\theta )\right]\end{aligned}}}$$ここで ${\displaystyle \theta }$：電気角 ${\displaystyle e_{r}^{1}}$：回転子バーの電圧 ${\displaystyle e_{s}^{1}}$：固定子バーの電圧 ${\displaystyle f_{s}^{1}}$：固定子バーを流れる電流 ${\displaystyle f_{r}^{1}}$：回転子バーを流れる電流	DC電動機 $${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{e}=k_{a}\phi _{a}(i_{e})i_{a}\\\omega _{e}={\frac {1}{k_{a}\phi _{a}(i_{e})}}e_{a}\end{aligned}}}$$ここで ${\displaystyle \tau _{e}}$：電磁トルク ${\displaystyle \omega _{e}}$：軸角速度 ${\displaystyle i_{e}}$：界磁電流 ${\displaystyle i_{a}}$：電機子電流	ファラデージャイレータ $${\displaystyle {\begin{aligned}F&=Bli\\V&={\frac {1}{Bl}}v\end{aligned}}}$$ここで ${\displaystyle F}$：力 ${\displaystyle v}$：ロッド速度 ${\displaystyle V}$：ロッド電圧 ${\displaystyle B}$：磁気誘導場 ${\displaystyle l}$：ロッド長さ
			ファラデーディスク $${\displaystyle {\begin{aligned}V&={\frac {1}{2}}Br^{2}\omega \\\tau &={\frac {1}{2}}Br^{2}i\end{aligned}}}$$ここで ${\displaystyle B}$：磁気誘導場 ${\displaystyle r}$：ディスク半径
変圧器内			変圧器間
変圧器（交流信号のみ） $${\displaystyle {\begin{aligned}V_{2}&={\frac {N_{2}}{N_{1}}}V_{1}\\f_{2}&={\frac {N_{1}}{N_{2}}}f_{1}\end{aligned}}}$$

油圧／空気圧動力システム

流れに関連する変数	${\displaystyle D_{t}^{1}V}$：体積流量 （フロー） ${\displaystyle (V_{t})\ \mathrm {[m^{3}/s]} }$	${\displaystyle D_{t}^{0}V}$：容積 （変位） ${\displaystyle (V)\ \mathrm {[m^{3}]} }$
作用に関連する変数	${\displaystyle D_{t}^{0}P}$：圧力 （作用力） ${\displaystyle (P_{V}^{t})\ \mathrm {[Pa]} }$	${\displaystyle D_{t}^{-1}P}$：流体運動量（モーメント） ${\displaystyle (P_{V}^{2t})\ \mathrm {[Pa\cdot s]} }$
要素
コンプライアンス（C）	抵抗（R）	イナータンス（I）
配管弾性 $${\displaystyle \langle P_{V}^{t}\rangle =\left({\frac {t_{W}E}{2r_{0}V_{0}}}\right)\langle V\rangle }$$ここで ${\displaystyle r_{0}}$：公称配管半径 ${\displaystyle V_{0}}$：配管容積（応力なし） ${\displaystyle t_{W}}$：壁厚 ${\displaystyle E}$：ヤング率	ダルシースポンジ $${\displaystyle \langle P_{V}^{t}\rangle =\left({\frac {\mu }{k}}\phi _{L}\right)\langle V_{t}\rangle }$$ここで ${\displaystyle \mu }$：動粘性 ${\displaystyle k}$：浸透率 ${\displaystyle \phi _{L}}$：収束係数	配管内の流体慣性 $${\displaystyle \langle P_{V}^{t}\rangle =\left(\rho \phi _{L}\right)\langle V_{2t}\rangle }$$ここで ${\displaystyle \rho }$：流体密度 ${\displaystyle \phi _{L}}$：収束係数
圧縮性流体（近似値） $${\displaystyle \langle P_{V}^{t}\rangle =\left({\frac {B}{V_{0}}}\right)\langle V\rangle =\underbrace {\left({\frac {\rho _{0}c^{2}}{V_{0}}}\right)} _{\begin{array}{c}{\text{Acoustic}}\\{\text{Approximation}}\end{array}}\langle V\rangle }$$ここで ${\displaystyle V_{0}}$：配管容積（応力なし） ${\displaystyle B}$：体積弾性率 ${\displaystyle \rho _{0}}$：基準圧力における気体密度 ${\displaystyle c}$：音速	バルブ $${\displaystyle \langle P_{V}^{t}\rangle =\left({\frac {\rho }{2C_{d}^{2}A_{0}^{2}}}\right)\langle V_{t}\rangle ^{2}}$$ ${\displaystyle C_{d}}$：流量係数 ${\displaystyle \rho }$：流体密度 ${\displaystyle A_{0}}$：流体通路の最小面積
面積を持つタンク ${\textstyle A{\frac {1}{[m]^{n-1}}}\left(h+h_{0}\right)^{n-1}}$ $${\displaystyle P_{V}^{t}=\rho gh_{0}\left[\left(1+{\frac {nV}{A{\frac {1}{[m]^{n-1}}}h_{0}^{n}}}\right)^{1/n}-1\right]}$$ここで ${\displaystyle h}$：地面からの高さ ${\displaystyle h_{0}}$：入口高さ ${\displaystyle \rho }$：流体密度 ${\displaystyle A}$：曲線のスケーリング（面積寸法） ${\displaystyle [m]^{n-1}}$：寸法補正 ${\displaystyle n}$：曲線パラメータ ${\displaystyle g}$：重力加速度 ケース（角柱の場合）： ${\displaystyle n=1}$ $${\displaystyle P_{V}^{t}={\frac {\rho g}{A}}V}$$ ケース（電流ダイオードの場合）： ${\displaystyle n=0}$ $${\displaystyle P_{V}^{t}=\rho gh_{0}\left(e^{\frac {V}{A[m]}}-1\right)}$$	円筒のポアズイユ抵抗 $${\displaystyle \langle P_{V}^{t}\rangle =\left({\frac {8\mu L}{\pi R^{4}}}\right)\langle V_{t}\rangle }$$ここで ${\displaystyle \mu }$：動粘性 ${\displaystyle L}$：パイプの長さ ${\displaystyle R}$：パイプの半径
等温チャンバー $${\displaystyle \langle P_{V}^{t}\rangle =k\langle V_{t}\rangle ^{-1}}$$はチャンバー定数 ${\displaystyle k}$	乱流抵抗 $${\displaystyle \langle P_{V}^{t}\rangle =a_{t}\langle V_{t}\rangle ^{\frac {7}{4}}}$$は経験的パラメータ ${\displaystyle a_{t}}$
圧縮性流体 $${\displaystyle P_{V}^{t}=-B\ln V}$$は体積弾性係数 ${\displaystyle B}$	ノズル $${\displaystyle \langle P_{V}^{t}\rangle ={\frac {\rho }{2\left(A_{\text{out}}^{2}\parallel -A_{\text{in}}^{2}\right)}}\langle V_{t}\rangle ^{2}}$$ここで ${\displaystyle \rho }$：流体密度 ${\displaystyle A_{\text{out}}}$：出口面積 ${\displaystyle A_{\text{in}}}$：入口面積
断熱ブラダー $${\displaystyle P_{V}^{t}=P_{V,0}^{t}\left(1-{\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-\gamma }}$$ここで ${\displaystyle P_{V,0}^{t}}$：基準圧力 ${\displaystyle V_{0}}$：基準容積 ${\displaystyle \gamma }$：ポアソン係数	逆止弁 $${\displaystyle P_{V}^{t}=k\ln \left(1+{\frac {V_{t}}{V_{t,0}}}\right)}$$ここで ${\displaystyle k}$：経験定数 ${\displaystyle V_{t,0}}$：逆バイアス絶対流量

ジャイレータ・コンデンサ発電システム

流れに関連する変数	${\displaystyle D_{t}^{0}\varphi }$：磁束 （変位） ${\displaystyle (\varphi )\ \mathrm {[Wb]} }$
作用に関連する変数	${\displaystyle D_{t}^{0}{\mathcal {F}}}$：起磁力 （運動量） ${\displaystyle ({\mathcal {F}})\ \mathrm {[A\cdot turn]} }$
要素
コンプライアンス（C）	抵抗（R）	イナータンス（I）
パーミアンス（） ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ $${\displaystyle \langle {\mathcal {F}}\rangle ={\frac {1}{\mu }}\phi _{L}\langle \varphi \rangle \quad \mathrm {[H/turn^{2}]} }$$ここで ${\displaystyle \mu }$：透磁率 ${\displaystyle \phi _{L}}$：収束係数	磁気複素インピーダンス（） ${\displaystyle Z_{M}}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}=Z_{M}{\varphi _{t}}\quad \mathrm {[{turn}^{2}/\Omega ]} }$$	磁気複素インダクタンス（） ${\displaystyle L_{M}}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}=L_{M}{\varphi _{2t}}\quad \mathrm {[{turn}^{2}F]} }$$

重力発電システム

流れに関連する変数	${\displaystyle D_{t}^{0}i_{g}}$：重力電流ループ（流量） ${\displaystyle \left(i_{g}=2\varepsilon _{g}v_{\text{orbit}}^{3}\right)\ \mathrm {[kg/s]} }$	${\displaystyle D_{t}^{-1}i_{g}}$：重力電荷（変位） ${\displaystyle (M)\ \mathrm {[kg]} }$
作用に関連する変数	${\displaystyle D_{t}^{0}V_{g}}$：重力電圧（作用力） ${\displaystyle \left(V_{g}={\frac {1}{2}}{\frac {v_{\text{orbit}}^{4}}{c^{2}}}\right)\ \mathrm {[m^{2}/s^{2}]} }$	${\displaystyle D_{t}^{-1}V_{g}}$：重力運動量（運動量） ${\displaystyle \left(\phi _{g}={\frac {\pi v_{\text{orbit}}^{3}r}{c^{2}}}\right)\ \mathrm {[m^{2}/s]} }$
要素
コンプライアンス（C）	抵抗（R）	イナータンス（I）
重力容量 種類 ${\displaystyle \gamma ^{1}\iff M_{g}=CV_{g}\quad \mathrm {[kg/m^{2}]} }$ ${\displaystyle C_{g}={\frac {2c^{2}r^{2}}{GM}}}$	重力軌道抵抗 種類 ${\displaystyle \gamma ^{1}\iff V_{g}=R_{g}i_{g}\quad \mathrm {[m^{2}/kg\cdot s]} }$ ${\displaystyle R_{g}={\frac {\mu _{g}}{4}}v_{\text{orbit}}}$	重力インダクタンス 種類 ${\displaystyle \gamma ^{1}\iff \phi _{g}=Ii_{g}\quad \mathrm {[m^{2}/kg\cdot s^{2}]} }$ ${\displaystyle L_{g}={\frac {2\pi ^{2}G}{c^{2}}}r}$

電場体積電力密度システム

流れに関連する変数	${\displaystyle D_{t}^{0}J}$：電流密度 （流れ） ${\displaystyle (J)\ \mathrm {[A/m^{2}]} }$	${\displaystyle D_{t}^{-1}J}$：変位電場 （変位） ${\displaystyle (D)\ \mathrm {[C/m^{2}]} }$
作用に関連する変数	${\displaystyle D_{t}^{0}E}$：電場 （作用力） ${\displaystyle (E)\ \mathrm {[V/m]} }$	${\displaystyle D_{t}^{-1}E}$：磁気ポテンシャルベクトル（運動量） ${\displaystyle (A)\ \mathrm {[V\cdot s/m]} }$
要素
コンプライアンス（C）	抵抗（R）	体積電力密度イナータンス（） ${\displaystyle I_{V}}$
電気誘電率 種類 ${\displaystyle \gamma ^{1}\iff D=\epsilon _{0}E\quad \mathrm {[F/m]} }$	電気抵抗率 種類 ${\displaystyle \gamma ^{1}\iff E=\rho J\quad \mathrm {[\Omega m]} }$	透磁率 ${\displaystyle \mu _{0}\ \mathrm {[H/m]} }$

磁場体積電力密度システム

流れに関連する変数	${\displaystyle D_{t}^{0}B}$：磁束密度（変位） ${\displaystyle (B)\ \mathrm {[T]} {\text{ or }}\mathrm {[Wb/m^{2}]} }$
作用に関連する変数	${\displaystyle D_{t}^{0}H}$：磁場強度（作用力） ${\displaystyle (H)\ \mathrm {[A\cdot {turn}/m]} }$
要素
コンプライアンス（C）	抵抗（R）	体積電力密度イナータンス（） ${\displaystyle I_{V}}$
磁気回路の透磁率 種類 ${\displaystyle \gamma ^{1}\iff B=\mu H\quad \mathrm {[H/(m\cdot {turn}^{2})]} }$

重力電気体積電力密度システム

流れに関連する変数	${\displaystyle D_{t}^{0}J_{g}}$：質量流束（流れ） ${\displaystyle (J_{g})\ \mathrm {[kg/m^{2}s]} }$	${\displaystyle D_{t}^{-1}J_{g}}$：質量の累積流束（変位） ${\displaystyle (D_{g})\ \mathrm {[kg/m^{2}]} }$
作用に関連する変数	${\displaystyle D_{t}^{0}g}$：重力加速度 （作用力） ${\displaystyle (g)\ \mathrm {[m/s^{2}]} }$
要素
コンプライアンス（C）	抵抗（R）	体積電力密度イナータンス（） ${\displaystyle I_{V}}$
重力誘電率 種類 ${\displaystyle \gamma ^{1}\iff D_{g}=\epsilon _{g}g\quad \mathrm {[kg\cdot s^{2}/m^{3}]} }$ ${\displaystyle \varepsilon _{g}={\frac {1}{4\pi G}}}$		重力透磁率 ${\displaystyle \mathrm {[m/kg]} }$ $${\displaystyle I_{V}=\mu _{g}={\frac {4\pi G}{c^{2}}}}$$

重力磁気体積電力密度システム

流れに関連する変数	${\displaystyle D_{t}^{0}B_{g}}$：重力磁場（変位） ${\displaystyle \left(B_{g}=\omega _{\text{orbit}}\left({\frac {v_{\text{orbit}}}{c}}\right)^{2}\right)\ \mathrm {[Hz]} }$
作用に関連する変数	${\displaystyle D_{t}^{0}H_{g}}$：重力磁場の強さ（作用） ${\displaystyle (H_{g})\ \mathrm {[Pa\cdot s]} }$
要素
コンプライアンス（C）	抵抗（R）	体積電力密度イナータンス（） ${\displaystyle I_{V}}$
重力透磁率 ${\displaystyle -{\frac {4\pi G}{c^{2}}}\ \mathrm {[m/kg]} }$

熱出力-温度システム

流れに関連する変数	${\displaystyle D_{t}^{1}Q}$：熱速度（流量） ${\displaystyle (\psi _{t})\ \mathrm {[W]} }$	${\displaystyle D_{t}^{0}Q}$：全熱量（変位） ${\displaystyle (\psi )\ \mathrm {[J]} }$
作用に関連する変数	${\displaystyle D_{t}^{0}T}$：温度（作用） ${\displaystyle (T)\ \mathrm {[K]} }$
要素
コンプライアンス（C）	抵抗（R）	イナータンス（I）
等圧熱 $${\displaystyle T={\frac {1}{\rho Vc_{p}}}\psi ={\frac {1}{C_{P}}}\psi }$$ここで ${\displaystyle \rho }$：物体の質量密度 ${\displaystyle V}$：物体の体積 ${\displaystyle c_{p}}$：圧力比熱容量	伝導抵抗 $${\displaystyle T={\frac {1}{k}}\phi _{L}\psi _{t}}$$ここで ${\displaystyle k}$：熱伝導率 ${\displaystyle \phi _{L}}$：収束係数
等体積熱 $${\displaystyle T={\frac {1}{C_{V}}}\psi }$$定積熱容量 ${\displaystyle C_{V}}$	対流抵抗 $${\displaystyle T={\frac {1}{hA}}\psi _{t}}$$ここで ${\displaystyle h}$：対流係数 ${\displaystyle A}$：界面積
等温熱 $${\displaystyle T={\frac {1}{nR\ln \left({\frac {V_{f}}{V_{i}}}\right)}}\psi }$$ここで ${\displaystyle R}$：普遍気体定数 ${\displaystyle n}$：モル数 ${\displaystyle V_{f}}$：最終体積 ${\displaystyle V_{i}}$：初期体積	シュテファン・ボルツマンの法則 $${\displaystyle \langle T\rangle =\left({\frac {1}{e\sigma A}}\right)^{0.25}\langle \psi _{t}\rangle ^{0.25}}$$ここで ${\displaystyle e}$：放射率 ${\displaystyle \sigma }$：シュテファン・ボルツマン定数 ${\displaystyle A}$：界面積

連続体力学における体積出力密度システム

流れに関連する変数	${\displaystyle D_{t}^{1}\varepsilon }$：ひずみ速度（流量） ${\displaystyle ({\dot {\varepsilon }})\ \mathrm {[Hz]} }$	${\displaystyle D_{t}^{0}\varepsilon }$：ひずみ（変位） ${\displaystyle (\varepsilon )\ \mathrm {[1]} }$
作用に関連する変数	${\displaystyle D_{t}^{0}\sigma }$：応力（作用） ${\displaystyle (\sigma )\ \mathrm {[Pa]} }$
要素
コンプライアンス（C）	抵抗（R）	体積電力密度イナータンス（） ${\displaystyle I_{V}}$
剛性の逆数 種類 ${\displaystyle \gamma ^{1}\iff \varepsilon =C\sigma \quad \mathrm {[Pa^{-1}]} }$ ${\displaystyle C={\frac {1}{K}}}$	粘性 種類 ${\displaystyle \gamma ^{1}\iff \sigma =R{\dot {\varepsilon }}\quad \mathrm {[Pa\cdot s]} }$	電力密度慣性モーメント：物質の密度 ${\displaystyle \rho \ \mathrm {[kg/m^{3}]} }$

その他のシステム：

• 熱力学的発電システム（フローはエントロピー速度、努力値は温度）
• 電気化学的発電システム（フローは化学活性、努力値は化学ポテンシャル）
• 熱化学的な発電システム（フローは質量速度、努力値は質量比エンタルピー）
• マクロ経済学の通貨レートシステム（変位は商品、努力値は商品あたりの価格）
• ミクロ経済学の通貨レートシステム（変位は人口、努力値は一人当たりGDP）

状態の四面体

状態の四面体

状態の四面体は、努力値とフローの変換を図式的に示す四面体です。隣の図は、一般化された形の四面体を示しています。四面体はエネルギー領域に応じて変更できます

状態正四面体を用いることで、正四面体上の任意の変数間の数学的関係を見つけることができます。これは、図の周りの矢印をたどり、途中で定数を掛け合わせることで行われます。例えば、一般化流量と一般化変位の関係を求めたい場合は、f ( t )から始めて積分し、 q ( t )を求めます。その他の方程式の例は以下をご覧ください。

一般化変位と一般化流量の関係

$${\displaystyle q(t)=\int f(t)\,dt}$$

一般化流量と一般化作用力の関係

$${\displaystyle f(t)={\frac {1}{R}}\cdot e(t)}$$

一般化流量と一般化運動量との関係

$${\displaystyle f(t)={\frac {1}{I}}\cdot p(t)}$$

一般化運動量と一般化作用力の関係

$${\displaystyle p(t)=\int e(t)\,dt}$$

定数Cを含む一般化流量と一般化作用力の関係

$${\displaystyle e(t)={\frac {1}{C}}\int f(t)\,dt}$$

エネルギー領域を切り替えても、すべての数学的関係は同じままで、記号のみが変わります。これは以下の例で確認できます。

変位と速度の関係

$${\displaystyle x(t)=\int v(t)\,dt}$$

電流と電圧の関係。 これはオームの法則としても知られています

$${\displaystyle i(t)={\frac {1}{R}}V(t)}$$

力と変位の関係。フックの法則としても知られています。この式では負の符号が省略されています。これは、結合グラフにおける矢印の向きに符号が考慮されるためです。

$${\displaystyle F(t)=kx(t)}$$

電力システムの場合、共振周波数の式は次のとおりです。 $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}}$$

電力密度システムの場合、共振波の速度の式は次のとおりです。 $${\displaystyle c={\sqrt {\frac {1}{LC}}}}$$

構成要素

エンジンがシャフトを介して車輪に接続されている場合、動力は回転機械領域で伝達されます。つまり、力と流量はそれぞれトルク (τ) と角速度 (ω) です。単語結合グラフは、単語によって構成要素を定義する結合グラフへの第一歩です。単語結合グラフとして、このシステムは次のようになります。半矢印は符号規則を提供するために使用されます。つまり、τとωが正のときにエンジンが仕事をしている場合、図は次のようになります。このシステムは、より一般的な方法で表現することもできます。これは、単語の使用から、同じ項目を表す記号に変更することです。これらの記号は、上記で説明した一般化された形式に基づいています。エンジンが車輪にトルクをかけているため、システムの力の源として表されます。車輪は、システム上のインピーダンスとして表すことができます。さらに、トルクと角速度の記号は削除され、力と流量を表す一般化された記号に置き換えられます。この例では必須ではありませんが、式で追跡できるように、結合に番号を付けることがよくあります。簡略化された図を以下に示します。 $${\displaystyle {\text{engine}}\;{\overset {\textstyle \tau }{\underset {\textstyle \omega }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;{\text{wheel}}}$$ $${\displaystyle {\text{engine}}\;{\overset {\textstyle \tau }{\underset {\textstyle \omega }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}\;{\text{wheel}}}$$

$${\displaystyle {S_{e}}\;{\overset {\textstyle e_{1}}{\underset {\textstyle f_{1}}{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}\;{\text{I}}}$$

結合において、エフォートは常にフローより上にあるため、関連情報を失うことなく、エフォート記号とフロー記号を完全に省略することも可能です。ただし、結合番号は省略しないでください。例を以下に示します。

$${\displaystyle {S_{e}}\;{\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}\;{\text{I}}}$$

結合番号は、後でボンドグラフから状態空間方程式に変換するときに重要になります。

要素の関連付け

直列関連付け

要素が次の動作を持つと仮定します。ここで、は一般的な関数（入力を微分/積分することもできます）、は要素の定数です。次に、1-接合にこのタイプの要素が多数あると仮定します。すると、接合全体の電圧は次のようになります。 $${\displaystyle e(t)=\alpha g(q(t))}$$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle e(t)=\left(\sum _{i}\alpha _{i}\right)g(q(t))\implies {\begin{array}{||c||}\hline \displaystyle \alpha _{\text{eq}}=\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}\\\hline \end{array}}}$$

並列関連付け

要素が次の動作を持つと仮定します。ここで、は一般的な関数（入力を微分/積分することもできます）、は要素の定数です。次に、0-接合にこのタイプの要素が多数あると仮定します。すると、次の式は有効です。 $${\displaystyle e(t)=g(\alpha q(t))}$$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle g^{-1}\left(e(t)\right)=\alpha _{i}q_{i}(t)\implies {\frac {1}{\alpha _{i}}}g^{-1}(e(t))=q_{i}(t)\implies \left(\sum _{i}{\frac {1}{\alpha _{i}}}\right)g^{-1}(e(t))=q(t)\implies g(g^{-1}(e(t)))=g\left({\frac {1}{\sum _{i}{\frac {1}{\alpha _{i}}}}}q(t)\right)\implies {\begin{array}{|c|}\hline \alpha _{\text{eq}}=\parallel _{i=1}^{N}\alpha _{i}\\\hline \end{array}}}$$

単ポート要素

単ポート要素とは、ボンドグラフ内の1つのポートしか持てない要素です。

ソースとシンク

ソースは、システムへの入力を表す要素です。システムに力またはフローを入力します。力またはフローを表す小文字の「e」または「f」が付いた大文字の「S」で表されます。ソースの矢印は常に要素から外を向いています。ソースの例としては、モーター（力、トルクの源）、電圧源（力の源）、電流源（フローの源）などがあります。

$${\displaystyle S_{e}\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ J\qquad {\text{and}}\qquad S_{f}\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ J}$$ここで、Jはジャンクションを示します

シンクはシステムの出力を表す要素です。ソースと同じように表されますが、矢印は要素から離れる方向ではなく、要素に向かう方向を指しています。

$${\displaystyle J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ S_{e}\qquad {\text{and}}\qquad J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ S_{f}}$$

慣性

慣性要素は大文字の「I」で表され、常に電力が流入します。慣性要素はエネルギーを蓄える要素です。最も一般的なのは、機械システムでは質量、電気システムではインダクタです。

$${\displaystyle J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ I}$$

抵抗

抵抗要素は大文字の「R」で表され、常に電力が流入します。抵抗要素はエネルギーを消散させる要素です。最も一般的なのは、機械システムではダンパー、電気システムでは抵抗器です。

$${\displaystyle J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ R}$$

コンプライアンス

コンプライアンス要素は大文字の「C」で表され、常に電力が流入します。コンプライアンス要素は位置エネルギーを蓄える要素です。最も一般的なのは、機械システムではバネ、電気システムではコンデンサです。

$${\displaystyle J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ C}$$

2ポート要素

これらの要素には2つのポートがあります。システム間またはシステム内の電力を変換するために使用されます。一方から他方へ変換する場合、転送中に電力が失われることはありません。要素には定数が与えられます。この定数は、使用されている要素に応じて、変圧器定数またはジャイレータ定数と呼ばれます。これらの定数は通常、要素の下に比率として表示されます。

変圧器

変圧器は、流入量と流出量、および力と流入量との関係を適用します。例としては、理想的な電気変圧器やてこなどがあります。

rは変圧器の係数を表します 。これは、そしてを 意味します。 $${\displaystyle {\begin{matrix}{\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \ \ TR\ \ {\overset {\textstyle _{2}}{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \\^{r:1}\end{matrix}}}$$ $${\displaystyle f_{1}r=f_{2}}$$ $${\displaystyle e_{2}r=e_{1}}$$

ジャイレータ

ジャイレータは、流入量と流出量、および力と流入量との関係を適用します。ジャイレータの例としては、電圧（電気力）を角速度（角機械流）に変換するDCモーターがあります。

$${\displaystyle {\begin{matrix}{\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \ \ GY\ \ {\overset {\textstyle _{2}}{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \\^{g:1}\end{matrix}}}$$つまり、そしてを意味します。 $${\displaystyle e_{2}=gf_{1}}$$ $${\displaystyle e_{1}=gf_{2}.}$$

マルチポート要素

ジャンクションは、他の要素とは異なり、入力または出力の任意の数のポートを持つことができます。ジャンクションはポート間で電力を分割します。0ジャンクションと1ジャンクションという2つの異なるジャンクションがあり、これらはエフォートとフローがどのように伝達されるかのみ異なります。同じジャンクションを直列に接続することはできますが、異なるジャンクションを直列に接続することはできません。

0ジャンクション

0ジャンクションは、すべての力値（およびその時間積分／微分）が結合全体で等しいように動作しますが、流入するフロー値の合計は流出するフロー値の合計に等しくなります。つまり、すべてのフローの合計はゼロになります。電気回路では、0ジャンクションはノードであり、そのノードのすべてのコンポーネントによって共有される電圧を表します。機械回路では、0ジャンクションはコンポーネント間のジョイントであり、それに接続されているすべてのコンポーネントによって共有される力を表します。

$${\displaystyle {\text{all }}e{\text{'s are equal}}}$$ $${\displaystyle \sum f_{\text{in}}=\sum f_{\text{out}}}$$

例を以下に示します。

$${\displaystyle {\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}{\stackrel {\textstyle {\stackrel {\textstyle _{2}}{\upharpoonright }}}{0}}{\overset {\textstyle _{3}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}}$$

結果として得られる方程式： $${\displaystyle e_{1}=e_{2}=e_{3}}$$ $${\displaystyle f_{1}=f_{2}+f_{3}}$$

1ジャンクション

1-ジャンクションは0-ジャンクションとは逆の動作をします。1-ジャンクションは、すべてのフロー値（およびその時間積分／微分）が結合全体で等しくなりますが、入力の力の合計は出力の力の合計と等しくなります。つまり、すべての力の合計はゼロになります。電気回路では、1-ジャンクションはコンポーネント間の直列接続を表します。機械回路では、1-ジャンクションは接続されているすべてのコンポーネントで共有される速度を表します。

$${\displaystyle {\text{all }}f{\text{'s are equal}}}$$ $${\displaystyle \sum e_{\text{in}}=\sum e_{\text{out}}}$$

例を以下に示します。

$${\displaystyle {\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}{\stackrel {\textstyle {\stackrel {\textstyle _{2}}{\upharpoonright }}}{1}}{\overset {\textstyle _{3}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}}$$

結果として得られる方程式： $${\displaystyle f_{1}=f_{2}=f_{3}}$$ $${\displaystyle e_{1}=e_{2}+e_{3}}$$

因果関係

ボンドグラフには因果関係の概念があり、ボンドのどちら側が瞬間的な努力を決定し、どちら側が瞬間的な流れを決定するかを示します。システムを記述する動的方程式を定式化する際に、因果関係は各モデリング要素について、どの変数が従属し、どの変数が独立しているかを定義します。因果関係をあるモデリング要素から別のモデリング要素にグラフィカルに伝播させることで、大規模モデルの分析が容易になります。ボンドグラフモデルで因果関係の割り当てを完了することで、代数ループが存在するモデリング状況、つまり変数が自身の関数として再帰的に定義されている状況を検出できます

因果関係の例として、バッテリーと直列に接続されたコンデンサを考えてみましょう。コンデンサを瞬時に充電することは物理的に不可能であるため、コンデンサと並列に接続されたものは、必然的にコンデンサの両端の電圧（効果変数）と同じになります。同様に、インダクタは磁束を瞬時に変化させることができないため、インダクタと直列に接続された部品は、必然的にインダクタと同じ電流量を持ちます。コンデンサとインダクタは受動素子であるため、それぞれの電圧と電流量を無期限に維持することはできません。接続されている部品は、それぞれの電圧と電流量に影響を与えますが、それぞれ電流と電圧に影響を与えることによって間接的にのみ影響を与えます。

注：因果関係は対称的な関係です。一方が効果を「引き起こす」場合、もう一方は電流量を「引き起こす」ことになります。

結合グラフ表記では、因果関係の線を電力​​結合の一方の端に追加して、こちら側が電流量を定義していることを示すことができます。したがって、因果関係の線とは反対側が効果量を制御します

流れの源（）は流れを定義するため、因果ストロークを担います。力の源（）は力を定義するため、もう一方の端は因果ストロークを担います。 ${\displaystyle S_{f}}$ $${\displaystyle S_{f}\;|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}$$ ${\displaystyle S_{e}}$ $${\displaystyle S_{e}\;-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}$$

一定トルクのモーターで車輪を駆動する、つまり力の源（）を考えてみましょう。これは次のように描かれます。 ${\displaystyle S_{e}}$ $${\displaystyle {\begin{array}{r}{\text{motor}}\\S_{e}\end{array}}\;{\overset {\textstyle \tau }{\underset {\textstyle \omega }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\;{\text{wheel}}}$$

対称的に、因果ストローク（この場合は車輪）側が結合の流れを定義します

因果関係は適合性制約をもたらします。明らかに、電力結合の一方の端だけが努力を定義できるため、結合の一方の端（もう一方の端）だけが因果ストロークを持つことができます。さらに、時間依存の挙動を示す2つの受動的なコンポーネントとには、1種類の因果関係しかありません。つまり、コンポーネントはフローを決定し、コンポーネントは努力を定義します。したがって、接合点から、好ましい因果関係の方向性は次のとおりです。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle J}$ $${\displaystyle J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\;I\qquad {\text{and}}\qquad J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\;C}$$

これらの要素に対してこれが好ましい方法である理由は、状態の四面体によって示される方程式を考慮すると、さらに分析できます。

$${\displaystyle f(t)={\frac {1}{I}}\int e(t)\,dt\qquad {\text{and}}\qquad e(t)={\frac {1}{C}}\int f(t)\,dt}$$

結果として得られる方程式には、独立した電力変数の積分が含まれます。これは、因果関係を逆にして微分を得る結果よりも好ましいです。方程式は以下の通りです

$${\displaystyle e(t)=I{\dot {f}}(t)\qquad {\text{and}}\qquad f(t)=C{\dot {e}}(t)}$$

結合グラフでは、これらの要素の1つに因果バーが非優先的な方法で存在する可能性があります。そのような場合、「因果衝突」がその結合で発生したと言われます。因果衝突の結果は、グラフの状態空間方程式を記述するときにのみ見られます。これについては、そのセクションで詳しく説明します。

抵抗器には時間依存の動作はありません。電圧を印加すると瞬時に流れが生じ、または流れを印加すると瞬時に電圧が生じるため、抵抗器は因果結合のどちらの端にも存在できます。 $${\displaystyle J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\;R\qquad {\text{and}}\qquad J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\;R}$$

変圧器は受動的であり、エネルギーを消散も蓄積もしないため、因果関係は変圧器を通過します。 $${\displaystyle \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!|}}}\;TF\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!|}}}\;\qquad {\text{or}}\qquad \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;TF\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;}$$

ジャイレータは流れを力に変換し、力は流れに変換します。したがって、片側で流れが発生すると、反対側で力が発生し、その逆も同様です。 $${\displaystyle \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;GY\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!|}}}\;\qquad {\text{or}}\qquad \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!|}}}\;GY\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;}$$

接合

0ジャンクションでは、エフォートは等しく、1ジャンクションではフローは等しくなります。したがって、因果関係のある結合では、0ジャンクションでは1つの結合のみがエフォートを引き起こし、1ジャンクションでは1つの結合のみがフローを引き起こします。したがって、ジャンクションの1つの結合の因果関係が分かれば、他の結合の因果関係も分かります。その1つの結合は「強い結合」と呼ばれます。簡単に言うと、0ジャンクションには1つの因果バーが必要であり、1ジャンクションには1つを除くすべての因果バーが必要です。 $${\displaystyle {\text{strong bond}}\rightarrow \;\dashv \!{\overset {\textstyle \top }{\underset {\textstyle \bot }{0}}}\!\dashv \qquad {\text{and}}\qquad {\text{strong bond}}\rightarrow \;\vdash \!{\overset {\textstyle \bot }{\underset {\textstyle \top }{1}}}\!\vdash }$$

因果関係の決定

結合グラフの因果関係を決定するには、特定の手順に従う必要があります。これらの手順は次のとおりです。

1. ソース因果バーを描く
2. C結合とI結合の優先因果関係を描く
3. 0ジャンクションと1ジャンクション、トランスフォーマー、ジャイレータの因果バーを描く
4. R結合の因果バーを描く
5. 因果関係の矛盾が生じた場合は、CまたはI結合を微分化に変更してください。

手順の概要を以下に示します $${\displaystyle {\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&\downharpoonleft &&^{r:1}&&\downharpoonleft &&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}}$$

最初のステップは、ソースの因果関係を描くことです。ソースには因果関係は1つしかありません。その結果、下のグラフが生まれます。 $${\displaystyle {\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&\downharpoonleft &&^{r:1}&&\downharpoonleft &&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}}$$

次のステップは、C結合の好ましい因果関係を描くことです。 $${\displaystyle {\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&{\bar {\downharpoonleft }}&&^{r:1}&&\downharpoonleft &&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}}$$

次に、0ジャンクション、1ジャンクション、トランスフォーマー、ジャイレータに因果関係を適用します $${\displaystyle {\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&{\bar {\downharpoonleft }}&&^{r:1}&&{\underline {\downharpoonleft }}&&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}}$$

しかし、左側の0ジャンクションに問題があります。0ジャンクションにはジャンクションに因果バーが2つありますが、0ジャンクションにはジャンクションに1つだけ必要です。これは、優先因果関係にあることが原因です。これを修正する唯一の方法は、因果バーを反転することです。これにより因果矛盾が発生します。修正されたグラフを以下に示します。因果矛盾を表しています。 ${\textstyle C_{2}}$ ${\textstyle \star }$

$${\displaystyle {\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&{\underline {\downharpoonleft }}\star &&^{r:1}&&{\underline {\downharpoonleft }}&&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}}$$

他のシステムからの変換

ボンドグラフを使用する主な利点の1つは、ボンドグラフを作成すれば、元のエネルギー領域は関係ないことです。以下は、エネルギー領域からボンドグラフに変換するときに適用する手順の一部です。

電磁気

ボンドグラフとして電磁気の問題を解く手順は次のとおりです。

1. 各ノードに0ジャンクションを配置する
2. 1ジャンクションを持つ電源、R、I、C、TR、GYボンドを挿入する
3. 接地（変圧器またはジャイレータがある場合は両側）
4. 電力の流れの方向を割り当てる
5. 簡素化する

これらの手順は、以下の例でより明確に示されています。

線形機械

線形機械の問題をボンドグラフとして解く手順は次のとおりです。

1. 異なる速度ごとに1-接合を配置する（通常は質量）
2. 作用する1-接合間の、それぞれの0-接合にR結合とC結合を挿入する
3. 作用する1-接合にソース結合とI結合を挿入する
4. 電力の流れの方向を割り当てる
5. 簡素化する

これらの手順は、以下の例でより明確に示されています。

簡素化

簡素化の手順は、システムが電磁力か線形機械かに関係なく同じです。手順は次のとおりです。

1. 電力がゼロの結合を削除する（接地または速度がゼロのため）
2. 結合が3つ未満の0-接合と1-接合を削除する
3. 並列電力を簡素化する
4. 0-接合を直列に結合する
5. 1-接合を直列に結合する

これらの手順は、以下の例でより明確に示されています。

並列電力

並列電力とは、ボンドグラフ内で電力が並列に流れることです。並列電力の例を以下に示します

並列パワーは、0-ジャンクションと1-ジャンクションにおけるエフォートとフローの関係を思い出すことで簡略化できます。並列パワーを解くには、まずジャンクションのすべての方程式を書き出す必要があります。提供されている例では、方程式は以下の通りです。（エフォート/フロー変数が表す番号結合に注意してください。） $${\displaystyle {\begin{matrix}f_{1}=f_{2}=f_{3}&&e_{2}=e_{4}=e_{7}\\e_{1}=e_{2}+e_{3}&&f_{2}=f_{4}+f_{7}\\&&\\e_{3}=e_{5}=e_{6}&&f_{7}=f_{6}=f_{8}\\f_{3}=f_{5}+f_{6}&&e_{7}+e_{6}=e_{8}\end{matrix}}}$$

これらの方程式を操作することで、並列パワーを表す同等の0-ジャンクションと1-ジャンクションのセットを見つけることができます

例えば、となので、方程式の変数を置き換えると、となり、なので、となることがわかります。この2つの力の変数が等しい関係は、0-接合によって説明できます。他の方程式を操作することで、1-接合の関係を記述するを見つけることができます。必要な関係を決定したら、新しい接合を使用して並列電力セクションを再描画できます。例の結果を以下に示します。 ${\textstyle e_{3}=e_{6}}$ ${\textstyle e_{2}=e_{7}}$ ${\textstyle e_{1}=e_{2}+e_{3}}$ ${\textstyle e_{1}=e_{6}+e_{7}}$ ${\textstyle e_{6}+e_{7}=e_{8}}$ ${\displaystyle e_{1}=e_{8}}$ ${\displaystyle f_{4}=f_{5}}$

例

簡単な電気システム

電圧源、抵抗器、コンデンサが直列に接続された簡単な電気回路

最初のステップは、すべてのノードに0ジャンクションを描くことです。 $${\displaystyle {\begin{matrix}&0&&0&\\&&&&\\&&&&\\&0&&0&\end{matrix}}}$$

次のステップは、それぞれの1ジャンクションで作用するすべての要素を追加することです。 $${\displaystyle {\begin{matrix}&&&&R&&&&\\&&&&|&&&&\\&&0&-&1&-&0&&\\&&|&&&&|&&\\S_{e}&-&1&&&&1&-&C\\&&|&&&&|&&\\&&{\underline {0}}&-&-&-&0&&\end{matrix}}}$$

次のステップは、グランドを選択することです。グランドは、電圧がないと仮定される単純な0ジャンクションです。この場合、グランドは上記の下線で示されている左下の0ジャンクションとして選択されます。次のステップは、ボンドグラフのすべての矢印を描くことです。ジャンクションの矢印はグランドに向ける必要があります（電流と同様の経路をたどります）。抵抗、イナータンス、コンプライアンス要素の場合、矢印は常に要素に向けられます。矢印を描いた結果は以下に示されており、0ジャンクションはグランドとして星印でマークされています。

これでボンドグラフが作成されたので、簡素化のプロセスを開始できます。最初のステップは、すべてのグランドノードを削除することです。下部の0ジャンクションは両方とも接地されているため、削除できます。結果を以下に示します

次に、結合数が3未満の接合部を削除します。これは、流れと力はこれらの接合部を変更せずに通過するため、削除することで描画量を減らすことができるためです。結果は以下の通りです。

最後のステップは、結合グラフに因果関係を適用することです。因果関係の適用については上記で説明しました。最終的な結合グラフを以下に示します。

高度な電気システム

電流源、抵抗器、コンデンサ、変圧器を備えた、より高度な電気システム

この回路で手順に従うと、簡略化前の結合グラフは以下のようになります。星印でマークされたノードはグランドを表します。

結合グラフを簡略化すると、以下の画像になります。

最後に、因果関係を適用すると、以下の結合グラフが得られます。星印の結合は因果関係の矛盾を表します。

単純な線形機械

壁に取り付けられたバネ上の質量で構成される、単純な線形機械システム。質量には何らかの力が加えられています。システムの画像を以下に示します

機械システムの場合、最初のステップは、それぞれの異なる速度に1-接合を配置することです。この場合、質量と壁の2つの異なる速度があります。通常、参照のために1-接合にラベルを付けると便利です。結果は以下の通りです。 $${\displaystyle {\begin{matrix}&&\\&&\\1_{\text{mass}}&&\\&&\\&&\\&&\\1_{\text{wall}}&&\end{matrix}}}$$

次のステップは、R結合とC結合を、それらが作用する1-接合間のそれぞれの0-接合に描くことです。この例では、これらの結合はバネのC結合の1つだけです。これは、質量を表す1-接合と壁を表す1-接合の間で作用します。結果は以下の通りです $${\displaystyle {\begin{matrix}&&\\&&\\1_{\text{mass}}&&\\|&&\\0&-&C:{\frac {1}{k}}\\|&&\\1_{\text{wall}}&&\end{matrix}}}$$

次に、作用する1-接合部にソースとI結合を追加します。1つのソース（作用力の源）と1つのI結合（質量の質量）があり、どちらも質量の1-接合部に作用します。結果を以下に示します。 $${\displaystyle {\begin{matrix}S_{e}:F(t)&&\\|&&\\1_{\text{mass}}&-&I:m\\|&&\\0&-&C:{\frac {1}{k}}\\|&&\\1_{\text{wall}}&&\end{matrix}}}$$

次に、電力の流れを割り当てます。電気の例と同様に、電力は地面（この場合は壁の1-接合部）に向かって流れる必要があります。例外はR、C、またはI結合で、これらは常に要素に向かっています。結果として得られる結合グラフを以下に示します

結合グラフが生成されたので、簡略化できます。壁は接地されている（速度がゼロ）ため、その接合を削除できます。したがって、C結合がある0-接合も削除できます。削除すると、結合が3つ未満になります。簡略化された結合グラフは以下の通りです。

最後のステップは因果関係を適用することです。最終的な結合グラフは以下の通りです。

高度な線形機械

より高度な線形機械システムは以下の通りです。

上記の例と同様に、最初のステップは、各遠方速度に1-接合を作成することです。この例では、質量1、質量2、そして壁の3つの遠方速度があります。次に、すべての結合を接続し、電力の流れを割り当てます。結合は以下の通りです

次に、壁の1接合部と3つ未満の結合部を削除することで、ボンドグラフを簡素化するプロセスを開始します。ボンドグラフを以下に示します。

ボンドグラフには並列べき乗があります。並列べき乗の解き方は上記で説明しました。解き方を以下に示します。

最後に因果関係を適用します。最終的なボンドグラフを以下に示します。

状態方程式

ボンドグラフが完成すると、それを利用してシステムの状態空間表現方程式を生成できます。状態空間表現は、複雑な多階微分システムを1階方程式の連立として解くことができるため、特に強力です。状態方程式の一般的な形は、状態変数、つまりシステムの未知数の列行列です。状態変数の時間微分です。システムの入力の列行列です。そして、と、はシステムに基づく定数の行列です。システムの状態変数は、因果関係の矛盾のない各C結合とI結合の値です。各I結合にはが、各C結合にはが与えられます。 $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$$ ${\textstyle \mathbf {x} (t)}$ ${\textstyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)}$ ${\textstyle \mathbf {u} (t)}$ ${\textstyle \mathbf {A} }$ ${\textstyle \mathbf {B} }$ ${\textstyle q(t)}$ ${\textstyle p(t)}$ ${\textstyle p(t)}$ ${\textstyle q(t)}$

例えば、次のボンドグラフがあるとします。

次の、、および行列 が得られます ${\textstyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)}$ ${\textstyle \mathbf {x} (t)}$ ${\textstyle \mathbf {u} (t)}$

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\begin{bmatrix}{\dot {p}}_{3}(t)\\{\dot {q}}_{6}(t)\end{bmatrix}}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {x} (t)={\begin{bmatrix}p_{3}(t)\\q_{6}(t)\end{bmatrix}}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {u} (t)={\begin{bmatrix}e_{1}(t)\end{bmatrix}}}$$

との行列は、状態の四面体で説明したように、状態変数とそれぞれの要素の関係を決定することによって解かれます。状態方程式を解くための最初のステップは、結合グラフのすべての支配方程式をリストすることです。下の表は、結合とその支配方程式の関係を示しています。 ${\textstyle \mathbf {A} }$ ${\textstyle \mathbf {B} }$

要素の種類	結合名	因果関係のある結合	支配方程式
シングルポート要素	ソース/シンク、S	${\displaystyle S_{e}\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\;}$	${\displaystyle {\text{input}}=e(t)}$
		${\displaystyle S_{f}\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\;}$	${\displaystyle {\text{input}}=f(t)}$
	抵抗、R： 散逸エネルギー	${\displaystyle \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\ R}$	${\displaystyle f(t)={\frac {1}{R}}e(t)}$
		${\displaystyle \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ R}$	${\displaystyle e(t)=Rf(t)}$
	イナータンス、I： 運動エネルギー	♦ ${\displaystyle \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\ I}$	${\displaystyle f(t)={\frac {1}{I}}\int e(t)\,dt}$
		${\displaystyle \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ I}$	${\displaystyle e(t)=I{\dot {f}}(t)}$
	コンプライアンス、C： 位置エネルギー	${\displaystyle \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\ C}$	${\displaystyle f(t)=C{\dot {e}}(t)}$
		♦ ${\displaystyle \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ C}$	${\displaystyle e(t)={\frac {1}{C}}\int f(t)\,dt}$
2端子素子	変圧器、TR	${\displaystyle {\begin{matrix}{\overset {\textstyle }{{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}|}}\ TR\ \ {\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}|\ \\^{r:1}\end{matrix}}}$	${\displaystyle f_{1}={\frac {1}{r}}f_{2}}$ ${\displaystyle e_{2}={\frac {1}{r}}e_{1}}$
		${\displaystyle {\begin{matrix}|\ {\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ TR\ \ |\ {\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \\^{r:1}\end{matrix}}}$	${\displaystyle e_{1}=re_{2}}$ ${\displaystyle f_{2}=rf_{1}}$
	ジャイレータ、GY	${\displaystyle {\begin{matrix}|\ {\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ GY{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}|\ \\^{g:1}\end{matrix}}}$	${\displaystyle e_{1}=gf_{2}}$ ${\displaystyle e_{2}=gf_{1}}$
		${\displaystyle {\begin{matrix}\ {\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}|\ GY{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \\^{g:1}\end{matrix}}}$	${\displaystyle f_{1}={\frac {1}{g}}e_{2}}$ ${\displaystyle f_{2}={\frac {1}{g}}e_{1}}$
多端子素子	0端子	1つだけの 端子における因果関係バー	${\displaystyle {\text{all }}e(t)=}$
			${\displaystyle \sum f(t)_{\text{in}}=\sum f(t)_{\text{out}}}$
	1端子	1つだけの因果関係バー 端子から離れた場所	${\displaystyle \sum e(t)_{\text{in}}=\sum e(t)_{\text{out}}}$
			${\displaystyle {\text{all }}f(t)=}$

「♦」は優先因果関係を示します。

提供された例では、

支配方程式は次のとおりです。

1. ${\textstyle e_{1}={\text{input}}}$
2. ${\textstyle e_{3}=e_{1}-e_{2}-e_{4}}$
3. ${\textstyle f_{1}=f_{2}=f_{4}=f_{3}}$
4. ${\textstyle e_{2}=R_{2}f_{2}}$
5. ${\textstyle f_{3}={\frac {1}{I_{3}}}\int e_{3}\,dt={\frac {1}{I_{3}}}p_{3}}$
6. ${\textstyle f_{5}=f_{4}\cdot r}$
7. ${\textstyle e_{4}=e_{5}\cdot r}$
8. ${\textstyle e_{5}=e_{7}=e_{6}}$
9. ${\textstyle f_{6}=f_{5}-f_{7}}$
10. ${\textstyle e_{6}={\frac {1}{C_{6}}}\int f_{6}\,dt={\frac {1}{C_{6}}}q_{6}}$
11. ${\textstyle f_{7}={\frac {1}{R_{7}}}e_{7}}$

これらの方程式を操作して状態方程式を生成できます。この例では、、、およびに関して、とを関連付ける方程式を見つけようとしています ${\textstyle {\dot {p}}_{3}(t)}$ ${\textstyle {\dot {q}}_{6}(t)}$ ${\textstyle p_{3}(t)}$ ${\textstyle q_{6}(t)}$ ${\textstyle e_{1}(t)}$

まず、状態の四面体から、式2から始めて、式4を のように並べ替えることができることを思い出してください。式4では、式3によりを に置き換えることができ、式5に置き換えることができます。同様に、式7を使用して を に置き換えることができ、式7では を に置き換えることができ、式10に置き換えることができます。これらの置き換えにより、以下に示す最初の状態方程式が得られます。 ${\textstyle {\dot {p}}_{3}(t)=e_{3}(t)}$ ${\displaystyle e_{3}=e_{1}-e_{2}-e_{4}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle f_{3}}$ ${\displaystyle e_{4}}$ ${\displaystyle e_{5}}$ ${\displaystyle e_{6}}$

$${\displaystyle {\dot {p}}_{3}(t)=e_{3}(t)=e_{1}(t)-{\frac {R_{2}}{I_{3}}}p_{3}(t)-{\frac {r}{C_{6}}}q_{6}(t)}$$

2番目の状態方程式も同様に を思い出すことで解くことができます。2番目の状態方程式を以下に示します。 ${\textstyle {\dot {q}}_{6}(t)=f_{6}(t)}$

$${\displaystyle {\dot {q}}_{6}(t)=f_{6}(t)={\frac {r}{I_{3}}}p_{3}(t)-{\frac {1}{R_{7}\cdot C_{6}}}q_{6}(t)}$$

両方の方程式をさらに行列形式に並べ替えることができます。その結果を以下に示します。

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {p}}_{3}(t)\\{\dot {q}}_{6}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-{\frac {R_{2}}{I_{3}}}&-{\frac {r}{C_{6}}}\\{\frac {r}{I_{3}}}&-{\frac {1}{R_{7}\cdot C_{6}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{3}(t)\\q_{6}(t)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e_{1}(t)\end{bmatrix}}}$$

この時点で、方程式は他の状態空間表現問題と同様に扱うことができます。

ボンドグラフシステム生物学

ボンドグラフは、生理学や生物学を含む生命科学に関連するシステムをモデル化するために使用されてきました。^[3]特に、生物物理学的システムをモデル化するためのボンドグラフの使用は、1970年代初頭にAharon Katchalsky、George Oster 、Alan Perelsonによって導入されました。 ^{[4] [5]最近では、これらのアイデアは}システム生物学 の文脈で使用され、細胞生物学の生化学反応システムをモデル化するためのエネルギーベースのアプローチが提供されました。 [ ^{6] [7] [8]および}フィジオーム全体をモデル化するためのアプローチが提供されました。^[9]

ボンドグラフアプローチには、フィジュームの大規模な計算モデルを構築するための優れた基盤となる多くの特徴があります。

• エネルギーベースである
  • モデルは物理的に妥当です^[10]
  • 反応速度論の詳細なバランス（ヴェグシャイダーの条件）は自動的に満たされます^[11]
  • エネルギーの使用量と散逸を直接考慮できます
• モジュラー型です。ボンドグラフのコンポーネント自体がボンドグラフになることができます^{[12] [13]}
• 物理領域間のエネルギー変換は単純に表される^[9] - 以下を参照
• シミュレーションに使用できるシンボリックコードは、自動的に生成できる^[14]

変数

生化学システムのボンドグラフ変数は以下のとおりです。

• 変位：モル単位で測定された化学種の量、記号 （モル） ${\displaystyle x}$
• フロー：化学種の変化率、記号 （mol/s） ${\displaystyle v}$
• 効果：化学種1モルあたりの化学ポテンシャル、またはギブスエネルギー、記号（J/mol）^[15] ${\displaystyle \mu }$

効果とフロー（μv）の積は、ボンドグラフの定式化では常に、電力（J/s）であることに注意してください。

構成要素

以下に詳述するように、生化学システムをモデル化するために使用されるコンポーネントの主な特徴は、RコンポーネントとCコンポーネントが非線形であること、Iコンポーネントは不要であること、Rコンポーネントが2ポートReコンポーネントに置き換えられていることです。^[8]

ジャンクションコンポーネント

ボンドグラフの0（ゼロ）コンポーネントと1（イチ）コンポーネントは、この文脈では違いはありません。

Cコンポーネント

Cコンポーネントはフローを積分して化学種の量を与えます。 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x(t)=\int ^{t}v(\tau )d\tau }$

効果、化学ポテンシャルは次の式で与えられます。^{[8] [15]} ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu =\mu ^{0}+RT\ln {\frac {x}{x^{0}}}}$

ここで、はに対応する化学ポテンシャル、は気体定数、はケルビン単位の絶対温度です。 ${\displaystyle \mu ^{0}}$ ${\displaystyle x=x^{0}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T}$

の式は、簡略化して次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu =RT\ln Kx}$ここで ${\displaystyle K={\frac {1}{x^{0}}}\exp {\frac {\mu ^{0}}{RT}}}$

この特定のC成分は特殊な形状をしているため、特別なRe成分に類似してCeという特別な名前が付けられることがあります。

Re成分

Re（反応）成分には、化学反応の左側（順方向）と右側（逆方向）に対応する2つのエネルギーポートがあります。順方向親和力と逆方向親和力は、それぞれ反応の左側と右側の種による正味の化学ポテンシャルとして定義されます。Re成分は、反応流を次のように与えます。^[8] ${\displaystyle A^{f}}$ ${\displaystyle A^{r}}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v=\kappa \left(\exp {\frac {A^{f}}{RT}}-\exp {\frac {A^{r}}{RT}}\right)}$

ここで、(mol/s)は反応速度定数です。 ${\displaystyle \kappa }$

反応流は、順方向親和力と逆方向親和力の差ではなく、両方に依存するため、通常のR成分を1接合定式で使用することはできないことに注意してください。^[6] ${\displaystyle A^{f}}$ ${\displaystyle A^{r}}$ ${\displaystyle A^{f}-A^{r}}$

単純な反応のモデル化

反応 ${\displaystyle {\ce {A <=> B}}}$^[6][8]

反応の結合グラフ。C:AとC:Bは種Aと種Bを表し、Re:r1は反応を表します。結合と結合点は3つの成分を接続します。各結合に関連する努力と流れが示されています。 ${\displaystyle {\ce {A <=> B}}}$

単純な反応は3つの成分で表されます。 ${\displaystyle {\ce {A <=> B}}}$

• C:Aは化学ポテンシャルを持つ種Aを表します。流れはです。 ${\displaystyle \mu _{A}}$ ${\displaystyle -v}$
• C:Bは化学ポテンシャルを持つ種Bを表します。流れはです。 ${\displaystyle \mu _{B}}$ ${\displaystyle v}$
• Re_r1は流れ、順親和力、逆親和力を持つ反応を表します。 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle A^{f}=\mu _{A}}$ ${\displaystyle A^{r}=\mu _{B}}$
• 結合と結合点は、示されている努力と流れの変数で化学エネルギーを伝達します。

上記の式を用いると、流れは次のように表されます 。 ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v=\kappa \left(\exp {\frac {\mu _{A}}{RT}}-\exp {\frac {\mu _{B}}{RT}}\right)=\kappa \left(K_{A}x_{A}-K_{B}x_{B}\right)}$

ここで、下付き文字は種に対応します。これは単純な質量作用方程式です。

${\displaystyle v=k^{+}x_{A}-k^{-}x_{B}}$

ここで。 ${\displaystyle k^{+}=\kappa K_{A}{\text{ and }}k^{-}=\kappa K_{B}}$

酵素触媒反応

酵素Eと酵素複合体Cを介して、種Aを種Bに可逆的に変換する酵素触媒反応。4つのC成分は4つの種を表し、2つのRe成分は2つの反応r1とr2を表す。結合グラフは、酵素Eが反応r2の逆側から反応r1の順側へリサイクルされていることを示す。

^{Keener & Sneyd [15]}のセクション1.4で議論されているように、酵素と酵素複合体を介して種を種に可逆的に変換する酵素触媒反応は、次の2つの反応として表すことができます。 ${\displaystyle {\ce {A}}}$ ${\displaystyle {\ce {B}}}$ ${\displaystyle {\ce {E}}}$ ${\displaystyle {\ce {C}}}$

${\displaystyle {\ce {A + E <=> C <=> B + E}}}$

酵素複合体は種から形成され、種に分解して 酵素を放出します。図に示されている結合グラフは、酵素がどのようにリサイクルされるかを示しています。 ${\displaystyle {\ce {C}}}$ ${\displaystyle {\ce {A + E}}}$ ${\displaystyle {\ce {B}}}$ ${\displaystyle {\ce {E}}}$

結合グラフは、一般化ミカエリス・メンテン形であるこれらの反応の特性を導き出すために使用できます。^[6]

エネルギー変換

生命科学におけるエネルギー変換。結合グラフのTF成分は、エネルギー領域内またはエネルギー領域間のエネルギー変換を表します。この図は、エネルギー（J/mol）と流量（mol/s）を持つ化学領域と、エネルギーと流量を持つ一般領域間の変換に焦点を当てています。変圧器の係数はmです ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f}$

結合グラフTF（トランスフォーマー）コンポーネントは、エネルギー領域内またはエネルギー領域間のエネルギー変換を表します。^[16]（TFコンポーネントはTD（トランスダクション）コンポーネント^{[4] [5]}とも呼ばれています。TFの方が広く使用されています。^[16] ）このセクションでは、エネルギー効率（J/mol）と流量（mol/s）を持つ化学領域と、エネルギー効率と流量を持つ一般領域間の変換に焦点を当てています。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f}$

TFコンポーネントの主な特徴は、エネルギーを散逸させることなく伝達することです。^[16]したがって、図を参照すると、

${\displaystyle ef=\mu v}$

変成器は係数m（適切な単位付き）を持つため、

${\displaystyle f=mv}$

エネルギー式から次のことが分かります。

${\displaystyle \mu =me}$

化学量論

TF成分を用いた化学反応を表す結合グラフ。ここで、mは正の整数です。 ${\displaystyle {\ce {A <=> mB}}}$

化学反応の化学量論は、各化学種の発生数を決定します。したがって、たとえば、この反応は1モルの化学種をmモルの化学種に変換 します ${\displaystyle {\ce {A <=> m B}}}$ ${\displaystyle {\ce {A}}}$ ${\displaystyle {\ce {B}}}$

の場合は、上記の最初の例の単純な反応に対応します。一般的な化学種についても同じアプローチを用いると、反応の流れは次のようになります。^{[6] [8]} ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle v=\kappa \left(\exp {\frac {\mu _{A}}{RT}}-\exp {\frac {m\mu _{B}}{RT}}\right)=\kappa \left(K_{A}x_{A}-(K_{B}x_{B})^{m}\right)}$

化学電気変換

このセクションでは、一般的な領域が電気領域であり、努力が（電気）電圧（）、流れが電流（ ）である場合を考察します。分子の電荷が（クーロン）である荷電イオンの流れを考えます。ここで、はクーロンで測定された電子の電荷です。したがって、イオン1モルに関連する電荷は、ここでアボガドロ定数です。等価電流は ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle e={\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle f=i}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle z\epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle z\epsilon N_{A}}$ ${\displaystyle N_{A}}$

${\displaystyle i=z\epsilon N_{A}v=z{\mathcal {F}}v}$はファラデー定数です。したがって、対応するTF係数は次のようになります。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\epsilon N_{A}}$

${\displaystyle m=z{\mathcal {F}}}$ (C/mol)

繰り返しますが、

${\displaystyle \mu =me=z{\mathcal {F}}{\mathcal {V}}}$

この文脈では、結合グラフのTF成分は、活動電位^[17] 、膜輸送体^[18] 、心臓活動電位[19] 、 およびミトコンドリア電子伝達系^[17]に関連するエネルギーフローをモデル化するために使用できます。

化学機械変換

アクチンのような長くて硬い分子を考えてみましょう。長さ（m）のサブユニットが速度（mol/sec）で加えられます。先端速度は次式で表されます。^[20] ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=\delta N_{A}v}$ここではアボガドロ定数です。 ${\displaystyle N_{A}}$

したがって、弾性率（m/mol）と ${\displaystyle m=\delta N_{A}}$

${\displaystyle \mu =mF=\delta N_{A}F}$ここでは先端における対応する力です。 ${\displaystyle F}$

これらの式は、アクチンフィラメントの力／速度曲線を生成するために使用されています^[20]。このアプローチは、ブラウン運動ラチェット法^[21]の有用な代替手段を提供します。なぜなら、ボンドグラフTFコンポーネントは、細胞システムのモジュラーボンドグラフモデルで使用できる可能性があるからです。^[7]

ボンドグラフモデリングに関する国際会議（ECMSおよびICBGM）

ボンドグラフモデリングに関する参考文献は、以下の会議から抜粋できます。

• ECMS-2013 第27回ヨーロッパモデリング・シミュレーション会議、2013年5月27～30日、ノルウェー、オーレスン
• ECMS-2008 第22回ヨーロッパモデリング・シミュレーション会議、2008年6月3日～6日、キプロス、ニコシア
• ICBGM-2007：第8回ボンドグラフモデリング・シミュレーション国際会議、2007年1月15日～17日、米国カリフォルニア州サンディエゴ
• ECMS-2006 第20回ヨーロッパモデリング・シミュレーション会議、2006年5月28日～31日、ドイツ、ボン
• IMAACA-2005 国際地中海モデリング・マルチカンファレンス
• ICBGM-2005 ボンドグラフモデリングとシミュレーションに関する国際会議、2005年1月23日～27日、米国ルイジアナ州ニューオーリンズ – 論文
• ICBGM-2003 ボンドグラフモデリングとシミュレーションに関する国際会議 (ICBGM'2003) 2003年1月19日～23日、米国フロリダ州オーランド – 論文
• 第14回ヨーロッパシミュレーションシンポジウム 2002年10月23日～26日 ドイツ ドレスデン
• ESS'2001 第13回ヨーロッパシミュレーションシンポジウム 2001年10月18日～20日 フランス マルセイユ
• ICBGM-2001 ボンドグラフモデリングとシミュレーションに関する国際会議 (ICBGM 2001) 米国アリゾナ州フェニックス
• ヨーロッパシミュレーションマルチカンファレンス 2000年5月23日～26日 ベルギー ゲント
• 第11回ヨーロッパシミュレーションシンポジウム 1999年10月26日～28日 ドイツ エアランゲン＝ニュルンベルク フリードリヒ＝アレクサンダー大学キャッスル
• ICBGM-1999 ボンドグラフモデリングとシミュレーションに関する国際会議 1999年1月17日～20日 カリフォルニア州サンフランシスコ
• ESS-97 第9回ヨーロッパシミュレーションシンポジウムおよび展示会 産業におけるシミュレーション、ドイツ、パッサウ、1997年10月19日～22日
• ICBGM-1997 第3回ボンドグラフモデリングおよびシミュレーション国際会議、1997年1月12日～15日、アリゾナ州フェニックス、シェラトン・クレセントホテル
• 第11回ヨーロッパシミュレーションマルチカンファレンス トルコ、イスタンブール、1997年6月1日～4日
• ESM-1996 第10回ヨーロッパシミュレーションマルチカンファレンス ハンガリー、ブダペスト、1996年6月2日～6日
• ICBGM-1995 ボンドグラフモデリングとシミュレーションに関する国際会議 (ICBGM'95)、1995年1月15～18日、ネバダ州ラスベガス

参照

• ボンドグラフ理論に基づく20-simシミュレーションソフトウェア
• ボンドグラフ理論に基づくAMESimシミュレーションソフトウェア
• ハイブリッド結合グラフ
• 共エネルギー

参考文献

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20. Gawthrop, Peter J.; Pan, Michael; Rajagopal, Vijay (2025). 「ボンドグラフを用いた単一アクチンフィラメント重合のエネルギーベースモデリング」Journal of the Royal Society Interface . 22 (222) 20240404. doi :10.1098/rsif.2024.0404. ISSN  1742-5662 . PMC 11780404. PMID  39881657 
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参考文献

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• ジーン・ウルリッヒ・トーマ (1975)。『ボンドグラフ：入門と応用』 。オックスフォード：パーガモン・プレス。ISBN 0-08-018882-6。
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• フォーブス・T・ブラウン (2007)。『エンジニアリングシステムダイナミクス：統一的グラフ中心アプローチ』。ボカラトン：テイラー・アンド・。ISBN 978-0-8493-9648-9。
• Mukherjee, Amalendu; Karmakar, Ranjit (2000).ボンドグラフによる工学システムのモデリングとシミュレーション. ボカラトン: CRC Press. ISBN 978-0-8493-0982-3。
• Gawthrop, PJ; Ballance, DJ (1999). 「第2章：階層的ボンドグラフの操作のための記号計算」. Munro, N. (編).制御システム解析および設計における記号的手法. ロンドン: 電気技術者協会. pp. 23-52. ISBN 0-85296-943-0。
• Borutzky, Wolfgang (2010).ボンドグラフ手法. ロンドン: Springer. doi :10.1007/978-1-84882-882-7. ISBN 978-1-84882-881-0。
• http://www.site.uottawa.ca/~rhabash/ESSModelFluid.pdf 流体領域におけるボンドグラフのモデリングについて説明します
• http://www.dartmouth.edu/~sullivan/22files/Fluid_sys_anal_w_chart.pdf 流体領域における結合グラフのモデリングについて説明します

外部リンク

• Simscape 公式 MATLAB/Simulink アドオンライブラリ（グラフィカル結合グラフプログラミング用）
• BG V.2.1 フリーウェア MATLAB/Simulink アドオンライブラリ（グラフィカル結合グラフプログラミング用）

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