Coordinates to capture characteristics of rotating frames of reference
ボルン座標の時空幾何学。赤い線（ | ）は、円盤上の点（ r = z = ϕ = const）の世界線（合同線）を表す。青と灰色の縞模様は、 t の変化（同時性の縞模様）を表す 。オレンジ色の曲線（ /\ ）は、 r が固定された光のような曲線（ヌル測地線）を表す 。 相対論的物理学 において 、 ボルン座標図 は、 特殊相対論 の 平坦時空である ミンコフスキー時空 （の一部）の 座標図 です。これは、 相対論的な速度で剛体回転する リングまたは円盤に乗る観測者 、いわゆる ランジュバン観測者 の物理的経験を分析するためによく用いられます。この図は、回転体の相対論的物理学に関する 1909年の研究 により、マックス・ ボルンの 業績とされることが多いです。平坦時空における加速度の応用の概要については、 「加速（特殊相対論） と 固有座標系（平坦時空）」 を参照してください。
慣性シナリオ (慣性系での測定) による経験から、ランジュバン観測者は、それぞれ標準的な アインシュタインの慣例、または遅い時計同期 によって 時計を同期させます(どちらも内部同期)。特定のランジュバン観測者にとって、この方法は完璧に機能します。そのすぐ近くでは時計が同期し、光は空間内を等方的に伝播します。しかし、観測者が空間の閉じた経路に沿って時計を同期させようとしたときの経験は不可解です。常に、異なる時間を持つ少なくとも 2 つの隣接する時計が存在します。この状況を改善するために、観測者は 外部同期手順 (座標時間 t 、またはリングに乗る観測者の場合は 固定半径 rの 固有座標時間) について合意します。この合意により、剛体で回転するディスクに乗っているランジュバン観測者は、観測者間の 小さな距離 の測定から、ディスクの形状が非ユークリッドであると 結論付けます。 どちらの方法を用いるにせよ、彼らは、 その幾何学が特定のリーマン計量 、すなわちランジュバン・ランダウ・リフシッツ計量によってよく近似されると結論付けるでしょう。これはまた、 双曲面 の幾何学（それぞれ負の曲率 −3 ω 2 と −3 ω 2 r 2 を持つ）によって非常によく近似されます。しかし、これらの観測者がより長い距離を測定する場合、使用する測定方法に応じて 異なる 結果を得ることになります。しかし、いずれの場合も、 どのリーマン計量とも矛盾する結果を得る可能性が高くなります。特に、距離の最も単純な概念であるレーダー距離を用いる場合、既に述べた 非対称性 などの様々な効果により 、円板の「幾何学」は非ユークリッド的であるだけでなく、非リーマン的でもあると結論付けるでしょう 。
回転する円盤は パラドックス ではありません。観察者がどのような方法を用いて状況を分析しようとも、最終的には慣性系ではなく回転する円盤を分析していることになります。
円筒図上のランジュバン観測者 ボルン・チャートの根拠として、まず、ミンコフスキー時空の通常の円筒座標チャート で表されるランジュバン観測者の族を考える 。これらの観測者の世界線は、膨張テンソルが ゼロ になるという意味で剛体的な 時間的合同 を形成する。これらは、円筒対称軸の周りを剛体回転する観測者を表す。
図1：典型的なランジュバン観測者の螺旋世界線（赤い曲線）の一部。円筒図に描かれており、ランジュバン座標系によって割り当てられた座標ベクトル（黒い棒）を持つ、いくつかの未来の指向性光円錐（金色）も示されている。この図では、Z座標は重要ではないため省略されている。白い円筒は一定半径の軌跡を示し、緑の破線は対称軸R=0を表す。青い曲線は方位角単位ベクトルの積分曲線である 。 p → 3 {\displaystyle {\vec {p}}_{3}} 線要素から
d s 2 = − d T 2 + d Z 2 + d R 2 + R 2 d Φ 2 , − ∞ < T , Z < ∞ , 0 < R < ∞ , − π < Φ < π {\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {d} s^{2}=-\mathrm {d} T^{2}+\mathrm {d} Z^{2}+\mathrm {d} R^{2}+R^{2}\,\mathrm {d} \Phi ^{2},\;\;\\&-\infty <T,\,Z<\infty ,\;0<R<\infty ,\;-\pi <\Phi <\pi \end{aligned}}} 静止した（慣性）観測者の局所ローレンツフレームを表す フレームフィールド をすぐに読み取ることができる。
e → 0 = ∂ T , e → 1 = ∂ Z , e → 2 = ∂ R , e → 3 = 1 R ∂ Φ {\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\partial _{T},\;\;{\vec {e}}_{1}=\partial _{Z},\;\;{\vec {e}}_{2}=\partial _{R},\;\;{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{R}}\,\partial _{\Phi }} ここで、 は 時間的 単位 ベクトル場 であり、その他は 空間的 単位ベクトル 場です。各イベントでは、4 つすべてが相互に直交し、そのイベントを通過する世界線を持つ静的観測者の微小ローレンツ フレームを決定します。 e → 0 {\displaystyle {\vec {e}}_{0}}
これらのフレームフィールドを同時に 方向にブーストすると、ランジュバン観測者の物理的経験を記述する所望のフレームフィールドが得られる。すなわち、 e → 3 {\displaystyle {\vec {e}}_{3}}
p → 0 = 1 1 − ω 2 R 2 ∂ T + ω R 1 − ω 2 R 2 1 R ∂ Φ {\displaystyle {\vec {p}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R^{2}}}}\,\partial _{T}+{\frac {\omega \,R}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R^{2}}}}\;{\frac {1}{R}}\partial _{\Phi }} p → 1 = ∂ Z , p → 2 = ∂ R {\displaystyle {\vec {p}}_{1}=\partial _{Z},\;\;{\vec {p}}_{2}=\partial _{R}} p → 3 = 1 1 − ω 2 R 2 1 R ∂ Φ + ω R 1 − ω 2 R 2 ∂ T {\displaystyle {\vec {p}}_{3}={\frac {1}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R^{2}}}}\;{\frac {1}{R}}\,\partial _{\Phi }+{\frac {\omega \,R}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R^{2}}}}\,\partial _{T}} このフレームは、1935年に ポール・ランジュバン によって（暗黙的に）初めて導入されたようです。最初に 明示的に 使用されたのは、つい最近の1997年、TA・ウェーバーによるようです。このフレームは0 < R < 1/ωの領域で定義されます。この制限は根本的なもので、外側の境界付近では、ランジュバン観測者の速度が光速に近づくためです。
図2：この図は、 基準 ランジュバン観測者（赤線）とその近傍観測者（紺色の破線）の世界線を示しています。基準観測者が対称軸（緑の縦線）を1周する軌道の4分の1を示しています。 時間的単位ベクトル場の 各 積分曲線 は、円筒図では一定半径の 螺旋 として現れます（図1の赤い曲線など）。ランジュバン観測者を1人選び、他の観測者は 角速度ωで剛体回転する半径Rの リング に乗っているとします。このリングに乗っている観測者にとって「同時性線」として解釈できると期待される曲線が得られます。しかし、図1からわかるように、これらのリングに乗っている観測者が持つ理想的な時計は同期させることができません 。 これは、回転するリングでさえ、 空間幾何学 の満足のいく概念を定義するのは予想ほど容易ではないという最初のヒントです。 ましてや 回転する円盤となるとなおさらです ！ p → 0 {\displaystyle {\vec {p}}_{0}} p → 3 {\displaystyle {\vec {p}}_{3}}
ランジュバン合同の 運動学的分解 を計算すると、 加速度ベクトル は
∇ p → 0 p → 0 = − ω 2 R 1 − ω 2 R 2 p → 2 {\displaystyle \nabla _{{\vec {p}}_{0}}{\vec {p}}_{0}={\frac {-\omega ^{2}\,R}{1-\omega ^{2}\,R^{2}}}\;{\vec {p}}_{2}} これは放射状に内側を向いており、各螺旋世界線の（一定の）半径のみに依存します。 膨張テンソルは 同様にゼロとなり、これは近くのランジュバン観測者が互いに一定の距離を保つことを意味します。 渦度ベクトル は
Ω → = ω 1 − ω 2 R 2 p → 1 {\displaystyle {\vec {\Omega }}={\frac {\omega }{1-\omega ^{2}\,R^{2}}}\;{\vec {p}}_{1}} これは対称軸に平行です。これは、図2に示すように、各ランジュバン観測者の最も近い隣人の世界線が、 自身の世界線を中心にねじれて いることを意味します。これは一種の「渦巻き」または渦度という 局所的な概念 です。
対照的に、静止した観測者の世界線に直交する空間超スライスのいずれかに螺旋を投影すると 円が得られ、これは当然閉曲線となる。さらに、座標基底ベクトル は 空間的な キリングベクトル 場であり、その積分曲線は閉じた空間的曲線（実際には円）であり、さらに軸R = 0上で長さゼロの閉曲線に退化する。これは、我々の時空が 円筒対称性 を示すという事実を表し、また ランジュバン観測者による回転の
ある種の 大域的概念も示している。 T = T 0 {\displaystyle T=T_{0}} ∂ Φ {\displaystyle \partial _{\Phi }}
図2では、マゼンタ色の曲線は空間ベクトルがどのように 回転しているかを示しています （Z座標は重要ではないため、図では省略されています）。つまり、ベクトルは 世界線に沿って フェルミ・ウォーカー輸送されて いないため、ランジュバン座標系は 非慣性 と同様に 回転し ています。言い換えれば、ランジュバン座標系の直接的な導出において、座標系をラジアル座標基底ベクトル と整合させていました 。各ランジュバン観測者が の周りを一定速度で回転させる座標系を導入することで 、必要に応じて座標系の「回転を弱める」ことで、ジャイロ安定化バージョンを得ることができます。 p → 2 , p → 3 {\displaystyle {\vec {p}}_{2},\;{\vec {p}}_{3}} p → 1 {\displaystyle {\vec {p}}_{1}} p → 2 , p → 3 {\displaystyle {\vec {p}}_{2},\;{\vec {p}}_{3}} ∂ R {\displaystyle \partial _{R}} p → 1 {\displaystyle {\vec {p}}_{1}}
図3: ランジュバン観測者のための「空間単位」の概念を定義しようとする試み。ボルン線図に描かれている。この試みは少なくとも2つの理由から失敗する運命にある。この図は、 ω = 1/5 のときの 0 < r < 1の領域を示しており、 ϕ = πで不連続となっている。積分曲線を「成長」させて曲面を作った放射状の光線は、 ϕ = 0にある （この図では奥側）。 ボルン線図 を得るために 、ランジュバン観測者の螺旋世界線を単純な座標変換で直線化する。
t = T , z = Z , r = R , ϕ = Φ − ω T {\displaystyle t=T,\;\;z=Z,\;\;r=R,\;\;\phi =\Phi -\omega \,T} 新しい ライン要素 は
d s 2 = − ( 1 − ω 2 r 2 ) d t 2 + 2 ω r 2 d t d ϕ + d z 2 + d r 2 + r 2 d ϕ 2 , {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-\omega ^{2}r^{2}\right)\mathrm {d} t^{2}+2\omega r^{2}\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \phi +\mathrm {d} z^{2}+\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \phi ^{2},} − ∞ < t , z < ∞ , 0 < r < 1 ω , − π < ϕ < π {\displaystyle -\infty <t,\,z<\infty ,0<r<{\frac {1}{\omega }},\;-\pi <\phi <\pi } に関わる「交差項」に注目してください 。これは、ボルン座標系が 直交座標系ではないことを示しています。ボルン座標系は、 回転円筒座標系 と呼ばれることもあります 。 d t d ϕ {\displaystyle \mathrm {d} t\,\mathrm {d} \phi }
新しい図では、ランジュバン観測者の世界線は垂直な直線として現れます。実際、ランジュバン座標系を構成する4つのベクトル場を新しい図に簡単に変換できます。
p → 0 = 1 1 − ω 2 r 2 ∂ t {\displaystyle {\vec {p}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}\,\partial _{t}} p → 1 = ∂ z , p → 2 = ∂ r {\displaystyle {\vec {p}}_{1}=\partial _{z},\;\;{\vec {p}}_{2}=\partial _{r}} p → 3 = 1 − ω 2 r 2 r ∂ ϕ + ω r 1 − ω 2 r 2 ∂ t {\displaystyle {\vec {p}}_{3}={\frac {\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}{r}}\,\partial _{\phi }+{\frac {\omega \,r}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}\,\partial _{t}} これらは以前とまったく同じベクトル場です。単に異なる座標チャートで表現されているだけです。
言うまでもなく、円筒図では螺旋として現れるランジュバン観測者の世界線を「ほどく」過程で、ボルン図では螺旋として現れる静的観測者の世界線を「巻き上げ」てしまいました。また、ランジュバン座標系と同様に、ボルン図は0 < r < 1/ωの領域でのみ定義されることにも注意してください。
ランジュバン観測者の運動学的分解 、つまり時間的合同性を 再計算すれば 、もちろん以前と同じ答えが得られますが、新しいチャートで表現されます。具体的には、加速度ベクトルは p → 0 = 1 1 − ω 2 r 2 ∂ t {\displaystyle {\vec {p}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}\,\partial _{t}}
∇ p → 0 p → 0 = − ω 2 r 1 − ω 2 r 2 p → 2 {\displaystyle \nabla _{{\vec {p}}_{0}}\,{\vec {p}}_{0}={\frac {-\omega ^{2}\,r}{1-\omega ^{2}\,r^{2}}}\,{\vec {p}}_{2}} 膨張テンソルはゼロとなり、渦度ベクトルは
Ω → = ω 1 − ω 2 r 2 p → 1 {\displaystyle {\vec {\Omega }}={\frac {\omega }{1-\omega ^{2}\,r^{2}}}\;{\vec {p}}_{1}} 任意のフレーム体における時間的単位ベクトル場の双対共ベクトル場は、無限小空間超スライスを表します。しかし、 フロベニウスの可積分定理は、 これらの空間超平面要素を「編み合わせて」、合同の世界線にどこでも直交する空間超曲面の族を形成できるかどうかについて、強い制約を与えます。実際、これは可能であることが証明されており、その場合、合同は 超曲面直交であると言えるのは、 渦度ベクトルが等価的にゼロになる 場合のみです 。したがって、円筒チャートの静的観測者には 直交超スライス の唯一の族が認められますが、 ランジュバン観測者にはそのような超スライスは認められません 。特に、 ボルンチャートの空間面は 静的観測者には直交しますが、ランジュバン観測者には直交しません 。これは、「回転円盤の空間幾何学」を定義することが、予想されるほど単純ではないことを示す、2つ目の（そしてより的確な）示唆です。 T = T 0 {\displaystyle T=T_{0}} t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}}
この重要な点をよりよく理解するために、第3ランジュバンフレームベクトルの積分曲線を考えてみましょう。
p → 3 = 1 − ω 2 r 2 1 r ∂ ϕ + ω r 1 − ω 2 r 2 ∂ t {\displaystyle {\vec {p}}_{3}={\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}\,{\frac {1}{r}}\,\partial _{\phi }+{\frac {\omega \,r}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}\,\partial _{t}} 半径を通る曲線 である。（便宜上、議論では重要でない座標zは省略する。）これらの曲線は、 ϕ = 0 , t = 0 {\displaystyle \phi =0,\,t=0}
ϕ + ω t − t ω r 2 = 0 , − π < ϕ < π {\displaystyle \phi +\omega \,t-{\frac {t}{\omega \,r^{2}}}=0,\;\;-\pi <\phi <\pi } 図3に示されています。ランジュバン観測者にとって、これを「一度に一つの空間」と見なしたいのですが、2つの問題があります。
まず、フロベニウスの定理によれば、 は いかなる空間超スライスにも接していない。実際、初期半径を除いて、ベクトルは スライス 内には存在しない。したがって、空間超曲面を発見したとはいえ、それは 一部の ランジュバン観測者の世界線とのみ直交する 。フロベニウスの定理による阻害は、ベクトル場が リー代数 を形成できないという観点から理解できるため、この阻害は微分的であり、実際リー理論的である。つまり、これは、 回転する観測者にとって満足のいく空間超スライスの概念の存在に対する、 一種の 微小な阻害である。 p → 2 , p → 3 {\displaystyle {\vec {p}}_{2},\,{\vec {p}}_{3}} p → 2 {\displaystyle {\vec {p}}_{2}} p → 2 , p → 3 {\displaystyle {\vec {p}}_{2},\,{\vec {p}}_{3}}
第二に、図3に示すように、我々が試みたハイパースライスは、 積分曲線の「ジャンプ」（青色のグリッドの不連続として示されている）のために、「時間」の概念を不連続 にするだろう。あるいは、多値時間を用いることも考えられる。しかし、どちらの選択肢もあまり魅力的ではない！これは明らかに 大域的な障害である。これは言うまでもなく、円盤の縁など単一の リング に乗るランジュバン観測者の時計を同期させることすらできないことに起因する。ましてや 円盤 全体に乗るとなるとなおさらである 。
サニャック効果 一定の角速度ωで回転する半径のリングの円周上に 光ファイバー ケーブルを固定したと想像してください 。リングに乗った観測者によって測定される、ケーブル上を時計回りと反時計回りに送られるレーザーパルスの往復移動時間を計算します。簡単のため、光が光ファイバーケーブル中を真空中の光速よりもいくらか遅い速度で伝わるという事実は無視し、レーザーパルスの世界線はヌル曲線（ただし、ヌル測地線ではありません ！ ）であると仮定します。 r 0 {\displaystyle r_{0}}
ボルン線要素に を代入すると 、 d s = d z = d r = 0 {\displaystyle \mathrm {d} s=\mathrm {d} z=\mathrm {d} r=0}
( 1 − ω 2 r 0 2 ) d t 2 = 2 ω r 0 2 d t d ϕ + r 0 2 d ϕ 2 {\displaystyle (1-\omega ^{2}\,r_{0}^{2})\,\mathrm {d} t^{2}=2\omega \,r_{0}^{2}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \phi +r_{0}^{2}\,\mathrm {d} \phi ^{2}} または
d t + = r 0 d ϕ 1 − ω r 0 , d t − = − r 0 d ϕ 1 + ω r 0 {\displaystyle \mathrm {d} t_{+}={\frac {r_{0}\,\mathrm {d} \phi }{1-\omega \,r_{0}}},\quad \mathrm {d} t_{-}=-{\frac {r_{0}\,\mathrm {d} \phi }{1+\omega \,r_{0}}}} 往復の移動時間を取得します
Δ t + = ∫ 0 2 π r 0 d ϕ 1 − ω r 0 = 2 π r 0 1 − ω r 0 , Δ t − = ∫ 0 − 2 π − r 0 d ϕ 1 + ω r 0 = 2 π r 0 1 + ω r 0 {\displaystyle \Delta t_{+}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r_{0}\,\mathrm {d} \phi }{1-\omega \,r_{0}}}={\frac {2\pi r_{0}}{1-\omega \,r_{0}}},\quad \Delta t_{-}=\int _{0}^{-2\pi }-{\frac {r_{0}\,\mathrm {d} \phi }{1+\omega \,r_{0}}}={\frac {2\pi r_{0}}{1+\omega \,r_{0}}}} と置くと 、 （ω が正であれば反時計回り、ω が負であれば時計回り）となり、リングに乗っている観測者は、時計回りと反時計回りの移動時間の差から、リングの角速度（静止した観測者によって測定されたもの）を決定できます。これは サニャック効果 として知られています。これは明らかに 地球全体の効果 です。 δ = Δ t + − Δ t − 2 π r 0 {\displaystyle \delta ={\frac {\Delta t_{+}-\Delta t_{-}}{2\,\pi \,r_{0}}}} ω + , − = − 1 ± 1 + δ 2 r 0 δ {\displaystyle \omega _{+,-}={\frac {-1\pm {\sqrt {1+\delta ^{2}}}}{r_{0}\,\delta }}}
ヌル測地線 図4: ボルン図に描かれた2つの放射状ヌル測地線軌道（緑の曲線：外向き、赤の曲線：内向き）です。 半径R = R 0で 反時計回り に周回するランジュバン観測点Lの軌道（つまり、反時計回りに回転するリングに乗っている）も示されています（紺色の円）。パラメータ：ω = +0.2、R 0 =r 0 =1 円筒図とボルン図における ヌル測地線 の外観を比較します。
円筒図では 測地線方程式は 次のようになります。
T ¨ = 0 , Z ¨ = 0 , R ¨ − R Φ ˙ 2 = 0 , Φ ¨ + 2 R Φ ˙ R ˙ = 0. {\displaystyle {\ddot {T}}=0,\;\;{\ddot {Z}}=0,\;\;{\ddot {R}}-R\,{\dot {\Phi }}^{2}=0,\;\;{\ddot {\Phi }}+{\frac {2}{R}}\,{\dot {\Phi }}\,{\dot {R}}=0.} すぐに最初の積分が得られる。
T ˙ = E , Z ˙ = P , Φ ˙ = L R 2 . {\displaystyle {\dot {T}}=E,\;\;{\dot {Z}}=P,\;\;{\dot {\Phi }}={\frac {L}{R^{2}}}.} これらを線要素から を設定して得られた式に代入すると 、次の式が得られる。 d s 2 = 0 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=0}
R ˙ 2 = E 2 − P 2 − L 2 R 2 ≥ 0 {\displaystyle {\dot {R}}^{2}=E^{2}-P^{2}-{\frac {L^{2}}{R^{2}}}\geq 0} ここから、ヌル測地線の 最小半径 は次のように与えられることがわかる。
E 2 − P 2 − L 2 R m i n 2 = 0 {\displaystyle E^{2}-P^{2}-{\frac {L^{2}}{R_{\mathrm {min} }^{2}}}=0\quad } すなわち、 R m i n = | L | E 2 − P 2 {\displaystyle \quad R_{\mathrm {min} }={\frac {|L|}{\sqrt {E^{2}-P^{2}}}}} したがって
R ˙ 2 = L 2 ( 1 R m i n 2 − 1 R 2 ) . {\displaystyle {\dot {R}}^{2}=L^{2}\left({\frac {1}{R_{\mathrm {min} }^{2}}}-{\frac {1}{R^{2}}}\right).} 図 5: リングに乗るランジュバン観測者 ( r = r 0 = 1 ) 間のボルン チャートに描かれたヌル測地線。回転とともに伝播するヌル測地線は内側に曲げられ (緑の曲線)、回転に逆らって伝播するヌル測地線は外側に曲げられます (赤の曲線)。L 1 からL 2 への固有光移動時間Δ t 12 は 1.311、L 2 からL 1 への固有光移動時間Δ t 21 は 1.510 です。固有光移動時間は対称ではありませんが、レーダー距離 (Δ t 12 + Δ t 21 )/2 は対称です。ω → 0 の場合、両方の固有光移動時間は √ 2 = 1.414に近づきます 。反対側のランジュバン観測者 (L 1 と L 3 ) 間のヌル測地線は、回転の中心の周りに対称に曲がります。パラメータ: ω = +0.1、R 0 =r 0 =1、Δ ϕ (L 1 ,L 2 )=π/2、Δ ϕ (L 1 ,L 3 )=π 次のようにして、ヌル測地線をアフィンパラメータでパラメータ化された曲線として取得することができます。
R = ( E 2 − P 2 ) s 2 + L 2 / ( E 2 − P 2 ) = = ( E 2 − P 2 ) s 2 + R m i n 2 , T = T 0 + E s , Z = Z 0 + P s , Φ = Φ 0 + arctan ( E 2 − P 2 L s ) = = Φ 0 + arctan ( E 2 − P 2 R m i n sgn ( L ) s ) . {\displaystyle {\begin{aligned}R&={\sqrt {(E^{2}-P^{2})\,s^{2}+L^{2}/(E^{2}-P^{2})}}=\\&={\sqrt {(E^{2}-P^{2})\,s^{2}+R_{\mathrm {min} }^{2}}},\\T&=T_{0}+E\,s,\\[1em]Z&=Z_{0}+P\,s,\\\Phi &=\Phi _{0}+\operatorname {arctan} \left({\frac {E^{2}-P^{2}}{L}}\,s\right)=\\&=\Phi _{0}+\operatorname {arctan} \left({\frac {\sqrt {E^{2}-P^{2}}}{R_{\mathrm {min} }\,\operatorname {sgn} {(L)}}}\,s\right).\end{aligned}}} 私たちの目的にとってより有用なのは、ヌル測地線の 軌跡 （任意の空間超スライスへの投影）が当然直線であり、次のように表される という観察である。 T = T 0 {\displaystyle T=T_{0}}
R = R m i n sec ( Φ − Φ 0 ) . {\displaystyle R=R_{\mathrm {min} }\,\sec(\Phi -\Phi _{0}).} 2点を通る直線の最小半径（原点に最も近い点と同じ側）を求めるには、次のように解きます。
R 1 = R m i n sec ( Φ 1 − Φ 0 ) , R 2 = R m i n sec ( Φ 2 − Φ 0 ) {\displaystyle R_{1}=R_{\mathrm {min} }\,\sec(\Phi _{1}-\Phi _{0}),\;\;R_{2}=R_{\mathrm {min} }\,\sec(\Phi _{2}-\Phi _{0})} これにより
R m i n = R 1 R 2 | sin ( Φ 2 − Φ 1 ) | R 1 2 − 2 R 1 R 2 cos ( Φ 2 − Φ 1 ) + R 2 2 . {\displaystyle R_{\mathrm {min} }={\frac {R_{1}\,R_{2}\,|\sin(\Phi _{2}-\Phi _{1})|}{\sqrt {R_{1}^{2}-2\,R_{1}\,R_{2}\,\cos(\Phi _{2}-\Phi _{1})+R_{2}^{2}}}}.} ここで最も単純なケース、 ラジアルヌル測地線 （R min = L = 0, E = 1, P = 0）を考えてみましょう。外向きラジアルヌル測地線は次のように表すことができます。
T = s , Z = Z 0 , R = s , {\displaystyle T=s,\;Z=Z_{0},\;R=s,} Φ = c o n s t . = ω R 0 {\displaystyle \Phi =\mathrm {const.} =\omega \,R_{0}} リングに乗るランジュバン観測者の半径R 0 で表す（図4参照）。ボルンチャートに変換すると、軌道は次のように書けることがわかる。
r = r 0 − ϕ ω . {\displaystyle r=r_{0}-{\frac {\phi }{\omega }}.} ボルン図では、軌跡はわずかに曲がっているように見えます（図4の緑の曲線を参照）。「ボルン図への変換」のセクションでは、ランジュバン観測者にとってt = t 0 の直交ハイパースライスが存在しないため、ボルン図ではこれらの「軌跡」を「投影」と呼ぶことは適切ではないことが分かります（図3を参照）。
同様に内向き放射状ヌル測地線では次のようになる。
r = ϕ ω {\displaystyle r={\frac {\phi }{\omega }}} 図4に赤い曲線で示されています。
R = 0 で静止している観測者 S に向けてレーザーパルスを送信するには、ランジュバン観測者 L は自身の動きを補正するために わずかに後ろを向く 必要があることに注意してください。逆に、鴨猟師が反時計回りに回転するリングに乗っているランジュバン観測者に向けてレーザーパルスを送信する場合、中央観測者は、この観測者の現在の位置ではなく、信号を傍受するのにちょうど間に合う位置を狙う必要があります。これらの内向きおよび外向きのラジアルヌル測地線の族は、時空において非常に異なる曲線を表しており、それらの投影は ω > 0 では一致しません。
図6：ボルン図に描かれたヌル測地線弧。これは、リングに乗る観測者から別の観測者へ送られる信号をモデル化したものである。これらの観測者の世界線は青い縦線で、対称中心は緑の縦線で示されている。ヌル測地線（琥珀色の弧）がわずかに内側に曲がっているように見えることに注目してほしい（図5の緑の曲線も参照）。 同様に、リングに乗るランジュバン観測者間のヌル測地線は、測地線が回転方向に沿って伝播する場合、ボルンチャートではわずかに内側に曲がって見える（図5の緑の曲線を参照）。これを確認するには、円筒チャートにおけるヌル測地線の方程式を次のように書き表す。
T = R m i n tan ( Φ ) , {\displaystyle T=R_{\mathrm {min} }\,\tan(\Phi ),} R = R m i n sec ( Φ ) . {\displaystyle R=R_{\mathrm {min} }\,\sec(\Phi ).} ボルン座標に変換すると、次の方程式が得られる。
t = r m i n tan ( ϕ + ω t ) , {\displaystyle t=r_{\mathrm {min} }\,\tan(\phi +\omega \,t),} r = r m i n sec ( ϕ + ω t ) . {\displaystyle r=r_{\mathrm {min} }\,\sec(\phi +\omega \,t).} ϕ を消去する と
r = r m i n 2 + t 2 {\displaystyle r={\sqrt {r_{\mathrm {min} }^{2}+t^{2}}}} これは、測地線が実際に内側に曲がっているように見えることを示しています（図6参照）。また、
ϕ = − ω t + arctan ( t / r m i n ) . {\displaystyle \phi =-\omega \,t+\operatorname {arctan} (t/r_{\mathrm {min} }).} 回転に逆らって伝播するヌル測地線（図5の赤い曲線）の場合、次の式が得られます。
r = r m i n 2 + t 2 , {\displaystyle r={\sqrt {r_{\mathrm {min} }^{2}+t^{2}}},} ϕ = − ω t − arctan ( t / r m i n ) {\displaystyle \phi =-\omega \,t-\operatorname {arctan} (t/r_{\mathrm {min} })} そして測地線はわずかに外側に曲がっています。これで、ボルン図におけるヌル測地線の外観の説明は完了です。すべてのヌル測地線は放射状であるか、円筒対称軸に最も近い点を持つためです。
図5を参照）リングライディング観測者が、別のリングライディング観測者にレーザーパルスを送信しようとする場合、目標物の回転運動を補正するために、ボルン図に示されている角度座標のわずかに前方または後方に照準を合わせる必要があることに注意してください。また、ここで示された図は、移動する観測者が天球上の他の物体の見かけの位置を自身の運動方向に合わせて 変位させるという私たちの予想（ 夜空の見え方を 参照）と完全に一致していることにも注意してください 。
大規模なレーダー距離 図 7: この模式図は、リングに乗る観測者と静的な中央観測者 (同じ Z座標を持つ) 間の レーダー距離 の概念を示しています 。 平坦な時空においても、加速する観測者（線形加速する観測者も含む。リンドラー座標を参照）は、様々な 異なる 、しかし操作上重要な距離の概念を用いることができること が分かっている 。おそらく最も単純なのは レーダー距離 である。
R = 0 の静止観測者が、R = R 0 のリングライディング観測者までの距離をどのように決定するかを考えてみましょう 。イベント C において、観測者はリングに向かってレーダーパルスを送信します。このパルスは A ′ のリングライディング観測者の世界線に衝突し、イベント C ″で中央観測者に戻ります 。（図7の 右側の図を参照）。そして、観測者は（観測者が所持する理想的な時計で測定された）経過時間を2で割ります。この距離は、円筒図では単純に R 0 、 ボルン図で
は r 0 となることは容易に理解できます。
同様に、リングに乗る観測者は、イベント A で中央観測者に向けてレーダーパルスを送信することにより、中央観測者までの距離を判定できます。このパルスは、イベント C ′ でリングに乗る観測者の世界線に衝突し、イベント A ''でリングに乗る観測者に戻ります 。(図 7 の左側の図を参照してください。) この距離に対して 、(円筒図の場合) または (ボルン図の場合) 中央観測者によって取得される結果よりもいくぶん小さい結果が得られることは容易にわかります。 これは時間の遅れの結果です。リングに乗る観測者の経過時間は、 中央観測者の時間よりも係数だけ小さくなります。 このように、レーダー距離には単純な操作上の意味がありますが、 対称でもありません 。 R 0 1 − ω 2 R 0 2 {\displaystyle R_{0}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R_{0}^{2}}}} r 0 1 − ω 2 r 0 2 {\displaystyle r_{0}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r_{0}^{2}}}} 1 − ω 2 r 0 2 {\displaystyle {\sqrt {1-\omega ^{2}\,r_{0}^{2}}}}
図8：この模式図は、 角速度 ωで回転する半径 R 0 のリングに乗った2つのランジュバン観測者間の レーダー距離 の概念を示しています。左の図ではリングは反時計回りに回転しており、右の図ではリングは時計回りに回転しています。 この重要な点を理解するために、半径座標R = R 0 を持つ2つのリングライディング観測者によって得られたレーダー距離を比較してみましょう。図8の左側の図では、イベント A の座標は 次のように
表すことができます。
T = 0 , Z = 0 , X = R 0 , Y = 0 {\displaystyle T=0,\;Z=0,\;X=R_{0},Y=0} そして、イベントB ′ の座標は次のように書ける。
T = 2 R 0 sin ( Φ 2 ) , Z = 0 , {\displaystyle T=2\,R_{0}\,\sin \left({\frac {\Phi }{2}}\right),\;Z=0,} X = R 0 cos ( Φ ) , Y = R 0 sin ( Φ ) {\displaystyle X=R_{0}\cos(\Phi ),\;Y=R_{0}\sin(\Phi )} 未知の経過固有時間を と書き、イベント A の座標を と書きます 。 Δ s {\displaystyle \Delta s}
T = Δ s 1 − ω 2 R 0 2 , Z = 0 {\displaystyle T={\frac {\Delta s}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R_{0}^{2}}}},\;Z=0} X = R 0 cos ( ω Δ s 1 − ω 2 R 0 2 ) , Y = R 0 sin ( ω Δ s 1 − ω 2 R 0 2 ) {\displaystyle X=R_{0}\cos \left({\frac {\omega \,\Delta s}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R_{0}^{2}}}}\right),\;Y=R_{0}\sin \left({\frac {\omega \,\Delta s}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,R_{0}^{2}}}}\right)} これらのイベントを結ぶ線分がゼロであることを条件とすることで、原理的にはΔ s について解くことができる方程式が得られます。この手順はかなり複雑な非線形方程式となるため、ここでは代表的な数値結果をいくつか示します。R 0 = 1、Φ = π/2、ω = 1/10とすると 、 A から B まで の レーダー距離は約1.311、BからAまでの距離は約1.510となります。ωがゼロに近づくにつれて、両方の結果は √2 = 1.414 に近づきます（図5も参照）。
これらの矛盾は、おそらく落胆させるものとなるかもしれないが、 単一の ランジュバン観測者、あるいはミンコフスキー時空において任意の加速度運動をする単一の観測者の物理的経験を記述するのに適した座標チャートを考案することは、決して不可能ではない。パウリとヴァリスネリは、 メルツケ＝ホイーラー時計同期手順を応用し、 メルツケ＝ホイーラー座標 と呼ぶ適応座標を考案した （下記の論文を参照）。定常円運動の場合、このチャートは、与えられたランジュバン観測者からの「大局的」レーダー距離の概念と非常に密接に関連している。
小さなレーダー距離 上述のように、様々な理由から、ランジュバン観測者の族は直交超スライスの族を許容しない。したがって、 これらの観測者は、時空を連続する「定数時間スライス」の族にスライスするいかなる方法にも関連付けることができない。
しかし、ランジュバン合同は 定常で あるため、この合同における各 世界線を 点 に置き換えることが考えられます 。つまり、ミンコフスキー時空の 商空間 （あるいは領域 0 < R < 1/ ω ）をランジュバン合同で表すことができ、これは3次元 位相多様体 となります。さらに、この商多様体に リーマン計量 を適用することで、3次元 リーマン多様 体 に変換することができ、計量が単純な操作的意味を持つようになります。
これを理解するには、ボルン線要素を考えてみましょう。
d s 2 = − ( 1 − ω 2 r 2 ) d t 2 + 2 ω r 2 d t d ϕ + d z 2 + d r 2 + r 2 d ϕ 2 , {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-(1-\omega ^{2}\,r^{2})\,\mathrm {d} t^{2}+2\,\omega \,r^{2}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \phi +\mathrm {d} z^{2}+\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \phi ^{2},} − ∞ < t , z < ∞ , 0 < r < 1 ω , − π < ϕ < π . {\displaystyle -\infty <t,z<\infty ,\;\;0<r<{\frac {1}{\omega }},\;\;-\pi <\phi <\pi .} d s 2 = 0 としてd t について解くと、
d t + = ω r 2 d ϕ + ( 1 − ω 2 r 2 ) ( d z 2 + d r 2 ) + r 2 d ϕ 2 1 − ω 2 r 2 , {\displaystyle \mathrm {d} t_{+}={\frac {\omega \,r^{2}\,\mathrm {d} \phi +{\sqrt {(1-\omega ^{2}\,r^{2})\;(\mathrm {d} z^{2}+\mathrm {d} r^{2})+r^{2}\,\mathrm {d} \phi ^{2}}}}{1-\omega ^{2}\,r^{2}}},} d t − = ω r 2 d ϕ − ( 1 − ω 2 r 2 ) ( d z 2 + d r 2 ) + r 2 d ϕ 2 1 − ω 2 r 2 . {\displaystyle \mathrm {d} t_{-}={\frac {\omega \,r^{2}\,\mathrm {d} \phi -{\sqrt {(1-\omega ^{2}\,r^{2})\;(\mathrm {d} z^{2}+\mathrm {d} r^{2})+r^{2}\,\mathrm {d} \phi ^{2}}}}{1-\omega ^{2}\,r^{2}}}.} ランジュバン観測器から放射される往復レーダーブリップの 経過 固有時間は、
1 − ω 2 r 2 d t + − d t − 2 = d z 2 + d r 2 + r 2 d ϕ 2 1 − ω 2 r 2 . {\displaystyle {\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}\;{\frac {\mathrm {d} t_{+}-\mathrm {d} t_{-}}{2}}={\sqrt {\mathrm {d} z^{2}+\mathrm {d} r^{2}+{\frac {r^{2}\,\mathrm {d} \phi ^{2}}{1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}}.} したがって、この商多様体では、リーマン直線要素
d σ 2 = d z 2 + d r 2 + r 2 d ϕ 2 1 − ω 2 r 2 , {\displaystyle \mathrm {d} \sigma ^{2}=\mathrm {d} z^{2}+\mathrm {d} r^{2}+{\frac {r^{2}\,\mathrm {d} \phi ^{2}}{1-\omega ^{2}\,r^{2}}},} − ∞ < t < ∞ , 0 < r < 1 ω , − π < ϕ < π {\displaystyle -\infty <t<\infty ,\;\;0<r<{\frac {1}{\omega }},\;\;-\pi <\phi <\pi } は、無限小距離にあるランジュバン観測者 間の距離に対応する。これを ランジュバン・ランダウ・リフシッツ計量 と呼び 、この距離の概念を 「微小距離における」レーダー距離 と呼ぶことができる。
この測定基準はランジュバン によって初めて与えられた が、「小さな」レーダー距離による解釈は、 レフ・ランダウ と エフゲニー・リフシッツ によるものであり、彼らはこの構成を、 任意の ロレンツ多様体 の定常時間的合同による商に適用できるように一般化した 。
コフレーム を採用すると
θ 1 ^ = d z , θ 2 ^ = d r , θ 3 ^ = r d ϕ 1 − ω 2 r 2 {\displaystyle \theta ^{\hat {1}}=\mathrm {d} z,\;\;\theta ^{\hat {2}}=\mathrm {d} r,\;\;\theta ^{\hat {3}}={\frac {r\,\mathrm {d} \phi }{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}} 3次元商多様体の リーマン曲率 テンソルは簡単に計算できる。この多様体は2つの独立した非自明な成分のみを持つ。
R 3 ^ 2 ^ 3 ^ 2 ^ = − 3 ω 2 ( 1 − ω 2 r 2 ) 2 = − 3 ω 2 + O ( ω 4 r 2 ) , {\displaystyle {R^{\hat {3}}}_{{\hat {2}}{\hat {3}}{\hat {2}}}={\frac {-3\,\omega ^{2}}{(1-\omega ^{2}r^{2})^{2}}}=-3\,\omega ^{2}+O(\omega ^{4}\,r^{2}),} R 2 ^ 3 ^ 2 ^ 3 ^ = − 3 ω 2 r 2 ( 1 − ω 2 r 2 ) 3 = − 3 ω 2 r 2 + O ( ω 4 r 4 ) . {\displaystyle {R^{\hat {2}}}_{{\hat {3}}{\hat {2}}{\hat {3}}}={\frac {-3\,\omega ^{2}\,r^{2}}{(1-\omega ^{2}r^{2})^{3}}}=-3\,\omega ^{2}\,r^{2}+O(\omega ^{4}\,r^{4}).} したがって、ある意味では、 回転ディスクの形状は 、 テオドール・カルツァが 1910 年に（証明なしに）主張したように、湾曲しています。実際、 ω の 2 次までは、カルツァが主張したように、双曲面の形状になっています。
警告: これまで見てきたように、剛体回転ディスク上のランジュバン観測者が使用できる距離の概念は多数存在するため、「回転ディスクの幾何学」に関する記述には常に慎重な限定が必要です。
この重要な点を理解するために、ランダウ・リフシッツ計量を用いて、半径R 0 のリングに乗るランジュバン観測者 と中心の静的観測者との間の距離を計算してみましょう。これを行うには、適切なヌル測地線上で線要素を積分するだけで済みます。以前の研究から、
d r = d ϕ ω , d z = 0 {\displaystyle \mathrm {d} r={\frac {\mathrm {d} \phi }{\omega }},\,\mathrm {d} z=0} ライン要素に統合して
∫ 0 Δ d σ = ∫ 0 r 0 ( 1 + ω 2 r 2 1 − ω 2 r 2 ) 1 2 d r . {\displaystyle \int _{0}^{\Delta }\mathrm {d} \sigma =\int \limits _{0}^{r_{0}}{\left(1+{\frac {\omega ^{2}r^{2}}{1-\omega ^{2}r^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}\,\mathrm {d} r.} これにより
Δ = ∫ 0 r 0 d r 1 − ω 2 r 2 = arcsin ( ω r 0 ) ω = r 0 + ω 2 r 0 3 6 + O ( r 0 5 ) . {\displaystyle \Delta =\int _{0}^{r_{0}}{\frac {\mathrm {d} r}{\sqrt {1-\omega ^{2}\,r^{2}}}}={\frac {\arcsin(\omega r_{0})}{\omega }}=r_{0}+{\frac {\omega ^{2}\,r_{0}^{3}}{6}}+O(r_{0}^{5}).} 我々は現在リーマン計量を扱っているため、この距離の概念は当然のことながら、2つの観測者を入れ替える際に 対称的で あり、「大局的」なレーダー距離とは異なります。この概念によって与えられる値は、前のセクションで計算された「大局的」なレーダー距離とは矛盾します。また、ランダウ・リフシッツ計量は2次までアインシュタインの同期規約と一致するため、今計算した曲率テンソルには操作上の意味があることがわかります。ランジュバン観測者間の「大局的」なレーダー距離は確かに リーマン的な距離の概念ではありませんが、 近接する ランジュバン観測者間の距離は、ランジュバン・ランダウ・リフシッツ計量によって与えられるリーマン的な距離に対応します。（ ハワード・パーシー・ロバートソン の巧みな言葉を借りれば 、これは 「小規模な運動学」 です。）
ランジュバン観測者にとっての空間距離に関するすべての合理的な概念が近くの観測者にも一致することを確認する 1 つの方法は、 ネイサン ローゼン に従って、任意の 1 人のランジュバン観測者について、 瞬間的に共動する慣性観測者 も、非常に小さな距離に対して、ランジュバン-ランダウ-リフシッツ計量によって与えられる距離を得ることを示すことです。
参照
参考文献 歴史的に興味深い論文をいくつか紹介します。
M.生まれ（1909年）。 「相対運動学におけるスターレン電子の理論」。 アンナレン・デア・フィジーク 。 30 (11): 1–56 。 ビブコード :1909AnP...335....1B。 土井 ：10.1002/andp.19093351102。 ウィキソース翻訳: 相対性原理の運動学における剛体電子の理論 エーレンフェスト、P. (1909)。 「Gleichförmige Rotation starrer Körper und Relativitätstheorie」。 物理学。 Z 。 10 : 918。 Bibcode :1909PhyZ...10..918E。 ランジュバン、P. (1935)。 「プルニエのノート」。 CRアカデミー。科学。パリ 。 200 ：48 いくつかの古典的な参考文献:
最近の選択された情報源:
Rizzi, G. & Ruggiero, ML (2004). 回転系における相対性理論 . ドルドレヒト: Kluwer. ISBN 1-4020-1805-3 。 本書には 、オイヴィンド・グロンによる貴重な歴史的概説、 エーレンフェストのパラドックス と関連する論争に関する他の論文 、そしてランジュバン合同について論じたルイス・ベルの論文が収録されています。さらに数百点の参考文献も本書に掲載されています。 パウリ, マッシモ & ヴァリスネリ, ミシェル (2000). 「特殊相対論における加速観測者のためのメルツケ・ウィーラー座標」. Found. Phys. Lett . 13 (5): 401– 425. arXiv : gr-qc/0006095 . Bibcode :2000gr.qc.....6095P. doi :10.1023/A:1007861914639. S2CID 15097773. 単一のランジュバン観測者からのレーダー距離 を用いて構築された座標チャートを研究する 。eプリント版も参照のこと。
外部リンク 相対性理論における剛体回転ディスク、Michael Weiss (1995) 著、 sci.physics FAQ より。 
![{\displaystyle {\begin{aligned}R&={\sqrt {(E^{2}-P^{2})\,s^{2}+L^{2}/(E^{2}-P^{2})}}=\\&={\sqrt {(E^{2}-P^{2})\,s^{2}+R_{\mathrm {min} }^{2}}},\\T&=T_{0}+E\,s,\\[1em]Z&=Z_{0}+P\,s,\\\Phi &=\Phi _{0}+\operatorname {arctan} \left({\frac {E^{2}-P^{2}}{L}}\,s\right)=\\&=\Phi _{0}+\operatorname {arctan} \left({\frac {\sqrt {E^{2}-P^{2}}}{R_{\mathrm {min} }\,\operatorname {sgn} {(L)}}}\,s\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/417b52c09902fd606f9e9ca192947dedd154aa69)
