跳ねるボール

Physics of bouncing balls

跳ねるボール。空気抵抗のため、完全に放物線状にはならない。

バウンドするボールの物理学は、バウンドする ボールの物理的挙動、特に他の物体の表面に衝突する前、衝突中、衝突後の動きに関係します。バウンドするボールの挙動のいくつかの側面は、高校や大学レベルの物理学の授業で力学の入門として扱われます。しかし、その挙動の正確なモデル化は複雑であり、スポーツ工学の分野では興味深いものです。

ボールの運動は一般的に投射運動（重力、抗力、マグヌス効果、浮力の影響を受ける）によって説明され、その衝撃は通常反発係数（ボールの性質、衝突面の性質、衝突速度、回転、温度や圧力などの局所的な条件の影響を受ける）によって特徴付けられる。フェアプレーを保障するため、多くのスポーツ統括団体はボールの弾力性に制限を設け、ボールの空気力学的特性の改ざんを禁止している。ボールの弾力性は、メソアメリカの球技と同じくらい古い時代からスポーツの特徴であった。^[1]

飛行中の力と運動への影響

飛行中に回転するボールに作用する力は、重力( F _G )、抗力( F _D )、マグナス力( F _M )、浮力( F _B ) です。

バウンドするボールの運動は、投射運動に従う。^{[2] [3]}実際のボールには、重力（F _G）、空気抵抗による抗力（F _D）、ボールの回転によるマグナス力（F _M）、そして浮力（F _{B ）など、多くの力が作用する。一般的に、ボールの運動を解析するには、}ニュートンの運動の第二法則をすべての力を考慮して用いる必要がある。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum \mathbf {F} &=m\mathbf {a} ,\\\mathbf {F} _{\text{G}}+\mathbf {F} _{\text{D}}+\mathbf {F} _{\text{M}}+\mathbf {F} _{\text{B}}&=m\mathbf {a} =m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}},\end{aligned}}}$

ここで、 mはボールの質量です。ここで、a、v、rはそれぞれ、時間tにおけるボールの加速度、速度、位置を表します。

重力

抗力なしで衝突後に70°の角度で跳ね返るボールの軌道  ストークス抗力  ニュートン抵抗  。

重力は下向きで、^{[4]に等しい。}

${\displaystyle F_{\text{G}}=mg,}$

ここで、 mはボールの質量、gは重力加速度で、地球上では9.764  m/s ²および9.834 m/s ²。^[5]他の力は通常小さいため、運動は重力の影響のみを受けていると理想化されることが多い。ボールに重力のみが作用する場合、力学的エネルギーは飛行中に保存される。この理想化されたケースでは、運動方程式は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=-g\mathbf {\hat {j}} ,\\\mathbf {v} &=\mathbf {v} _{\text{0}}+\mathbf {a} t,\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\frac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2},\end{aligned}}}$

ここで、 a、v、r はそれぞれボールの加速度、速度、位置を表し、v ₀とr ₀はそれぞれボールの初期速度と位置です。

より具体的には、ボールが地面に対して角度θで跳ね返った場合、 x軸とy軸（それぞれ水平方向と垂直方向の動きを表す）の動きは^{[6]で記述されます。}

x軸	y軸
${\displaystyle {\begin{aligned}a_{\text{x}}&=0,\\v_{\text{x}}&=v_{0}\cos \left(\theta \right),\\x&=x_{0}+v_{0}\cos \left(\theta \right)t,\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}a_{\text{y}}&=-g,\\v_{\text{y}}&=v_{0}\sin \left(\theta \right)-gt,\\y&=y_{0}+v_{0}\sin \left(\theta \right)t-{\frac {1}{2}}gt^{2}.\end{aligned}}}$

これらの式は、平らな表面で跳ねるボールの最大高さ（H）と最大距離（R）および飛行時間（T ）が^{[2] [6]で与えられることを示唆している。}

${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}\sin ^{2}\left(\theta \right),\\R&={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\sin \left(2\theta \right),~{\text{and}}\\T&={\frac {2v_{0}}{g}}\sin \left(\theta \right).\end{aligned}}}$

空気抵抗（および抗力や風などの関連する効果）、マグヌス効果、浮力を考慮することで、ボールの動きをさらに精密に解析することができます。軽いボールは加速しやすいため、これらの力の影響をより強く受けます。

ドラッグ

ボールの周りの空気の流れは、次のように定義されるレイノルズ数(Re)に応じて層流または乱流になります。

${\displaystyle {\text{Re}}={\frac {\rho Dv}{\mu }},}$

ここでρは空気の密度、μは空気の動粘性、Dはボールの直径、vは空気中のボールの速度である。20℃、ρ =1.2 kg/m ³およびμ =1.8 × 10 ⁻⁵  Pa·s . ^[7]

レイノルズ数が非常に低い場合（Re < 1）、ボールにかかる抗力はストークスの法則によって記述されます。^[8]

${\displaystyle F_{\text{D}}=6\pi \mu rv,}$

ここで、rはボールの半径です。この力はボールの進行方向（の方向）と反対方向に作用します。しかし、ほとんどのスポーツボールではレイノルズ数は^10⁻⁻から10⁻⁻の^範囲にあり、ストークスの法則は適用されません。^[9]レイノルズ数がこれらの高い値の場合、ボールにかかる抗力は抗力方程式で表されます。^[10] ${\displaystyle \textstyle -{\hat {\mathbf {v} }}}$

${\displaystyle F_{\text{D}}={\frac {1}{2}}\rho C_{\text{d}}Av^{2},}$

ここで、C _dは抗力係数、A はボールの断面積です。

抗力はボールの飛行中に力学的エネルギーを失わせ、飛距離と高さを低下させます。また、横風はボールを本来の軌道から逸らします。ゴルフなどのスポーツでは、両方の影響を考慮する必要があります。

マグナス効果

バックスピンのかかったボールに作用するマグナス力。渦巻く流れ線は乱流の 流れを表している。気流はスピンの方向に偏向している。

卓球では、熟練した選手はボールの回転を巧みに利用して、飛行中のボールの軌道や、打球面に当たった際の反応を変化させることができます。トップスピンでは、ボールは飛行中に最高高度に達し（1）、その後急激に下向きにカーブします（2）。この衝撃でボールは前方に推進され（3）、相手選手のラケットに当たった際に上向きに跳ね返ります。バックスピンの場合は、状況が逆になります。

ボールの回転はマグヌス効果によって軌道に影響を与えます。クッタ・ジュコフスキーの定理によれば、非粘性気流中の回転球に対して、マグヌス力は^{[11]に等しいとされています。}

${\displaystyle F_{\text{M}}={\frac {8}{3}}\pi r^{3}\rho \omega v,}$

ここで、rはボールの半径、ωはボールの角速度（または回転速度）、ρは空気の密度、vは空気に対するボールの相対速度である。この力は、運動に垂直で、かつ回転軸に垂直な方向（の方向）に向いている。この力は、バックスピンの場合は上向き、トップスピンの場合は下向きである。実際には、流れは決して非粘性ではなく、マグナスの揚力は^[12]によってより適切に説明される。 ${\displaystyle \textstyle {\hat {\mathbf {\omega } }}\times {\hat {\mathbf {v} }}}$

${\displaystyle F_{\text{M}}={\frac {1}{2}}\rho C_{\text{L}}Av^{2},}$

ここで、ρは空気の密度、C _{L は}揚力係数、Aはボールの断面積、vは空気に対するボールの速度です。揚力係数は複雑な係数であり、rω / v比、レイノルズ数、表面粗さなどに依存します。^[12]特定の条件下では、揚力係数は負の値になることさえあり、マグナス力の方向が変わります（逆マグナス効果）。^{[4] [13] [14]}

テニスやバレーボールなどのスポーツでは、プレーヤーはマグヌス効果を利用して、飛行中のボールの軌道（例えばトップスピンやバックスピン）をコントロールすることができます。ゴルフでは、この効果はスライスやフックの原因となり、通常はゴルファーにとって不利となりますが、ドライブやその他のショットの飛距離を伸ばすのにも役立ちます。^{[15] [16]}野球では、投手がこの効果を利用してカーブボールなどの特殊な球種を生み出します。^[17]

ボールの改ざんはしばしば違法であり、 2006年8月のイングランド対パキスタン戦のように、クリケットの論争の中心となることが多い。^{[18]野球では、「}スピットボール」という用語は、ボールの空気力学を変えるために唾やその他の物質でボールを違法にコーティングすることを意味します。 ^[19]

浮力

水や空気などの流体に浸された物体は、上向きの浮力を受ける。^[20]アルキメデスの原理によれば、この浮力は物体が押しのけた流体の重さに等しい。球の場合、この力は

${\displaystyle F_{\text{B}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho g.}$

浮力は通常、抗力やマグヌス力に比べて小さく、無視できる場合が多い。しかし、バスケットボールの場合、浮力はボールの重量の約1.5%に達することがある。^[20]浮力は上向きであるため、ボールの飛距離と高さを増加させる作用をする。

インパクト

ボールが表面に衝突する際の圧縮（A→B）と減圧（B→C）。衝突力は通常、少なくとも小さな圧縮の場合、圧縮距離に比例し、バネ力としてモデル化できます。^{[21] [22]}

外部ビデオ
フロリアン・コーン (2013). 「スローモーションで跳ねるボール：ゴムボール」. YouTube .

ボールが表面に衝突すると、表面は反発して振動し、ボールも同様に音と熱を発生させ、ボールは運動エネルギーを失います。さらに、衝突によってボールは回転し、並進運動エネルギーの一部が回転運動エネルギーに変換されます。このエネルギー損失は通常、反発係数（COR、eと表記）によって（間接的に）特徴付けられます。^{[23] [注 1]}

${\displaystyle e=-{\frac {v_{\text{f}}-u_{\text{f}}}{v_{\text{i}}-u_{\text{i}}}},}$

ここで、v _fとv _iはそれぞれボールの最終速度と初速度、u _fとu _iはそれぞれ衝突面の最終速度と初速度である。ボールが動かない面に衝突する場合、CORは次のように簡略化される。

${\displaystyle e=-{\frac {v_{\text{f}}}{v_{\text{i}}}}.}$

床に落とされたボールの場合、CORは0（バウンドなし、エネルギー損失なし）から1（完全にバウンド、エネルギー損失なし）の間で変化します。COR値が0未満または1を超えることも理論的には可能ですが、これはボールが表面を突き抜けた（ e < 0 ）か、ボールがバネ仕掛けのプラットフォームに着地した場合のように、表面が「緩和」されていなかった（e > 1 ）ことを示します。

運動の垂直成分と水平成分を分析するために、CORは法線COR（e _y）と接線COR（e _x）に分割されることがあります。これらは次のように定義されます^[24]

${\displaystyle e_{\text{y}}=-{\frac {v_{\text{yf}}-u_{\text{yf}}}{v_{\text{yi}}-u_{\text{yi}}}},}$

${\displaystyle e_{\text{x}}=-{\frac {(v_{\text{xf}}-r\omega _{\text{f}})-(u_{\text{xf}}-R\Omega _{\text{f}})}{(v_{\text{xi}}-r\omega _{\text{i}})-(u_{\text{xi}}-R\Omega _{\text{i}})}},}$

ここで、rとωはボールの半径と角速度を表し、RとΩは衝突面（野球のバットなど）の半径と角速度を表します。特に、rωはボール表面の接線速度、 RΩは衝突面の接線速度です。これらは、ボールが斜めの角度で表面に衝突する場合、または回転が関与する場合に特に重要です。

回転せずに地面にまっすぐ落下し、重力の力だけがボールに作用する場合、CORは他のいくつかの量と次のように関連付けることができます。^{[22] [25]}

${\displaystyle e=\left|{\frac {v_{\text{f}}}{v_{\text{i}}}}\right|={\sqrt {\frac {K_{\text{f}}}{K_{\text{i}}}}}={\sqrt {\frac {U_{\text{f}}}{U_{\text{i}}}}}={\sqrt {\frac {H_{\text{f}}}{H_{\text{i}}}}}={\frac {T_{\text{f}}}{T_{\text{i}}}}={\sqrt {\frac {gT_{\text{f}}^{2}}{8H_{\text{i}}}}}.}$

ここで、KとUはボールの運動エネルギーと位置エネルギー、 Hはボールの最大高度、Tはボールの飛行時間です。添え字の「i」と「f」は、ボールの初期状態（インパクト前）と最終状態（インパクト後）を表します。同様に、インパクト時のエネルギー損失はCORと次のように関連付けられます。

${\displaystyle {\text{Energy Loss}}={\frac {{K_{\text{i}}}-{K_{\text{f}}}}{K_{\text{i}}}}\times 100\%=\left(1-e^{2}\right)\times 100\%.}$

ボールのCORはいくつかの要因によって影響を受けますが、主に

• 衝突面の性質（例：芝生、コンクリート、金網）^{[25] [26]}
• ボールの素材（例：革、ゴム、プラスチック）^[22]
• ボール内部の圧力（中空の場合）^[22]
• インパクト時にボールに生じる回転量^[27]
• 衝突速度^{[21] [22] [26] [28]}

温度などの外的条件は、衝突面やボールの特性を変化させ、より柔軟になったり、より硬くなったりすることがあります。これは、COR（反面、反発係数）に影響を与えます。^[22]一般的に、衝突速度が速いほどボールはより大きく変形し、それに応じてエネルギー損失も大きくなり、CORは低下します。^{[22] [28]}

スピンと衝突角度

回転するボールが衝突する際に作用する力は、重力、法線力、そして摩擦力（一般的に「並進」成分と「回転」成分の両方を持つ）です。表面が斜めになっている場合、重力は表面に対して斜めに作用しますが、他の力は表面に対して垂直または平行のままです。

外部ビデオ
BiomechanicsMMU (2008). 「ゴルフのインパクト - スローモーションビデオ」YouTube .

地面に衝突すると、ボールの衝突角度と角速度に応じて、並進運動エネルギーの一部が回転運動エネルギーに変換され、またその逆も起こります。ボールが衝突時に水平方向に動いている場合、摩擦はボールの運動方向と反対方向に「並進」成分を持ちます。図では、ボールは右方向に動いているため、摩擦の並進成分によってボールは左方向に押されます。また、ボールが衝突時に回転している場合、摩擦はボールの回転方向と反対方向に「回転」成分を持ちます。図では、ボールは時計回りに回転しており、地面に衝突した点はボールの質量中心に対して左方向に動いています。したがって、摩擦の回転成分はボールを右方向に押します。垂直抗力や重力とは異なり、これらの摩擦力はボールにトルクを及ぼし、角速度 ( ω ) を変化させます。^{[29] [30] [31] [32]}

3つの状況が発生する可能性があります: ^{[32] [33] [34]}

• ボールがバックスピンをかけながら前方に推進される場合、並進摩擦と回転摩擦は同じ方向に作用します。ボールの角速度は衝突後に減少し、水平速度も同様に減少します。ボールは上方に推進され、元の高さを超えることもあります。また、ボールが逆方向に回転し始め、後方に跳ね返る可能性もあります。
• ボールがトップスピンで前方に推進される場合、並進摩擦と回転摩擦は逆方向に作用します。実際に何が起こるかは、2つの要素のどちらが優勢であるかによって異なります。
  • ボールの回転速度が移動速度よりもはるかに速い場合、回転摩擦が支配的になります。衝突後、ボールの角速度は減少しますが、水平方向の速度は増加します。ボールは前方に推進されますが、元の高さを超えることはなく、同じ方向に回転し続けます。
  • ボールが回転速度よりもはるかに速く動いている場合、並進摩擦が支配的になります。ボールの角速度は衝突後に増加しますが、水平方向の速度は減少します。ボールは元の高さを超えることはなく、同じ方向に回転し続けます。

表面がθだけ傾いている場合、図全体はθだけ回転しますが、重力は下向きのままです（表面とθの角度を形成します）。重力は表面に平行な成分を持ち、これが摩擦に寄与し、ひいては回転に寄与します。^[32]

卓球やラケットボールなどのラケットスポーツでは、熟練した選手はスピン（サイドスピンを含む）を駆使して、ボールが地面や相手のラケットに当たった際に突然ボールの方向を変えます。同様に、クリケットにも様々なスピンボウリングの手法があり、ボールをピッチから大きく逸らすことができます。

非球形ボール

フットボールボールやラグビーボールに衝突時に作用する力は、重力、垂直抗力、そして摩擦力です。摩擦力は通常、ボールの速度と「回転」による「縦方向」の成分と、投球によって引き起こされるボールの「軸上」回転による「横方向」の成分を持ちます。

楕円形のボール（グリッドアイアンフットボールやラグビーフットボールで使用されるものなど）のバウンドは、球形のボールのバウンドに比べて予測が困難です。インパクト時のボールの向きによって、法線方向の力はボールの重心の前方または後方に作用し、地面との摩擦はボールの向き、回転、スピン、そしてインパクト速度に依存します。ボールが地面を転がるにつれて、ボールの重心に対する力の作用位置は変化し、法線方向の力や重力を含むすべての力がボールにトルクを及ぼします。これにより、ボールは前方、後方、または横方向にバウンドします。回転運動エネルギーの一部を並進運動エネルギーに変換することが可能であるため、CORが1を超える場合や、インパクト時にボールの前進速度が増加する場合もあります。^[35]

複数のボールを積み重ねる

外部ビデオ
フィジックス・ガール（2015年）。「スタックボールドロップ」。YouTube。

よく知られている例として、複数のボールを重ねてバウンドさせる例があります。テニスボールをバスケットボールの上に重ね、同時に落とすと、テニスボールは単独で落とした場合よりもはるかに高くバウンドし、元の落下高度を超えることもあります。^{[36] [37]}この結果はエネルギー保存則に明らかに反しており、驚くべきものです。^[38]しかし、よく見ると、バスケットボールはテニスボールが上に乗っていなかった場合ほど高くバウンドせず、テニスボールのエネルギーの一部がテニスボールに伝わり、テニスボールはより高い高さまで跳ね上がります。^[36]

通常の説明では、バスケットボールが床に衝突し、次にバスケットボールがテニスボールに衝突するという、2 つの異なる衝突が考えられます。^{[36] [37]}完全に弾性的な衝突を想定すると、1 m/s で床に衝突したバスケットボールは 1 m/s で跳ね返ります。1 m/s で飛んでいるテニスボールの相対的な衝突速度は 2 m/s となり、バスケットボールに対して 2 m/s、床に対して 3 m/s で跳ね返り、テニスボールが単独で床に衝突した場合と比べて跳ね返り速度が3 倍になります。つまり、ボールは元の高さの9 倍まで跳ね返ることになります。 ^{[注 2]実際には、}非弾性衝突によってテニスボールの速度と跳ね返りの高さの増加率は小さくなりますが、それでもテニスボールが単独で衝突した場合よりも速く高く跳ね返ります。^[37]

別々の衝突という仮定は実際には有効ではないが（衝突のほとんどの間、ボールは互いに密着したままである）、このモデルは実験結果をよく一致して再現し、^[37]超新星のコア崩壊や重力スリングショット操作などのより複雑な現象を理解するためによく使用されます。 [ ^{39 ]}

スポーツ規則

いくつかのスポーツ統括団体は、直接的なものや間接的なものなど、さまざまな方法でボールの弾みを規制しています。

• AFL :フットボールのゲージ圧を以下の範囲に調整します。62 kPaと76 kPa . ^[40]
• FIBA ：バスケットボールを1800mmの高さから落とした際に、1035mmから1085mm（ボールの底から）の間で跳ね返るようにゲージ圧を調整する。 ^[41]これはCORが0.758から0.776の範囲に相当する。^{[注 3]}
• FIFA ：サッカーボールのゲージ圧を〜の間に規制0.6 気圧と海面で1.1気圧（61～111  kPa）。^[42]
• FIVB ：バレーボールのゲージ圧を以下の範囲に規制する0.30  kg _F /cm ²から屋内バレーボールの場合は0.325 kg _F /cm ² (29.4～31.9 kPa) 、0.175  kg _F /cm ²からビーチバレーボールでは0.225 kg _F /cm ² (17.2～22.1 kPa) 。^{[43] [44]}
• ITF ：テニスボールを「滑らかで、硬く、水平で、質量の大きいブロック」に落とした際のバウンド高さを規定する。使用が認められるボールの種類は、表面の種類によって異なる。100インチ（254cm）の高さから落とした場合、タイプ1ボールは54～60インチ（137～152cm）、タイプ2およびタイプ3ボールは53～58インチ（135～147cm）、高地用ボールは48～53インチ（122～135cm）のバウンド高さが求められる。^[45]これは、試験面への落下時のCOR（反跳反射率）が、おおよそ0.735～0.775（タイプ1ボール）、0.728～0.762（タイプ2およびタイプ3ボール）、0.693～0.728（高地用ボール）に相当する。^{[注 3]}
• ITTF ：卓球ボールを30cmの高さから落とした場合、約23cm跳ね返るように競技面を規制している。 ^[46]これは競技面に対するCORが約0.876にほぼ相当する。^{[注 3]}
• NBA ：バスケットボールのゲージ圧を7.5～8.5psi（51.7～58.6kPa）に規制する。 [ 47  ^]
• NFL ：アメリカンフットボールのゲージ圧を12.5～13.5psi（86～93kPa）に規制する。^[48]
• R&A / USGA ：ゴルフボールのCORを直接制限し、ゴルフクラブに対して0.83を超えてはならない。^[49]

アメリカンフットボールのプレッシャーは、デフレートゲート論争の中心でした。^{[50] [51]}一部のスポーツでは、ボールの跳ね返り特性を直接規制するのではなく、構造を規定しています。野球では、コルク製のボールの導入がデッドボール時代の終焉とライブボール時代の到来につながりました。^{[52] [53]}

参照

• バウンスボール
• 球技一覧
• 量子跳ねるボール

注記

1. ここで、 vとu は速度の大きさだけではなく、その方向 (符号) も含まれます。
2. 力学的エネルギー保存則より が成り立つため、 はに比例します。 ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}mv_{\text{f}}^{2}=mgH_{\text{f}}}$ ${\displaystyle \textstyle H_{\text{f}}}$ ${\displaystyle v_{\text{f}}^{2}}$
3. 空気抵抗が無視できると仮定して計算しました。 ${\displaystyle \textstyle e={\sqrt {\frac {H_{\text{f}}}{H_{\text{i}}}}}}$

参考文献

1. ウィッティントン、EM編 (2001). 『生と死のスポーツ：メソアメリカの球技』テムズ・アンド・ハドソン. ISBN 0-500-05108-9。
2. Brancazio, PJ (1985). 「フライボールの軌道」.物理教師. 23 (1): 20– 23. Bibcode :1985PhTea..23...20B. doi :10.1119/1.2341702.
3. Walker, J. (2014). 『物理学の基礎』（第10版）. John Wiley & Sons . 図4-8, p. 70. ISBN 978-1-118-23072-5。
4. ブッシュ、JWM (2013)。 「美しいゲームの空気力学」(PDF)。 Clanet、C. (編)。スポーツ物理学。エコール・ポリテクニックの教育。 p. 171. hdl : 1721.1/87576。ISBN 978-2-7302-1615-9。
5. Hirt, C.; Claessens, S.; Fecher, T.; Kuhn, M.; Pail, R.; Rexer, M. (2013). 「地球の重力場の新たな超高解像度画像」. Geophysical Research Letters . 40 (16): 4279– 4283. Bibcode :2013GeoRL..40.4279H. doi : 10.1002/grl.50838 . hdl : 20.500.11937/46786 .
6. Nave, R. 「Trajectories」. HyperPhysics . 2017年1月27日閲覧。
7. 「乾燥空気の特性」。エンジニアリングツールボックス。2017年2月11日閲覧。
8. Southard, J. (2006年秋). 「第3章 球面を通過する流れ II: ストークスの法則、ベルヌーイ方程式、乱流、境界層、流れの剥離」(PDF) .特集: 流体運動、堆積物輸送、そして海流生成堆積構造入門. MIT . pp.  35– 82. 2017年2月5日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。
9. Metha, RD (2008). 「スポーツボールの空気力学」. Nørstrud, H. (編).スポーツ空気力学. CISM 国際機械科学センター. 第506巻. Springer . pp.  229– 331. doi :10.1007/978-3-211-89297-8_12. ISBN 978-3-211-89296-1。
10. 「球体の抗力」NASA。
11. 「回転するボールの理想的な揚力」NASA . 2017年2月2日閲覧。
12. Nathan, AM (2008). 「野球ボールの飛行におけるスピンの影響」(PDF) . American Journal of Physics . 76 (2): 119– 124. arXiv : physics/0605041 . Bibcode :2008AmJPh..76..119N. doi :10.1119/1.2805242. S2CID  15494386.
13. Kim, J.; Park, H.; Choi, H.; Yoo, JY (2011). 「回転球における逆マグナス効果」(PDF) .第64回APS流体力学部門年次会議.アメリカ物理学会. Bibcode :2011APS..DFD.A7008K.
14. Kim, J.; Choi, H.; Park, H.; Yoo, JY (2014). 「回転球における逆マグナス効果：その発生時期と理由」. Journal of Fluid Mechanics . 754 : R2. Bibcode :2014JFM...754R...2K. doi :10.1017/jfm.2014.428. S2CID  122453684.
15. 「マグヌス効果」HumanKinetics.com 2008年11月11日。2018年12月28日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2017年1月27日閲覧。
16. DeForest, C. (1997). 「なぜゴルフボールにはディンプルがあるのですか？」.オリジナルUsenet物理学FAQ . 2019年7月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2017年1月27日閲覧。
17. Clanet, C. (2015). 「スポーツ弾道学」(PDF) . Annual Review of Fluid Mechanics . 47 : 455–478 . Bibcode :2015AnRFM..47..455C. doi : 10.1146/annurev-fluid-010313-141255 .
18. 「インザマム、ICCに起訴」ガーディアン紙2006年8月21日. 2017年1月28日閲覧。
19. Okrent, D.; Wulf, S. (1989). Baseball anecdotes. Oxford University Press . p. 89. ISBN 978-0-19-504396-9。
20. Post, S. (2010). 応用流体力学と計算流体力学. Jones and Bartlett Publishers . pp.  280– 282. ISBN 978-1-934015-47-6。
21. Cross, R. (1999). 「ボールのバウンド」(PDF) . American Journal of Physics . 67 (3): 222– 227. Bibcode :1999AmJPh..67..222C. doi :10.1119/1.19229.
22. Georgallas, A.; Landry, G. (2016). 「加圧ボールの反発係数：機構モデル」. Canadian Journal of Physics . 94 (1): 42. Bibcode :2016CaJPh..94...42G. doi :10.1139/cjp-2015-0378. hdl : 1807/69855 .
23. 「反発係数」RacquetResearch.com . 2016年11月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。2017年1月27日閲覧。
24. Cross, R.; Nathan, AM (2006). 「バットによる野球ボールの散乱」. American Journal of Physics . 74 (10): 896– 904. arXiv : physics/0605040 . Bibcode :2006AmJPh..74..896C. doi :10.1119/1.2209246. S2CID  15488042.
25. Haron, A.; Ismail, KA (2012). 「スポーツボールの反発係数：通常の落下試験」. IOPカンファレンスシリーズ：材料科学と工学. 36 (1) 012038. Bibcode :2012MS&E...36a2038H. doi : 10.1088/1757-899X/36/1/012038 .
26. Cross, R. (2000). 「ハッピーボール、アンハッピーボール、テニスボールの衝突における反発係数」(PDF) . American Journal of Physics . 68 (11): 1025– 1031. Bibcode :2000AmJPh..68.1025C. doi :10.1119/1.1285945.
27. Cross, R. (2002). 「跳ねるボールのグリップスリップ挙動」（PDF） . American Journal of Physics . 70 (11): 1093– 1102. Bibcode :2002AmJPh..70.1093C. doi :10.1119/1.1507792.
28. Zhang, X.; Vu-Quoc, L. (2002). 「弾塑性衝突における反発係数の衝突速度依存性のモデル化」. International Journal of Impact Engineering . 27 (3): 317– 341. Bibcode :2002IJIE...27..317Z. doi :10.1016/S0734-743X(01)00052-5.
29. Hesser-Knoll, M. (2014). 「バウンド中のボールスピン」.テニスの物理学.アラスカ大学フェアバンクス校. 2017年2月1日閲覧。
30. Lindsey, C. (2004年4月). 「跳ねるボールを追いかけよう」. Tennis Industry . 2018年11月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2017年2月1日閲覧。
31. Allen, T.; Haake, S.; Goodwill, S. (2010). 「テニスボールの衝撃に対する摩擦の影響」Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part P. 224 ( 3): 229– 236. doi :10.1243/17543371JSET66.
32. Cross, R. (2005). 「垂直入射付近における回転ボールのバウンス」(PDF) . American Journal of Physics . 73 (10): 914– 920. Bibcode :2005AmJPh..73..914C. doi :10.1119/1.2008299.
33. Allen, T. (2012). 「ボールはあなたのコートにある」（PDF） . ANSYS Advantage（Web限定）. 2017年2月5日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。
34. Jafri, SMM (2004). 平面へのテニスボールの衝突ダイナミクスのモデリング(PDF) (論文).テキサスA&M大学. hdl : 1969.1/2441 .
35. Cross, R. (2011). 「楕円形のフットボールのバウンド」(PDF) .スポーツテクノロジー. 3 (3): 168– 180. doi :10.1080/19346182.2011.564283. S2CID  108409393.
36. Huebner, JS; Smith, TL (1992). 「多重ボール衝突」 . The Physics Teacher . 30 (1): 46. Bibcode :1992PhTea..30...46H. doi :10.1119/1.2343467.
37. Cross, R. (2007). 「垂直に並んだ2つのボールの垂直バウンド」(PDF) . American Journal of Physics . 75 (11): 1009– 1016. Bibcode :2007AmJPh..75.1009C. doi :10.1119/1.2772286.
38. Harter, WG (1971). 「スーパーボールの衝突実験における速度増幅」(PDF) . American Journal of Physics . 39 (6): 656– 663. Bibcode :1971AmJPh..39..656H. doi :10.1119/1.1986253.
39. Nave, R. 「ダブルボールドロップ」HyperPhysics . 2017年1月28日閲覧。
40. オーストラリアンフットボール規則2017 (PDF) . AFL . 2017. p. 15 . 2018年1月19日閲覧。
41. 「バスケットボール」（PDF） . 2024公式バスケットボールルール：バスケットボール用具. FIBA ​​. 2024. p. 12. 2024年10月17日閲覧。
42. 競技規則：2014～2015年（PDF）FIFA 2014年、15ページ。2017年2月15日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2017年1月27日閲覧。
43. 公式バレーボールルール：2017-2020 （PDF） . FIVB . 2016. p. 16.
44. 公式ビーチバレーボールルール：2017-2020 （PDF） . FIVB . 2017. p. 15.
45. ITF公認テニスボール、分類されたサーフェス、公認コート(PDF) . ITF . 2016. pp.  4– 5.
46. 国際卓球連盟ハンドブック(PDF) . ITTF . 2017. p. 24. 2018年4月24日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2017年10月20日閲覧。
47. 全米バスケットボール協会公式ルール：2013-2014 (PDF) . NBA . 2013. p. 10.
48. ナショナル・フットボール・リーグ公式競技規則(PDF) . NFL . 2016. p. 3.
49. Rubenstein, L. (2002年5月11日). 「ついにゲームのCORに到達」.グローブ・アンド・メール. 2017年1月27日閲覧。
50. Botelho, G.; Castillo, M. (2015年5月11日). 「『デフレートゲート』：トム・ブレイディに4試合の出場停止処分」CNN . 2017年1月27日閲覧。
51. Well, Jr., TV; Karp, BS; Reisner, LL (2015). 2015年1月18日のAFCチャンピオンシップゲームで使用されたフットボールに関する調査報告書(PDF) . Paul, Weiss, Rifkind, Wharton & Garrison LLP .
52. 「ボールの進化」  Baseball Digest：1963年7月67日。
53. ソーウェル、T. (2011). 「デッドボール vs ライブリーボール」.トーマス・ソーウェル読本.ベーシックブックス. ISBN 978-0-465-02250-2。

さらに読む

• ブリッグス, LJ (1945). 「ボールの反発係数とスピンの測定方法」.米国国立標準規格協会ジャーナル. 34 (1): 1– 23. doi : 10.6028/jres.034.001 .
• クロス、R. (2011).野球とソフトボールの物理学.シュプリンガー. ISBN 978-1-4419-8112-7。
• Cross, R. (2014年6月). 「バウンスの物理学」.シドニー大学.
• Cross, R. (2015). 「跳ねるボールの挙動」.物理教育. 50 (3): 335– 341. Bibcode :2015PhyEd..50..335C. doi : 10.1088/0031-9120/50/3/335 . S2CID  122366736.
• Stronge, WJ (2004).衝撃力学.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-60289-1。
• エルリクソン、ハーマン (1983). 「抗力と揚力を考慮した最大飛距離、特にゴルフへの応用」. American Journal of Physics . 51 (4): 357– 362. Bibcode :1983AmJPh..51..357E. doi :10.1119/1.13248.

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Bouncing_ball&oldid=1314205574"