制限された変動

数学的解析において、有界変化の関数（ $BV$ 関数とも呼ばれる）は、総変化が有界（有限）である実数値関数です。この特性を持つ関数のグラフは、厳密な意味で良好に動作します。1変数の連続関数の場合、有界変化であるということは、 $x$ 軸に沿った動きの寄与を無視した場合、グラフに沿って移動する点が $y$ 軸方向に沿って移動する距離が有限値であることを意味します。複数変数の連続関数の場合、定義の意味は同じです。ただし、考慮する連続パスは、特定の関数のグラフ全体（この場合は超曲面）ではなく、固定された $x$ 軸および $y$ 軸に平行な超平面（2 変数の関数の場合は平面）とグラフ自体のすべての交点になる可能性があるという点が異なります。

有界変化の関数は、まさにそれに関してすべての連続関数のリーマン-スティルチェス積分を見つけることができる関数です。

別の特徴付けによれば、コンパクト区間上の有界変分関数は、 $g$ と $h$ が共に有界単調であるとして、差 $g$ $-$ $h$ として表される関数 $f$ と全く同じである。特に、BV関数は不連続性を持つことがあるが、その数はせいぜい可算数個である。

複数の変数の場合、の開集合 $Ω$ 上で定義された関数 $f は$ 、その分布微分がベクトル値の有限ラドン測度である場合、有界変化を持つと言われます。 $\mathbb {R} ^{n}$

有界変化関数の最も重要な側面の 1 つは、ほぼどこにでも第 1 導関数が存在する不連続関数の代数を形成することです。この事実により、数学、物理学、工学における関数や常微分方程式、偏微分方程式を含む非線形問題の一般化された解を定義するために有界変化関数が使用でき、頻繁に使用されます。

実数直線上の閉じた有界区間上の連続関数に対して、次のような包含連鎖が成り立ちます。

連続的に微分可能⊆リプシッツ連続⊆絶対的に連続⊆連続かつ有界な変化 ⊆ほぼすべての点で微分可能 

歴史

ボリス・ゴルボフによれば、一変数のBV関数は、カミーユ・ジョルダンがフーリエ級数の収束を扱った論文（Jordan 1881）において初めて導入された。「有界変分関数の性質は、ジョルダンが1887年に著した『解析学講座』第3巻に付記した注釈で論じたことで広く知られるようになった。」^[1]

この概念を複数変数の関数に一般化する最初の成功したステップは、レオニダ・トネッリ[ ^{2]によるものでした。彼女は1926年に}連続BV関数のクラスを導入し（Cesari 1986、pp. 47–48）、複数変数の変分法の問題に対する直接的な解法を拡張しました。10年後の（Cesari 1936）で、ランベルト・チェザーリは、トネッリの定義における連続性要件を、より制限の少ない積分可能性要件に変更し、初めて複数変数の有界変分関数のクラスを完全に一般化しました。ジョーダンが先にやったように、チェザーリはこの概念を、2変数の関数に対するフーリエ級数の収束に関する問題を解決するために適用しました。彼に続いて、何人かの著者がBV関数を複数変数のフーリエ級数、幾何学的測度論、変分法、数理物理学の研究に適用しました。Renato CaccioppoliとEnnio De Giorgi は、これらを使用して、集合の滑らかでない境界の測度を定義しました (詳細については、「 Caccioppoli 集合」の項目を参照してください)。Olga Arsenievna Oleinik は、論文 (Oleinik 1957) で、非線形偏微分方程式の一般化解を空間 BV からの関数として提示し、論文 (Oleinik 1959) で、 1 階偏微分方程式の有界変化の一般化解を構築できました。数年後、Edward D. Conway とJoel A. Smollerは論文 (Conway & Smoller 1966) で、単一の 1 階の非線形双曲型偏微分方程式の研究に BV 関数を適用し、初期値が同じクラスに属するという条件で、そのような方程式のコーシー問題の解が有界変化の関数であることを証明しました。アイジク・イサコヴィッチ・ヴォルペルトは、 BV関数の計算法を広範囲に展開した。論文（ヴォルペルト 1967）ではBV関数の連鎖律を証明し、著書（ハジャエフ & ヴォルペルト 1985）では弟子のセルゲイ・イヴァノヴィチ・ハジャエフと共同でBV関数の性質とその応用について広範囲に研究した。彼の連鎖律の公式は後に、ルイジ・アンブロジオとジャンニ・ダル・マゾによって論文（アンブロジオ & ダル・マゾ 1990）で拡張された。

正式な定義

1変数のBV関数

定義1.1実数値（またはより一般的には複素数値）関数fの区間上で定義される全変化は、 $[a,b]\subset \mathbb {R}$

V_{a}^{b}(f)=\sup _{P\in {\mathcal {P}}}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|.\,

ここで、上限は、考慮される区間のすべての分割の集合に対して取られます。 ${\textstyle {\mathcal {P}}=\left\{P=\{x_{0},\dots ,x_{n_{P}}\}\mid P{\text{ is a partition of }}[a,b]{\text{ satisfying }}x_{i}\leq x_{i+1}{\text{ for }}0\leq i\leq n_{P}-1\right\}}$

fが微分可能でその導関数がリーマン積分可能である場合、その全変化はそのグラフの弧長の垂直成分、すなわち、

V_{a}^{b}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|\,\mathrm {d} x.

定義1.2実数値関数が、その総変化が有限であるとき、選択された区間において有界変化（BV関数）であるという。すなわち、 $f$ $[a,b]\subset \mathbb {R}$

f\in \operatorname {BV} ([a,b])\iff V_{a}^{b}(f)<+\infty

実関数がにおいて有界変化であるのは、それがと上の2 つの非減少関数の差として表せる場合のみであることが証明できます。この結果は関数のジョルダン分解と呼ばれ、測度のジョルダン分解と関連しています。 $f$ $[a,b]$ $f=f_{1}-f_{2}$ $f_{1}$ $f_{2}$ $[a,b]$

スティルチェス積分を通して、閉区間上の有界変分関数は上の有界線型関数を定義する。この特殊なケースにおいて、^[3]リース・マルコフ・角谷表現定理は、すべての有界線型関数がこのようにして一意に生じることを述べている。正規化された正関数または確率測度は、正の非減少下半連続関数に対応する。この観点はスペクトル理論において重要であり、^[4]特に常微分方程式への応用において重要である。 $[a,b]$ $C([a,b])$

複数変数のBV関数

有界変動関数（BV関数）は、分布微分が有限^[5] ラドン測度となる関数である。より正確には、

定義2.1をの開部分集合とする。に属する関数は有界変分（BV関数）であるとされ、 $\Omega$ $\mathbb {R} ^{n}$ $u$ $L^{1}(\Omega )$

u\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )

有限ベクトルラドン測度が存在し、次の等式が成り立つ場合 $Du\in {\mathcal {M}}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$

\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }},Du(x)\rangle \qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})

つまり、に含まれるコンパクト台の連続的に微分可能なベクトル関数の空間上に線形関数を定義します。したがって、ベクトル測度はの分布勾配または弱勾配を表します。 $u$ $C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ ${\boldsymbol {\phi }}$ $\Omega$ $Du$ $u$

BV は次のように同等に定義できます。

定義2.2に属する関数が与えられたとき、^[6]における全変化は次のように定義される。 $u$ $L^{1}(\Omega )$ $u$ $\Omega$

V(u,\Omega ):=\sup \left\{\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x:{\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\}

ここでは本質的な上限ノルムである。特にカチョッポリ集合の理論においては、次のような表記法が用いられることがある。 $\Vert \;\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}$

\int _{\Omega }\vert Du\vert =V(u,\Omega )

はの分布勾配／弱勾配の全変分であることを強調するためである。この表記は、がクラス（つまり、連続導関数を持つ連続かつ微分可能な関数）である場合、その変分はまさにその勾配の絶対値の積分であることも想起させる。 $V(u,\Omega )$ $u$ $u$ $C^{1}$

有界変分関数（BV関数）の空間は次のように定義される。

\operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )=\{u\in L^{1}(\Omega )\colon V(u,\Omega )<+\infty \}

2つの定義は、 $V(u,\Omega )<+\infty$

\left|\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq V(u,\Omega )\Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})

したがって、空間上の連続線型関数を定義する。線型部分空間として、この連続線型関数はハーン・バナッハの定理によって全体へ連続的かつ線型的に拡張できる。したがって、連続線型関数はリース・マルコフ・角谷の表現定理によってラドン測度を定義する。 ${\textstyle \displaystyle {\boldsymbol {\phi }}\mapsto \,\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,dx}$ $C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ $C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})\subset C^{0}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ $C^{0}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$

ローカルBV関数

前述の定義1.2、2.1、2.2において、大域的に積分可能な関数の関数空間ではなく、局所的に積分可能な関数の関数空間、すなわちに属する関数の関数空間を考慮すると、定義される関数空間は局所的に有界な変化の関数の関数空間となる。正確には、定義2.2にこの考え方を展開すると、局所的変化は以下のように定義される。 $L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )$

V(u,U):=\sup \left\{\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x:{\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(U,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\}

任意の集合に対して、を有限次元ベクトル空間の標準位相に関してのプレコンパクト開部分集合全体の集合として定義し、それに応じて局所的に有界な変分関数のクラスは次のように定義される。 $U\in {\mathcal {O}}_{c}(\Omega )$ ${\mathcal {O}}_{c}(\Omega )$ $\Omega$

\operatorname {BV} _{\text{loc}}(\Omega )=\{u\in L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )\colon \,(\forall U\in {\mathcal {O}}_{c}(\Omega ))\,V(u,U)<+\infty \}

表記

局所的または大域的に有界な変分関数の空間の表記法には、基本的に2つの異なる慣習があり、残念ながらそれらは非常に似ています。最初の慣習は、このエントリで採用されているもので、例えば参考文献のGiusti (1984) (一部)、Hudjaev & Vol'pert (1985) (一部)、Giaquinta、Modica & Souček (1998)で使用されており、次のものです。

$\operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )$ 大域的に制限された変動の関数の空間を特定する
$\operatorname {\operatorname {BV} } _{\text{loc}}(\Omega )$ 局所的に制限された変化の関数の空間を特定する

2 番目は、参考文献 Vol'pert (1967) および Maz'ya (1985) (部分的に) で採用されているもので、次のとおりです。

${\overline {\operatorname {\operatorname {BV} } }}(\Omega )$ 大域的に制限された変動の関数の空間を特定する
$\operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )$ 局所的に制限された変化の関数の空間を特定する

基本的なプロパティ

以下では、一変数関数と多変数関数に共通する性質のみを考察する。一変数の場合の証明は多変数の場合の直接的な応用であるため、証明は多変数関数についてのみ行う。また、各節では、局所的に有界な変化を持つ関数にもこの性質が共通するか否かを述べる。参考文献(Giusti 1984, pp. 7–9)、(Hudjaev & Vol'pert 1985)、(Màlek et al. 1996)を広く参照する。

BV関数にはジャンプ型または除去可能な不連続性のみがある

1変数の場合、主張は明確である。関数の定義区間内の各点について、次の2つの主張のいずれかが真である。 $x_{0}$ $[a,b]\subset \mathbb {R}$ $u$

\lim _{x\rightarrow x_{0^{-}}}\!\!\!u(x)=\!\!\!\lim _{x\rightarrow x_{0^{+}}}\!\!\!u(x)

\lim _{x\rightarrow x_{0^{-}}}\!\!\!u(x)\neq \!\!\!\lim _{x\rightarrow x_{0^{+}}}\!\!\!u(x)

両方の極限は存在し、有限である。多変数関数の場合、理解すべき前提がいくつかある。まず、領域⊂に属する与えられた点に近づくことができる方向の連続体が存在する。適切な極限の概念を明確にする必要がある。単位ベクトルを選択すると、2つの集合に分割することができる。 $x_{0}$ $\Omega$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\boldsymbol {\hat {a}}}\in \mathbb {R} ^{n}$ $\Omega$

\Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}=\Omega \cap \{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}|\langle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {\hat {a}}}\rangle >0\}\qquad \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}=\Omega \cap \{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}|\langle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{0},-{\boldsymbol {\hat {a}}}\rangle >0\}

すると、BV関数の定義域に属する各点について、次の2つの主張のうち1つだけが真となる。 $x_{0}$ $\Omega \in \mathbb {R} ^{n}$ $u$

\lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=\!\!\!\!\!\!\!\lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})

\lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})\neq \!\!\!\!\!\!\!\lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})

または、 0次元ハウスドルフ測度を持つの部分集合に属する。 $x_{0}$ $\Omega$ $n-1$

\lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=u_{\boldsymbol {\hat {a}}}({\boldsymbol {x}}_{0})\qquad \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=u_{-{\boldsymbol {\hat {a}}}}({\boldsymbol {x}}_{0})

は、点におけるBV関数の近似極限と呼ばれます。 $u$ $x_{0}$

V（⋅, Ω）は下側の半連続であるL¹（Ω）

関数は下半連続である。これを確認するには、BV関数のコーシー列をに収束するものを選択する。すると、列のすべての関数とその極限関数は積分可能であり、下限の定義により $V(\cdot ,\Omega ):\operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )\rightarrow \mathbb {R} ^{+}$ $\{u_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ $u\in L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )$

{\begin{aligned}\liminf _{n\rightarrow \infty }V(u_{n},\Omega )&\geq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{\Omega }u_{n}(x)\operatorname {div} \,{\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x\\&\geq \int _{\Omega }\lim _{n\rightarrow \infty }u_{n}(x)\operatorname {div} \,{\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x\qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\quad \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\end{aligned}}

ここで関数の集合の上限を考えると、次の不等式が成り立ちます。 ${\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ $\Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1$

\liminf _{n\rightarrow \infty }V(u_{n},\Omega )\geq V(u,\Omega )

これはまさに下側半連続性の定義です。

BV(Ω)はバナッハ空間である

定義によりはの部分集合であり、線形性は定義積分の線形性特性から導かれる。すなわち $\operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )$ $L^{1}(\Omega )$

{\begin{aligned}\int _{\Omega }[u(x)+v(x)]\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x&=\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\Omega }v(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=\\&=-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Du(x)\rangle -\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Dv(x)\rangle =-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),[Du(x)+Dv(x)]\rangle \end{aligned}}

すべてに対して、したがってすべてに対して、そして $\phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ $u+v\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )$ $u,v\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )$

\int _{\Omega }c\cdot u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=c\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-c\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Du(x)\rangle

全てのに対してであり、したがって全てのに対してであり、全てのに対してである。証明されたベクトル空間の性質は、がのベクトル部分空間であることを意味する。ここで、以下のように定義される関数を考える。 $c\in \mathbb {R}$ $cu\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )$ $u\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )$ $c\in \mathbb {R}$ $\operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )$ $L^{1}(\Omega )$ $\|\;\|_{\operatorname {BV} }:\operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )\rightarrow \mathbb {R} ^{+}$

\|u\|_{\operatorname {BV} }:=\|u\|_{L^{1}}+V(u,\Omega )

ここでは通常のノルムです。これが上のノルムであることは簡単に証明できます。がに関して完全であること、つまりバナッハ空間であることを確認するには、のコーシー列を考えます。定義により、ものコーシー列であり、したがってに極限があります。は各に対してで有界であるため、変分の下側半連続性により、したがってはBV 関数です。最後に、再び下側半連続性により、任意の小さな正の数を選択します。 $\|\;\|_{L^{1}}$ $L^{1}(\Omega )$ $\operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )$ $\operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )$ $\{u_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ $\operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )$ $L^{1}(\Omega )$ $u$ $L^{1}(\Omega )$ $u_{n}$ $\operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )$ $n$ $\Vert u\Vert _{\operatorname {BV} }<+\infty$ $V(\cdot ,\Omega )$ $u$ $\varepsilon$

\Vert u_{j}-u_{k}\Vert _{\operatorname {BV} }<\varepsilon \quad \forall j,k\geq N\in \mathbb {N} \quad \Rightarrow \quad V(u_{k}-u,\Omega )\leq \liminf _{j\rightarrow +\infty }V(u_{k}-u_{j},\Omega )\leq \varepsilon

このことから、は正規分布なので連続であると推測できます。 $V(\cdot ,\Omega )$

BV(Ω)は分離不可能である

これを理解するには、空間に属する次の例を考えれば十分である：^[7] 0 < α < 1の各値に対して定義する $\operatorname {\operatorname {BV} } ([0,1])$

\chi _{\alpha }=\chi _{[\alpha ,1]}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}x\notin \;[\alpha ,1]\\1&{\mbox{if }}x\in [\alpha ,1]\end{cases}}

を左閉区間の特性関数として選びます。すると、次の関係が成り立ちます。 $[\alpha ,1]$ $\alpha ,\beta \in [0,1]$ $\alpha \neq \beta$

\Vert \chi _{\alpha }-\chi _{\beta }\Vert _{\operatorname {BV} }=2

さて、のすべての稠密部分集合が可算でないことを証明するためには、すべてのに対して、球を構成することが可能であることを見れば十分である。 $\operatorname {\operatorname {BV} } (]0,1[)$ $\alpha \in [0,1]$

B_{\alpha }=\left\{\psi \in \operatorname {\operatorname {BV} } ([0,1]);\Vert \chi _{\alpha }-\psi \Vert _{\operatorname {BV} }\leq 1\right\}

明らかにこれらの球は互いに素であり、またであるインデックス付き集合族である。これは、この族が連続体の濃度を持つことを意味する。ここで、のすべての稠密部分集合はこの族の各メンバー内に少なくとも 1 つの点を持たなければならないため、その濃度は少なくとも連続体の濃度であり、したがっては可算部分集合にはなり得ない。^[8]この例は明らかに高次元に拡張することができ、局所的な特性のみを含むため、についても同じ特性が成り立つことを意味する。 $[0,1]$ $\operatorname {\operatorname {BV} } ([0,1])$ $\operatorname {BV} _{loc}$

局所BV(Ω)関数の連鎖律

滑らかでない関数の連鎖律は、数学および数理物理学において非常に重要です。なぜなら、非常に限られた滑らかさの関数または汎関数によってその挙動が記述される重要な物理モデルがいくつか存在するからです。以下の連鎖律は論文（Vol'pert 1967, p. 248）で証明されています。すべての偏微分は一般化された意味で、すなわち一般化微分として解釈する必要があることに注意してください。

定理。をクラスの関数（つまり、連続導関数を持つ連続かつ微分可能な関数）とし、をの開部分集合とする関数とする。すると、 $f:\mathbb {R} ^{p}\rightarrow \mathbb {R}$ $C^{1}$ ${\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=(u_{1}({\boldsymbol {x}}),\ldots ,u_{p}({\boldsymbol {x}}))$ $\operatorname {\operatorname {BV} } _{loc}(\Omega )$ $\Omega$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f\circ {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))\in \operatorname {\operatorname {BV} } _{loc}(\Omega )$

{\frac {\partial f({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}{\partial x_{i}}}=\sum _{k=1}^{p}{\frac {\partial {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial {u_{k}({\boldsymbol {x}})}}{\partial x_{i}}}\qquad \forall i=1,\ldots ,n

ここで、は点における関数の平均値であり、次のように定義される。 ${\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))$ $x\in \Omega$

{\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))=\int _{0}^{1}f\left({\boldsymbol {u}}_{\boldsymbol {\hat {a}}}({\boldsymbol {x}})t+{\boldsymbol {u}}_{-{\boldsymbol {\hat {a}}}}({\boldsymbol {x}})(1-t)\right)\,dt

リプシッツ連続関数に対するより一般的な連鎖律公式は、ルイジ・アンブロジオとジャンニ・ダル・マゾによって発見され、論文（Ambrosio & Dal Maso 1990）に掲載されています。しかし、この公式にも非常に重要な直接的な帰結があります。の代わりにを用います。ここでもは関数です。また、は各に対して測度に関して局所積分可能であり、は各に対して測度に関して局所積分可能であると仮定する必要があります。を選択すると、上記の公式は「BV」関数に対するライプニッツ則を与えます。 $f:\mathbb {R} ^{p}\rightarrow \mathbb {R} ^{s}$ $(u({\boldsymbol {x}}),v({\boldsymbol {x}}))$ ${\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})$ $v({\boldsymbol {x}})$ $BV_{loc}$ ${\bar {u}}({\boldsymbol {x}})$ ${\frac {\partial v({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}$ $i$ ${\bar {v}}({\boldsymbol {x}})$ ${\frac {\partial u({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}$ $i$ $f((u,v))=uv$

{\frac {\partial v({\boldsymbol {x}})u({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}={{\bar {u}}({\boldsymbol {x}})}{\frac {\partial v({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}+{{\bar {v}}({\boldsymbol {x}})}{\frac {\partial u({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}

一般化と拡張

重み付きBV関数

上記の全変動の概念を一般化し、異なる変動に異なる重み付けをすることも可能です。より正確には、を任意の増加関数とし、（重み関数）を満たすものとし、を区間からノルムベクトル空間に値を取る関数とします。このとき、におけるの-変動は以下のように定義されます。 $\varphi :[0,+\infty )\longrightarrow [0,+\infty )$ $\varphi (0)=\varphi (0+)=\lim _{x\rightarrow 0_{+}}\varphi (x)=0$ $f:[0,T]\longrightarrow X$ $[0,T]$ $\subset \mathbb {R}$ $X$ ${\boldsymbol {\varphi }}$ $f$ $[0,T]$

\mathop {\varphi {\text{-}}\operatorname {Var} } _{[0,T]}(f):=\sup \sum _{j=0}^{k}\varphi \left(|f(t_{j+1})-f(t_{j})|_{X}\right),

ここで、通常通り、上限は区間のすべての有限分割、すなわち、次の式を満たす実数のすべての有限集合に対して取られる。 $[0,T]$ $t_{i}$

0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{k}=T.

上で考察した変分法の本来の概念は、重み関数が恒等関数であるような - 変分の特殊なケースです。したがって、積分可能関数は、その - 変分が有限である場合に限り、重み付き BV 関数(重み)であると言われます。 $\varphi$ $f$ $\varphi$ $\varphi$

f\in \operatorname {BV} _{\varphi }([0,T];X)\iff \mathop {\varphi {\text{-}}\operatorname {Var} } _{[0,T]}(f)<+\infty

この空間はノルムに関して位相ベクトル空間である $\operatorname {BV} _{\varphi }([0,T];X)$

\|f\|_{\operatorname {BV} _{\varphi }}:=\|f\|_{\infty }+\mathop {\varphi {\text{-}}\operatorname {Var} } _{[0,T]}(f),

ここで、はの通常の上限ノルムを表します。重み付き BV 関数は、 Władysław Orliczと Julian Musielak によって、論文 Musielak & Orlicz 1959 で導入され、一般性が完全に研究されました。Laurence Chisholm Young は、が正の整数である場合をそれ以前に研究しました。 $\|f\|_{\infty }$ $f$ $\varphi (x)=x^{p}$ $p$

SBV関数

SBV 関数 、すなわち、 有界変分法の特殊関数は、自由不連続変分問題を取り扱う論文 (Ambrosio & De Giorgi 1988) でLuigi AmbrosioとEnnio De Giorgiによって導入されました。の開部分集合が与えられると、その空間はの適切な線形部分空間となります。これは、それに属する各関数の弱勾配が、次の定義でわかるように、ちょうどan次元サポートと an次元サポート測度の合計から構成され、中間次元の項は含まれないためです。 $\Omega$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\operatorname {SBV} (\Omega )$ $\operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )$ $n$ $n-1$

定義局所積分可能な関数が与えられたとき、 $u$ $u\in \operatorname {SBV} (\Omega )$

1.定義域と余定義域を持つ2つのボレル関数とが存在する。 $f$ $g$ $\Omega$ $\mathbb {R} ^{n}$

\int _{\Omega }\vert f\vert \,dH^{n}+\int _{\Omega }\vert g\vert \,dH^{n-1}<+\infty .

2.に含まれるコンパクト台の連続微分可能ベクトル関数のすべて、すなわち、すべてに対して次の式が成り立ちます。 $\phi$ $\Omega$ $\phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$

\int _{\Omega }u\operatorname {div} \phi \,dH^{n}=\int _{\Omega }\langle \phi ,f\rangle \,dH^{n}+\int _{\Omega }\langle \phi ,g\rangle \,dH^{n-1}.

ここでは次元ハウスドルフ測度です。 $H^{\alpha }$ $\alpha$

SBV関数の特性に関する詳細は、参考文献セクションに引用されている文献に記載されています。特に、論文 (De Giorgi 1992) には、役立つ参考文献が含まれています。

BVシーケンス

バナッハ空間の具体的な例として、ダンフォードとシュワルツ（1958年、第4章）は、有界変分関数の空間に加えて、有界変分列の空間も考察している。実数または複素数列 x = ( x _i )の全変分は次のように定義される。

\operatorname {TV} (x)=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|.

有限全変分列全体の空間はBVで表され、BV上のノルムは次のように与えられる。

\|x\|_{\operatorname {BV} }=|x_{1}|+\operatorname {TV} (x)=|x_{1}|+\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|.

このノルムでは、空間 BV はに同型なバナッハ空間です。 $\ell _{1}$

全体変動自体は、BV ₀で表されるBVの特定の部分空間上のノルムを定義し、これは、次の式で表されるシーケンスx = ( x _{i ) から構成されます。}

\lim _{n\to \infty }x_{n}=0.

_{BV 0}上のノルムは次のように表される。

\|x\|_{\operatorname {BV} _{0}}=\operatorname {TV} (x)=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|.

このノルムに関して、BV ₀もバナッハ空間となり、これは（自然な方法ではないが）同型かつ等長である。 $\ell _{1}$

境界付き変動の尺度

測定可能な空間上の符号付き（または複素）測度は、その全変化が有界である場合に、有界変化であると言われます。詳細については、Halmos（1950、p. 123）、Kolmogorov & Fomin（1969、p. 346）または「全変化」の項を参照してください。 $\mu$ $(X,\Sigma )$ $\Vert \mu \Vert =|\mu |(X)$

例

冒頭で述べたように、BV関数の例として、単調関数と絶対連続関数の2つが挙げられます。負の例として、

f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}

区間内で有界な変化ではない $[0,2/\pi ]$

関数f ( x ) = x sin(1/ x ) は区間上で有界な変化では*ありません*。 $[0,2/\pi ]$

分かりにくいですが、連続関数

f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}

間隔上で有界な変化でもありません。 $[0,2/\pi ]$

関数f ( x ) = x ² sin(1/ x )は区間上で有界な変化を持ちます。 $[0,2/\pi ]$

同時に、機能

f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\x^{2}\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}

は区間で有界変化です。しかし、 3つの関数はすべての各区間で有界変化です。 $[0,2/\pi ]$ $[a,b]$ $a>0$

単調で有界な関数はすべて有界な変化を持つ。そのような区間上の関数と、この区間の任意の分割に対して、 $f$ $[a,b]$ $P=\{x_{0},\ldots ,x_{n_{P}}\}$

\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|=|f(b)-f(a)|

左辺の和が伸縮するという事実から、このようなに対して、 $f$

V_{a}^{b}(f)=|f(b)-f(a)|.

特に、単調カントール関数は絶対連続ではない有界変化関数のよく知られた例である。^[9]

ソボレフ空間はの真部分集合である。実際、の各に対して、のルベーグ測度（は上のルベーグ測度）が成り立つような測度を選ぶことが可能である。 $W^{1,1}(\Omega )$ $\operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )$ $u$ $W^{1,1}(\Omega )$ $\mu :=\nabla u{\mathcal {L}}$ ${\mathcal {L}}$ $\Omega$

\int u\operatorname {div} \phi =-\int \phi \,d\mu =-\int \phi \,\nabla u\qquad \forall \phi \in C_{c}^{1}

は成り立ちます。これは弱微分の定義に過ぎず、したがって真です。BV関数がではない例は簡単に見つかります。1次元では、非自明なジャンプを持つ任意のステップ関数で十分です。 $W^{1,1}$

アプリケーション

数学

有界変分関数は、関数の不連続性や実関数の微分可能性との関連で研究されており、以下の結果はよく知られている。が区間上の有界変分関数であるとき、 $f$ $[a,b]$

$f$ 最大で可算集合上を除いて連続である。
$f$ はどこでも片側極限を持ちます（ではどこでも左からの極限があり、ではどこでも右からの極限があります）。 $(a,b]$ $[a,b)$
導関数はほとんどどこにでも存在します（つまり、測度ゼロの集合を除く）。 $f'(x)$

複数の実変数を持つ実関数の場合

カチョポリ集合の特性関数は BV 関数です。BV 関数は現代の周囲理論の基礎となっています。
極小曲面は BV 関数のグラフです。この文脈については、参考文献 (Giusti 1984) を参照してください。

物理学と工学

BV関数は不連続性を扱えるため、応用科学の分野で広く利用されています。力学、物理学、化学反応速度論における問題の解は、多くの場合、有界変化関数で表現できます。Hudjaev & Vol'pert著（1985年）は、BV関数の数理物理学への応用例を非常に豊富に解説しています。また、簡潔に説明する価値のある現代的な応用例もいくつかあります。

Mumford –Shah 関数: 2 次元画像のセグメンテーション問題、つまり輪郭とグレースケールの忠実な再現の問題は、このような関数の最小化と同等です。
総変動ノイズ除去

参照

注記

^ Thomas W. Hawkins Jr. (1970)ルベーグの積分理論：その起源と発展、85ページ、ウィスコンシン大学出版局 ISBN 0-299-05550-7
^ トネリは、現在彼の名にちなんでトネリ平面変分法と呼ばれるものを導入しました。この概念と他の一般化との関係の分析については、「全変分」の項目を参照してください。
^ 例えばKolmogorov & Fomin (1969, pp. 374–376)を参照。
^ このトピックに関する一般的な参考資料については、Riesz & Szőkefalvi-Nagy (1990) を参照してください。
^ この文脈では、「有限」とは、その値が無限ではない、つまり有限の尺度であることを意味します。
^ 詳細および詳細については、「 Total variation 」の項目を参照してください。
^ この例はGiaquinta、Modica & Souček（1998、p.331）から引用されています。また、Kannan & Krueger 1996、例9.4.1、p.237も参照してください。
^同じ議論は、Kolmogorov & Fomin (1969、例7、pp. 48–49)によって、 有界列の空間の非可分性を証明するために使用されており、Kannan & Krueger (1996、例9.4.1、p. 237)も同様の議論を使用している。
^ 「実解析 - 連続的かつ有界な変化は絶対的な連続性を意味するものではない」。

参考文献

研究活動

アンブロジオ、ルイージ、フスコ、ニコラ、パララ、ディエゴ（2000）、有界変化関数と自由不連続問題、オックスフォード数学モノグラフ、オックスフォード：クラレンドン・プレス/オックスフォード大学出版局、pp. xviii+434、ISBN 978-0-19-850245-6、MR 1857292、Zbl 0957.49001。
Brudnyi, Yuri (2007), 「多変数関数の有界(k, p)-変分」, Randrianantoanina, Beata; Randrianantoanina, Narcisse (編),バナッハ空間とその解析への応用. 国際会議議事録, マイアミ大学, オックスフォード, オハイオ州, 米国, 2006年5月22日-27日. Nigel Kalton 生誕60周年記念, ベルリン–ボストン: Walter De Gruyter, pp. 37– 58, doi :10.1515/9783110918298.37, ISBN 978-3-11-019449-4、MR 2374699、Zbl 1138.46019
ダンフォード、ネルソン、シュワルツ、ジェイコブ・T. (1958) 『線型作用素第一部一般理論』純粋・応用数学第7巻ニューヨーク・ロンドン・シドニー：ワイリー・インターサイエンスISBN 0-471-60848-3、Zbl 0084.10402 {{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)有界変分関数の空間の機能解析的性質に関する議論が含まれています。
ジャキンタ, マリアーノ;モディカ、ジュゼッペ。 Souček、Jiří (1998)、変分微積分におけるデカルト電流 I、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3.フォルゲ。数学における現代調査シリーズ、vol. 37、ベルリン-ハイデルベルク-ニューヨーク: Springer Verlag、ISBN 3-540-64009-6、Zbl 0914.49001。
ジュスティ、エンリコ（1984）、極小曲面と有界変分の関数、数学モノグラフ、第80巻、バーゼル・ボストン・シュトゥットガルト：ビルクハウザー出版社、pp. XII+240、ISBN 978-0-8176-3153-6、MR 0775682、Zbl 0545.49018特に第1部第1章「有界変分関数とカチョポリ集合」は、カチョポリ集合の理論とその極小曲面問題への応用に関する優れた参考文献です。
ポール、ハルモス(1950)、測定理論、ヴァンノストランド社、ISBN 978-0-387-90088-9、Zbl 0040.16802 {{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)リンクは、Springer-Verlag 社による後日の再版のプレビューです。
フジャエフ、セルゲイ・イワノビッチ。Vol'pert、Aizik Isaakovich (1985)、数理物理の不連続関数および方程式のクラスにおける分析、力学: 分析、vol. 8、ドルドレヒト – ボストン – ランカスター: Martinus Nijhoff Publishers、ISBN 90-247-3109-7、MR 0785938、Zbl 0564.46025 $本書全体は、 BV$ 関数の理論と、不連続関数や滑らかでない境界を持つ幾何学的対象を含む数理物理学の問題へのその応用について書かれています。
Kannan, Rangachary; Krueger, Carole King (1996), Advanced analysis on the real line , Universitext, Berlin–Heidelberg–New York: Springer Verlag, pp. x+259, ISBN 978-0-387-94642-9、MR 1390758、Zbl 0855.26001おそらく一変数 $BV$ 関数理論に関する最も包括的な参考書と言えるでしょう。第6章「有界変分」には、古典的な結果と高度な結果がいくつかの演習とともに収録されています。筆頭著者はLamberto Cesariの共同研究者でした。
コルモゴロフ、アンドレイ N. ; Fomin、Sergej V. (1969)、Introductory Real Analysis、ニューヨーク: Dover Publications、pp. xii+403、ISBN 0-486-61226-0、MR 0377445、Zbl 0213.07305。
レオニ、ジョヴァンニ（2017）、ソボレフ空間入門、数学大学院研究（第2版）、アメリカ数学会、pp. xxii+734、ISBN 978-1-4704-2921-8。
Màlek, Josef; Nečas, Jindřich; Rokyta, Mirko; Růžička, Michael (1996), 進化的偏微分方程式の弱解と測度値解, 応用数学と数学計算, 第13巻, ロンドン–ワインハイム–ニューヨーク–東京–メルボルン–マドラス: Chapman & Hall CRC Press, pp. xi+331, ISBN 0-412-57750-X、MR 1409366、Zbl 0851.35002ヤング測度の理論に関する最も完全なモノグラフの1つであり、流体の連続体力学への応用に重点を置いています。
Maz'ya、Vladimir G. (1985)、Sobolev Spaces、ベルリン – ハイデルベルク – ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 0-387-13589-8、Zbl 0692.46023特に第6章「空間 $BV(Ω)における関数について」は素晴らしい。$ ソボレフ空間理論に関する最高のモノグラフの一つである。
Moreau, Jean Jacques (1988)、「時間における有界変動」、Moreau, JJ; Panagiotopoulos, PD; Strang, G. (編)、Topics in nonsmooth mechanics、Basel–Boston–Stuttgart: Birkhäuser Verlag、pp. 1– 74、ISBN 3-7643-1907-0、Zbl 0657.28008
ムジーラック、ジュリアン。Orlicz、Władysław (1959)、「一般化されたバリエーションについて (I)」(PDF)、Studia Mathematica、18、ワルシャワ – ヴロツワフ: 13 – 41、doi :10.4064/sm-18-1-11-41、Zbl 0088.26901この論文では、MusielakとOrliczが、 Laurence Chisholm Youngによって導入された重み付き $BV$ 関数の概念を、その一般性を完全に拡張しました。
Riesz, フリジェス州; Szőkefalvi-Nagy、Béla (1990)、Functional Analysis、ニューヨーク: Dover Publications、ISBN 0-486-66289-6、Zbl 0732.47001
Vol'pert、Aizik Isaakovich (1967)、「空間 BV と準線形方程式」、Matematicheskii Sbornik、(NS) (ロシア語)、73 (115) (2): 255–302、MR 0216338、Zbl 0168.07402カチョッポリ集合と $BV$ 関数を徹底的に研究し、関数重ね合わせの概念を導入して偏微分方程式理論に適用した画期的な論文。英訳版もVol'Pert, AI (1967), "Spaces $BV$ and quasi-linear equations", Mathematics of the USSR-Sbornik , 2 (2): 225– 267, Bibcode :1967SbMat...2..225V, doi :10.1070/SM1967v002n02ABEH002340, hdl : 10338.dmlcz/102500 , MR 0216338, Zbl 0168.07402として出版されている。。

歴史的参照

アダムズ、C. レイモンド;クラークソン、ジェームズ A. (1933)、「二変数関数の有界変分の定義について」アメリカ数学会誌、35 (4): 824– 854、doi : 10.1090/S0002-9947-1933-1501718-2、MR 1501718、Zbl 0008.00602。
アルベルティ、ジョバンニ。 Mantegazza、Carlo (1997)、「SBV 関数の理論に関するメモ」、Bollettino dell'Unione Matematica Italiana、IV Serie、11 (2): 375–382、MR 1459286、Zbl 0877.49001この論文では、著者らはSBV関数の空間のコンパクト性を証明する。
アンブロジオ、ルイージ；ダル・マソ、ジャンニ（1990）「分配微分に関する一般連鎖律」アメリカ数学会紀要、108（3）：691、doi：10.1090/S0002-9939-1990-0969514-3、MR 0969514、Zbl 0685.49027BV関数の合成に関する非常に一般的な連鎖律の公式を含む論文。
アンブロージオ, ルイージ; De Giorgi、Ennio (1988)、「Un nuovotipo di funzionale del calcolo delle variazioni」[変分計算における新しい種類の汎関数]、Atti della Accademia Nazionale dei Lincei、Rendiconti della Classe di Scienze Fisiche、Matematiche e Naturali、VIII (イタリア語)、LXXXII (2): 199–210、MR 1152641、Zbl 0715.49014 $SBV$ 関数と関連する変分問題に関する最初の論文。
Cesari、Lamberto (1936)、「Sulle funzioni a variazione limitata」、Annali della Scuola Normale Superiore、Serie II (イタリア語)、5 ( 3–4 ): 299–313、MR 1556778、Zbl 0014.29605Numdamで入手可能。論文「有界変分関数について」（タイトルの英語訳）において、チェーザリは、現在トネリ平面変分概念と呼ばれている概念を拡張し、積分可能関数のクラスのサブクラスを定義に含めるようにした。
Cesari、Lamberto (1986)、「L'opera di Leonida Tonelli e la sua flu nel pensiero Scientifico del secolo」、Montalenti、G.アメリオ、Ｌ．アクアロ、G.バイアダ、E.他。 (編)、Convegno celebrativo del centenario della nascita di Mauro Picone e Leonida Tonelli (6–9 maggio 1985)、Atti dei Convegni Lincei (イタリア語)、vol. 77、ローマ:国立アカデミー大学、 41–73ページ、2011 年 2 月 23 日のオリジナルからアーカイブ「レオニダ・トネッリの仕事と今世紀の科学的思考への影響」（タイトルの英語訳）は、マウロ・ピコーネとレオニダ・トネッリの生誕100周年を祝う国際会議（1985年5月6日～9日にローマで開催）で発表された、著者の教師や同僚に関する思い出と、著者とその科学的仕事の詳細な調査を報告する、充実した記念記事です。
コンウェイ、エドワード・D.；スモラー、ジョエル・A.（1966）「複数の空間変数を持つ準線型一階方程式のコーシー問題の全体解」、純粋応用数学通信、19（1）：95-105、doi：10.1002/cpa.3160190107、MR 0192161、Zbl 0138.34701任意の数の変数を持つ単一の一次双曲型方程式の時間におけるグローバル存在定理を得るためにBV関数の特性を適用した重要な論文。
デ・ジョルジ、エンニオ(1992)、「問題は不連続性の問題」、アマルディ、E .アメリオ、Ｌ．フィケラ、G. ;グレゴリー、T.グリオーリ、G.マルティネリ、E .モンタレンティ、G.ピネドリ、A.サルヴィーニ, ジョルジョ; Scorza Dragoni、Giuseppe (編)、Convegno internazionale in Memoria di Vito Volterra (1990 年 10 月 8 ～ 11 日)、Atti dei Convegni Lincei (イタリア語)、vol. 92、ローマ:国立アカデミー大学、 39–76ページ、ISSN 0391-805X、MR 1783032、Zbl 1039.49507、2017 年 1 月 7 日のオリジナルからアーカイブSBV関数の理論、その応用、豊富な参考文献に関する詳細を含む、自由不連続変分問題に関する概説論文。
ファレスキーニ、ブルーノ (1956a)、「Sulle definizioni e proprietà delle funzioni a variazione limitata di due variabili. Nota I.」 [2 変数の有界変化関数の定義と性質について。注 I]、Bollettino dell'Unione Matematica Italiana、セリエ III (イタリア語)、11 (1): 80–92、MR 0080169、Zbl 0071.27901「全変動」のさまざまな定義と、それに関連する制限付き変動の機能に関する調査の第 1 部。
ファレスキーニ、ブルーノ (1956b)、「Sulle definizioni e proprietà delle funzioni a variazione limitata di due variabili. Nota II」。 [2 変数の有界変化関数の定義と性質について。注 I]、Bollettino dell'Unione Matematica Italiana、セリエ III (イタリア語)、11 (2): 260– 75、MR 0080169、Zbl 0073.04501「全変動」のさまざまな定義と、それに関連する制限付き変動の機能に関する調査の第 2 部。
Jordan、Camille ( 1881)、「Sur la série de Fourier」[フーリエ級数について]、Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences、92 : 228–230（Gallicaにて）。ボリス・ゴルボフによれば、これは有界変分関数に関する最初の論文である。
Oleinik、Olga A. (1957)、「非線形微分方程式の不連続解」、Uspekhi Matematicheskikh Nauk、12 (3(75)): 3– 73、Zbl 0080.07701（（ロシア語））。著者が非線形偏微分方程式の一般化解を $BV$ 関数として説明している重要な論文。
オレイニク、オルガ・A.（1959）「『粘性消失』の導入による一階準線型方程式のコーシー問題の一般化解の構築」、ウスペキ・マテマティチェスキ・ナウク、14（2（86））：159-164、Zbl 0096.06603（（ロシア語））。著者が粘性消失法を用いて非線形偏微分方程式のBVにおける弱解を構築した重要な論文。
Tony F. ChanとJianhong（Jackie）Shen（2005）、「画像処理と解析 - 変分法、PDE、ウェーブレット、および確率的手法」、SIAM Publisher、ISBN 0-89871-589-X(Rudin、Osher、Fatemi によって始められた現代の画像処理における Bounded Variations の詳細な解説と幅広い応用が含まれています)。

外部リンク

理論

ゴルボフ、ボリス・I.;ヴィトゥシュキン、アナトリー・G. (2001) [1994]、「関数の変分」、数学百科事典、EMSプレス
「BV関数」。PlanetMath。。
ローランド、トッド & ワイスタイン、エリック W.「有界変動」。MathWorld。
数学百科事典における有界変分関数

他の

ピサ高等師範学校のLuigi Ambrosioホームページ。BV関数の理論と応用に貢献した一人の学術ホームページ（プレプリントと出版物を含む）。
変分法および幾何測度理論の研究グループ、ピサ高等師範学校。

この記事にはPlanetMathの BV 機能からの資料が組み込まれており、これはCreative Commons Attribution/Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされています。

[1] Thomas W. Hawkins Jr. (1970)ルベーグの積分理論：その起源と発展、85ページ、ウィスコンシン大学出版局 ISBN 0-299-05550-7

[2] トネリは、現在彼の名にちなんでトネリ平面変分法と呼ばれるものを導入しました。この概念と他の一般化との関係の分析については、「全変分」の項目を参照してください。

[3] 例えばKolmogorov & Fomin (1969, pp. 374–376)を参照。

[4] このトピックに関する一般的な参考資料については、Riesz & Szőkefalvi-Nagy (1990) を参照してください。

[5] この文脈では、「有限」とは、その値が無限ではない、つまり有限の尺度であることを意味します。

[Tvar-6] 詳細および詳細については、「 Total variation 」の項目を参照してください。

[7] この例はGiaquinta、Modica & Souček（1998、p.331）から引用されています。また、Kannan & Krueger 1996、例9.4.1、p.237も参照してください。

[8] ^同じ議論は、Kolmogorov & Fomin (1969、例7、pp. 48–49)によって、 有界列の空間の非可分性を証明するために使用されており、Kannan & Krueger (1996、例9.4.1、p. 237)も同様の議論を使用している。

[9] 「実解析 - 連続的かつ有界な変化は絶対的な連続性を意味するものではない」。