編み込みモノイドカテゴリ

Object in category theory

数学において、モノイド圏 における可換性制約とは、 自然な族を形成するオブジェクトAとBの各ペアに対して同型性を選択することである。特に、可換性制約を満たすためには、すべてのオブジェクトペアに対してが満たされなければならない。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \gamma _{A,B}:A\otimes B\rightarrow B\otimes A}$ ${\displaystyle A\otimes B\cong B\otimes A}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {C}}}$

編み込みモノイド圏とは、編み込み、すなわち、以下に定義される六角形恒等式を含む公理を満たす可換制約を備えたモノイド圏である。 「編み込み」という用語は、編み込み群が編み込みモノイド圏の理論において重要な役割を果たすという事実に由来する。この理由もあって、編み込みモノイド圏と他のトピックは結び目不変量の理論において関連している。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \gamma }$

あるいは、編組モノイドカテゴリは、1 つの 0 セルと 1 つの 1 セルを持つ3 カテゴリとして見ることができます。

編組モノイド圏は、アンドレ・ジョヤルとロス・ストリートによって1986年のプレプリントで導入されました。^[1] この論文の修正版は1993年に出版されました。^[2]

六角形のアイデンティティ

を編み込みモノイド圏と呼ぶには、交換性制約に加えて、以下の六角形図式がすべての対象 に対して可換でなければならない。上のモノイド構造から導かれる結合同型性は次の通りである。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

、

プロパティ

一貫性

自然同型性と、カテゴリ 上のモノイド構造から生じる写像は、様々な構造写像の合成が等しいことを示す様々な整合条件を満たすことが示される。特に、 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha ,\lambda ,\rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• 編み込みは単位と交換可能です。つまり、次の図は交換可能です。

• 組紐群を介した -重テンソル積因子への の作用。特に、 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle (\gamma _{B,C}\otimes {\text{Id}})\circ ({\text{Id}}\otimes \gamma _{A,C})\circ (\gamma _{A,B}\otimes {\text{Id}})=({\text{Id}}\otimes \gamma _{A,B})\circ (\gamma _{A,C}\otimes {\text{Id}})\circ ({\text{Id}}\otimes \gamma _{B,C})}$

マップとして。ここでは、連想マップを省略しています。 ${\displaystyle A\otimes B\otimes C\rightarrow C\otimes B\otimes A}$

バリエーション

編み込みモノイド圏には様々な変種があり、様々な文脈で用いられます。例えば、対称モノイド圏と共境界モノイド圏の説明についてはSavage (2009)の解説論文、リボン圏についてはChariとPressley (1995)の著書を参照してください。

対称モノイド圏

編み込みモノイド圏は、とのすべてのオブジェクトペアに対しても が成り立つ場合、対称的と呼ばれます。この場合、の - 倍テンソル積への作用は、対称群を介して因数分解されます。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle N}$

リボンのカテゴリ

編み込みモノイド圏は、剛体であり、量子トレースとコ量子トレースを保存できる場合、リボン圏である。リボン圏は、結び目不変量を構成する際に特に有用である。

共境界モノイドカテゴリ

共境界または「サボテン」モノイドカテゴリは、次の特性を持つ自然同型族を伴うモノイドカテゴリです。 ${\displaystyle (C,\otimes ,{\text{Id}})}$ ${\displaystyle \gamma _{A,B}:A\otimes B\to B\otimes A}$

• ${\displaystyle \gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id}}}$すべてのオブジェクトとペアに対して。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
• ${\displaystyle \gamma _{B\otimes A,C}\circ (\gamma _{A,B}\otimes {\text{Id}})=\gamma _{A,C\otimes B}\circ ({\text{Id}}\otimes \gamma _{B,C})}$

最初の特性は であることを示しており、これにより、編組モノイドカテゴリの 2 番目の定義図への類似を省略し、暗示されるとおり結合子マップを無視することができます。 ${\displaystyle \gamma _{A,B}^{-1}=\gamma _{B,A}}$

例

• 群(またはリー代数) の表現のカテゴリは、 となる対称モノイド カテゴリです。 ${\displaystyle \gamma (v\otimes w)=w\otimes v}$
• 量子化された普遍包絡代数 の表現圏は、普遍R行列を用いて構築される、編み込みモノイド圏である。実際、この例はリボン圏でもある。 ${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \gamma }$

アプリケーション

• 結び目不変量。
• 対称閉モノイドカテゴリは、線型論理と線型の表示モデルで使用されます。
• 位相的に秩序化された量子システムの説明と分類。

参考文献

1. アンドレ・ジョヤル、ロス・ストリート（1986年11月）、「編組モノイドカテゴリ」（PDF）、マッコーリー数学レポート（860081）
2. アンドレ・ジョヤル、ロス・ストリート (1993)、「編組テンソルカテゴリ」、数学の進歩、102 : 20–78、doi : 10.1006/aima.1993.1055

• チャリ、ヴィジャヤンティ、プレスリー、アンドリュー. 「量子群入門」ケンブリッジ大学出版局. 1995年.
• サベージ、アリスター. 編組モノイド圏と共境界モノイド圏. 代数、表現、応用, 229–251, Contemp. Math., 483, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009. arXivで入手可能

外部リンク

• nラボにおける編組モノイドカテゴリ
• John Baez (1999)、「編組モノイドカテゴリ入門」、This week's finds in several several languages 137。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Braided_monoidal_category&oldid=1314020339"