コントラクトブリッジの確率

ブリッジというゲームでは、数学的な確率が重要な役割を果たします。相手のカードの配置に応じて、ディクレアラーの戦略はそれぞれ異なり、成功の可能性は異なります。どの戦略が最も成功する可能性が高いかを判断するには、ディクレアラーは少なくとも基本的な確率の知識を持っている必要があります。

以下の表は、様々な事前確率、つまりそれ以上の情報がない場合の確率を示しています。入札とプレイ中に、ハンドに関するより多くの情報が得られるため、プレイヤーは確率の推定精度を向上させることができます。

2つの隠された手札におけるスーツの分布（トランプがない場合など）の確率

この表^[1]は、2～8枚の特定のカードが、 2つの未知の13枚のカードハンド（入札とプレイの前、または事前に）間でどのように分配されるか、またはどのように位置付けられるか、または分割されるかを表しています。

表には、任意の数値分割に一致する特定のカードの組み合わせの数と、各組み合わせの確率も表示されます。

これらの確率は、空き地の法則から直接導き出されます。

パートナーシップから欠けているカード（切り札など）の数	分布	確率	組み合わせ	個別確率
2	1-1	0.52	2	0.26
2	2-0	0.48	2	0.24
3	2-1	0.78	6	0.13
3	3-0	0.22	2	0.11
4	2-2	0.40	6	0.0678～
	3-1	0.50	8	0.0622～
	4 - 0	0.10	2	0.0478～
5	3-2	0.68	20	0.0339～
	4-1	0.28	10	0.02826～
	5-0	0.04	2	0.01956～
6	3-3	0.36	20	0.01776～
	4 - 2	0.48	30	0.01615～
	5-1	0.15	12	0.01211～
	6-0	0.01	2	0.00745～
7	4 - 3	0.62	70	0.00888～
	5-2	0.30	42	0.00727～
	6-1	0.07	14	0.00484～
	7 - 0	0.01	2	0.00261～
8	4-4	0.33	70	0.00467～
	5 - 3	0.47	112	0.00421～
	6-2	0.17	56	0.00306～
	7-1	0.03	16	0.00178～
	8 - 0	0.00	2	0.00082～

確率の計算

未知のカードを持つ東のプレイヤーが特定のスートのカードを持ち、未知のカードを持つ西のプレイヤーが特定のスートのカードを持っている確率をとします。スートのカードの配置の総数は、つまり、スートのカードが区別できず、スートにないカードが区別できないオブジェクトの順列の数です。のうち、東がスートのカードを持ち、西がスートのカードを持っている場合に対応するの配置の数はで与えられます。したがって、分割の方向が重要でない場合（分割が-であることのみが必要であり、東が特にカードを持っている必要はない）、全体の確率はで与えられます。ここで、クロネッカーのデルタにより、東と西のスートのカードの枚数が同じ状況が2回カウントされないことが保証されます。 $P'(a,b,n_{e},n_{w})$ $n_{e}$ $a$ $n_{w}$ $b$ $(a+b)$ $(n_{e}+n_{w})$ $T={\frac {(n_{e}+n_{w})!}{(n_{e}+n_{w}-a-b)!(a+b)!}}$ $(n_{e}+n_{w})$ $a$ $b$ $S={\frac {n_{e}!}{a!(n_{e}-a)!}}\times {\frac {n_{w}!}{b!(n_{w}-b)!}}$ $P'(a,b,n_{e},n_{w})={\frac {S}{T}}={\frac {(a+b)!}{a!b!}}\times {\frac {n_{e}!n_{w}!(n_{e}+n_{w}-a-b)!}{(n_{e}+n_{w})!(n_{e}-a)!(n_{w}-b)!}}={\binom {a+b}{a}}{\frac {n_{e}!n_{w}!(n_{e}+n_{w}-a-b)!}{(n_{e}+n_{w})!(n_{e}-a)!(n_{w}-b)!}}={\frac {{\binom {a+b}{a}}{\binom {n_{e}+n_{w}-a-b}{n_{e}-a}}}{\binom {n_{e}+n_{w}}{n_{e}}}}$ $a$ $b$ $a$ $P(a,b,n_{e},n_{w})=P'(a,b,n_{e},n_{w})+(1-\delta _{a,b})P'(b,a,n_{e},n_{w})$

上記の確率は、分割の方向は重要ではないと仮定しており、したがって次のように表されます。より一般的な式は、例えばビッドからプレイヤーが別のスートのカードを持っていることが分かっている場合、スートのブレークの確率を計算するために使用できます。例えば、ビッドから東がスペード7を持っていることが分かっており、ダミーを見て西がスペード2を持っていると推測したとします。この場合、2つのプレイラインでダイヤ5-3またはクラブ4-2を期待する場合、事前確率はそれぞれ47%と48%ですが、クラブラインはダイヤラインよりも大幅に優れています。 $n_{e}=n_{w}=13$ $P(a,b)=P(a,b,13,13)={\binom {a+b}{a}}{\frac {13!13!(26-a-b)!}{26!(13-a)!(13-b)!}}(2-\delta _{a,b})$ $P(5,3,13-7,13-2)\thickapprox 42\%$ $P(4,2,13-7,13-2)\thickapprox 47\%$

HCP分布の確率

ハイカードポイント（HCP）は通常、ミルトン・ワークスケールを用いて、エース、キング、クイーン、ジャックそれぞれに4/3/2/1ポイントを加算して計算されます。特定のハンドに含まれるHCPの数が指定値以下である事前確率は、以下の表に示されています。^[1]特定のポイント範囲の確率を求めるには、関連する2つの累積確率を単純に差し引きます。したがって、12～19 HCP（範囲を含む）のハンドが配られる確率は、最大で19 HCPを持つ確率から最大で11 HCPを持つ確率を差し引いた値、つまり0.9855 − 0.6518 = 0.3337となります。^[2]

医療従事者	確率	医療従事者	確率	医療従事者	確率	医療従事者	確率	医療従事者	確率
0	0.003639	8	0.374768	16	0.935520	24	0.999542	32	1.000000
1	0.011523	9	0.468331	17	0.959137	25	0.999806	33	1.000000
2	0.025085	10	0.562382	18	0.975187	26	0.999923	34	1.000000
3	0.049708	11	0.651828	19	0.985549	27	0.999972	35	1.000000
4	0.088163	12	0.732097	20	0.991985	28	0.999990	36	1.000000
5	0.140025	13	0.801240	21	0.995763	29	0.999997	37	1.000000
6	0.205565	14	0.858174	22	0.997864	30	0.999999
7	0.285846	15	0.902410	23	0.998983	31	1.000000

手札パターンの確率

ハンドパターンとは、手札の13枚のカードが4つのスーツに分配される様子を指します。合計39種類のハンドパターンが考えられますが、そのうち事前確率が1%を超えるのはわずか13種類です。最も可能性の高いパターンは4-4-3-2パターンで、4枚のスーツが2つ、3枚のスーツが1つ、そしてダブルトンが1つ含まれています。

ハンドパターンでは、指定された長さのカードがどのスーツに含まれるかは指定されていないことに注意してください。4-4-3-2パターンの場合、4つのスーツそれぞれの長さを特定するには、どのスーツに3枚のカードが含まれるか、どのスーツにダブルトンが含まれるかを指定する必要があります。3枚のカードのスーツを最初に特定する方法は4通りあり、次にダブルトンを特定する方法は3通りあります。したがって、 4-4-3-2パターンのスーツの組み合わせは12通りあります。言い換えれば、4-4-3-2パターンを4つのスーツにマッピングする方法は合計12通りあります。

以下の表は、39通りのハンドパターン、その出現確率、および各パターンにおけるスーツの組み合わせの数をすべて示しています。この表は、ハンドパターンの出現確率の高い順に並べられています。^[3]

パターン	確率	#
4-4-3-2	0.21551	12
5-3-3-2	0.15517	12
5-4-3-1	0.12931	24
5-4-2-2	0.10580	12
4-3-3-3	0.10536	4
6-3-2-2	0.05642	12
6-4-2-1	0.04702	24
6-3-3-1	0.03448	12
5-5-2-1	0.03174	12
4-4-4-1	0.02993	4
7-3-2-1	0.01881	24
6-4-3-0	0.01326	24
5-4-4-0	0.01243	12

パターン	確率	#
5-5-3-0	0.00895	12
6-5-1-1	0.00705	12
6-5-2-0	0.00651	24
7-2-2-2	0.00513	4
7-4-1-1	0.00392	12
7-4-2-0	0.00362	24
7-3-3-0	0.00265	12
8-2-2-1	0.00192	12
8-3-1-1	0.00118	12
7-5-1-0	0.00109	24
8-3-2-0	0.00109	24
6-6-1-0	0.00072	12
8-4-1-0	0.00045	24

パターン	確率	#
9-2-1-1	0.00018	12
9-3-1-0	0.00010	24
9-2-2-0	0.000082	12
7-6-0-0	0.000056	12
8-5-0-0	0.000031	12
10-2-1-0	0.000011	24
9-4-0-0	0.0000097	12
10-1-1-1	0.0000040	4
10-3-0-0	0.0000015	12
11-1-1-0	0.00000025	12
11-2-0-0	0.00000011	12
12-1-0-0	0.0000000032	12
13-0-0-0	0.0000000000063	4

39種類のハンドパターンは、バランスハンド、シングルスーター、ツースーター、スリースーターの4つのハンドタイプに分類できます。以下の表は、特定のハンドタイプが配られる確率を事前に示しています。

手のタイプ	パターン	確率
3 バランスの取れた	4-3-3-3、4-4-3-2、5-3-3-2	0.4761
26 シングルスーツ	6-3-2-2, 6-3-3-1, 6-4-2-1, 6-4-3-0, 7-2-2-2, 7-3-2-1, 7-3-3-0, 7-4-1-1, 7-4-2-0, 7-5-1-0, 8-2-2-1, 8-3-1-1, 8-3-2-0, 8-4-1-0, 8-5-0-0, 9-2-1-1, 9-2-2-0, 9-3-1-0, 9-4-0-0, 10-1-1-1, 10-2-1-0, 10-3-0-0, 11-1-1-0, 11-2-0-0, 12-1-0-0, 13-0-0-0	0.1915
8 ツースーツ	5-4-2-2、5-4-3-1、5-5-2-1、5-5-3-0、6-5-1-1、6-5-2-0、6-6-1-0、7-6-0-0	0.2902
2 スリースーツ	4-4-4-1、5-4-4-0	0.0423

39種類のハンドパターンは、最長のスーツまたは最短のスーツに基づいてグループ化できます。以下の表は、指定された長さのスーツで配られるハンドの確率を事前に示しています。

最長のスーツ	パターン	確率
4枚のカード	4-3-3-3、4-4-3-2、4-4-4-1	0.3508
5枚のカード	5-3-3-2、5-4-2-2、5-4-3-1、5-5-2-1、5-4-4-0、5-5-3-0	0.4434
6枚のカード	6-3-2-2、6-3-3-1、6-4-2-1、6-4-3-0、6-5-1-1、6-5-2-0、6-6-1-0	0.1655
7枚のカード	7-2-2-2、7-3-2-1、7-3-3-0、7-4-1-1、7-4-2-0、7-5-1-0、7-6-0-0	0.0353
8枚のカード	8-2-2-1、8-3-1-1、8-3-2-0、8-4-1-0、8-5-0-0	0.0047
9枚のカード	9-2-1-1、9-2-2-0、9-3-1-0、9-4-0-0	0.00037
10枚のカード	10-1-1-1、10-2-1-0、10-3-0-0	0.000017
11枚のカード	11-1-1-0、11-2-0-0	0.0000003
12枚のカード	12-1-0-0	0.000000003
13枚のカード	13-0-0-0	0.000000000006

最短スーツ	パターン	確率
3枚のカード	4-3-3-3	0.1054
ダブルトン	4-4-3-2、5-3-3-2、5-4-2-2、6-3-2-2、7-2-2-2	0.5380
シングルトン	4-4-4-1、5-4-3-1、5-5-2-1、6-3-3-1、6-4-2-1、6-5-1-1、7-3-2-1、7-4-1-1、8-2-2-1、8-3-1-1、9-2-1-1、10-1-1-1	0.3055
空所	5-4-4-0, 5-5-3-0, 6-4-3-0, 6-5-2-0, 6-6-1-0, 7-3-3-0, 7-4-2-0, 7-5-1-0, 7-6-0-0, 8-3-2-0, 8-4-1-0, 8-5-0-0, 9-2-2-0, 9-3-1-0, 9-4-0-0, 10-2-1-0, 10-3-0-0, 11-1-1-0, 11-2-0-0, 12-1-0-0, 13-0-0-0	0.0511

可能な手とディールの数

1人のプレイヤーが持つことのできるハンドは、635,013,559,600（）通りあります。 ^[4]さらに、残りの39枚のカードとその組み合わせをすべて含めると、53,644,737,765,488,792,839,237,440,000（53.6 x 10の²⁷乗）通りのディールが可能です（）^[5]この数字の膨大さは、「各ディールがわずか1平方ミリメートルを占めるとしたら、すべてのブリッジディールを展開するにはどれくらいの面積が必要か」という質問に答えることで理解できます。答えは、地球の表面積の1億倍以上の面積です。 ${52 \choose 13}$ $52!/(13!)^{4}$

明らかに、 ♥ 2と♥ 3を入れ替えた以外は全く同じ配り方をしても、結果が異なる可能性は低いでしょう。小さなカードが無関係であることを明確にするため（常にそうとは限りませんが）、ブリッジではそのような小さなカードは一般的に「x」で表されます。したがって、この意味での「可能な配り方の数」は、オナーカード以外のカード（2、3、…9）のうち、何枚が「区別できない」とみなされるかによって決まります。例えば、10未満のすべてのカードに「x」表記を適用すると、A987-K106-Q54-J32とA432-K105-Q76-J98のスートの分布は同一とみなされます。

下の表^[6]は、さまざまな数の小さなカードが区別できないと見なされた場合の配布回数を示しています。

最も優れた無名のカード	取引件数
2	53,644,737,765,488,792,839,237,440,000
3	7,811,544,503,918,790,990,995,915,520
4	445,905,120,201,773,774,566,940,160
5	14,369,217,850,047,151,709,620,800
6	314,174,475,847,313,213,527,680
7	5,197,480,921,767,366,548,160
8	69,848,690,581,204,198,656
9	800,827,437,699,287,808
10	8,110,864,720,503,360
J	74,424,657,938,928
質問	630,343,600,320
K	4,997,094,488
あ	37,478,624

表の最後のエントリ (37,478,624) は、デッキの異なる配布の数 (カードがスーツによってのみ区別される場合の配布数) に対応していることに注意してください。

負ける確率 - トリック数

負けトリックカウントは、ハンド評価方法として HCP カウントの代替手段です。

LTC	手の数	確率
0	4,245,032	0.000668%
1	90,206,044	0.0142%
2	8億7,236万1,936	0.137%
3	5,080,948,428	0.8%
4	19,749,204,780	3.11%
5	53,704,810,560	8.46%
6	104,416,332,340	16.4%
7	145,971,648,360	23.0%
8	145,394,132,760	22.9%
9	100,454,895,360	15.8%
10	45,618,822,000	7.18%
11	12,204,432,000	1.92%
12	1,451,520,000	0.229%
13	最大12	該当なし

参考文献

^ ab 「数学表」（表4）.フランシス, ヘンリー・G.;トラスコット, アラン・F.;フランシス, ドロシー・A. 編 (1994). 『ブリッジ公式百科事典』（第5版）. メンフィス, テネシー州:アメリカ・コントラクト・ブリッジ・リーグ. p. 278. ISBN 0-943855-48-9。LCCN 96188639。
^ リチャード・パブリチェク「ハイカード期待値」リンク
^ リチャード・パブリチェク「Against All Odds」リンク
^ デュランゴ・ビルのブリッジ確率と組合せ論 1
^ デュランゴ・ビルのブリッジ確率と組合せ論 2
^ Counting Bridge Deals、Jeroen Warmerdam

さらに読む

エミール、ボレル。アンドレ、シェロン（1940年）。橋のテオリ数学。ゴーティエ・ヴィラール。1954年に著者らによって第2版がフランス語で出版された。Alec Traub によって『The Mathematical Theory of Bridge』として英語に翻訳・編集され、1974年にCC Wei の協力により台湾で印刷された。
ケルシー、ヒュー、グローアート、マイケル（1980年）『ブリッジ実践者のためのオッズ』マスターブリッジシリーズ、ロンドン：Victor Gollancz Ltd（ピーター・クローリーとの提携）。ISBN 0-575-02799-1。
リース、テレンス、トレゼル、ロジャー(1986). 『ブリッジにおけるオッズをマスターする』 . マスターブリッジシリーズ. ロンドン: Victor Gollancz Ltd (ピーター・クローリーとの提携). ISBN 0-575-02597-2。

[OEB-1] 「数学表」（表4）.フランシス, ヘンリー・G.;トラスコット, アラン・F.;フランシス, ドロシー・A. 編 (1994). 『ブリッジ公式百科事典』（第5版）. メンフィス, テネシー州:アメリカ・コントラクト・ブリッジ・リーグ. p. 278. ISBN 0-943855-48-9。LCCN 96188639。

[2] リチャード・パブリチェク「ハイカード期待値」リンク

[Pavlicek1-3] リチャード・パブリチェク「Against All Odds」リンク

[4] デュランゴ・ビルのブリッジ確率と組合せ論 1

[5] デュランゴ・ビルのブリッジ確率と組合せ論 2

[6] Counting Bridge Deals、Jeroen Warmerdam