ブラウン橋

Stochastic process in physics

両端が固定されたブラウン運動。これはブラウン橋を表しています

ブラウン橋は連続時間ガウス過程 B ( t ) であり、その確率分布は標準ウィーナー過程W ( t ) (ブラウン運動の数学的モデル) の条件付き確率分布であり、条件 (標準化時) W ( T ) = 0に従うため、過程はt  = 0 とt  =  Tの両方で同じ値に固定されます。より正確には、

${\displaystyle B_{t}:=(W_{t}\mid W_{T}=0),\;t\in [0,T]}$

区間 内の任意の点における橋の期待値はゼロで、分散は です。これは、不確実性が最も大きいのは橋の中央であり、ノードでは不確実性がゼロであることを意味します。B ( s ) とB ( t )の共分散は、またはの場合はです。ブラウン橋における増分は独立ではありません。 ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle {\frac {t(T-t)}{T}}}$ ${\displaystyle \min(s,t)-{\frac {s\,t}{T}}}$ ${\displaystyle {\frac {s(T-t)}{T}}}$ ${\displaystyle s<t}$

他の確率過程との関係

が標準的なウィーナー過程（すなわち、 に対して、は期待値と分散で正規分布し、増分は定常かつ独立）である場合、 ${\textstyle W(t)}$ ${\textstyle t\geq 0}$ ${\textstyle W(t)}$ ${\textstyle 0}$ ${\textstyle t}$

${\displaystyle B(t)=W(t)-{\frac {t}{T}}W(T)\,}$

はブラウン橋である。これは^{[1]とは独立である。} ${\textstyle t\in [0,T]}$ ${\textstyle W(T)}$

逆に、が のブラウン橋であり、 がに依存しない標準正規確率変数である場合、プロセス ${\textstyle B(t)}$ ${\textstyle t\in [0,1]}$ ${\textstyle Z}$ ${\textstyle B}$

${\displaystyle W(t)=B(t)+tZ\,}$

は のウィーナー過程である。より一般的には、のウィーナー過程は次のように分解できる。 ${\textstyle t\in [0,1]}$ ${\textstyle W(t)}$ ${\textstyle t\in [0,T]}$

${\displaystyle W(t)={\sqrt {T}}B\left({\frac {t}{T}}\right)+{\frac {t}{\sqrt {T}}}Z.}$

ブラウン運動に基づくブラウン橋の別の表現は、 ${\textstyle t\in [0,T]}$

${\displaystyle B(t)={\frac {T-t}{\sqrt {T}}}W\left({\frac {t}{T-t}}\right).}$

逆に、 ${\textstyle t\in [0,\infty ]}$

${\displaystyle W(t)={\frac {T+t}{T}}B\left({\frac {Tt}{T+t}}\right).}$

ブラウン橋は、確率係数を持つフーリエ級数として表すこともできます

${\displaystyle B_{t}=\sum _{k=1}^{\infty }Z_{k}{\frac {{\sqrt {2T}}\sin(k\pi t/T)}{k\pi }}}$

ここで、は独立した同一分布の標準正規確率変数です（カルーネン・レーヴの定理を参照）。 ${\displaystyle Z_{1},Z_{2},\ldots }$

ブラウン橋は、経験的過程の分野におけるドンスカーの定理の結果である。また、統計的推論の分野におけるコルモゴロフ・スミルノフ検定にも用いられる。

ブラウン橋を とすると、の 累積分布関数は^[2]で与えられる。 ${\displaystyle K=\sup _{t\in [0,1]}|B(t)|}$ ${\displaystyle T=1}$ ${\textstyle K}$ $${\displaystyle \operatorname {Pr} (K\leq x)=1-2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}e^{-2k^{2}x^{2}}={\frac {\sqrt {2\pi }}{x}}\sum _{k=1}^{\infty }e^{-(2k-1)^{2}\pi ^{2}/(8x^{2})}.}$$

零点交差による分解

ブラウン橋は、中点の前の最後の零点と中点の後の最初の零点を見つけることで「分割」することができ、上の（スケーリングされた）橋、上の逸脱、そして 上の別の橋を形成します。 の結合確率密度関数は次のように与えられます ${\displaystyle \tau _{-}}$ ${\displaystyle \tau _{+}}$ ${\displaystyle [0,\tau _{-}]}$ ${\displaystyle [\tau _{-},\tau _{+}]}$ ${\displaystyle [\tau _{+},1]}$ ${\displaystyle \tau _{-},\tau _{+}}$

${\displaystyle \rho \left(\tau _{-},\tau _{+}\right)={\frac {1}{2\pi {\sqrt {\tau _{-}(1-\tau _{+})(\tau _{+}-\tau _{-})^{3}}}}}}$

これは条件付きで次のようにサンプリングできる。

${\displaystyle \tau _{+}={\frac {1}{1+\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}U_{1}\right)}}\in \left({\frac {1}{2}},1\right)}$

${\displaystyle \tau _{-}={\frac {U_{2}^{2}\tau _{+}}{2\tau _{+}+U_{2}^{2}-1}}\in \left(0,{\frac {1}{2}}\right)}$

ここで、(0,1) 上の均一に分布する確率変数です。 ${\displaystyle U_{1},U_{2}}$

直感的な考察

標準的なウィーナー過程はW (0) = 0を満たすため、原点に「縛られる」が、他の点は制限されない。一方、ブラウン橋過程においては、B (0) = 0であるだけでなく、 B ( T ) = 0であることも要求される。つまり、過程はt = Tでも「縛られる」 。文字通りの橋が両端で鉄塔で支えられているように、ブラウン橋は区間[0, T ]の両端で条件を満たす必要がある。（少し一般化すると、B ( t ₁ ) =  aおよびB ( t ₂ ) =  bが必要となる場合がある。ここで、 t ₁、t ₂、a、bは既知の定数である。）

コンピュータシミュレーションによってウィーナー過程の経路上の点W (0)、W (1)、W (2)、W (3) などを生成したと仮定する。ここで、区間[0, T ]内に追加の点を埋める、つまり既に生成された点の間を補間する必要がある。この解決策は、 T個のブラウン橋の集合を用いることである。最初のブラウン橋は値W (0) とW (1) を通過し、2番目のブラウン橋は値W (1) とW (2) を通過し、 T番目が値W ( T -1) とW ( T )を通過するまでこれを繰り返す。

一般的な場合

W ( t ₁ ) = aかつW ( t ₂ ) = b の一般的な場合、時刻t  ∈ ( t ₁ ,  t ₂ )におけるBの分布は正規分布であり、平均は

${\displaystyle a+{\frac {t-t_{1}}{t_{2}-t_{1}}}(b-a)}$

および分散

${\displaystyle {\frac {(t_{2}-t)(t-t_{1})}{t_{2}-t_{1}}},}$

そして、B ( s ) とB ( t )の共分散は、 s  <  tの場合、

${\displaystyle {\frac {(t_{2}-t)(s-t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}.}$

参考文献

1. ブラウン運動の側面、Springer、2008年、R. Mansuy、M. Yor、2ページ
2. Marsaglia G, Tsang WW, Wang J (2003). 「コルモゴロフ分布の評価」. Journal of Statistical Software . 8 (18): 1– 4. doi : 10.18637/jss.v008.i18 .

• グラスマン、ポール（2004年）『モンテカルロ法による金融工学』ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-00451-3。
• ダニエル・レブズ、マーク・ヨール (1999). 『連続マルチンゲールとブラウン運動』（第2版）. ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 3-540-57622-3。

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