過激な

Real root of the polynomial x^5+x+a

本当の議論のための過激派の持ち込みのプロット

代数学において、実数aのブリング根号（または超根号）は、多項式の唯一の実根である。ブリング根号はの代数関数として定義される。これは根号で表すことのできない最も単純な代数関数である。^[要出典]  $${\displaystyle x^{5}+x+a.}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$

複素数 aの Bring 根号は、上記の多項式の 5 つの根号のいずれか（したがって多価根号）であるか、あるいは特定の根号のいずれかである。特定の根号は通常、実数aに対して Bring 根号が実数値となり、実数直線の近傍において解析関数となるように選択される。4 つの分岐点が存在するため、 Bring 根号は複素平面全体にわたって連続な関数として定義することはできず、その連続領域は 4 つの分岐切断を排除する必要がある。

ジョージ・ジェラードは、エルランド・ブリングによって導入されたブリング根号とブリング根号を使用して、いくつかの五次方程式を閉じた形で解くことができることを示した。

この記事では、 aの Bring 根号はと表記されます。実数の場合、これは奇数、単調減少、無制限であり、大きな に対して漸近的な挙動を示します。 ${\displaystyle \operatorname {BR} (a).}$ ${\displaystyle \operatorname {BR} (a)\sim -a^{1/5}}$ ${\displaystyle a}$

正規形

五次方程式は、最も一般的な形式では 5 つの独立した係数を持つため、直接解を得るのがかなり困難です。 $${\displaystyle x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0.}$$

これまで開発されてきた五次方程式を解くさまざまな方法は、一般的に、チルンハウス変換を使用して五次方程式を単純化し、独立した係数の数を減らすことを試みます。

主五次形式

一般五次式は、四次項と三次項を除いた主五次形式と呼ばれる形式に簡約することができます。 $${\displaystyle y^{5}+c_{2}y^{2}+c_{1}y+c_{0}=0\,}$$

一般五次方程式と主五次方程式の根が二次チルンハウス変換によって関連付けられている場合、 係数と は結果、あるいは根のべき乗和とニュートン恒等式 によって決定できる。これは、二次方程式と一次方程式からなる方程式系と につながり、どちらの解集合も主五次方程式の対応する3つの係数を得るために使用できる。^[1] $${\displaystyle y_{k}=x_{k}^{2}+\alpha x_{k}+\beta \,,}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

この形式はフェリックス・クラインの五次方程式の解法で使用されている。^[2]

ブリング・ジェラード正規形

五次方程式をさらに簡略化し、二次項を消去することで、ブリング・ジェラード正規形を得ることができます。 しかし、チルンハウスが試みた ように、冪和公式を三次変換を用いて再び用いることは不可能です。なぜなら、結果として得られる連立方程式は6次方程式となるからです。しかし、1796年にブリングは、四次チルンハウス変換を用いて主五次方程式の根とブリング・ジェラード五次方程式の根を関連付けることで、この問題を回避する方法を発見しました。 $${\displaystyle v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0.}$$ $${\displaystyle v_{k}=y_{k}^{4}+\alpha y_{k}^{3}+\beta y_{k}^{2}+\gamma y_{k}+\delta \,.}$$

この 4 次変換が提供する追加のパラメータにより、ブリングは他のパラメータの次数を下げることができました。これにより、6 つの未知数を持つ 5 つの方程式の連立方程式が得られ、3 次方程式と2 次方程式を解くことが必要になります。この方法は 1852 年にジェラードによっても発見されましたが、^[3]彼はこの分野におけるブリングの以前の研究を知らなかった可能性があります。^{[1] (pp92–93)}完全な変換は、Mathematica ^[4]やMaple ^[5]などのコンピュータ代数パッケージを使用して簡単に実行できます。これらの変換の複雑さから予想されるように、結果として得られる式は非常に大きくなる可能性があり、特に低次方程式の根号の解と比較すると大きくなり、記号係数を持つ一般的な 5 次方程式では数メガバイトの記憶域が必要になります。^[4]

代数関数として考えると、 の解は2つの変数d ₁とd ₀を含みます。しかし、実際には1変数の代数関数への縮約であり、これは根号の解と非常に類似しています。これは、Bring–Jerrard形式をさらに縮約できるためです。例えば、 と設定すると、方程式はz を1変数の代数関数として含む形式に縮約されます。ここで です。この形式は、後述する微分分解のエルミート・クロネッカー・ブリオスキー法、グラッサー法、およびコックル・ハーレー法で要求されます。 $${\displaystyle v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0}$$ $${\displaystyle z={v \over {\sqrt[{4}]{-d_{1}}}}}$$ $${\displaystyle z^{5}-z+a=0\,,}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=d_{0}(-d_{1})^{-5/4}}$

となるように設定することで、別の形が得られます。この形は、以下のBring根号を定義するために使用されます。 ${\displaystyle u={v \over {\sqrt[{4}]{d_{1}}}}}$ ${\displaystyle u^{5}+u+b=0\,,}$ ${\displaystyle b=d_{0}(d_{1})^{-5/4}}$

ブリオスキ正規形

五次方程式には、ブリオスキ正規形として知られるもう一つの1パラメータ正規形があり、これは有理数チルンハウス変換を用いて一般五次方程式の根をブリオスキ五次方程式に関連付けることで導出できる。パラメータの値と は、リーマン球面上の多面体関数を用いて導出でき、これらは二十面体対称の物体を5つの四面体対称の物体に分割することに関係している。^[6] $${\displaystyle w^{5}-10Cw^{3}+45C^{2}w-C^{2}=0,}$$ $${\displaystyle w_{k}={\frac {\lambda +\mu x_{k}}{{\frac {x_{k}^{2}}{C}}-3}}}$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

このチルンハウス変換は、主五次方程式をブリング・ジェラード形式に変換するのに用いられる難しい変換よりもかなり単純です。この正規形は、ドイル・マクマレン反復法とキーパート法で用いられます。

シリーズ表現

ブリング根号のテイラー級数、および超幾何関数による表現は以下のように導出できる。この式は次のように書き直すことができる。求める解は と設定することで、が奇数となる。 ${\displaystyle x^{5}+x+a=0}$ ${\displaystyle x^{5}+x=-a.}$ ${\displaystyle f(x)=x^{5}+x,}$ ${\displaystyle x=f^{-1}(-a)=-f^{-1}(a)}$ ${\displaystyle f(x)}$

の級数は、（単に である）のテイラー級数を逆変換することによって得られ、 となる。ここで、係数の絶対値はOEISのA002294列を形成する。級数の収束半径は ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x+x^{5}}$ $${\displaystyle \operatorname {BR} (a)=-f^{-1}(a)=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {5k}{k}}{\frac {(-1)^{k+1}a^{4k+1}}{4k+1}}=-a+a^{5}-5a^{9}+35a^{13}-285a^{17}+\cdots ,}$$ ${\displaystyle 4/(5\cdot {\sqrt[{4}]{5}})\approx 0.53499.}$

超幾何形式では、ブリング根号は次のように表される^[4] $${\displaystyle \operatorname {BR} (a)=-a\,\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};-5\left({\frac {5a}{4}}\right)^{4}\right).}$$

これを、以下の Glasser の導出と微分レゾルベント法で生じる超幾何関数と比較すると興味深いかもしれません。

一般五次方程式の解

多項式の根は、 ブリング根号とその 4 つの共役項で表すことができます。問題は、解ける多項式方程式で表されたブリング・ジェラール形式に簡約され、根号に 4 次までの多項式式のみを含む変換が使用されます。つまり、変換の逆変換は根号で解ける多項式の根を求めることで実行できます。この手順では余分な解が得られますが、数値的手法で正しい解が見つかった場合は、5 次方程式の根を平方根、立方根、ブリング根号で表すことができます。したがって、これは 1 変数の代数関数 (ブリング根号を含むように広く定義) による代数解、つまり一般の 5 次方程式の代数解になります。 $${\displaystyle x^{5}+px+q}$$ $${\displaystyle {\sqrt[{4}]{p}}\,\operatorname {BR} \left(p^{-{\frac {5}{4}}}q\right)}$$

その他の特徴

ブリング根号の他の多くの特徴付けが開発されてきたが、その最初のものは 1858 年にシャルル・エルミートによって「楕円超越関数」（楕円関数とモジュラー関数に関連）の観点から開発され、その後他の数学者によってさらなる方法が開発されました。

エルミート・クロネッカー・ブリオスキーの特徴づけ

1858年、シャルル・エルミート^[7]は「楕円超越関数」を用いた一般五次方程式の解を初めて発表し、ほぼ同時期にフランチェスコ・ブリオスキ^[8]とレオポルド・クロネッカー^{[9]も同等の解を発見した。エルミートは、}三次方程式のよく知られた解を三角関数を用いて一般化することでこの解に到達し、ブリング・ジェラール形式で五次方程式の解を導出した。 $${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$$

示したように、任意の五次方程式はチルンハウス変換によってこの方程式に簡約できる。彼は、ブリング・ジェラール五次方程式の解において、三角関数が三次方程式に対して果たした役割と同様の役割を楕円関数が果たすと指摘した。 とを第一種完全楕円積分として書き表す。ここで、 2つの「楕円超越関数」を定義する。^{[注 1]}これらは無限級数によって同値に定義できる。^{[注 2]} ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K',}$ $${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}$$ $${\displaystyle K'(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k'^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}$$ $${\displaystyle k^{2}+k'^{2}=1.}$$ $${\displaystyle \varphi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(2j-1)\pi i}{2\tau }}={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {1+e^{2j\pi i\tau }}{1+e^{(2j-1)\pi i\tau }}},\quad \operatorname {Im} \tau >0}$$ $${\displaystyle \psi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(2j-1)\pi \tau }{2i}},\quad \operatorname {Im} \tau >0}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (\tau )&={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{(2j^{2}+j)\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}}\\&={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}(1-e^{\pi i\tau }+2e^{2\pi i\tau }-3e^{3\pi i\tau }+4e^{4\pi i\tau }-6e^{5\pi i\tau }+9e^{6\pi i\tau }-\cdots ),\quad \operatorname {Im} \tau >0\\\psi (\tau )&={\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }(-1)^{j}e^{2j^{2}\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}}\\&=1-2e^{\pi i\tau }+2e^{2\pi i\tau }-4e^{3\pi i\tau }+6e^{4\pi i\tau }-8e^{5\pi i\tau }+12e^{6\pi i\tau }-\cdots ,\quad \operatorname {Im} \tau >0\end{aligned}}}$$

nが素数の場合、2つの値とを次のように定義できます。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle u=\varphi (n\tau )}$$ $${\displaystyle v=\varphi (\tau )}$$

nが奇数の素数のとき、パラメータと は、におけるn  + 1次方程式によって結び付けられます^{[注 3]}。これはモジュラー方程式と呼ばれ、におけるその根は次のように与えられます。^{[10] [注 4]}および は、2 がn を法とする平方剰余であるかどうかによって、それぞれ1または −1 になります^{[注 5]}および。n = 5 のときは、モジュラー方程式は次のようになります^[11]。 この方程式には、上に示したように6 つの根があります。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega _{n}(u,v)=0}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle u=\varphi (n\tau )}$$ $${\displaystyle u=\varepsilon (n)\varphi \left({\frac {\tau +16m}{n}}\right)}$$ ${\displaystyle \varepsilon (n)}$ ${\displaystyle m\in \{0,1,\ldots ,n-1\}}$ $${\displaystyle \Omega _{5}(u,v)=0\iff u^{6}-v^{6}+5u^{2}v^{2}(u^{2}-v^{2})+4uv(1-u^{4}v^{4})=0}$$ ${\displaystyle u}$

のモジュラー方程式は、モジュラー方程式の 6 つの根の次の関数によって、Bring-Jerrard 5 次関数に関連付けられる可能性があります (Hermite のSur la théorie des équations modulaires et la résolution de l'équation du cinquième degré では、最初の因子は誤って として与えられています): ^[12] ${\displaystyle n=5}$ ${\displaystyle [\varphi (5\tau )+\varphi (\tau /5)]}$

$${\displaystyle \Phi (\tau )=\left[-\varphi (5\tau )-\varphi \left({\frac {\tau }{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\tau +16}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\tau +64}{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\tau +32}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\tau +48}{5}}\right)\right]}$$

あるいは、式^[13]は の数値評価に有用である。エルミートによれば、展開におけるの係数は任意の に対してゼロである。^[14] $${\displaystyle \Phi (\tau )=2{\sqrt {10}}e^{3\pi i\tau /40}(1+e^{\pi i\tau /5}-e^{2\pi i\tau /5}+e^{3\pi i\tau /5}-8e^{\pi i\tau }-9e^{6\pi i\tau /5}+8e^{7\pi i\tau /5}-9e^{8\pi i\tau /5}+\cdots )}$$ ${\displaystyle \Phi (\tau )}$ ${\displaystyle e^{n\pi i\tau /5}}$ ${\displaystyle n\equiv 4\,(\operatorname {mod} 5)}$

5つの量, , , ,は、の係数が有理数である5次方程式の根である。^[15]これは、次の置換によってブリング・ジェラード形式に簡単に変換できる。ブリング・ジェラード5次方程式が得られる。ここで ${\displaystyle \Phi (\tau )}$ ${\displaystyle \Phi (\tau +16)}$ ${\displaystyle \Phi (\tau +32)}$ ${\displaystyle \Phi (\tau +48)}$ ${\displaystyle \Phi (\tau +64)}$ ${\displaystyle \varphi (\tau )}$ $${\displaystyle \Phi ^{5}-2000\varphi ^{4}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\Phi -64{\sqrt {5^{5}}}\varphi ^{3}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\left[1+\varphi ^{8}(\tau )\right]=0}$$ $${\displaystyle \Phi =2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )x}$$ $${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$$

$${\displaystyle a=-{\frac {2[1+\varphi ^{8}(\tau )]}{{\sqrt[{4}]{5^{5}}}\varphi ^{2}(\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$

*

エルミート・クロネッカー・ブリオスキ法は、の値に対応する の値を求め、その の値を用いて対応するモジュラー方程式の根を求めるということになります。根を求めるアルゴリズムを用いて方程式(*)からを求める（つまり、の偏逆方程式を計算する）ことができます。(*)を2乗すると、 のみで四次方程式が得られます（ を使用）。(*)の( における)すべての解は四次方程式の解ですが、四次方程式のすべての解が(*)の解であるとは限りません。 ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \varphi ^{4}(\tau )}$ ${\displaystyle \varphi ^{8}(\tau )+\psi ^{8}(\tau )=1}$ ${\displaystyle \tau }$

Bring–Jerrard の五次方程式の根は次のように与えられます。 $${\displaystyle x_{r}={\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$ ${\displaystyle r=0,\ldots ,4}$

代替の「統合」アプローチは次のとおりです。

どこを考えれば、どこの解が ${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}.}$ $${\displaystyle \tau =i{\frac {K'(k)}{K(k)}}}$$ $${\displaystyle a=s{\frac {2[1+\varphi ^{8}(\tau )]}{{\sqrt[{4}]{5^{5}}}\varphi ^{2}(\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$ $${\displaystyle s={\begin{cases}-\operatorname {sgn} \operatorname {Im} a&{\text{ if }}\operatorname {Re} a=0\\\operatorname {sgn} \operatorname {Re} a&{\text{ if }}\operatorname {Re} a\neq 0,\end{cases}}}$$

$${\displaystyle k^{4}+A^{2}k^{3}+2k^{2}-A^{2}k+1=0,}$$

**

$${\displaystyle A={\frac {a{\sqrt[{4}]{5^{5}}}}{2}}.}$$

式(**)の根は^[13]である （いくつかの重要な文献では誤って^{[6] [7]}と示されていることに注意）。これらの根の1つは楕円係数として使用できる。 $${\displaystyle k=\tan {\frac {\alpha }{4}},\tan {\frac {\alpha +2\pi }{4}},\tan {\frac {\pi -\alpha }{4}},\tan {\frac {3\pi -\alpha }{4}}}$$ ${\displaystyle \sin \alpha =4/A^{2}}$ ${\displaystyle \sin \alpha =1/(4A^{2})}$ ${\displaystyle k}$

Bring–Jerrard の五次方程式の根は次のように与えられます。 $${\displaystyle x_{r}=-s{\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$ ${\displaystyle r=0,\ldots ,4}$

この処理では、 n 乗根の一般化を使用していることがわかります。これは、次のように表現できます。または、もっと正確に言えば、エルミート・クロネッカー・ブリオスキー法は、本質的に、指数関数を「楕円超越関数」に置き換え、積分（または実数直線上の の逆関数）を楕円積分（または「楕円超越関数」の部分逆関数）に置き換えます。 クロネッカーは、この一般化は、任意の高次方程式に適用できる、より一般的な定理の特殊なケースであると考えました。トーマエの公式として知られるこの定理は、1984 年に梅村浩^[16]によって完全に表現されました。梅村は、指数関数/楕円超越関数の代わりにジーゲル モジュラー形式を使用し、積分を超楕円積分に置き換えました。 $${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({{\frac {1}{n}}\ln x}\right)}$$ $${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({\frac {1}{n}}\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}\right)=\exp \left({\frac {1}{n}}\exp ^{-1}x\right).}$$ ${\textstyle \int _{1}^{x}dt/t}$ ${\displaystyle \exp }$

グラッサーの導出

^{M.ローレンス・グラッサー[17]}によるこの導出は、この記事の前半で示した級数法を一般化し、次の形式の三項方程式の解を求めるものである。 $${\displaystyle x^{N}-x+t=0}$$

特に、5次方程式は、上記に示したように、チルンハウス変換を用いることでこの形に簡約することができる。 とすると、一般形は次のようになる。ここで ${\displaystyle x=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,}$ $${\displaystyle \zeta =e^{2\pi i}+t\phi (\zeta )}$$ $${\displaystyle \phi (\zeta )=\zeta ^{\frac {N}{N-1}}}$$

ラグランジュの公式によれば、任意の解析関数 に対して、 によって変換された一般方程式の根の近傍では、上は無限級数として表現できます。 ${\displaystyle f\,}$ ${\displaystyle \zeta \,}$ $${\displaystyle f(\zeta )=f(e^{2\pi i})+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {d^{n-1}}{da^{n-1}}}[f'(a)|\phi (a)|^{n}]_{a=e^{2\pi i}}}$$

この式を入力すると、根号を求めることができます。 ${\displaystyle f(\zeta )=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,}$ $${\displaystyle x_{k}=e^{-{\frac {2k\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{N-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(te^{\frac {2k\pi i}{N-1}})^{n}}{\Gamma (n+2)}}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {Nn}{N-1}}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{N-1}}+1\right)}}}$$ $${\displaystyle k=1,2,3,\dots ,N-1\,}$$

ガウスの乗法定理を用いると、上記の無限級数は超幾何関数の有限級数に分解することができる。 $${\displaystyle \psi _{n}(q)=\left({\frac {e^{\frac {2n\pi i}{N-1}}t}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}{\frac {\prod _{k=0}^{N-1}\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {1+k}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+1\right)\prod _{k=0}^{N-2}\Gamma \left({\frac {q+k+2}{N-1}}\right)}}=\left({\frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}\prod _{k=2}^{N}{\frac {\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {k-1}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q+k}{N-1}}\right)}}}$$

$${\displaystyle x_{n}=e^{-{\frac {2n\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{n}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}},\quad n=1,2,3,\dots ,N-1}$$

$${\displaystyle x_{N}=\sum _{m=1}^{N-1}{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{m}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2m\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}}}$$

そして、この形の三項式には根がある $${\displaystyle ax^{N}+bx^{2}+c=0,N\equiv 1{\pmod {2}}}$$ $${\displaystyle x_{N}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{N-1}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N}},{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1}{N}},{\frac {N+2}{N}},\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+{\sqrt {\frac {c}{b}}}i{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{\frac {N-2}{2N}},{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N}},{\frac {2N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle x_{N-1}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{N-1}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N}},{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1}{N}},{\frac {N+2}{N}},\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}-{\sqrt {\frac {c}{b}}}i{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{\frac {N-2}{2N}},{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N}},{\frac {2N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}={}&-e^{\frac {2n\pi i}{N-2}}{\sqrt[{N-2}]{\frac {b}{a}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {2}{N}},\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {N-5}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-3}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+1}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-1}{N}},;\\[8pt]{\frac {1}{N-2}},{\frac {2}{N-2}},\cdots ,{\frac {2N-5}{2N-4}},;\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+\\&+{\sqrt[{N-2}]{\frac {b}{a}}}\sum _{q=1}^{N-3}{\frac {\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+q\right)}{\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+1\right)}}\cdot \left(-{\frac {c}{b}}{\sqrt[{N-2}]{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}\right)^{q}\cdot {\frac {e^{{\frac {2n\left(1-2q\right)}{N-2}}\pi i}}{q!}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {2}{N}},\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-3}{2N}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+1}{2N}},\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-1}{N}};\\[8pt]{\frac {q+1}{N-2}},{\frac {q+2}{N-2}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {q+N-2}{N-2}},{\frac {2q+2N-5}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}},n=1,2,\cdots ,N-2\end{aligned}}}$$

したがって、方程式の根は、せいぜい超幾何関数の和として表すことができます。この方法を被約ブリング・ジェラード五次方程式に適用し、以下の関数を定義します。これらは、上記の級数式に現れる超幾何関数です。五次方程式の根は、以下のようになります。 ${\displaystyle N-1}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(t)&=\,_{4}F_{3}\left(-{\frac {1}{20}},{\frac {3}{20}},{\frac {7}{20}},{\frac {11}{20}};{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{2}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{3}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {9}{20}},{\frac {13}{20}},{\frac {17}{20}},{\frac {21}{20}};{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{4}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {7}{10}},{\frac {9}{10}},{\frac {11}{10}},{\frac {13}{10}};{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{rcrcccccc}x_{1}&=&{}-tF_{2}(t)\\[1ex]x_{2}&=&{}-F_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{3}&=&F_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{4}&=&{}-iF_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-&{\frac {5}{32}}it^{2}F_{3}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{5}&=&iF_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&+&{\frac {5}{32}}it^{2}F_{3}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\\end{array}}}$$

これは、以下の方法で得られる結果と本質的に同じ結果です。

微分レゾルベント法

ジェームズ・コックル^[18]とロバート・ハーレー^[19]は1860年に、微分方程式を用いて五次方程式を解く手法を開発した。彼らは根を係数の関数とみなし、これらの方程式に基づいて微分分解を計算した。ブリング・ジェラード五次方程式は関数として表され、以下の 式を満たす関数を求める。 $${\displaystyle f(x)=x^{5}-x+a}$$ ${\displaystyle \,\phi (a)\,}$ $${\displaystyle f[\phi (a)]=0}$$

この関数は次の 4 つの微分方程式も満たす必要があります。 ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {df[\phi (a)]}{da}}=0\\[6pt]{\frac {d^{2}f[\phi (a)]}{da^{2}}}=0\\[6pt]{\frac {d^{3}f[\phi (a)]}{da^{3}}}=0\\[6pt]{\frac {d^{4}f[\phi (a)]}{da^{4}}}=0\end{aligned}}}$$

これらを展開して組み合わせると、微分方程式が得られます。 $${\displaystyle {\frac {(256-3125a^{4})}{1155}}{\frac {d^{4}\phi }{da^{4}}}-{\frac {6250a^{3}}{231}}{\frac {d^{3}\phi }{da^{3}}}-{\frac {4875a^{2}}{77}}{\frac {d^{2}\phi }{da^{2}}}-{\frac {2125a}{77}}{\frac {d\phi }{da}}+\phi =0}$$

微分レゾルベントの解は4階常微分方程式であり、4つの積分定数に依存し、これらの定数は元の5次方程式を満たすように選択する必要がある。これは超幾何型のフックス常微分方程式であり、^[20]その解は、上記のグラッサーの導出で生じた超幾何関数の級数と同一であることが判明している。^[5]

この方法は、任意の高次方程式にも一般化することができ、その微分方程式は偏微分方程式であり、その解は多変数の超幾何関数を含む。^{[21] [22]}任意の一変数多項式の微分方程式の一般的な公式は、ナヘイのべき乗和公式によって与えられる。^{[23] [24]}

ドイル・マクマレン反復法

1989年にピーター・ドイルとカート・マクマレンはブリオスキ正規形の五次方程式を解く反復法^[25]を導出した。 反復アルゴリズムは次のように進行する。 $${\displaystyle x^{5}-10Cx^{3}+45C^{2}x-C^{2}=0.}$$

1. セット ${\displaystyle Z=1-1728C}$
2. 有理関数を計算します。ここで は以下に示す多項式関数であり、はの微分です。 $${\displaystyle T_{Z}(w)=w-12{\frac {g(Z,w)}{g'(Z,w)}}}$$ ${\displaystyle g(Z,w)}$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle g(Z,w)}$ ${\displaystyle w}$
3. ランダムな初期推定値に基づいて収束するまで反復する。極限点を とし、 とする。 ${\displaystyle T_{Z}[T_{Z}(w)]}$ ${\displaystyle w_{1}}$ ${\displaystyle w_{2}=T_{Z}(w_{1})\,}$
4. が以下の多項式関数であるとき、を計算しなさい。と の両方についてこれを実行せよ。 $${\displaystyle \mu _{i}={\frac {100Z(Z-1)h(Z,w_{i})}{g(Z,w_{i})}}}$$ ${\displaystyle h(Z,w)}$ ${\displaystyle w_{1}\,}$ ${\displaystyle w_{2}=T_{Z}(w_{1})\,}$
5. 最後に、i = 1, 2について計算します。これらはブリオスキ五次方程式の根のうちの2つです。 $${\displaystyle x_{i}={\frac {(9+{\sqrt {15}}i)\mu _{i}+(9-{\sqrt {15}}i)\mu _{3-i}}{90}}}$$

2 つの多項式関数とは次のとおりです。 ${\displaystyle g(Z,w)\,}$ ${\displaystyle h(Z,w)\,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}g(Z,w)={}&91125Z^{6}\\&{}+(-133650w^{2}+61560w-193536)Z^{5}\\&{}+(-66825w^{4}+142560w^{3}+133056w^{2}-61140w+102400)Z^{4}\\&{}+(5940w^{6}+4752w^{5}+63360w^{4}-140800w^{3})Z^{3}\\&{}+(-1485w^{8}+3168w^{7}-10560w^{6})Z^{2}\\&{}+(-66w^{10}+440w^{9})Z\\&{}+w^{12}\\[8pt]h(Z,w)={}&(1215w-648)Z^{4}\\&{}+(-540w^{3}-216w^{2}-1152w+640)Z^{3}\\&{}+(378w^{5}-504w^{4}+960w^{3})Z^{2}\\&{}+(36w^{7}-168w^{6})Z\\&{}+w^{9}\end{aligned}}}$$

この反復法は、五次方程式の2つの根を生成します。残りの3つの根は、合成除法を用いて2つの根を割り算することで得られ、三次方程式を生成します。反復法の定式化方法により、この方法は、五次方程式の係数がすべて実数で、初期推定値が実数であっても、常に五次方程式の2つの複素共役根を求めるように見えます。この反復法は、イコサヘドロン（正二十面体）の対称性から導かれ、フェリックス・クラインが著書^[2]で述べた方法と密接に関連しています。

参照

• 方程式理論
• ブリオスキ五次形式
• アダムチック変換
• 主方程式形式

参考文献

注記

1. およびこれらの関数は、ヤコビのシータ関数と次の関係にある。 ${\displaystyle \varphi ^{8}(\tau )+\psi ^{8}(\tau )=1}$ ${\displaystyle \psi (\tau )=\varphi (-1/\tau ).}$ ${\displaystyle \varphi ^{2}(\tau )=\vartheta _{10}(0;\tau )/\vartheta _{00}(0;\tau )}$ ${\displaystyle \psi ^{2}(\tau )=\vartheta _{01}(0;\tau )/\vartheta _{00}(0;\tau ).}$
2. フーリエ級数展開の係数は次のように与えられます。 および の場合、およびとなります。ここで、、、、、 、、、であり、シーケンスおよび は-周期的です。 ${\textstyle \varphi (\tau )={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}\sum _{j=0}^{\infty }c_{j}e^{j\pi i\tau }}$ ${\textstyle \psi (\tau )=\sum _{j=0}^{\infty }c_{j}'e^{j\pi i\tau }}$ ${\textstyle c_{n}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{d|n}da_{d}+\sum _{k=1}^{n-1}\left(\sum _{d|k}da_{d}\right)c_{n-k}\right)}$ ${\textstyle c_{n}'={\frac {1}{n}}\left(\sum _{d|n}da_{d}'+\sum _{k=1}^{n-1}\left(\sum _{d|k}da_{d}'\right)c_{n-k}'\right)}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle c_{0}=c_{0}'=1}$ ${\displaystyle a_{1}=-1}$ ${\displaystyle a_{2}=2}$ ${\displaystyle a_{3}=-1}$ ${\displaystyle a_{4}=0}$ ${\displaystyle a_{1}'=-2}$ ${\displaystyle a_{2}'=1}$ ${\displaystyle a_{3}'=-2}$ ${\displaystyle a_{4}'=0}$ ${\displaystyle (a)}$ ${\displaystyle (a')}$ ${\displaystyle 4}$
3. n = 2の場合、パラメータは 8 次方程式で結び付けられます。 ${\displaystyle u}$
4. いくつかの文献では、 と を定義しています。すると、モジュラー方程式は で解かれ、 の根を持ち、 ${\displaystyle u=\varphi (\tau )}$ ${\displaystyle v=\varphi (n\tau ).}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v=\varepsilon (n)\varphi (n\tau )}$ ${\displaystyle v=\varphi [(\tau +16m)/n].}$
5. 同様に（二次の相互法則により）。 ${\displaystyle \varepsilon (n)=(-1)^{(n^{2}-1)/8}}$

他の

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11. ボルウェイン、ジョナサン・M.; ボルウェイン、ピーター・B. (1987).円周率とAGM：解析的数論と計算複雑性の研究（初版）. Wiley-Interscience. p. 127. ISBN 0-471-83138-7。表には、これをゼロに設定して掛けると、この記事の式が得られることが示されています。 ${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{5}(u,v)=&-u^{6}+4u^{5}v^{5}-5u^{4}v^{2}+5u^{2}v^{4}\\&-4uv+v^{6}.\end{aligned}}}$ ${\displaystyle -1}$
12. ボルウェイン、ジョナサン・M.; ボルウェイン、ピーター・B. (1987).円周率とAGM：解析的数論と計算複雑性の研究（初版）. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7。135ページ
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出典

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外部リンク

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• ワイスタイン、エリック・W.「五次形式を導入する」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「ウルトララディカル」。MathWorld。

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