イギリス国旗定理

ユークリッド幾何学におけるイギリスの旗定理によれば、長方形ABCDの内部に点Pを選んだ場合、点Pから長方形の2つの対角までのユークリッド距離の2乗の和は、他の2つの対角までの距離の和に等しい。^[1]^[2]^[3]方程式として： $AP^{2}+CP^{2}=BP^{2}+DP^{2}.$

この定理は長方形の外側の点にも適用され、より一般的にはユークリッド空間内の点からその空間に埋め込まれた長方形の角までの距離にも適用されます。 ^{[4]さらに一般的には、点}Pから平行四辺形の2組の対角までの距離の二乗和を比較すると、2つの和は一般には等しくありませんが、2つの和の差は平行四辺形の形状のみに依存し、Pの選択には依存しません。^[5]

この定理はピタゴラスの定理の一般化とも考えられます。点Pを長方形の4つの頂点のいずれかに置くと、長方形の対角線の2乗は長方形の幅と長さの2乗の和に等しくなります。これがピタゴラスの定理です。

証拠

図に示すように、点Pから長方形の辺に垂線を下ろし、辺AB、BC、CD、ADとそれぞれ点W、X、Y、Zで交わるようにします。これらの4点WXYZは、直角対角四辺形の頂点を形成します。ピタゴラスの定理を直角三角形AWPに適用し、 WP = AZであることを考慮すると、次の式が成り立ちます。

AP^{2}=AW^{2}+WP^{2}=AW^{2}+AZ^{2}

同様の議論により、 Pから他の3つの角までの距離の長さの2乗は次のように計算できる。

PC^{2}=WB^{2}+ZD^{2},

BP^{2}=WB^{2}+AZ^{2},

そして

PD^{2}=ZD^{2}+AW^{2}.

したがって：

{\begin{aligned}AP^{2}+PC^{2}&=\left(AW^{2}+AZ^{2}\right)+\left(WB^{2}+ZD^{2}\right)\\[4pt]&=\left(WB^{2}+AZ^{2}\right)+\left(ZD^{2}+AW^{2}\right)\\[4pt]&=BP^{2}+PD^{2}\end{aligned}}

等脚台形

イギリス国旗定理は、（凸）二等辺台形に関する命題として一般化できます。より正確には、平行な辺と内点を持つ台形について、次の式が成り立ちます。 $ABCD$ $AB$ $CD$ $P$

|AP|^{2}+{\frac {|AB|}{|CD|}}\cdot |PC|^{2}=|BP|^{2}+{\frac {|AB|}{|CD|}}\cdot |PD|^{2}

長方形の場合、分数は1となり、元の定理が得られます。^[6] ${\tfrac {|AB|}{|CD|}}$

ネーミング

この定理の名前は、Pから長方形の角までの線分を、証明に使用した垂直線と一緒に描くと、完成した図形がイギリス国旗に似ていることから付けられています。

参照

ピザ定理

参考文献

^ ラードナー、ディオニシウス（1848年）、ユークリッド原論最初の6巻、HGボーン、p.87ラードナーはこの定理を、ユークリッドの『原論』第 2 巻の結果から「推論できる最も有用かつ注目すべき定理」の一つとしている。
^ ヤング、ジョン・ウェスレー、モーガン、フランク・ミレット（1917年）、初等数学解析、マクミラン社、304ページ。
^ ボッチャー、マキシム（1915年）、平面解析幾何学：微分積分入門章付き、H.ホルト・アンド・カンパニー、17ページ。
^ ハーバード-MIT数学トーナメント解答 Archived 2018-12-22 at the Wayback Machine、問題28。
^ アダマール、ジャック（2008年）、幾何学のレッスン：平面幾何学、アメリカ数学会、p.136、ISBN 978-0-8218-4367-3。
^ Tran, Quang Hung (2021年11月)、「二等辺台形の英国旗定理」、The Mathematical Gazette、105 (564)、doi :10.1017/mag.2021.126。

さらに読む

Nguyen Minh Ha, Dao Thanh Oai: イギリス国旗定理の興味深い応用. Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Volume 4 (2015), issue 1, pp. 31–34.
マーティン・ガードナー、ダナ・S・リチャーズ（編）：『The Colossal Book of Short Puzzles and Problems』、WW Norton、2006年、ISBN 978-0-393-06114-7、147ページ、159ページ（問題6.16）

外部リンク

artofproblemsolving.com のイギリス国旗定理
マイクロソフトの「長方形の角」面接の質問を解けますか？（ビデオ、5 分 41 秒）
長方形と二等辺台形に対するイギリス国旗定理のインタラクティブなイラスト

[1] ラードナー、ディオニシウス（1848年）、ユークリッド原論最初の6巻、HGボーン、p.87ラードナーはこの定理を、ユークリッドの『原論』第 2 巻の結果から「推論できる最も有用かつ注目すべき定理」の一つとしている。

[2] ヤング、ジョン・ウェスレー、モーガン、フランク・ミレット（1917年）、初等数学解析、マクミラン社、304ページ。

[3] ボッチャー、マキシム（1915年）、平面解析幾何学：微分積分入門章付き、H.ホルト・アンド・カンパニー、17ページ。

[4] ハーバード-MIT数学トーナメント解答 Archived 2018-12-22 at the Wayback Machine、問題28。

[5] アダマール、ジャック（2008年）、幾何学のレッスン：平面幾何学、アメリカ数学会、p.136、ISBN 978-0-8218-4367-3。

[6] Tran, Quang Hung (2021年11月)、「二等辺台形の英国旗定理」、The Mathematical Gazette、105 (564)、doi :10.1017/mag.2021.126。