バーンサイドリング

数学において、有限群のバーンサイド環とは、群が有限集合に作用する様々な方法を符号化した代数的構成である。この概念は19世紀末にウィリアム・バーンサイドによって提唱された。代数環構造は、ソロモン (1967) による比較的最近の発展である。

正式な定義

有限群Gが与えられたとき、そのバーンサイド環 Ω( G )の生成元は有限G集合の同型類の形式和である。環構造に対して、加法はG集合の非結合和とそれらの直積による乗算で与えられる。

バーンサイド環は自由Z加群であり、その生成元はGの軌道型(の同型類) である。

G が有限集合Xに作用する場合、 (disjoint union) と書くことができる。ここで、各X _iは単一のG軌道である。X _iの任意の元x _iを選ぶと、同型写像G / G _i → X _iが生成される。ここで、G _iはx _iにおけるGの安定化（等方性）部分群である。X _iの代表y _iを別の形で選ぶと、安定化としてG _iの共役部分群が得られる。これは、 Z加群としての Ω( G )の生成元は、HがGの部分群の共役類上に分布するときの軌道G / Hであることを示す。 ${\textstyle X=\bigcup _{i}X_{i}}$

言い換えれば、Ω( G ) の典型的な元は、 Zのa _iとG ₁、G ₂、...、G _NがGの部分群の共役類の代表である 場合です。 $${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}a_{i}[G/G_{i}],}$$

マークス

キャラクター理論がグループ表現の作業を簡素化するのと同様に、マークは順列表現とバーンサイド環 の作業を簡素化します。

GがXに作用し、H ≤ G（HはGの部分群）の場合、X上のHのマークは、 Hのすべての元によって固定されるXの元の数です。ここで、 ${\displaystyle m_{X}(H)=\left|X^{H}\right|}$

${\displaystyle X^{H}=\{x\in X\mid h\cdot x=x,\forall h\in H\}.}$

HとKが共役部分群であれば、任意の有限G集合Xに対してm _X ( H ) = m _X ( K )が成り立ちます。実際、K = gHg ⁻¹であればX ^K = g · X ^Hが成り立ちます。

また、任意のH ≤ Gに対して、写像Ω ( G ) → Z  : X ↦ m _X ( H ) が準同型であることも容易に分かる。これは、 Gの符号を知るには、それらをΩ ( G ) の生成元、すなわち軌道G / H上で評価するだけで十分であることを意味する。

H , K≤Gの各部分群のペアに対して定義する

${\displaystyle m(K,H)=\left|[G/K]^{H}\right|=\#\left\{gK\in G/K\mid HgK=gK\right\}.}$

これはX = G / Kのときm _X ( H )です。条件HgK = gKはg ⁻¹ Hg ≤ Kと等しいので、HがKの部分群と共役でない場合はm ( K , H ) = 0 となります。

すべての可能な点数を記録するには、次の表、バーンサイドの点数表を作成します。 G ₁（= 自明な部分群）、G ₂、...、G _N = Gを、 G _iがG _jの部分群と共役である場合に常にi ≤ jとなるように順序付けられた、Gの部分群のN共役類の代表とします。次に、 ( i , j ) 番目の要素がm ( G _i , G _j ) であるN × Nの表（正方行列）を定義します。この行列は下三角行列であり、対角要素がゼロでないため逆行列が成り立ちます。

したがって、XがG集合で、uがそのマークの行ベクトル、つまりu _i = m _X ( G _i )とすると、XはG _i型の軌道の_i個のコピーの互いに素な和集合として分解され、ベクトルaは以下を満たす。

a M = u、

ここで、Mは点数表の行列である。この定理は（Burnside 1897）による。

例

位数6の巡回群のマーク表:

Z 6	1	Z 2	Z 3	Z 6
Z 6/1​​	6	。	。	。
Z 6 / Z 2	3	3	。	。
Z 6 / Z 3	2	0	2	。
Z 6 / Z 6	1	1	1	1

対称群S ₃のマーク表：

S 3	1	Z 2	Z 3	S 3
S 3/1​​	6	。	。	。
S 3 / Z 2	3	1	。	。
S 3 / Z 3	2	0	2	。
S 3 / S 3	1	1	1	1

2 つの表のドットはすべてゼロであり、表が下三角形であるという事実を強調しているだけです。

(一部の著者は表の転置を使用していますが、これはバーンサイドが最初に定義した方法です。)

最後の行がすべて1であるのは、[ G / G ]が単一の点であるためです。対角項はm ( H , H )=| N _G ( H )/ H |です。最初の列の数字は表現の次数を示しています。

Ω ( G )の環構造はこれらの表から導出できる。環（Z加群として）の生成元は表の行であり、2つの生成元の積はマークの積（つまり行ベクトルの成分ごとの乗算）で与えられ、これはすべての行の線形結合として分解できる。例えば、S ₃の場合、

${\displaystyle [G/\mathbf {Z} _{2}]\cdot [G/\mathbf {Z} _{3}]=[G/1],}$

(3, 1, 0, 0).(2, 0, 2, 0) = (6, 0, 0, 0) となります。

順列表現

任意の有限集合Xにはベクトル空間V = V _Xが付随する。これは、（任意の指定された体を用いて） Xの元を基底とするベクトル空間である。有限群GのXへの作用は、 Vへの線型作用を誘導する。この作用は置換表現と呼ばれる。G のすべての有限次元表現の集合は環の構造を持ち、表現環はR(G)と表記される。

与えられたG集合Xに対して、関連付けられた表現の 指標は

${\displaystyle \chi (g)=m_{X}(\langle g\rangle )}$

ここで、は によって生成される巡回群です。 ${\displaystyle \langle g\rangle }$ ${\displaystyle g}$

結果の地図

${\displaystyle \beta :\Omega (G)\longrightarrow R(G)}$

G集合を対応する表現に 適用することは、一般には単射でも射影でもありません。

βが一般に単射でないことを示す最も単純な例はG = S ₃（上の表を参照）の場合であり、次のように与えられる。

${\displaystyle \beta (2[S_{3}/\mathbf {Z} _{2}]+[S_{3}/\mathbf {Z} _{3}])=\beta ([S_{3}]+2[S_{3}/S_{3}]).}$

拡張機能

コンパクト群のバーンサイド環については（tom Dieck 1987）で説明されている。

シーガル予想はバーンサイド環とホモトピーを関連付けます。

参照

• バーンサイド部門

参考文献

• バーンサイド、ウィリアム（1897）、有限位数の群論、ケンブリッジ大学出版局。
• Tom Dieck、Tammo (1987)、変換グループ、de Gruyter Studies in Mathematics、vol. 8、ウォルター・デ・グルイター、ISBN 978-3-11-009745-0、MR  0889050、OCLC  217014538
• ドレス、アンドレアス（1969）「可解群の特徴づけ」、Math. Z.、110（3）：213–217、doi：10.1007/BF01110213
• Kerber, Adalbert (1999),応用有限群作用, Algorithms and Combinatorics, vol. 19 (第2版), ベルリン, ニューヨーク: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-65941-9、MR  1716962、OCLC  247593131
• ソロモン、ルイス（1967）「有限群のバーンサイド代数」、J. Comb. Theory、1 : 603–615、doi : 10.1016/S0021-9800(67)80064-4

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