バー分布

世帯収入をモデル化するために用いられる確率分布

バータイプXII
確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle c>0\!}$ ${\displaystyle k>0\!}$
サポート	${\displaystyle x>0\!}$
PDF	${\displaystyle ck{\frac {x^{c-1}}{(1+x^{c})^{k+1}}}\!}$
CDF	${\displaystyle 1-\left(1+x^{c}\right)^{-k}}$
四分位数	${\displaystyle \lambda \left({\frac {1}{(1-U)^{\frac {1}{k}}}}-1\right)^{\frac {1}{c}}}$
平均	${\displaystyle \mu _{1}=k\operatorname {\mathrm {B} } (k-1/c,\,1+1/c)}$ここでΒ()はベータ関数である
中央値	${\displaystyle \left(2^{\frac {1}{k}}-1\right)^{\frac {1}{c}}}$
モード	${\displaystyle \left({\frac {c-1}{kc+1}}\right)^{\frac {1}{c}}}$
分散	${\displaystyle -\mu _{1}^{2}+\mu _{2}}$
歪度	${\displaystyle {\frac {2\mu _{1}^{3}-3\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{3}}{\left(-\mu _{1}^{2}+\mu _{2}\right)^{3/2}}}}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {-3\mu _{1}^{4}+6\mu _{1}^{2}\mu _{2}-4\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{4}}{\left(-\mu _{1}^{2}+\mu _{2}\right)^{2}}}-3}$瞬間（参照） ${\displaystyle \mu _{r}=k\operatorname {\mathrm {B} } \left({\frac {ck-r}{c}},\,{\frac {c+r}{c}}\right)}$
CF	${\displaystyle ={\frac {c(-it)^{kc}}{\Gamma (k)}}H_{1,2}^{2,1}\!\left[(-it)^{c}\left|{\begin{matrix}(-k,1)\\(0,1),(-kc,c)\end{matrix}}\right.\right],t\neq 0}$ ${\displaystyle =1,t=0}$ ここではガンマ関数、はフォックスH関数である。[1] ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle H}$

確率論、統計学、計量経済学において、バータイプXII分布、または単にバー分布^[2]は、非負確率変数に対する連続確率分布です。シン・マッダラ分布^[3]としても知られ、一般化対数ロジスティック分布と呼ばれることもある様々な分布の一つです。

定義

確率密度関数

バール（タイプXII）分布の確率密度関数は次の通りである：^{[4] [5]}

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;c,k)&=ck{\frac {x^{c-1}}{(1+x^{c})^{k+1}}}\\[6pt]f(x;c,k,\lambda )&={\frac {ck}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c-1}\left[1+\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c}\right]^{-k-1}\end{aligned}}}$

パラメータは基礎となる変量をスケーリングし、正の実数です。 ${\displaystyle \lambda }$

累積分布関数

累積分布関数は次のようになります。

${\displaystyle F(x;c,k)=1-\left(1+x^{c}\right)^{-k}}$

${\displaystyle F(x;c,k,\lambda )=1-\left[1+\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c}\right]^{-k}}$

アプリケーション

これは、世帯収入をモデル化するために最もよく使用されます。たとえば、「米国の世帯収入」を参照し、右側のマゼンタのグラフと比較してください。

ランダム変数生成

区間内の一様分布から抽出された確率変数が与えられた場合、確率変数 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left(0,1\right)}$

${\displaystyle X=\lambda \left({\frac {1}{\sqrt[{k}]{1-U}}}-1\right)^{1/c}}$

は、パラメータ、を持つブール型XII分布に従います。これは、上記の逆累積分布関数から導かれます。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda }$

関連ディストリビューション

• c = 1の場合、Burr 分布はLomax 分布になります。

• k = 1のとき、バー分布は対数ロジスティック分布であり、フィスク分布とも呼ばれ、シャンパーノウン分布の特殊なケースである。^{[6] [7]}

• Burr Type XII分布は、Irving W. Burr（1942）によって導入された連続分布のシステムのメンバーであり、12の分布で構成されています。^[8]

• ダガム分布は逆バー分布とも呼ばれ、1 / Xの分布であり、Xはバー分布に従う。

参考文献

1. Nadarajah, S.; Pogány, TK; Saxena, RK (2012). 「Burr分布の特性関数について」.統計学. 46 (3): 419– 428. doi :10.1080/02331888.2010.513442. S2CID  120848446.
2. Burr, IW (1942). 「累積頻度関数」. Annals of Mathematical Statistics . 13 (2): 215– 232. doi : 10.1214/aoms/1177731607 . JSTOR  2235756.
3. Singh, S.; Maddala, G. (1976). 「所得の規模分布に関する関数」. Econometrica . 44 (5): 963–970 . doi :10.2307/1911538. JSTOR  1911538.
4. Maddala, GS (1996) [1983].計量経済学における限定従属変数と質的変数. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-33825-5。
5. Tadikamalla, Pandu R. (1980)、「バー分布と関連分布の考察」、国際統計評論、48 (3): 337–344、doi :10.2307/1402945、JSTOR  1402945
6. C. KleiberとS. Kotz (2003). 『経済学と保険数理科学における統計的サイズ分布』ニューヨーク: Wiley.セクション 7.3「Champernowne 分布」および 6.4.1「Fisk 分布」を参照してください。
7. Champernowne, DG (1952). 「所得分布の段階的変化」. Econometrica . 20 (4): 591– 614. doi :10.2307/1907644. JSTOR  1907644.
8. Kleiber and Kotz (2003)、表2.4、p. 51、「The Burr Distributions」を参照。

さらに読む

• ロドリゲス, RN (1977). 「バー型XII分布ガイド」 . Biometrika . 64 (1): 129– 134. doi :10.1093/biomet/64.1.129.

外部リンク

• Cook, John D. (2023-02-15). 「その他のBurr分布」www.johndcook.com .

「https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Burr_distribution&oldid=1292190241」より取得