フレネル積分

フレネル積分 $S (x)$ と $C (x)$ 、およびそれらの補助関数 $F (x)$ と $G (x)は、$ オーギュスタン＝ジャン・フレネルにちなんで名付けられた光学で用いられる超越関数であり、誤差関数( $erf$ )と密接に関連している。これらは近接場フレネル回折現象の記述において用いられ、以下の積分表現によって定義される。

${\begin{aligned}S(x)&=\int _{0}^{x}\sin \left(t^{2}\right)\,dt,\\C(x)&=\int _{0}^{x}\cos \left(t^{2}\right)\,dt,\\F(x)&=\left({\frac {1}{2}}-S\left(x\right)\right)\cos \left(x^{2}\right)-\left({\frac {1}{2}}-C\left(x\right)\right)\sin \left(x^{2}\right),\\G(x)&=\left({\frac {1}{2}}-S\left(x\right)\right)\sin \left(x^{2}\right)+\left({\frac {1}{2}}-C\left(x\right)\right)\cos \left(x^{2}\right).\end{aligned}}$

パラメトリック曲線は ${\bigl (}S(t),C(t){\bigr )}$ オイラー螺旋またはクロソイドであり、その曲率は弧の長さに応じて線形に変化する曲線です。

フレネル積分という用語は、複素定積分を指すこともある。

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{\pm iax^{2}}dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\pm i\pi /4}$

ここで、 $a$ は実数かつ正です。これは、複素平面上で閉じた積分路を描き、コーシーの積分定理を適用することで評価できます。

意味

フレネル積分は、すべての $x$ に対して収束する次のマクローリン級数を許容します。 ${\begin{aligned}S(x)&=\int _{0}^{x}\sin \left(t^{2}\right)\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}},\\C(x)&=\int _{0}^{x}\cos \left(t^{2}\right)\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}.\end{aligned}}$

広く使われている表^[1]^[2]では $、⁠$ $π / 2$ $S$ $($ $x$ $)$ と $C$ $($ $x$ $)$ を定義する積分の引数として、 $t 2$ の代わりに $t$ $2 を$ $使用します$ 。これにより、無限大における極限が⁠ から $⁠$ $1 / 2 ⁠ \cdot \sqrt ⁠ π / 2 ⁠$ から⁠1/2⁠ ^[3]そして、最初の螺旋回転の弧の長さは $\sqrt2πから 2$ （ $t = 2 ）まで変化し$ $ます$ 。これらの代替関数は通常、正規化フレネル積分として知られています。

補助関数 $F (x)$ と $G (x)$ はフレネル積分の単調な境界を与える: ^[4] ${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}-F(x)-G(x)\leq C(x)\leq {\frac {1}{2}}+F(x)+G(x),\\{\frac {1}{2}}-F(x)-G(x)\leq S(x)\leq {\frac {1}{2}}+F(x)+G(x).\end{aligned}}$

オイラー螺旋

先端と同じ曲率半径を持つ接線円 (接触円とも呼ばれる) を持つコルニュ螺旋の進化を示すアニメーション。

オイラー螺旋は、コルニュ螺旋またはクロソイドとも呼ばれ、 $S$ $($ $t$ $)$ と $C$ $($ $t$ $)$ のパラメトリックプロットによって生成される曲線です。オイラー螺旋は、18世紀半ばにレオンハルト・オイラーによってオイラー・ベルヌーイ梁理論の文脈で初めて研究されました。1世紀後、マリー・アルフレッド・コルニュは、回折計算のためのノモグラムとして同じ螺旋を構築しました。

フレネル積分の定義から、無限小数 $dx$ と $dy は$ 次のようになります。 ${\begin{aligned}dx&=C'(t)\,dt=\cos \left(t^{2}\right)\,dt,\\dy&=S'(t)\,dt=\sin \left(t^{2}\right)\,dt.\end{aligned}}$

したがって、原点から測った螺旋の長さは次のように表される。 $L=\int _{0}^{t_{0}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{0}^{t_{0}}dt=t_{0}.$

つまり、パラメータ $t$ は原点 $(0, 0)$ から測った曲線の長さであり、オイラー螺旋は無限長である。ベクトル $(cos(t 2), sin(t 2))$ $（θ = t 2$ ）は、螺旋に沿った単位接線ベクトルも表す。t $は$ 曲線の長さなので、曲率 $κ は$ 次のように表される。 $\kappa ={\frac {1}{R}}={\frac {d\theta }{dt}}=2t.$

したがって、曲線の長さに対する曲率の変化率は ${\frac {d\kappa }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=2.$

オイラー螺旋は、任意の点における曲率が、原点から測定した螺旋に沿った距離に比例するという性質を持つ。この性質により、オイラー螺旋は高速道路や鉄道工学における緩和曲線として有用である。車両が単位速度で螺旋を走行する場合、上記の導関数におけるパラメータ $tは$ 時間も表す。したがって、一定速度で螺旋を走行する車両は、一定の角加速度を持つ。

オイラー螺旋の一部は、ジェットコースターのループの形状によく組み込まれ、クロソイドループと呼ばれるものを形成します。

プロパティ

$C (x)$ と $S (x)は$ $x$ の奇関数であり、

$C(-x)=-C(x),\quad S(-x)=-S(x).$

これは、それらのべき級数展開が奇数次項のみを持つという事実から容易にわかる。あるいは、それらの関数が原点でゼロである偶関数の逆微分であることからもわかる。

$x \to \infty$ におけるフレネル積分の漸近は次の式で与えられる。

${\begin{aligned}S(x)&={\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\pi }}\operatorname {sgn} x-\left[1+O\left(x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\cos \left(x^{2}\right)}{2x}}+{\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{4x^{3}}}\right),\\[6px]C(x)&={\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\pi }}\operatorname {sgn} x+\left[1+O\left(x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{2x}}-{\frac {\cos \left(x^{2}\right)}{4x^{3}}}\right).\end{aligned}}$

上記のべき級数展開を使用すると、フレネル積分は複素数の領域に拡張でき、そこでは複素変数 $zの$ 完全な関数になります。

フレネル積分は誤差関数を用いて次のように表すことができる: ^[5]

${\begin{aligned}S(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)-i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right],\\[6px]C(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1-i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)+i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right].\end{aligned}}$

または

${\begin{aligned}C(z)+iS(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right),\\[6px]S(z)+iC(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right).\end{aligned}}$

制限として $\times$ 無限に近づく

$C (x)$ と $S (x)$ を定義する積分は、特別な場合を除いて、初等関数を用いて閉じた形で評価することはできない。これらの関数の $x が無限大に近づくときの$ 極限は既知である。 $\int _{0}^{\infty }\cos \left(t^{2}\right)\,dt=\int _{0}^{\infty }\sin \left(t^{2}\right)\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}\approx 0.6267.$

式の証明

これはいくつかの方法のいずれかで導出できます。そのうちの一つ^[6]は、正の $x軸、$ $x$ $\geq 0$ の第一象限 $y$ $=$ $x$ の二等分線、および原点を中心とする半径 $R$ の円弧によって形成される複素平面上の扇形領域の境界付近の関数の周回積分を用います。 $e^{-z^{2}}$

$Rが$ 無限大に近づくと、円弧に沿った積分 $γ 2$ $は0$ に近づく。ここで極座標 $z$ $=$ $Re$ $が$ 用いられ、第2不等式にはジョルダンの不等式が用いられた。実軸に沿った積分 $γ$ $1 は$ 半ガウス積分に近づく。 $\left|\int _{\gamma _{2}}e^{-z^{2}}\,dz\right|=\left|\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}e^{-R^{2}(\cos t+i\sin t)^{2}}\,Re^{it}dt\right|\leq R\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}e^{-R^{2}\cos 2t}\,dt\leq R\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}e^{-R^{2}\left(1-{\frac {4}{\pi }}t\right)}\,dt={\frac {\pi }{4R}}\left(1-e^{-R^{2}}\right),$ $\int _{\gamma _{1}}e^{-z^{2}}\,dz=\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}.$

また、積分関数は複素平面上の整関数であるため、コーシーの積分定理により、積分曲線全体にわたる積分はゼロとなることにも留意されたい。全体として、図に示すように、 $γ$ $3 は$ 第一象限の二等分線を表す。左辺を評価するには、二等分線を次のように媒介変数化する。ここで、 $t は$ 0 から $+\infty$ までの範囲である。この式の平方は $+$ $it$ $2$ であることに注意されたい。したがって、代入により左辺は次のように表される。 $\int _{\gamma _{3}}e^{-z^{2}}\,dz=\int _{\gamma _{1}}e^{-z^{2}}\,dz=\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt,$ $z=te^{i{\frac {\pi }{4}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)t$ $\int _{0}^{\infty }e^{-it^{2}}{\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\,dt.$

オイラーの公式を用いて $e - it 2$ の実部と虚部を取ると、次の式が得られます。ここで $0$ $i$ と記したのは、元のガウス積分の値が虚部がゼロの完全な実数であることを強調するためです。実部と虚部を等しくすると、2つの未知数 $I$ $C$ と $I$ $S$ に関する以下の連立方程式が得られます。 ${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\left(\cos \left(t^{2}\right)-i\sin \left(t^{2}\right)\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\,dt\\[6px]&\quad ={\frac {\sqrt {2}}{2}}\int _{0}^{\infty }\left[\cos \left(t^{2}\right)+\sin \left(t^{2}\right)+i\left(\cos \left(t^{2}\right)-\sin \left(t^{2}\right)\right)\right]\,dt\\[6px]&\quad ={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+0i,\end{aligned}}$ $I_{C}=\int _{0}^{\infty }\cos \left(t^{2}\right)\,dt,\quad I_{S}=\int _{0}^{\infty }\sin \left(t^{2}\right)\,dt$ ${\begin{aligned}I_{C}+I_{S}&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}},\\I_{C}-I_{S}&=0.\end{aligned}}$

$これをI C$ と $I S$ について解くと、目的の結果が得られます。

一般化

この積分は合流型超幾何関数であり、また不完全ガンマ関数^[7]でもあり、実部または虚部を取ればフレネル積分に帰着する。漸近展開の主要項は、したがって $\int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx=\int \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}x^{m+nk}}{k!}}\,dx=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}}{(m+nk+1)}}{\frac {x^{m+nk+1}}{k!}}$ ${\begin{aligned}\int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx&={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right)\\[6px]&={\frac {1}{n}}i^{\frac {m+1}{n}}\gamma \left({\frac {m+1}{n}},-ix^{n}\right),\end{aligned}}$ $\int x^{m}\sin(x^{n})\,dx={\frac {x^{m+n+1}}{m+n+1}}\,_{1}F_{2}\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{2}}+{\frac {m+1}{2n}}\\{\frac {3}{2}}+{\frac {m+1}{2n}},{\frac {3}{2}}\end{array}}\mid -{\frac {x^{2n}}{4}}\right).$ $_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right)\sim {\frac {m+1}{n}}\,\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}\right)e^{i\pi {\frac {m+1}{2n}}}x^{-m-1},$ $\int _{0}^{\infty }x^{m}e^{ix^{n}}\,dx={\frac {1}{n}}\,\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}\right)e^{i\pi {\frac {m+1}{2n}}}.$

$m = 0$ の場合、特にこの方程式の虚数部は、左側が $|$ $a$ $| > 1$ で収束し、右側が $Γ$ $($ $a$ $-1$ $)$ の極がある平面全体への解析的拡張になります。 $\int _{0}^{\infty }\sin \left(x^{a}\right)\,dx=\Gamma \left(1+{\frac {1}{a}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{2a}}\right),$

合流型超幾何関数のクンマー変換は $\int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx=V_{n,m}(x)e^{ix^{n}},$ $V_{n,m}:={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}1\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid -ix^{n}\right).$

数値近似

任意精度での計算では、引数が小さい場合は冪級数が適しています。引数が大きい場合は、漸近展開の方が収束が速くなります。^[8]連分数法も使用できます。^[9]

特定の目標精度への計算のために、他の近似法が開発されている。Cody ^[10]は、有理関数に基づく効率的な近似法を開発し、相対誤差を2 × 10 ⁻¹⁹。他の言語での実装に必要な係数の値を含むCody近似のFORTRAN実装は、van Snyderによって公開されました。 ^[11] Boersmaは、誤差が2 × 10 −19未満の近似を開発しました。1.6 × 10 ⁻⁹ . ^[12]

アプリケーション

フレネル積分は、もともと光が不透明な物体の周りを曲がる環境における電磁場強度の計算に使用されていました。^[13]最近では、高速道路や鉄道の設計、特に曲率遷移ゾーン（線路遷移曲線を参照）に使用されています。^[14]その他の応用としては、ジェットコースター^[13]や、自転車競技場の線路上でカーブへの急速な進入と緩やかな退出を可能にする遷移の計算などがあります。^[要出典]

ギャラリー

Mathematica 13.1 の ComplexPlot3D 関数を使用して作成した、複素平面における -2-2i から 2+2i までのフレネル積分関数 S(z) の色付きプロット
Mathematica 13.1 の ComplexPlot3D 関数を使用して作成した、複素平面における -2-2i から 2+2i までのフレネル積分関数 C(z) の色付きプロット
Mathematica 13.1 の ComplexPlot3D 関数を使用して作成した、複素平面における -2-2i から 2+2i までのフレネル補助関数 G(z) のカラープロット
Mathematica 13.1 の ComplexPlot3D 関数を使用して作成した、複素平面における -2-2i から 2+2i までのフレネル補助関数 F(z) のカラープロット

参照

注記

^ アブラモウィッツ & ステガン 1983、eqn 7.3.1–7.3.2。
^ 2010年7月。
^ アブラモウィッツ & ステガン 1983、eqn 7.3.20。
^ Oldham, Keith B.; Myland, Jan C.; Spanier, Jerome; Myland, Jan (2009). An Atlas of functions: with equator, the atlas function calculator . New York, NY: Springer US Springer e-books. ISBN 978-0-387-48807-3。
^ functions.wolfram.com、フレネル積分S：等価関数による表現およびフレネル積分C：等価関数による表現。注：WolframはAbramowitz & Stegunの慣例を用いています。これはこの記事の慣例とは $\sqrtπ ⁄ 2 倍$ 異なります。
^ パラメトリック積分に基づく別の方法は、例えばZajta & Goel 1989に記載されています。
^ マサー 2012年。
^ Temme 2010、§7.12(ii)。
^ Pressら、2007年。
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参考文献

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外部リンク

Cephesは、フレネル積分をはじめとする特殊関数を計算するための無料/オープンソースのC++/Cコードです。SciPyおよびALGLIBで使用されます。
Faddeeva パッケージは、複雑な誤差関数 (フレネル積分を取得できるもの) を計算するための無料/オープンソースのC++/C コードで、Matlab、Python、その他の言語用のラッパーが含まれています。
「フレネル積分」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
「ジェットコースターのループ形状」。2008年9月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。2008年8月13日閲覧。
ワイスタイン、エリック・W.「フレネル積分」。MathWorld。
ワイスタイン、エリック・W.「コルヌ・スパイラル」。MathWorld。

[FOOTNOTEAbramowitzStegun1983eqn_7.3.1–7.3.2-1] アブラモウィッツ & ステガン 1983、eqn 7.3.1–7.3.2。

[FOOTNOTETemme2010-2] 2010年7月。

[FOOTNOTEAbramowitzStegun1983eqn_7.3.20-3] アブラモウィッツ & ステガン 1983、eqn 7.3.20。

[atlas-4] Oldham, Keith B.; Myland, Jan C.; Spanier, Jerome; Myland, Jan (2009). An Atlas of functions: with equator, the atlas function calculator . New York, NY: Springer US Springer e-books. ISBN 978-0-387-48807-3。

[5] unctions.wolfram.com、フレネル積分S：等価関数による表現およびフレネル積分C：等価関数による表現。注：WolframはAbramowitz & Stegunの慣例を用いています。これはこの記事の慣例とは $\sqrtπ ⁄ 2 倍$ 異なります。

[6] パラメトリック積分に基づく別の方法は、例えばZajta & Goel 1989に記載されています。

[FOOTNOTEMathar2012-7] マサー 2012年。

[FOOTNOTETemme2010§7.12(ii)-8] Temme 2010、§7.12(ii)。

[FOOTNOTEPressTeukolskyVetterlingFlannery2007-9] Pressら、2007年。

[FOOTNOTECody1968-10] コーディ 1968.

[FOOTNOTEvan_Snyder1993-11] ヴァン・スナイダー 1993.

[FOOTNOTEBoersma1960-12] ボルスマ 1960.

[FOOTNOTEBeatty2013-13] Beatty 2013による。

[FOOTNOTEStewart2008383-14] スチュワート2008、383ページ。