自明なグループ

数学において、自明群または零群とは、単一の元からなる群のことです。このような群はすべて同型であるため、しばしば自明群と呼ばれます。自明群の単一の元は単位元であるため、通常は文脈に応じて⁠ ⁠ ${\displaystyle 0}$、⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$、または⁠ ⁠と表記されます。群演算が ${\displaystyle \mathrm {e} }$⁠ ⁠ ${\displaystyle \,\cdot \,}$と表記される場合、それは⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {e} \cdot \mathrm {e} =\mathrm {e} }$によって定義されます。

同様に定義された自明なモノイドも、その唯一の要素がそれ自身の逆元であるため群であり、したがって自明な群と同じである。

自明群は、要素を持たず、したがって単位元を持たず、群になることができない 空集合とは異なります。

定義

任意の群⁠ ⁠ ${\displaystyle G}$が与えられたとき、単位元のみからなる群は⁠ ⁠の部分群であり、自明群であるため、 ${\displaystyle G}$⁠⁠ ${\displaystyle G}$の自明な部分群。

「 ⁠ ⁠ ${\displaystyle G}$には非自明な真部分群がない」という表現は、⁠ ⁠ ${\displaystyle G}$の部分群が自明群⁠ ⁠ ${\displaystyle \{\mathrm {e} \}}$と群⁠ ⁠ ${\displaystyle G}$自身だけであることを意味します。

プロパティ

自明群は位数⁠ ⁠の巡回群であるため、⁠ ⁠または⁠ ⁠と表記されることがあります。群の演算が加算と呼ばれる場合、自明群は通常⁠ ⁠と表記されます。群の演算が乗算と呼ばれる場合、自明群の表記として⁠ ⁠が用いられます。これらを組み合わせると、加算と乗算の演算が同一で⁠ ⁠となる自明環が得られます。 ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{1}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{1}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0=1}$

自明群は群のカテゴリにおける零オブジェクトとして機能し、始オブジェクトと終オブジェクトの両方であることを意味します。

自明な群は、自明な非厳密な順序⁠ ⁠を備えることによって、(双)順序群にすることができます。 ${\displaystyle \,\leq }$

参照

• ゼロオブジェクト（代数）  - 1つの要素のみを持つ代数構造
• 小グループのリスト

参考文献

• Rowland, Todd & Weisstein, Eric W. 「自明群」。MathWorld 。

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