Quantum logic gate
CNOT ゲートの古典的な類似物は 可逆 XOR ゲート です。 計算で CNOT ゲート ( アダマール ゲートを使用) を使用する方法。 コンピュータサイエンス において 、 制御NOTゲート （ C-NOT または CNOT とも呼ばれる）、 制御 X ゲート 、 制御ビット反転ゲート 、 ファインマンゲート 、または 制御パウリXは、 ゲートベースの 量子コンピュータ の構築に不可欠な要素である 量子論理ゲート である。ベル状態の エンタングルメント と デエンタングルメント に使用できる。CNOTゲートと単一 量子ビット 回転 の組み合わせを使用することで、任意の量子回路を任意の精度でシミュレートすることができる。 [1] [2] このゲートは、 1986年に量子ゲート図の初期の表記法を開発した リチャード・ファインマンにちなんで名付けられることもある。 [3] [4] [5]
CNOT は パウリ基底 で次のように表すことができます。
CNOT = e i π 4 ( I 1 − Z 1 ) ( I 2 − X 2 ) = e − i π 4 ( I 1 − Z 1 ) ( I 2 − X 2 ) . {\displaystyle {\mbox{CNOT}}=e^{i{\frac {\pi }{4}}(I_{1}-Z_{1})(I_{2}-X_{2})}=e^{-i{\frac {\pi }{4}}(I_{1}-Z_{1})(I_{2}-X_{2})}.} CNOT は ユニタリ かつ エルミート なので、および という 性質を持ち 、 は 逆比例 です。 e i θ U = ( cos θ ) I + ( i sin θ ) U {\displaystyle e^{i\theta U}=(\cos \theta )I+(i\sin \theta )U} U = e i π 2 ( I − U ) = e − i π 2 ( I − U ) {\displaystyle U=e^{i{\frac {\pi }{2}}(I-U)}=e^{-i{\frac {\pi }{2}}(I-U)}}
CNOTゲートはさらに 回転演算子ゲート とちょうど1つの 2量子ビット相互作用ゲート の積として分解することができる。例えば
CNOT = e − i π 4 R y 1 ( − π / 2 ) R x 1 ( − π / 2 ) R x 2 ( − π / 2 ) R x x ( π / 2 ) R y 1 ( π / 2 ) . {\displaystyle {\mbox{CNOT}}=e^{-i{\frac {\pi }{4}}}R_{y_{1}}(-\pi /2)R_{x_{1}}(-\pi /2)R_{x_{2}}(-\pi /2)R_{xx}(\pi /2)R_{y_{1}}(\pi /2).} 一般に、任意の単一量子ビット ユニタリゲートは と表現できます 。ここで、 H は エルミート行列 であり、制御される U は です 。 U = e i H {\displaystyle U=e^{iH}} C U = e i 1 2 ( I 1 − Z 1 ) H 2 {\displaystyle CU=e^{i{\frac {1}{2}}(I_{1}-Z_{1})H_{2}}}
CNOT ゲートは古典的な 可逆コンピューティング でも使用されます。
手術 CNOTゲートは、 2つの量子ビットからなる 量子レジスタ 上で動作します。CNOTゲートは、最初の量子ビット（制御量子ビット）が である場合にのみ、2番目の量子ビット（ターゲット量子ビット）を反転します 。 | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle }
前に 後 コントロール ターゲット コントロール ターゲット | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle }
両方の量子ビットに許容される入力値が のみである場合 、CNOTゲートのTARGET出力は、従来の XORゲート の結果に対応します。CONTROLを に固定すると、CNOTゲートのTARGET出力は、従来の NOTゲート の結果になります 。 { | 0 ⟩ , | 1 ⟩ } {\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}} | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle }
より一般的には、入力は の線形重ね合わせとなることが許される 。CNOTゲートは量子状態を次のように変換する。 { | 0 ⟩ , | 1 ⟩ } {\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}
a | 00 ⟩ + b | 01 ⟩ + c | 10 ⟩ + d | 11 ⟩ {\displaystyle a|00\rangle +b|01\rangle +c|10\rangle +d|11\rangle }
の中へ：
a | 00 ⟩ + b | 01 ⟩ + c | 11 ⟩ + d | 10 ⟩ {\displaystyle a|00\rangle +b|01\rangle +c|11\rangle +d|10\rangle }
CNOTゲートの動作は、次の行列（ 順列行列 形式）で表すことができます。
CNOT = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 ] . {\displaystyle \operatorname {CNOT} ={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.} CNOTゲートの最初の実験的実現は1995年に達成されました。この実験では、 トラップ内の単一の ベリリウム イオン が使用されました。2つの量子ビットは、トラップ内のイオンの光学状態と振動状態にエンコードされました。実験当時、CNOT動作の信頼性は90%程度と測定されました。 [6]
通常の制御NOTゲートに加えて、関数制御NOTゲートを構築することができます。このゲートは、任意の数 n +1の量子ビット（ n +1は2以上）を入力として受け入れます（ 量子レジスタ）。このゲートは、最初の n 量子ビットを入力とする組み込み 関数が1を返す場合にのみ、レジスタの最後の量子ビットを反転します。関数制御NOTゲートは、 Deutsch-Jozsaアルゴリズム の重要な要素です。
計算基底のみで見ると 、C NOT の挙動は同等の古典ゲートに似ているように見えます。しかし、一方の量子ビットを制御、 もう一方の量子ビットを ターゲットと ラベル 付けするという単純さは、両量子ビットのほとんどの入力値に対して起こる複雑さを反映していません。 { | 0 ⟩ , | 1 ⟩ } {\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}
アダマール変換基底における CNOT ゲート。 CNOTゲートをアダマール変換された基底に関して表現することで、より深い洞察が得られる。1 量子ビット レジスタ のアダマール変換された基底 [a] は次のように与えられる
。 { | + ⟩ , | − ⟩ } {\displaystyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}
| + ⟩ = 1 2 ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) , | − ⟩ = 1 2 ( | 0 ⟩ − | 1 ⟩ ) , {\displaystyle |+\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle ),\qquad |-\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle ),} そして、2量子ビットレジスタの対応する基底は
| + + ⟩ = | + ⟩ ⊗ | + ⟩ = 1 2 ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) ⊗ ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) = 1 2 ( | 00 ⟩ + | 01 ⟩ + | 10 ⟩ + | 11 ⟩ ) {\displaystyle |++\rangle =|+\rangle \otimes |+\rangle ={\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )\otimes (|0\rangle +|1\rangle )={\frac {1}{2}}(|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle )} 、 など。この基底でCNOTを見ると、2番目の量子ビットの状態は変化せず、1番目の量子ビットの状態は2番目のビットの状態に応じて反転します。（詳細は下記参照）「したがって、この基底では、どのビットが 制御ビット でどのビットが ターゲットビット であるかという感覚が反転しています。しかし、変換自体は全く変更されておらず、それに対する考え方だけが変わっています。」 [7]
「計算的」基底 はZ方向のスピンの固有基底であり、一方、アダマール基底 はX方向のスピンの固有基底である。したがって、XとZ、そして量子ビット1と2を入れ替えると、元の変換が復元される。」 [8] これはCNOTゲートの基本的な対称性を表している。 { | 0 ⟩ , | 1 ⟩ } {\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}} { | + ⟩ , | − ⟩ } {\displaystyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}
C NOT 相互作用において両方の量子ビットが（等しく）影響を受けるという観察は、もつれ合った量子システムにおける情報の流れを考える上で重要である。 [9]
計算の詳細 計算の詳細を説明します。各アダマール基底状態について計算を進めると、右列の結果は、 2番目の量子ビットが のとき、1番目の量子ビットがと の間 で反転することを示しています 。 | + ⟩ {\displaystyle |+\rangle } | − ⟩ {\displaystyle |-\rangle } | − ⟩ {\displaystyle |-\rangle }
アダマール基底における初期状態 計算基底における等価状態 適用演算子 C NOT 後の計算基底の状態 アダマール基底における同値状態 | + + ⟩ {\displaystyle |++\rangle } 1 2 ( | 00 ⟩ + | 01 ⟩ + | 10 ⟩ + | 11 ⟩ ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}(|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle )} C いいえ 1 2 ( | 00 ⟩ + | 01 ⟩ + | 11 ⟩ + | 10 ⟩ ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}(|00\rangle +|01\rangle +|11\rangle +|10\rangle )} | + + ⟩ {\displaystyle |++\rangle } | + − ⟩ {\displaystyle |+-\rangle } 1 2 ( | 00 ⟩ − | 01 ⟩ + | 10 ⟩ − | 11 ⟩ ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}(|00\rangle -|01\rangle +|10\rangle -|11\rangle )} C いいえ 1 2 ( | 00 ⟩ − | 01 ⟩ + | 11 ⟩ − | 10 ⟩ ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}(|00\rangle -|01\rangle +|11\rangle -|10\rangle )} | − − ⟩ {\displaystyle |--\rangle } | − + ⟩ {\displaystyle |-+\rangle } 1 2 ( | 00 ⟩ + | 01 ⟩ − | 10 ⟩ − | 11 ⟩ ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}(|00\rangle +|01\rangle -|10\rangle -|11\rangle )} C いいえ 1 2 ( | 00 ⟩ + | 01 ⟩ − | 11 ⟩ − | 10 ⟩ ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}(|00\rangle +|01\rangle -|11\rangle -|10\rangle )} | − + ⟩ {\displaystyle |-+\rangle } | − − ⟩ {\displaystyle |--\rangle } 1 2 ( | 00 ⟩ − | 01 ⟩ − | 10 ⟩ + | 11 ⟩ ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}(|00\rangle -|01\rangle -|10\rangle +|11\rangle )} C いいえ 1 2 ( | 00 ⟩ − | 01 ⟩ − | 11 ⟩ + | 10 ⟩ ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}(|00\rangle -|01\rangle -|11\rangle +|10\rangle )} | + − ⟩ {\displaystyle |+-\rangle }
アダマール変換の後に C NOT を実行し、さらに別のアダマール変換を実行する量子回路は 、アダマール基底で CNOT ゲートを実行する（つまり、 基底の変更 ）ものとして説明できます。
(H 1 ⊗ H 1 ) −1 . C は成り立ちません 。(H 1 ⊗ H 1 )
単一量子ビットのアダマール変換 H 1 は エルミート変換 であり、その逆変換も持つ。2つの量子ビットに対して（独立に）作用する2つのアダマール変換のテンソル積は H 2 と表記される。したがって、行列は次のように表すことができる。
H 2 . C ではなく H 2
これを掛け合わせると、 と の 項を入れ替え、 と の項は その ままにした行列が得られます。これは、量子ビット2を制御量子ビット、量子ビット1をターゲット量子ビットとするCNOTゲートと同等です。 [b] | 01 ⟩ {\displaystyle |01\rangle } | 11 ⟩ {\displaystyle |11\rangle } | 00 ⟩ {\displaystyle |00\rangle } | 10 ⟩ {\displaystyle |10\rangle }
1 2 [ 1 1 1 1 1 − 1 1 − 1 1 1 − 1 − 1 1 − 1 − 1 1 ] . [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 ] . 1 2 [ 1 1 1 1 1 − 1 1 − 1 1 1 − 1 − 1 1 − 1 − 1 1 ] = [ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 ] {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{array}}\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{array}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}}
ベル状態の構築 C NOTゲートの一般的な応用は、2 つの量子ビットを ベル状態 に最大限にエンタングルすることです。これは、 超高密度符号化 、 量子テレポーテーション 、およびエンタングル 量子暗号化 アルゴリズムのセットアップの一部を形成します 。 | Φ + ⟩ {\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }
を構築するには、C NOT ゲートへの入力A（制御）とB（ターゲット） は | Φ + ⟩ {\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }
1 2 ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) A {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )_{A}} そして 。 | 0 ⟩ B {\displaystyle |0\rangle _{B}} C NOT を適用した後、結果として得られるベル状態は、 個々の量子ビットを任意の基底を用いて測定でき、各状態に解決する確率が常に50/50であるという特性を持ちます。つまり、個々の量子ビットは未定義の状態にあるということです。2つの量子ビット間の相関は、2つの量子ビットの状態を完全に記述するものです。つまり、2つの量子ビットを同じ基底を用いて測定し、結果を比較すれば、測定値は完全に相関することになります。 1 2 ( | 00 ⟩ + | 11 ⟩ ) {\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )}
計算基底で見ると、量子ビット A が量子ビット B に影響を与えているように見えます。視点をアダマール基底に変更すると、対称的に量子ビット B が量子ビット A に影響を与えていることが示されます。
入力状態は次のようにも考えられます。
| + ⟩ A {\displaystyle |+\rangle _{A}} そして 。 1 2 ( | + ⟩ + | − ⟩ ) B {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+\rangle +|-\rangle )_{B}} アダマール観点では、制御量子ビットとターゲット量子ビットは概念的に入れ替わっており、量子ビットBが反転しているとき、量子ビットAは反転しています。C NOT ゲート を適用した後の出力状態は、 以下のように表すことができます。 | − ⟩ B {\displaystyle |-\rangle _{B}} 1 2 ( | + + ⟩ + | − − ⟩ ) , {\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|++\rangle +|--\rangle ),}
= 1 2 ( | + ⟩ A | + ⟩ B + | − ⟩ A | − ⟩ B ) {\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+\rangle _{A}|+\rangle _{B}+|-\rangle _{A}|-\rangle _{B})} = 1 2 2 ( ( | 0 ⟩ A + | 1 ⟩ A ) ( | 0 ⟩ B + | 1 ⟩ B ) + ( | 0 ⟩ A − | 1 ⟩ A ) ( | 0 ⟩ B − | 1 ⟩ B ) ) {\displaystyle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}((|0\rangle _{A}+|1\rangle _{A})(|0\rangle _{B}+|1\rangle _{B})+(|0\rangle _{A}-|1\rangle _{A})(|0\rangle _{B}-|1\rangle _{B}))} = 1 2 2 ( ( | 00 ⟩ + | 01 ⟩ + | 10 ⟩ + | 11 ⟩ ) + ( | 00 ⟩ − | 01 ⟩ − | 10 ⟩ + | 11 ⟩ ) ) {\displaystyle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}((|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle )+(|00\rangle -|01\rangle -|10\rangle +|11\rangle ))} = 1 2 ( | 00 ⟩ + | 11 ⟩ ) . {\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle ).}
C-ROTゲート C-ROTゲート（制御 ラビ回転 ）は、核スピンをZ軸の周りで回転させること を除いてC-NOTゲートと同等である。 [10] [11] π / 2 {\displaystyle \pi /2}
実装 トラップイオン量子コンピュータ ：
規制 2024年5月、カナダは、 34 量子ビット 以上で エラー率が一定のCNOT エラー閾値を下回る量子コンピュータの販売に対する 輸出制限 を実施した。また、量子ビット数が多くエラー率が高い量子コンピュータに対する輸出制限も実施した。 [12] 英国、フランス、スペイン、オランダでも同様の制限がすぐに導入された。これらの国は今回の措置についてほとんど説明していないが、いずれも ワッセナー協定 加盟国であり、これらの制限は 量子暗号 や 競争からの保護 を含む 国家安全 保障上の懸念に関連していると思われる。 [13] [14]
参照
注記 ^ は、 に設定された量子ビットに アダマールゲート を適用することによって構築できる ことに注意する 。同様に、 | + ⟩ {\displaystyle |+\rangle } | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } | − ⟩ {\displaystyle |-\rangle } ^ つまり、 SWAPゲートは どこに ありますか 。 H 2 ⋅ CNOT ⋅ H 2 = SWAP ⋅ CNOT ⋅ SWAP {\displaystyle H_{2}\cdot \operatorname {CNOT} \cdot H_{2}=\operatorname {SWAP} \cdot \operatorname {CNOT} \cdot \operatorname {SWAP} } SWAP {\displaystyle \operatorname {SWAP} }
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外部リンク マイケル・ウェストモアランド：「量子力学における孤立と情報の流れ」 - Cnotゲートに関する議論 
