コーシー過程

確率過程の種類

確率論において、コーシー過程は確率過程の一種である。コーシー過程には対称型と非対称型がある。 ^[1] 特定の意味を持たない用語「コーシー過程」は、しばしば対称コーシー過程を指すのに用いられる。^[2]

コーシー過程にはいくつかの特性があります。

1. これはレヴィ過程である^{[3] [4] [5]}
2. これは安定したプロセスである^{[1] [2]}
3. これは純粋なジャンププロセスである^[6]
4. その瞬間は無限です。

対称コーシー過程

対称コーシー過程は、レヴィ従属行列に従うブラウン運動またはウィーナー過程によって記述できる。^[7] レヴィ従属行列は、位置パラメータが、尺度パラメータがであるレヴィ分布に関連付けられた過程である。^{[7]レヴィ分布は}、逆ガンマ分布 の特殊なケースである。したがって、をコーシー過程、 をレヴィ従属行列 として表すと、対称コーシー過程は次のように記述できる。 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t^{2}/2}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle C(t;0,1)\;:=\;W(L(t;0,t^{2}/2)).}$

レヴィ分布はブラウン運動の最初の到達時間の確率であり、したがってコーシー過程は本質的に2つの独立したブラウン運動過程の結果である。^[7]

対称コーシー過程のレヴィ ・ヒンチン表現はドリフトと拡散がゼロの三重項であり、 のレヴィ・ヒンチン三重項を与える（ここで）。^[8] ${\displaystyle (0,0,W)}$ ${\displaystyle W(dx)=dx/(\pi x^{2})}$

対称コーシー過程の周辺特性関数は次の形をとる: ^{[1] [8]}

${\displaystyle \operatorname {E} {\Big [}e^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=e^{-t|\theta |}.}$

対称コーシー過程の周辺確率分布は密度が^{[8] [9]である}コーシー分布である。

${\displaystyle f(x;t)={1 \over \pi }\left[{t \over x^{2}+t^{2}}\right].}$

非対称コーシー過程

非対称コーシー過程は、パラメータ によって定義されます。ここで は歪度パラメータであり、その絶対値は1以下でなければなりません。^[1]過程が完全に非対称コーシー過程であるとみなされる 場合。 ^[1] ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle |\beta |=1}$

レヴィ・ヒンチン三重項は の形を持ち、ここで、ここで、および である。^[1] ${\displaystyle (0,0,W)}$ ${\displaystyle W(dx)={\begin{cases}Ax^{-2}\,dx&{\text{if }}x>0\\Bx^{-2}\,dx&{\text{if }}x<0\end{cases}}}$ ${\displaystyle A\neq B}$ ${\displaystyle A>0}$ ${\displaystyle B>0}$

これを踏まえると、はおよびの関数です。 ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

非対称コーシー分布の特性関数は次の形をとる: ^[1]

${\displaystyle \operatorname {E} {\Big [}e^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=e^{-t(|\theta |+i\beta \theta \ln |\theta |/(2\pi ))}.}$

非対称コーシー過程の周辺確率分布は、安定指数（αパラメータ）が 1 に等しい安定した分布です。

参考文献

1. Kovalenko, IN; et al. (1996).ランダムプロセスのモデル：数学者とエンジニアのためのハンドブック. CRC Press. pp.  210– 211. ISBN 9780849328701。
2. Engelbert, HJ, Kurenok, VP & Zalinescu, A. (2006). 「対称安定過程によって駆動される確率方程式の反射解の存在と一意性について」Kabanov, Y.; Liptser, R.; Stoyanov, J. (編).確率微積分から数理ファイナンスへ：Shiryaev記念論文集. Springer. p. 228. ISBN 9783540307884。{{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)
3. Winkel, M. 「レヴィ過程入門」（PDF） pp.  15– 16 . 2013年2月7日閲覧。
4. Jacob, N. (2005).擬似微分作用素とマルコフ過程：マルコフ過程とその応用 第3巻. インペリアル・カレッジ・プレス. p. 135. ISBN 9781860945687。
5. Bertoin, J. (2001). 「レヴィ過程に関するいくつかの要素」. Shanbhag, DN (編).確率過程：理論と方法. Gulf Professional Publishing. p. 122. ISBN 9780444500144。
6. クローゼ、DP ;テイムレ、T.ボテフ、ZI (2011)。モンテカルロ法のハンドブック。ジョン・ワイリー＆サンズ。 p. 214.ISBN​ 9781118014950。
7. Applebaum, D. 「レヴィ過程と確率計算に関する講義、ブラウンシュヴァイク；講義2：レヴィ過程」（PDF）。シェフィールド大学。pp.  37– 53。
8. Cinlar, E. (2011).確率と確率論. Springer. p. 332. ISBN 9780387878591。
9. 伊藤 憲一 (2006).確率過程の基礎. アメリカ数学会. p. 54. ISBN 9780821838983。

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