Representation of mechanical stress at every point within a deformed 3D object
コーシー応力テンソル 3次元における応力の構成要素
一般的な記号
σ SI単位 パスカル （Pa） その他のユニット
平方インチ当たりのポンド数 （psi）、 バール SI基本単位 では Pa = kg ⋅ m −1 ⋅ s −2 テンソル 寸法 L − 1 M T − 2 {\displaystyle {\mathsf {L}}^{-1}{\mathsf {M}}{\mathsf {T}}^{-2}}
連続体力学 において 、 コーシー応力テンソル （記号 σ {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}} 、 オーギュスタン＝ルイ・コーシー にちなんで名付けられた）は、 真応力テンソル [1] または単に 応力テンソル とも呼ばれ、 変形 状態、配置、または構成にある材料内部の一点における 応力 の状態を完全に定義します。この2次 テンソル は9つの成分から構成され 、単位長さ 方向ベクトル e と、 e に垂直な面を横切る 引張ベクトル T ( e ) を関連付けます。 σ i j {\displaystyle \sigma _{ij}}
T ( e ) = e ⋅ σ or T j ( e ) = ∑ i σ i j e i . {\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} )}=\mathbf {e} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{or}}\quad T_{j}^{(\mathbf {e} )}=\sum _{i}\sigma _{ij}e_{i}.} [あ] 応力テンソルとトラクションベクトルの SI単位系 は、応力スカラーに対応する ニュートン毎平方メートル （N/m 2 ）または パスカル （Pa）です。単位ベクトルは 無次元 です。
コーシー応力テンソルは、 座標系の変化に対して テンソル変換則に従います。この変換則を図示したものが モール 応力円です。
コーシー応力テンソルは、 微小変形を 受ける物体の 応力解析に用いられ、 線形弾性理論 における中心的な概念です。 有限変形 とも呼ばれる大変形の場合、 ピオラ・キルヒホッフ応力テンソル 、 ビオ応力テンソル 、 キルヒホッフ応力テンソル といった他の応力尺度が必要となります 。
線形運動量保存 の原理によれば 、連続体が静的平衡状態にある場合、その物体のすべての質点におけるコーシー応力テンソルの成分が平衡方程式 (ゼロ加速度に対する コーシーの運動方程式 ) を満たすことが証明できます。同時に、 角運動量保存の原理によれば、平衡状態には任意の点に関する モーメント の合計がゼロであることが必要であり、これは 応力テンソルが対称的である という結論につながり、 したがって、元の 9 つの独立した応力成分ではなく 6 つの独立した応力成分のみを持つことになります。ただし、偶応力、つまり単位体積あたりのモーメントがある場合、応力テンソルは非対称になります。これは、 クヌーセン数が 1 に近い場合 ( ) K n → 1 {\displaystyle K_{n}\rightarrow 1} 、または連続体が 非ニュートン流体である場合にも当てはまり、これは ポリマー などの回転不変流体につながる可能性があります 。
応力テンソルには、選択された座標系や応力テンソルが作用する面積要素に依存しない不変量がいくつかあります。これらは応力テンソルの3つの 固有値 であり、主応力と呼ばれます。
オイラー・コーシー応力原理 – 応力ベクトル 図2.1a 連続体の内部表面の 微分における接触力と偶応力の内部分布 。表面によって分離された連続体の2つの部分間の相互作用の結果として生じる。 d S {\displaystyle dS} S {\displaystyle S} 図2.1b 連続体の内部表面の 微分における接触力と偶応力の内部分布 。表面によって分離された連続体の2つの部分間の相互作用の結果として生じる。 d S {\displaystyle dS} S {\displaystyle S} 図2.1c法線ベクトル n を持つ内部表面 S上の応力ベクトル オイラー ・コーシーの応力原理は 、物体を分割する任意の面上で、物体のある部分が他の部分に及ぼす作用は、物体を分割する面上の分布力と結合のシステムと等価（等量）であることを 述べています 。 [2] そして、それは 表面上で定義され、 表面の法線単位ベクトル に連続的に依存すると仮定される、 牽引ベクトル と呼ばれるフィールド T ( n ) {\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}} によって表されます。 [3] [4] : p.66–96 S {\displaystyle S} n {\displaystyle \mathbf {n} }
オイラー・コーシーの応力原理を定式化するには、図2.1aまたは2.1bに示すように、連続体を2つのセグメントに分割する 内部物質点を通過する表面を考えます（切断面図 、 または表面で囲まれた連続体内部の任意の体積を持つ図のいずれかを使用できます ） 。 S {\displaystyle S} P {\displaystyle P} S {\displaystyle S}
ニュートン と オイラー の古典力学によれば 、物体の運動は外部から加えられた 力 の作用によって生み出され、その力は 表面力 と 体積力の 2種類であると想定されています 。 [ 5] したがって、物体または物体の一部に加えられる 力の合計は次のように表すことができます。 F {\displaystyle \mathbf {F} } b {\displaystyle \mathbf {b} } F {\displaystyle {\mathcal {F}}}
F = b + F {\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbf {b} +\mathbf {F} } この記事では、コーシー応力テンソルに関連する表面力についてのみ説明します。
物体が外部表面力または接触力 F {\displaystyle \mathbf {F} } を受ける場合、 オイラーの運動方程式 に従って 、内部接触力および接触モーメントは、連続体のある部分が他の部分に機械的に接触することにより、物体内の点から点へ、また、分割面 S {\displaystyle S} を介して一方のセグメントからもう一方のセグメントへ伝達されます（図2.1aおよび2.1b）。 を含む 領域要素上で 、法線 ベクトル を持つ場合、力の分布は、 点で及ぼされる接触力 および表面モーメントに等分布です 。特に、 接触力は 次のように与えられます
。 Δ S {\displaystyle \Delta S} P {\displaystyle P} n {\displaystyle \mathbf {n} } Δ F {\displaystyle \Delta \mathbf {F} } P {\displaystyle P} Δ M {\displaystyle \Delta \mathbf {M} }
Δ F = T ( n ) Δ S , {\displaystyle \Delta \mathbf {F} =\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,\Delta S,} ここで 平均表面牽引力 は です 。 T ( n ) {\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}
コーシーの応力原理 [6] : 47–102 は、がゼロに近づくにつれて 比 はとなり 、偶応力ベクトルは 消滅すると主張している。連続体力学の特定の分野では、偶応力は消滅しないと仮定されているが、連続体力学の古典的な分野は、偶応力やモーメントを考慮しない非 極性 材料を扱っている。 Δ S {\displaystyle \Delta S} Δ F / Δ S {\displaystyle \Delta \mathbf {F} /\Delta S} d F / d S {\displaystyle d\mathbf {F} /dS} Δ M {\displaystyle \Delta \mathbf {M} }
結果ベクトルは 表面牽引力 [7] 、 応力ベクトル [8] 、 牽引力 [4] 、 または 牽引力ベクトル [6] とも呼ばれ 、 法線ベクトルを持つ平面に関連付けられた 点で 次のように 定義さ れ ます 。 d F / d S {\displaystyle d\mathbf {F} /dS} T ( n ) = T i ( n ) e i {\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}\mathbf {e} _{i}} P {\displaystyle P} n {\displaystyle \mathbf {n} }
T i ( n ) = lim Δ S → 0 Δ F i Δ S = d F i d S . {\displaystyle T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{i}}{\Delta S}}={dF_{i} \over dS}.} この式は、応力ベクトルが、物体内の位置と、応力が作用する平面の方向によって決まることを意味します。
これは、内部接触力のバランス作用によって 接触力密度 または コーシー牽引力場 [5] が生成され、これは特定の時間における 物体の 特定の構成における物体の体積全体にわたる内部接触力の分布を表すことを意味します 。これは ベクトル場で はありません。 なぜなら 、特定の質点の位置だけでなく、その法線ベクトルによって定義される表面要素の局所的な向きにも依存する から です 。 [ 9 ] T ( n , x , t ) {\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)} t {\displaystyle t} x {\displaystyle \mathbf {x} } n {\displaystyle \mathbf {n} }
検討中の平面の向きによっては、応力ベクトルは必ずしもその平面に垂直、つまり平行であるとは限らず 、 2 つ の 成分に分解できます（図2.1c）。 n {\displaystyle \mathbf {n} }
平面に垂直な1つの法線 （法線応力） σ n = lim Δ S → 0 Δ F n Δ S = d F n d S , {\displaystyle \mathbf {\sigma _{\mathrm {n} }} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {n} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {n} }}{dS}},} 差分領域に対する 力の法線成分は どこにあるか d F n {\displaystyle dF_{\mathrm {n} }} d F {\displaystyle d\mathbf {F} } d S {\displaystyle dS} そしてもう1つはこの平面に 平行なせん断応力と呼ばれる τ = lim Δ S → 0 Δ F s Δ S = d F s d S , {\displaystyle \mathbf {\tau } =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {s} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {s} }}{dS}},} ここで 、 は、差分表面積に対する 力の接線成分です 。せん断応力はさらに、互いに直交する2つのベクトルに分解できます。 d F s {\displaystyle dF_{\mathrm {s} }} d F {\displaystyle d\mathbf {F} } d S {\displaystyle dS}
コーシーの公理 コーシーの公理 によれば 、応力ベクトルは、 点を通り 、 で 同じ法線ベクトルを持つすべての面に対して不変である [7] [10]。つまり、 で 共通の 接線 を持つ。これは、応力ベクトルが法線ベクトル のみの関数であり、内部表面の曲率の影響を受けないことを意味する。 T ( n ) {\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}} P {\displaystyle P} n {\displaystyle \mathbf {n} } P {\displaystyle P} P {\displaystyle P} n {\displaystyle \mathbf {n} }
コーシーの基本補題 コーシーの公理の帰結として、 コーシー の基本補題 [1] [7] [11] （コーシーの逆定理 [12] ：p.103–130 とも呼ばれる）が挙げられ 、これは、同一面の反対側に作用する応力ベクトルは大きさが等しく、方向が反対であることを述べている。コーシーの基本補題は、 ニュートンの運動の第三法則 （作用反作用）と等しく 、次のように表される。
− T ( n ) = T ( − n ) . {\displaystyle -\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(-\mathbf {n} )}.}
コーシーの応力定理—応力テンソル 物体の ある点における応力の状態は 、その点を通る無限の平面すべてに関連付けられた応力ベクトル T ( n )によって定義されます。 [13] しかし、 コーシーの基本定理 [11]（ コーシー の応力定理 とも呼ばれます） [1] によれば、 3つの互いに垂直な平面上の応力ベクトルを知るだけで、その点を通る他の任意の平面上の応力ベクトルを座標変換方程式を通じて求めることができます。
コーシーの応力定理は、コーシー応力テンソルと呼ばれる n に依存しない2 次 テンソル場 σ ( x , t ) が存在し、 Tが n の線形関数となる ことを述べています 。
T ( n ) = n ⋅ σ or T j ( n ) = σ i j n i . {\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{or}}\quad T_{j}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{ij}n_{i}.} この式は、法線単位ベクトルn を持つ平面に関連付けられた連続体の 任意の点 P における応力ベクトル T ( n ) は、座標軸に垂直な平面上の応力ベクトルの関数として、つまり応力テンソルσの成分σijとして表すことが できる こと を 意味 し ます 。
この式を証明するために、 座標平面に向いた 3 つの面と、 法線単位ベクトル nで指定される任意の方向に向いた微小領域 d Aを持つ 四面体を考えます ( 図 2.2)。四面体は、単位法線 n を持つ任意の平面に沿って微小要素をスライスすることによって形成されます。 この平面上の応力ベクトルは T ( n ) で表されます。四面体の面に作用する応力ベクトルは、 T ( e 1 ) 、 T ( e 2 ) 、および T ( e 3 ) で表され、定義により応力テンソル σ の成分 σ ij となります。この四面体は、コーシー四面体と呼ばれることもあります 。力の釣り合い、 すなわち オイラーの運動の第 1 法則 (ニュートンの運動の第 2 法則) は、 次のようになります。
T ( n ) d A − T ( e 1 ) d A 1 − T ( e 2 ) d A 2 − T ( e 3 ) d A 3 = ρ ( h 3 d A ) a , {\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dA-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\,dA_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\,dA_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\,dA_{3}=\rho \left({\frac {h}{3}}dA\right)\mathbf {a} ,} 図2.2. 法線単位ベクトルn を持つ平面に作用する応力ベクトル 。 符号規則に関する注意： 四面体は、平行六面体を任意の平面 nに沿って切断することによって形成される。したがって、平面 n に作用する力は、 平行六面体のもう半分によって生じる反作用であり、符号は逆になる。 ここで右辺は、正四面体に囲まれた質量と加速度の積を表します。ρ は 密度、 a は加速度、 h は正四面体の高さで、平面 n を底辺とします。正四面体の軸に垂直な面の面積は、d Aを 各面に投影することで求められます（内積を用いて）。
d A 1 = ( n ⋅ e 1 ) d A = n 1 d A , {\displaystyle dA_{1}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{1}\right)dA=n_{1}\;dA,} d A 2 = ( n ⋅ e 2 ) d A = n 2 d A , {\displaystyle dA_{2}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{2}\right)dA=n_{2}\;dA,} d A 3 = ( n ⋅ e 3 ) d A = n 3 d A , {\displaystyle dA_{3}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{3}\right)dA=n_{3}\;dA,} そして、次の式に代入してd A をキャンセルします。
T ( n ) − T ( e 1 ) n 1 − T ( e 2 ) n 2 − T ( e 3 ) n 3 = ρ ( h 3 ) a . {\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}=\rho \left({\frac {h}{3}}\right)\mathbf {a} .} 四面体が点に縮む極限ケースを考えると、 hは 0に近づく（直感的には、平面 nは nに沿って O に向かって 移動する ）。その結果、方程式の右辺は0に近づくので、
T ( n ) = T ( e 1 ) n 1 + T ( e 2 ) n 2 + T ( e 3 ) n 3 . {\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}.} 直交座標系の座標軸に垂直な平面を持つ材料要素（ページ上部の図を参照）を想定すると、各要素平面に関連付けられた応力ベクトル、 すなわち T ( e 1 ) 、 T ( e 2 ) 、および T ( e 3 )は、1つの法線成分と2つのせん断成分、 つまり 3つの座標軸方向の成分 に分解できます。法線 単位ベクトルが x 1 軸方向に向く表面の特定のケースでは 、法線応力を σ 11 、2つのせん断応力を σ 12 および σ 13 と表します。
T ( e 1 ) = T 1 ( e 1 ) e 1 + T 2 ( e 1 ) e 2 + T 3 ( e 1 ) e 3 = σ 11 e 1 + σ 12 e 2 + σ 13 e 3 , {\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3},} T ( e 2 ) = T 1 ( e 2 ) e 1 + T 2 ( e 2 ) e 2 + T 3 ( e 2 ) e 3 = σ 21 e 1 + σ 22 e 2 + σ 23 e 3 , {\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{21}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3},} T ( e 3 ) = T 1 ( e 3 ) e 1 + T 2 ( e 3 ) e 2 + T 3 ( e 3 ) e 3 = σ 31 e 1 + σ 32 e 2 + σ 33 e 3 , {\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{31}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{32}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{33}\mathbf {e} _{3},} 指数表記ではこれは
T ( e i ) = T j ( e i ) e j = σ i j e j . {\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}=T_{j}^{(\mathbf {e} _{i})}\mathbf {e} _{j}=\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}.} 応力ベクトルの9つの成分 σ ij は、コーシー応力テンソル と呼ばれる2次直交座標テンソルの成分であり 、これは点における応力の状態を完全に定義するのに使用でき、次のように表されます。
σ = σ i j = [ T ( e 1 ) T ( e 2 ) T ( e 3 ) ] = [ σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 ] ≡ [ σ x x σ x y σ x z σ y x σ y y σ y z σ z x σ z y σ z z ] ≡ [ σ x τ x y τ x z τ y x σ y τ y z τ z x τ z y σ z ] , {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{ij}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right],} ここで 、 σ 11 、 σ 22 、 σ 33 は法線応力、 σ 12 、 σ 13 、 σ 21 、 σ 23 、 σ 31 、 σ 32 はせん断応力です。最初の添え字 i は、応力が X i 軸に垂直な平面に作用することを示し、2 番目の添え字 j は 応力が作用する方向を示します (たとえば、 σ 12 は、応力が 1 番目の軸 ( X 1 ) に垂直な平面に作用し、2 番目の軸 ( X 2 )に沿って作用することを意味します )。応力成分が座標軸の正の方向に作用し、応力が作用する平面の外向きの法線ベクトルが正の座標方向を指している場合、応力は正になります。
したがって、応力テンソルの成分を用いて
T ( n ) = T ( e 1 ) n 1 + T ( e 2 ) n 2 + T ( e 3 ) n 3 = ∑ i = 1 3 T ( e i ) n i = ( σ i j e j ) n i = σ i j n i e j {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}&=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}\\&=\sum _{i=1}^{3}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}n_{i}\\&=\left(\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}\right)n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}}} あるいは、同等に、
T j ( n ) = σ i j n i . {\displaystyle T_{j}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{ij}n_{i}.} あるいは、行列形式では
[ T 1 ( n ) T 2 ( n ) T 3 ( n ) ] = [ n 1 n 2 n 3 ] ⋅ [ σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 ] . {\displaystyle \left[{\begin{matrix}T_{1}^{(\mathbf {n} )}&T_{2}^{(\mathbf {n} )}&T_{3}^{(\mathbf {n} )}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right].} コーシー応力テンソルの Voigt 表記法による表現では、応力テンソルの対称性を利用して 、 応力 を 次の形式の 6 次元ベクトルとして表現します。
σ = [ σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 ] T ≡ [ σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 13 σ 12 ] T . {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}&\sigma _{5}&\sigma _{6}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{22}&\sigma _{33}&\sigma _{23}&\sigma _{13}&\sigma _{12}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}.} Voigt 表記法は、固体力学における応力とひずみの関係を表す際に、また数値構造力学ソフトウェアにおける計算効率を高めるために広く使用されています。
応力テンソルは反変 2階テンソルであることが示されており 、これは座標系の変化によってどのように変換されるかを示している。x i 系からx i ' 系へ変換する場合 、初期系の成分 σ ij は テンソル変換則に従って新しい系の 成分 σ ij ′ に変換される（図2.4）。
σ i j ′ = a i m a j n σ m n or σ ′ = A σ A T , {\displaystyle \sigma '_{ij}=a_{im}a_{jn}\sigma _{mn}\quad {\text{or}}\quad {\boldsymbol {\sigma }}'=\mathbf {A} {\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {A} ^{\textsf {T}},} ここで Aは a ij を成分とする 回転行列 である 。行列形式では、これは
[ σ 11 ′ σ 12 ′ σ 13 ′ σ 21 ′ σ 22 ′ σ 23 ′ σ 31 ′ σ 32 ′ σ 33 ′ ] = [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] [ σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 ] [ a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 ] . {\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma '_{11}&\sigma '_{12}&\sigma '_{13}\\\sigma '_{21}&\sigma '_{22}&\sigma '_{23}\\\sigma '_{31}&\sigma '_{32}&\sigma '_{33}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\\\end{matrix}}\right].} 図2.4 応力テンソルの変換
行列演算 を展開し 、 応力テンソルの対称性 を用いて項を簡略化すると、次の式が得られる。
σ 11 ′ = a 11 2 σ 11 + a 12 2 σ 22 + a 13 2 σ 33 + 2 a 11 a 12 σ 12 + 2 a 11 a 13 σ 13 + 2 a 12 a 13 σ 23 , σ 22 ′ = a 21 2 σ 11 + a 22 2 σ 22 + a 23 2 σ 33 + 2 a 21 a 22 σ 12 + 2 a 21 a 23 σ 13 + 2 a 22 a 23 σ 23 , σ 33 ′ = a 31 2 σ 11 + a 32 2 σ 22 + a 33 2 σ 33 + 2 a 31 a 32 σ 12 + 2 a 31 a 33 σ 13 + 2 a 32 a 33 σ 23 , σ 12 ′ = a 11 a 21 σ 11 + a 12 a 22 σ 22 + a 13 a 23 σ 33 + ( a 11 a 22 + a 12 a 21 ) σ 12 + ( a 12 a 23 + a 13 a 22 ) σ 23 + ( a 11 a 23 + a 13 a 21 ) σ 13 , σ 23 ′ = a 21 a 31 σ 11 + a 22 a 32 σ 22 + a 23 a 33 σ 33 + ( a 21 a 32 + a 22 a 31 ) σ 12 + ( a 22 a 33 + a 23 a 32 ) σ 23 + ( a 21 a 33 + a 23 a 31 ) σ 13 , σ 13 ′ = a 11 a 31 σ 11 + a 12 a 32 σ 22 + a 13 a 33 σ 33 + ( a 11 a 32 + a 12 a 31 ) σ 12 + ( a 12 a 33 + a 13 a 32 ) σ 23 + ( a 11 a 33 + a 13 a 31 ) σ 13 . {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}'={}&a_{11}^{2}\sigma _{11}+a_{12}^{2}\sigma _{22}+a_{13}^{2}\sigma _{33}+2a_{11}a_{12}\sigma _{12}+2a_{11}a_{13}\sigma _{13}+2a_{12}a_{13}\sigma _{23},\\\sigma _{22}'={}&a_{21}^{2}\sigma _{11}+a_{22}^{2}\sigma _{22}+a_{23}^{2}\sigma _{33}+2a_{21}a_{22}\sigma _{12}+2a_{21}a_{23}\sigma _{13}+2a_{22}a_{23}\sigma _{23},\\\sigma _{33}'={}&a_{31}^{2}\sigma _{11}+a_{32}^{2}\sigma _{22}+a_{33}^{2}\sigma _{33}+2a_{31}a_{32}\sigma _{12}+2a_{31}a_{33}\sigma _{13}+2a_{32}a_{33}\sigma _{23},\\\sigma _{12}'={}&a_{11}a_{21}\sigma _{11}+a_{12}a_{22}\sigma _{22}+a_{13}a_{23}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{22}+a_{12}a_{21})\sigma _{12}+(a_{12}a_{23}+a_{13}a_{22})\sigma _{23}+(a_{11}a_{23}+a_{13}a_{21})\sigma _{13},\\\sigma _{23}'={}&a_{21}a_{31}\sigma _{11}+a_{22}a_{32}\sigma _{22}+a_{23}a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{21}a_{32}+a_{22}a_{31})\sigma _{12}+(a_{22}a_{33}+a_{23}a_{32})\sigma _{23}+(a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})\sigma _{13},\\\sigma _{13}'={}&a_{11}a_{31}\sigma _{11}+a_{12}a_{32}\sigma _{22}+a_{13}a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{32}+a_{12}a_{31})\sigma _{12}+(a_{12}a_{33}+a_{13}a_{32})\sigma _{23}+(a_{11}a_{33}+a_{13}a_{31})\sigma _{13}.\end{aligned}}} モール応力 円は 、応力の変換をグラフィカルに表現したものです。
法線応力とせん断応力 任意の平面に作用する法線単位ベクトル n を持つ任意の点の応力ベクトル T ( n ) の 法線 応力成分 σ n の大きさは、 応力テンソル σ の 成分 σ ij に関して 、応力ベクトルと法線単位ベクトルの ドット積で表さ れ ます。
σ n = T ( n ) ⋅ n = T i ( n ) n i = σ i j n i n j . {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {n} }&=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\cdot \mathbf {n} \\&=T_{i}^{(\mathbf {n} )}n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}.\end{aligned}}} ベクトル n に直交するせん断応力成分 τ nの大きさは、 ピタゴラスの定理 を使って求めることができます 。
τ n = ( T ( n ) ) 2 − σ n 2 = T i ( n ) T i ( n ) − σ n 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\mathrm {n} }&={\sqrt {\left(T^{(\mathbf {n} )}\right)^{2}-\sigma _{\mathrm {n} }^{2}}}\\&={\sqrt {T_{i}^{(\mathbf {n} )}T_{i}^{(\mathbf {n} )}-\sigma _{\mathrm {n} }^{2}}},\end{aligned}}} どこ
( T ( n ) ) 2 = T i ( n ) T i ( n ) = ( σ i j n j ) ( σ i k n k ) = σ i j σ i k n j n k . {\displaystyle \left(T^{(\mathbf {n} )}\right)^{2}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\left(\sigma _{ij}n_{j}\right)\left(\sigma _{ik}n_{k}\right)=\sigma _{ij}\sigma _{ik}n_{j}n_{k}.}
バランスの法則 – コーシーの運動方程式 図4. 平衡状態にある連続体
コーシーの運動の第一法則 線形運動量保存 の原理によれば 、連続体が静的平衡状態にある場合、その物体内のすべての質点におけるコーシー応力テンソルの成分が平衡方程式を満たすことが証明できます。
σ j i , j + F i = 0 , {\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=0,} どこ σ j i , j = ∑ j ∂ j σ j i {\displaystyle \sigma _{ji,j}=\sum _{j}\partial _{j}\sigma _{ji}}
たとえば、平衡状態にある 静水力流体 の場合、応力テンソルは次の形式になります。
σ i j = − p δ i j , {\displaystyle {\sigma _{ij}}=-p{\delta _{ij}},} ここで は静水圧、 は クロネッカーのデルタ です 。 p {\displaystyle p} δ i j {\displaystyle {\delta _{ij}}\ }
平衡方程式の導出 体積 を占め 、表面積 を持つ連続体（図4参照）を考えます。この物体の表面のすべての点には、単位面積あたりの 表面張力または表面力が定義されており、 体積 内のすべての点には単位体積あたりの体積力が定義されて います。したがって、物体が 平衡状態 にある場合、体積に作用する合力はゼロとなり、次の式が成り立ちます。 V {\displaystyle V} S {\displaystyle S} T i ( n ) {\displaystyle T_{i}^{(n)}} F i {\displaystyle F_{i}} V {\displaystyle V} ∫ S T i ( n ) d S + ∫ V F i d V = 0 {\displaystyle \int _{S}T_{i}^{(n)}dS+\int _{V}F_{i}dV=0} 定義により応力ベクトルは であり、 T i ( n ) = σ j i n j {\displaystyle T_{i}^{(n)}=\sigma _{ji}n_{j}}
∫ S σ j i n j d S + ∫ V F i d V = 0 {\displaystyle \int _{S}\sigma _{ji}n_{j}\,dS+\int _{V}F_{i}\,dV=0} ガウスの発散定理 を用いて 面積積分を体積積分に変換すると、次の式が得られる。
∫ V σ j i , j d V + ∫ V F i d V = 0 {\displaystyle \int _{V}\sigma _{ji,j}\,dV+\int _{V}F_{i}\,dV=0} ∫ V ( σ j i , j + F i ) d V = 0 {\displaystyle \int _{V}(\sigma _{ji,j}+F_{i}\,)dV=0} 任意の体積に対して積分はゼロとなり、 平衡方程式は次のようになる。
σ j i , j + F i = 0 {\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=0}
コーシーの運動の第二法則 角運動量保存 の原理によれば、平衡では 任意の点に対する モーメント の合計がゼロになる必要があり、応力テンソルは 対称的で あるという結論に至り、したがって、元の 9 つの独立した応力成分ではなく、6 つの独立した応力成分のみを持つことになります。
σ i j = σ j i {\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}} 応力テンソルの対称性の導出 点 O （図4）の周りのモーメントを合計すると、物体が平衡状態にあるため、合成モーメントはゼロになります。したがって、 M O = ∫ S ( r × T ) d S + ∫ V ( r × F ) d V = 0 0 = ∫ S ε i j k x j T k ( n ) d S + ∫ V ε i j k x j F k d V {\displaystyle {\begin{aligned}M_{O}&=\int _{S}(\mathbf {r} \times \mathbf {T} )dS+\int _{V}(\mathbf {r} \times \mathbf {F} )dV=0\\0&=\int _{S}\varepsilon _{ijk}x_{j}T_{k}^{(n)}dS+\int _{V}\varepsilon _{ijk}x_{j}F_{k}dV\\\end{aligned}}} ここで 位置ベクトルは次のように表される。 r {\displaystyle \mathbf {r} }
r = x j e j {\displaystyle \mathbf {r} =x_{j}\mathbf {e} _{j}} これは レヴィ＝チヴィタの記号 です 。 ε i j k {\displaystyle \varepsilon _{ijk}}
それを知って 、ガウスの発散定理を使って面積積分を体積積分に変換すると、 T k ( n ) = σ m k n m {\displaystyle T_{k}^{(n)}=\sigma _{mk}n_{m}}
0 = ∫ S ε i j k x j σ m k n m d S + ∫ V ε i j k x j F k d V = ∫ V ( ε i j k x j σ m k ) , m d V + ∫ V ε i j k x j F k d V = ∫ V ( ε i j k x j , m σ m k + ε i j k x j σ m k , m ) d V + ∫ V ε i j k x j F k d V = ∫ V ( ε i j k x j , m σ m k ) d V + ∫ V ε i j k x j ( σ m k , m + F k ) d V {\displaystyle {\begin{aligned}0&=\int _{S}\varepsilon _{ijk}x_{j}\sigma _{mk}n_{m}\,dS+\int _{V}\varepsilon _{ijk}x_{j}F_{k}\,dV\\&=\int _{V}(\varepsilon _{ijk}x_{j}\sigma _{mk})_{,m}dV+\int _{V}\varepsilon _{ijk}x_{j}F_{k}\,dV\\&=\int _{V}(\varepsilon _{ijk}x_{j,m}\sigma _{mk}+\varepsilon _{ijk}x_{j}\sigma _{mk,m})dV+\int _{V}\varepsilon _{ijk}x_{j}F_{k}\,dV\\&=\int _{V}(\varepsilon _{ijk}x_{j,m}\sigma _{mk})dV+\int _{V}\varepsilon _{ijk}x_{j}(\sigma _{mk,m}+F_{k})dV\\\end{aligned}}} 2番目の積分は平衡方程式を含んでいるためゼロとなる。 したがって、 1番目の積分は となる。 x j , m = δ j m {\displaystyle x_{j,m}=\delta _{jm}}
∫ V ( ε i j k σ j k ) d V = 0 {\displaystyle \int _{V}(\varepsilon _{ijk}\sigma _{jk})dV=0} 任意の体積Vに対して、
ε i j k σ j k = 0 , {\displaystyle \varepsilon _{ijk}\sigma _{jk}=0,} これは物体内のあらゆる点で満たされる。この式を展開すると、
σ 12 = σ 21 {\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}} 、 、 そして σ 23 = σ 32 {\displaystyle \sigma _{23}=\sigma _{32}} σ 13 = σ 31 {\displaystyle \sigma _{13}=\sigma _{31}} あるいは一般的に
σ i j = σ j i {\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}} これは応力テンソルが対称であることを証明している。
しかし、偶応力、すなわち単位体積あたりのモーメントが存在する場合、応力テンソルは非対称になります。これは、 クヌーセン数が 1に近い場合、 の場合、または連続体が非ニュートン流体である場合にも当てはまり、 K n → 1 {\displaystyle K_{n}\rightarrow 1} ポリマー などの回転不変でない流体につながる可能性があります 。
主応力と応力不変量 2次元回転要素の応力成分 。長方形要素の向きの角度が変化すると、その面（エッジ）上の応力成分がどのように変化するかを示す例。 主応力は、 せん断応力がすべての面から同時に消失したときに発生します。この現象が発生する向きによって 主方向 が決まります。この例では、長方形が水平の場合、応力は次のように表されます。 [ σ 11 σ 12 σ 21 σ 22 ] = [ − 10 10 10 15 ] . {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{smallmatrix}}\right]=\left[{\begin{smallmatrix}-10&10\\10&15\end{smallmatrix}}\right].} 応力を受ける物体のあらゆる点には、主平面 と呼ばれる少なくとも3つの平面があり、これらの 平面には 主方向 と呼ばれる 法線 n {\displaystyle \mathbf {n} } ベクトルが存在 します。これらの平面では、対応する応力ベクトルは平面に垂直、つまり法線ベクトルと平行または同じ方向であり 、 法線 せん断応力は発生しません 。これら の 主平面に垂直な3つの応力は 主応力 と呼ばれます。 n {\displaystyle \mathbf {n} } τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}
応力テンソルの成分は、 検討中の点における座標系の方向に依存します。しかし、応力テンソル自体は物理量であるため、それを表すために選択された座標系からは独立しています。すべてのテンソルに関連付けられた、座標系に依存しない 不変量 が存在します。たとえば、ベクトルは階数 1 の単純なテンソルです。3 次元では、3 つの成分を持ちます。これらの成分の値はベクトルを表すために選択された座標系に依存しますが、ベクトルの 大きさ は物理量 (スカラー) であり、ベクトルを表すために選択された 直交座標系からは独立しています (ベクトルが 法線 で ある限り )。同様に、2 階数のテンソル (応力テンソルやひずみテンソルなど) には、3 つの独立した不変量が関連付けられています。このような不変量の 1 つのセットが応力テンソルの主応力で、応力テンソルの固有値です。その方向ベクトルは主方向または 固有ベクトル です。 σ i j {\displaystyle \sigma _{ij}}
法線単位ベクトルに平行な応力ベクトル は次のように表されます。 n {\displaystyle \mathbf {n} }
T ( n ) = λ n = σ n n , {\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\lambda \mathbf {n} =\mathbf {\sigma } _{\mathrm {n} }\mathbf {n} ,} ここで 、は比例定数であり、この特定のケースでは、 法線応力ベクトルまたは主応力の大きさに対応します。 λ {\displaystyle \lambda } σ n {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}
それと を 知って 、私たちは T i ( n ) = σ i j n j {\displaystyle T_{i}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{j}} 1 {\displaystyle {1}}
T i ( n ) = λ n i σ i j n j = λ n i σ i j n j − λ n i = 0 ( σ i j − λ δ i j ) n j = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}T_{i}^{(n)}&=\lambda n_{i}\\\sigma _{ij}n_{j}&=\lambda n_{i}\\\sigma _{ij}n_{j}-\lambda n_{i}&=0\\\left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}&=0\\\end{aligned}}} これは3つの線形方程式からなる 同次系 、つまり零である 。ここで、は未知数である 。 の 非自明な（零でない）解を得るには、係数の行列式が零、すなわち特異でなければならない。したがって、 n j {\displaystyle n_{j}} n j {\displaystyle n_{j}}
| σ i j − λ δ i j | = | σ 11 − λ σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 − λ σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 − λ | = 0 {\displaystyle \left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|={\begin{vmatrix}\sigma _{11}-\lambda &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\lambda &\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\lambda \\\end{vmatrix}}=0} 行列式を展開すると 特性方程式が得られる。
| σ i j − λ δ i j | = − λ 3 + I 1 λ 2 − I 2 λ + I 3 = 0 {\displaystyle \left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|=-\lambda ^{3}+I_{1}\lambda ^{2}-I_{2}\lambda +I_{3}=0} どこ
I 1 = σ 11 + σ 22 + σ 33 = σ k k = tr ( σ ) I 2 = | σ 22 σ 23 σ 32 σ 33 | + | σ 11 σ 13 σ 31 σ 33 | + | σ 11 σ 12 σ 21 σ 22 | = σ 11 σ 22 + σ 22 σ 33 + σ 11 σ 33 − σ 12 2 − σ 23 2 − σ 31 2 = 1 2 ( σ i i σ j j − σ i j σ j i ) = 1 2 [ ( tr ( σ ) ) 2 − tr ( σ 2 ) ] I 3 = det ( σ i j ) = det ( σ ) = σ 11 σ 22 σ 33 + 2 σ 12 σ 23 σ 31 − σ 12 2 σ 33 − σ 23 2 σ 11 − σ 31 2 σ 22 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}\\&=\sigma _{kk}={\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})\\[4pt]I_{2}&={\begin{vmatrix}\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{13}\\\sigma _{31}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\\\end{vmatrix}}\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}+\sigma _{22}\sigma _{33}+\sigma _{11}\sigma _{33}-\sigma _{12}^{2}-\sigma _{23}^{2}-\sigma _{31}^{2}\\&={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{ii}\sigma _{jj}-\sigma _{ij}\sigma _{ji}\right)={\frac {1}{2}}\left[\left({\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})\right)^{2}-{\text{tr}}\left({\boldsymbol {\sigma }}^{2}\right)\right]\\[4pt]I_{3}&=\det(\sigma _{ij})=\det({\boldsymbol {\sigma }})\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _{33}+2\sigma _{12}\sigma _{23}\sigma _{31}-\sigma _{12}^{2}\sigma _{33}-\sigma _{23}^{2}\sigma _{11}-\sigma _{31}^{2}\sigma _{22}\\\end{aligned}}} 応力テンソルが対称であるため、特性方程式には3つの実根（つまり虚数成分がゼロ）があります。 、、 は 主 応力で あり 、 固有値 の関数です 。 固有値は 特性多項式の根です 。 主応力は、与えられた応力テンソルに対して一意です。したがって、特性方程式から、係数 、 （それぞれ 第1、第2、第3の 応力不変量 と呼ばれます）は、座標系の向きに関わらず常に同じ値になります。 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} σ 1 = max ( λ 1 , λ 2 , λ 3 ) {\displaystyle \sigma _{1}=\max \left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)} σ 3 = min ( λ 1 , λ 2 , λ 3 ) {\displaystyle \sigma _{3}=\min \left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)} σ 2 = I 1 − σ 1 − σ 3 {\displaystyle \sigma _{2}=I_{1}-\sigma _{1}-\sigma _{3}} λ i {\displaystyle \lambda _{i}} I 1 {\displaystyle I_{1}} I 2 {\displaystyle I_{2}} I 3 {\displaystyle I_{3}}
各固有値に対して、方程式 の非自明な解が存在します 。これらの解は、主応力が作用する平面を定義する主方向または 固有ベクトル です。主応力と主方向は、ある点における応力を特徴づけるものであり、方向に依存しません。 n j {\displaystyle n_{j}} ( σ i j − λ δ i j ) n j = 0 {\displaystyle \left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}=0}
主方向に軸が向いた座標系では、法線応力が主応力であり、応力テンソルは対角行列で表されることを意味します。
σ i j = [ σ 1 0 0 0 σ 2 0 0 0 σ 3 ] {\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}} 主応力は、応力不変量、 I 1 {\displaystyle I_{1}} 、 I 2 {\displaystyle I_{2}} 、および I 3 {\displaystyle I_{3}} を形成するために組み合わせることができる。最初の不変量と3番目の不変量は、それぞれ応力テンソルのトレースと行列式である。したがって、
I 1 = σ 1 + σ 2 + σ 3 I 2 = σ 1 σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 3 σ 1 I 3 = σ 1 σ 2 σ 3 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}\\I_{2}&=\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1}\\I_{3}&=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}\\\end{aligned}}} 主座標系は単純であるため、特定の点における弾性媒体の状態を考慮する際にしばしば有用である。主応力は、部品のX方向およびY方向の応力、あるいは軸方向および曲げ応力を評価するために、しばしば次の式で表される。 [14] : p.58–59 主応力はフォン・ミーゼス応力 、ひいては安全率と安全余裕 を計算するために用いられる。
σ 1 , σ 2 = σ x + σ y 2 ± ( σ x − σ y 2 ) 2 + τ x y 2 . {\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}.} 平方根 の下の部分だけを使うと、 正と負の方向における最大せん断応力と最小せん断応力が等しくなります。これは次のように表されます。
τ max , τ min = ± ( σ x − σ y 2 ) 2 + τ x y 2 . {\displaystyle \tau _{\max },\tau _{\min }=\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}.}
最大および最小せん断応力 最大せん断応力または最大主せん断応力は、最大主応力と最小主応力の差の半分に等しく、最大主応力と最小主応力の方向の間の角度を二等分する平面に作用します。つまり、最大せん断応力の平面は 主応力面から方向付けられます。最大せん断応力は次のように表されます。 45 ∘ {\displaystyle 45^{\circ }}
τ max = 1 2 | σ max − σ min | . {\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{\max }-\sigma _{\min }\right|.} すると σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 {\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}}
τ max = 1 2 | σ 1 − σ 3 | {\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{1}-\sigma _{3}\right|} 応力テンソルがゼロでない場合、最大せん断応力に対して平面に作用する法線応力成分はゼロではなく、次の式に等しい。
σ n = 1 2 ( σ 1 + σ 3 ) . {\displaystyle \sigma _{\text{n}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{1}+\sigma _{3}\right).} 最大および最小せん断応力の導出 [8] : p.45–78 [11] : p.1–46 [13] [15] : p.111–157 [16] : p.9–41 [17] : p.33–66 [18] : p.43–61 法線応力は主応力を用いて次の よう
に表される。 ( σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 ) {\displaystyle (\sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3})} σ n = σ i j n i n j = σ 1 n 1 2 + σ 2 n 2 2 + σ 3 n 3 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {n} }&=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\\\end{aligned}}} ( T ( n ) ) 2 = σ i j σ i k n j n k {\displaystyle \left(T^{(n)}\right)^{2}=\sigma _{ij}\sigma _{ik}n_{j}n_{k}} とすると 、主応力成分に関するせん断応力は次のように表される。
τ n 2 = ( T ( n ) ) 2 − σ n 2 = σ 1 2 n 1 2 + σ 2 2 n 2 2 + σ 3 2 n 3 2 − ( σ 1 n 1 2 + σ 2 n 2 2 + σ 3 n 3 2 ) 2 = ( σ 1 2 − σ 2 2 ) n 1 2 + ( σ 2 2 − σ 3 2 ) n 2 2 + σ 3 2 − [ ( σ 1 − σ 3 ) n 1 2 + ( σ 2 − σ 3 ) n 2 2 + σ 3 ] 2 = ( σ 1 − σ 2 ) 2 n 1 2 n 2 2 + ( σ 2 − σ 3 ) 2 n 2 2 n 3 2 + ( σ 1 − σ 3 ) 2 n 1 2 n 3 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\text{n}}^{2}&=\left(T^{(n)}\right)^{2}-\sigma _{\text{n}}^{2}\\&=\sigma _{1}^{2}n_{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}n_{3}^{2}-\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)^{2}\\&=\left(\sigma _{1}^{2}-\sigma _{2}^{2}\right)n_{1}^{2}+\left(\sigma _{2}^{2}-\sigma _{3}^{2}\right)n_{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}-\left[\left(\sigma _{1}-\sigma _{3}\right)n_{1}^{2}+\left(\sigma _{2}-\sigma _{3}\right)n_{2}^{2}+\sigma _{3}\right]^{2}\\&=(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}n_{1}^{2}n_{2}^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}n_{2}^{2}n_{3}^{2}+(\sigma _{1}-\sigma _{3})^{2}n_{1}^{2}n_{3}^{2}\\\end{aligned}}} 連続体のある点における最大せん断応力は、 次の条件を
最大化することによって決定される。 τ n 2 {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }^{2}}
n i n i = n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 = 1. {\displaystyle n_{i}n_{i}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=1.} これは制約付き最大化問題であり、 ラグランジュ乗数 法を用いて制約なしの最適化問題に変換することで解くことができます。したがって、 の定常値（最大値と最小値）は、 の勾配が の勾配と平行になるところに発生します 。 τ n 2 {\displaystyle \tau _{\text{n}}^{2}} τ n 2 {\displaystyle \tau _{\text{n}}^{2}} F {\displaystyle F}
この問題のラグランジアン関数は次のように書ける。
F ( n 1 , n 2 , n 3 , λ ) = τ 2 + λ ( g ( n 1 , n 2 , n 3 ) − 1 ) = σ 1 2 n 1 2 + σ 2 2 n 2 2 + σ 3 2 n 3 2 − ( σ 1 n 1 2 + σ 2 n 2 2 + σ 3 n 3 2 ) 2 + λ ( n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}F\left(n_{1},n_{2},n_{3},\lambda \right)&=\tau ^{2}+\lambda \left(g\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)-1\right)\\&=\sigma _{1}^{2}n_{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}n_{3}^{2}-\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)^{2}+\lambda \left(n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}-1\right)\\\end{aligned}}} ここで、 はラグランジュ乗数です ( 固有値を示す場合 とは異なります)。 λ {\displaystyle \lambda } λ {\displaystyle \lambda }
これらの関数の極値は
∂ F ∂ n 1 = 0 ∂ F ∂ n 2 = 0 ∂ F ∂ n 3 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{1}}}=0\qquad {\frac {\partial F}{\partial n_{2}}}=0\qquad {\frac {\partial F}{\partial n_{3}}}=0} そこから
∂ F ∂ n 1 = n 1 σ 1 2 − 2 n 1 σ 1 ( σ 1 n 1 2 + σ 2 n 2 2 + σ 3 n 3 2 ) + λ n 1 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{1}}}=n_{1}\sigma _{1}^{2}-2n_{1}\sigma _{1}\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)+\lambda n_{1}=0} ∂ F ∂ n 2 = n 2 σ 2 2 − 2 n 2 σ 2 ( σ 1 n 1 2 + σ 2 n 2 2 + σ 3 n 3 2 ) + λ n 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{2}}}=n_{2}\sigma _{2}^{2}-2n_{2}\sigma _{2}\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)+\lambda n_{2}=0} ∂ F ∂ n 3 = n 3 σ 3 2 − 2 n 3 σ 3 ( σ 1 n 1 2 + σ 2 n 2 2 + σ 3 n 3 2 ) + λ n 3 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{3}}}=n_{3}\sigma _{3}^{2}-2n_{3}\sigma _{3}\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)+\lambda n_{3}=0} これらの 3 つの方程式は条件とともに、 、 、 、および について解くことができます 。 n i n i = 1 {\displaystyle n_{i}n_{i}=1} λ {\displaystyle \lambda } n 1 {\displaystyle n_{1}} n 2 {\displaystyle n_{2}} n 3 {\displaystyle n_{3}}
最初の3つの式にそれぞれ n 1 {\displaystyle n_{1}} 、 n 2 {\displaystyle n_{2}} 、 n 3 {\displaystyle n_{3}} を掛けると、 次の式が得られます
。 σ n = σ i j n i n j = σ 1 n 1 2 + σ 2 n 2 2 + σ 3 n 3 2 {\displaystyle \sigma _{\text{n}}=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}=\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}}
n 1 2 σ 1 2 − 2 σ 1 n 1 2 σ n + n 1 2 λ = 0 {\displaystyle n_{1}^{2}\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{1}n_{1}^{2}\sigma _{\text{n}}+n_{1}^{2}\lambda =0} n 2 2 σ 2 2 − 2 σ 2 n 2 2 σ n + n 2 2 λ = 0 {\displaystyle n_{2}^{2}\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{2}n_{2}^{2}\sigma _{\text{n}}+n_{2}^{2}\lambda =0} n 3 2 σ 3 2 − 2 σ 1 n 3 2 σ n + n 3 2 λ = 0 {\displaystyle n_{3}^{2}\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{1}n_{3}^{2}\sigma _{\text{n}}+n_{3}^{2}\lambda =0} これら3つの式を加えると
[ n 1 2 σ 1 2 + n 2 2 σ 2 2 + n 3 2 σ 3 2 ] − 2 ( σ 1 n 1 2 + σ 2 n 2 2 + σ 3 n 3 2 ) σ n + λ ( n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 ) = 0 [ τ n 2 + ( σ 1 n 1 2 + σ 2 n 2 2 + σ 3 n 3 2 ) 2 ] − 2 σ n 2 + λ = 0 [ τ n 2 + σ n 2 ] − 2 σ n 2 + λ = 0 λ = σ n 2 − τ n 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left[n_{1}^{2}\sigma _{1}^{2}+n_{2}^{2}\sigma _{2}^{2}+n_{3}^{2}\sigma _{3}^{2}\right]-2\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)\sigma _{\mathrm {n} }+\lambda \left(n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}\right)&=0\\\left[\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)^{2}\right]-2\sigma _{\mathrm {n} }^{2}+\lambda &=0\\\left[\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\sigma _{\mathrm {n} }^{2}\right]-2\sigma _{\mathrm {n} }^{2}+\lambda &=0\\\lambda &=\sigma _{\mathrm {n} }^{2}-\tau _{\mathrm {n} }^{2}\end{aligned}}} この結果を最初の3つの式に代入すると、
∂ F ∂ n 1 = n 1 σ 1 2 − 2 n 1 σ 1 ( σ 1 n 1 2 + σ 2 n 2 2 + σ 3 n 3 2 ) + ( σ n 2 − τ n 2 ) n 1 = 0 n 1 σ 1 2 − 2 n 1 σ 1 σ n + ( σ n 2 − τ n 2 ) n 1 = 0 ( σ 1 2 − 2 σ 1 σ n + σ n 2 − τ n 2 ) n 1 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial n_{1}}}=n_{1}\sigma _{1}^{2}-2n_{1}\sigma _{1}\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)+\left(\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}\right)n_{1}&=0\\n_{1}\sigma _{1}^{2}-2n_{1}\sigma _{1}\sigma _{\text{n}}+\left(\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}\right)n_{1}&=0\\\left(\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{1}\sigma _{\text{n}}+\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}\right)n_{1}&=0\\\end{aligned}}} 他の2つの方程式についても同様にすると、
∂ F ∂ n 2 = ( σ 2 2 − 2 σ 2 σ n + σ n 2 − τ n 2 ) n 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{2}}}=\left(\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{2}\sigma _{\text{n}}+\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}\right)n_{2}=0} ∂ F ∂ n 3 = ( σ 3 2 − 2 σ 3 σ n + σ n 2 − τ n 2 ) n 3 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{3}}}=\left(\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{3}\sigma _{\text{n}}+\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}\right)n_{3}=0} 最後の3つの方程式を解く最初のアプローチは、自明な解 n i = 0 {\displaystyle n_{i}=0} を考えることです。しかし、この選択肢は制約 n i n i = 1 {\displaystyle n_{i}n_{i}=1} を満たしません。
および の解を考えると、 という 条件から が決定され、 の元の方程式から となることがわかる 。 の他の2つの可能な値も 同様に、 と仮定することで得られる。 n 1 = n 2 = 0 {\displaystyle n_{1}=n_{2}=0} n 3 ≠ 0 {\displaystyle n_{3}\neq 0} n i n i = 1 {\displaystyle n_{i}n_{i}=1} n 3 = ± 1 {\displaystyle n_{3}=\pm 1} τ n 2 {\displaystyle \tau _{\text{n}}^{2}} τ n = 0 {\displaystyle \tau _{\text{n}}=0} τ n {\displaystyle \tau _{\text{n}}}
n 1 = n 3 = 0 {\displaystyle n_{1}=n_{3}=0} そして n 2 ≠ 0 {\displaystyle n_{2}\neq 0} n 2 = n 3 = 0 {\displaystyle n_{2}=n_{3}=0} そして n 1 ≠ 0 {\displaystyle n_{1}\neq 0} したがって、これら 4 つの方程式の解の 1 セットは次のようになります。
n 1 = 0 , n 2 = 0 , n 3 = ± 1 , τ n = 0 n 1 = 0 , n 2 = ± 1 , n 3 = 0 , τ n = 0 n 1 = ± 1 , n 2 = 0 , n 3 = 0 , τ n = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}n_{1}&=0,&n_{2}&=0,&n_{3}&=\pm 1,&\tau _{\text{n}}&=0\\n_{1}&=0,&n_{2}&=\pm 1,&n_{3}&=0,&\tau _{\text{n}}&=0\\n_{1}&=\pm 1,&n_{2}&=0,&n_{3}&=0,&\tau _{\text{n}}&=0\end{aligned}}} これらは の最小値に対応し、 前に示したように、主応力方向に垂直な平面上にせん断応力が存在しないことを確認します。 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}
2番目の解の集合は、 n 1 = 0 {\displaystyle n_{1}=0} 、 n 2 ≠ 0 {\displaystyle n_{2}\neq 0} 、 n 3 ≠ 0 {\displaystyle n_{3}\neq 0} を仮定することによって得られる。したがって、
∂ F ∂ n 2 = σ 2 2 − 2 σ 2 σ n + σ n 2 − τ n 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{2}}}=\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{2}\sigma _{\text{n}}+\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}=0} ∂ F ∂ n 3 = σ 3 2 − 2 σ 3 σ n + σ n 2 − τ n 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{3}}}=\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{3}\sigma _{\text{n}}+\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}=0} との値を求めるには 、 まずこれらの2つの式を足します。 n 2 {\displaystyle n_{2}} n 3 {\displaystyle n_{3}}
σ 2 2 − σ 3 2 − 2 σ 2 σ n + 2 σ 3 σ n = 0 σ 2 2 − σ 3 2 − 2 σ n ( σ 2 − σ 3 ) = 0 σ 2 + σ 3 = 2 σ n {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{2}^{2}-\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{2}\sigma _{\text{n}}+2\sigma _{3}\sigma _{\text{n}}&=0\\\sigma _{2}^{2}-\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{\text{n}}\left(\sigma _{2}-\sigma _{3}\right)&=0\\\sigma _{2}+\sigma _{3}&=2\sigma _{\text{n}}\end{aligned}}} それを知って n 1 = 0 {\displaystyle n_{1}=0}
σ n = σ 1 n 1 2 + σ 2 n 2 2 + σ 3 n 3 2 = σ 2 n 2 2 + σ 3 n 3 2 {\displaystyle \sigma _{\text{n}}=\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}=\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}} そして
n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 = n 2 2 + n 3 2 = 1 {\displaystyle n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=1} 我々は持っています
σ 2 + σ 3 = 2 σ n σ 2 + σ 3 = 2 ( σ 2 n 2 2 + σ 3 n 3 2 ) σ 2 + σ 3 = 2 ( σ 2 n 2 2 + σ 3 ( 1 − n 2 2 ) ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{2}+\sigma _{3}&=2\sigma _{\text{n}}\\\sigma _{2}+\sigma _{3}&=2\left(\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)\\\sigma _{2}+\sigma _{3}&=2\left(\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}\left(1-n_{2}^{2}\right)\right)=0\end{aligned}}} そして解く と n 2 {\displaystyle n_{2}}
n 2 = ± 1 2 {\displaystyle n_{2}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}} 次に解く と n 3 {\displaystyle n_{3}}
n 3 = 1 − n 2 2 = ± 1 2 {\displaystyle n_{3}={\sqrt {1-n_{2}^{2}}}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}} そして
τ n 2 = ( σ 2 − σ 3 ) 2 n 2 2 n 3 2 τ n = σ 2 − σ 3 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\text{n}}^{2}&=(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}n_{2}^{2}n_{3}^{2}\\\tau _{\text{n}}&={\frac {\sigma _{2}-\sigma _{3}}{2}}\end{aligned}}} の他の2つの可能な値は、 同様に仮定することで得られる。 τ n {\displaystyle \tau _{\text{n}}}
n 2 = 0 {\displaystyle n_{2}=0} 、 n 1 ≠ 0 {\displaystyle n_{1}\neq 0} そして n 3 ≠ 0 {\displaystyle n_{3}\neq 0} n 3 = 0 {\displaystyle n_{3}=0} 、 n 1 ≠ 0 {\displaystyle n_{1}\neq 0} そして n 2 ≠ 0 {\displaystyle n_{2}\neq 0} したがって、 ∂ F ∂ n 1 = 0 {\displaystyle \textstyle {\frac {\partial F}{\partial n_{1}}}=0} の2番目の解の集合は 、 の最大値を表す 。 τ n {\displaystyle \tau _{\text{n}}}
n 1 = 0 , n 2 = ± 1 2 , n 3 = ± 1 2 , τ n = ± σ 2 − σ 3 2 {\displaystyle n_{1}=0,\,\,n_{2}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,n_{3}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,\tau _{\text{n}}=\pm {\frac {\sigma _{2}-\sigma _{3}}{2}}} n 1 = ± 1 2 , n 2 = 0 , n 3 = ± 1 2 , τ n = ± σ 1 − σ 3 2 {\displaystyle n_{1}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,n_{2}=0,\,\,n_{3}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,\tau _{\text{n}}=\pm {\frac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}} n 1 = ± 1 2 , n 2 = ± 1 2 , n 3 = 0 , τ n = ± σ 1 − σ 2 2 {\displaystyle n_{1}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,n_{2}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,n_{3}=0,\,\,\tau _{\text{n}}=\pm {\frac {\sigma _{1}-\sigma _{2}}{2}}} したがって、 σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 {\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}} と仮定すると、最大せん断応力は次のように表される。
τ max = 1 2 | σ 1 − σ 3 | = 1 2 | σ max − σ min | {\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{1}-\sigma _{3}\right|={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{\max }-\sigma _{\min }\right|} そして、それは最大主応力と最小主応力の差の半分に等しく、最大主応力と最小主応力の方向の間の角度を二等分する平面に作用すると言えます。
応力偏差テンソル 応力テンソルは、 他の 2 つの応力テンソルの合計として表すことができます。 σ i j {\displaystyle \sigma _{ij}}
平均 静水圧応力 テンソル または 体積応力テンソル または 平均法線応力テンソル 、 、これは応力を受ける物体の体積を変化させる傾向がある。 そして π δ i j {\displaystyle \pi \delta _{ij}} 応力偏差テンソル と s i j {\displaystyle s_{ij}} 呼ばれる偏差成分は 、それ を 歪める傾向があります。 それで
σ i j = s i j + π δ i j , {\displaystyle \sigma _{ij}=s_{ij}+\pi \delta _{ij},} 平均応力は 次のように表される。 π {\displaystyle \pi }
π = σ k k 3 = σ 11 + σ 22 + σ 33 3 = 1 3 I 1 . {\displaystyle \pi ={\frac {\sigma _{kk}}{3}}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}}{3}}={\frac {1}{3}}I_{1}.} 圧力 （ ）は、一般的に、応力テンソルの p {\displaystyle p} トレース の負の1/3から 速度の発散が寄与する応力を引いたものとして定義されます。
p = ζ ∇ ⋅ u → − π = ζ ∂ u k ∂ x k − π = ∑ k ζ ∂ u k ∂ x k − π , {\displaystyle p=\zeta \,\nabla \cdot {\vec {u}}-\pi =\zeta \,{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}-\pi =\sum _{k}\zeta \,{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}-\pi ,} ここで 、 は比例定数（つまり 体積粘性 ）、 は 発散演算子 、 は k 番目の 直交座標 、 は 流速 、は の k 番目の直交座標成分 です 。 ζ {\displaystyle \zeta } ∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot } x k {\displaystyle x_{k}} u → {\displaystyle {\vec {u}}} u k {\displaystyle u_{k}} u → {\displaystyle {\vec {u}}}
偏差応力テンソルは、コーシー応力テンソルから静水力応力テンソルを差し引くことによって得られます。
s i j = σ i j − σ k k 3 δ i j , [ s 11 s 12 s 13 s 21 s 22 s 23 s 31 s 32 s 33 ] = [ σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 ] − [ π 0 0 0 π 0 0 0 π ] = [ σ 11 − π σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 − π σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 − π ] . {\displaystyle {\begin{aligned}s_{ij}&=\sigma _{ij}-{\frac {\sigma _{kk}}{3}}\delta _{ij},\,\\\left[{\begin{matrix}s_{11}&s_{12}&s_{13}\\s_{21}&s_{22}&s_{23}\\s_{31}&s_{32}&s_{33}\end{matrix}}\right]&=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}\pi &0&0\\0&\pi &0\\0&0&\pi \end{matrix}}\right]\\&=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}-\pi &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\pi &\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\pi \end{matrix}}\right].\end{aligned}}}
応力偏差テンソルの不変量 応力偏差テンソルは2階テンソルであるため、不変量 の集合も持ちます。これは、応力テンソルの不変量を計算するのと同じ手順で得られます。応力偏差テンソルの主方向は、応力テンソル の主方向と同じである ことが示されます 。したがって、特性方程式は次のようになります。 s i j {\displaystyle s_{ij}} σ i j {\displaystyle \sigma _{ij}}
| s i j − λ δ i j | = λ 3 − J 1 λ 2 − J 2 λ − J 3 = 0 , {\displaystyle \left|s_{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|=\lambda ^{3}-J_{1}\lambda ^{2}-J_{2}\lambda -J_{3}=0,} ここで 、 J 1 {\displaystyle J_{1}} 、 および は、それぞれ第1、第2、および第3の 偏差応力不変量 です。これらの値は、選択された座標系の方向に関わらず同じ（不変）です。これらの偏差応力不変量は、 の成分またはその主値 、、および の関数として表すことができます 。 あるいは 、 またはその主値 、 、および の関数として表すこともできます 。したがって、 J 2 {\displaystyle J_{2}} J 3 {\displaystyle J_{3}} s i j {\displaystyle s_{ij}} s 1 {\displaystyle s_{1}} s 2 {\displaystyle s_{2}} s 3 {\displaystyle s_{3}} σ i j {\displaystyle \sigma _{ij}} σ 1 {\displaystyle \sigma _{1}} σ 2 {\displaystyle \sigma _{2}} σ 3 {\displaystyle \sigma _{3}}
J 1 = s k k = 0 , J 2 = 1 2 s i j s j i = 1 2 tr ( s 2 ) = 1 2 ( s 1 2 + s 2 2 + s 3 2 ) = 1 6 [ ( σ 11 − σ 22 ) 2 + ( σ 22 − σ 33 ) 2 + ( σ 33 − σ 11 ) 2 ] + σ 12 2 + σ 23 2 + σ 31 2 = 1 6 [ ( σ 1 − σ 2 ) 2 + ( σ 2 − σ 3 ) 2 + ( σ 3 − σ 1 ) 2 ] = 1 3 I 1 2 − I 2 = 1 2 [ tr ( σ 2 ) − 1 3 tr ( σ ) 2 ] , J 3 = det ( s i j ) = 1 3 s i j s j k s k i = 1 3 tr ( s 3 ) = 1 3 ( s 1 3 + s 2 3 + s 3 3 ) = s 1 s 2 s 3 = 2 27 I 1 3 − 1 3 I 1 I 2 + I 3 = 1 3 [ tr ( σ 3 ) − tr ( σ 2 ) tr ( σ ) + 2 9 tr ( σ ) 3 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{1}&=s_{kk}=0,\\[3pt]J_{2}&={\frac {1}{2}}s_{ij}s_{ji}={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {s}}^{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2}\right)\\&={\frac {1}{6}}\left[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}\right]+\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}\\&={\frac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]\\&={\frac {1}{3}}I_{1}^{2}-I_{2}={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}^{2}\right)-{\frac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})^{2}\right],\\[3pt]J_{3}&=\det(s_{ij})\\&={\frac {1}{3}}s_{ij}s_{jk}s_{ki}={\frac {1}{3}}{\text{tr}}\left({\boldsymbol {s}}^{3}\right)\\&={\frac {1}{3}}\left(s_{1}^{3}+s_{2}^{3}+s_{3}^{3}\right)\\&=s_{1}s_{2}s_{3}\\&={\frac {2}{27}}I_{1}^{3}-{\frac {1}{3}}I_{1}I_{2}+I_{3}={\frac {1}{3}}\left[{\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }}^{3})-\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}^{2}\right)\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})+{\frac {2}{9}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})^{3}\right].\,\end{aligned}}} s k k = 0 {\displaystyle s_{kk}=0} 、応力偏差テンソルは純粋せん断状態にある ためです。
等価応力または フォン・ミーゼス応力 と呼ばれる量は、固体力学においてよく用いられます。等価応力は次のように定義されます。
σ vM = 3 J 2 = 1 2 [ ( σ 1 − σ 2 ) 2 + ( σ 2 − σ 3 ) 2 + ( σ 3 − σ 1 ) 2 ] . {\displaystyle \sigma _{\text{vM}}={\sqrt {3\,J_{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}~\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]}}\,.}
八面体応力 図6. 八面体応力面 主方向を座標軸と見なしたとき、法線ベクトルが各主軸と等しい角度をなす（つまり、方向余弦が に等しい）平面を | 1 / 3 | {\displaystyle \vert 1/{\sqrt {3}}\vert } 八面体平面 といいます 。八面体平面は全部で 8 つあります（図 6）。これらの平面上の応力テンソルの法線成分とせん断成分は、それぞれ八面体法線 応力 と八 面体せん断応力 と呼ばれます。原点を通る八面体平面は π 平面 といいます（ π は、上記のセクションで π で示した 平均応力 と混同しないでください ） 。π 平面 上では 、 です 。 σ oct {\displaystyle \sigma _{\text{oct}}} τ oct {\displaystyle \tau _{\text{oct}}} s i j = 1 3 I {\displaystyle \textstyle s_{ij}={\frac {1}{3}}I}
主軸上の点O（図6）の応力テンソルは
σ i j = [ σ 1 0 0 0 σ 2 0 0 0 σ 3 ] {\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}} 八面体平面上の応力ベクトルは次のように表される。
T oct ( n ) = σ i j n i e j = σ 1 n 1 e 1 + σ 2 n 2 e 2 + σ 3 n 3 e 3 = 1 3 ( σ 1 e 1 + σ 2 e 2 + σ 3 e 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\text{oct}}^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\frac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}} 八面体平面に関連する点Oにおける応力ベクトルの法線成分は
σ oct = T i ( n ) n i = σ i j n i n j = σ 1 n 1 n 1 + σ 2 n 2 n 2 + σ 3 n 3 n 3 = 1 3 ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = 1 3 I 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\text{oct}}&=T_{i}^{(n)}n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}n_{1}+\sigma _{2}n_{2}n_{2}+\sigma _{3}n_{3}n_{3}\\&={\frac {1}{3}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})={\frac {1}{3}}I_{1}\end{aligned}}} これは平均法線応力または静水圧応力です。この値は8つの八面体面すべてで同じです。八面体面上のせん断応力は
τ oct = T i ( n ) T i ( n ) − σ oct 2 = [ 1 3 ( σ 1 2 + σ 2 2 + σ 3 2 ) − 1 9 ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) 2 ] 1 2 = 1 3 [ ( σ 1 − σ 2 ) 2 + ( σ 2 − σ 3 ) 2 + ( σ 3 − σ 1 ) 2 ] 1 2 = 1 3 2 I 1 2 − 6 I 2 = 2 3 J 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\text{oct}}&={\sqrt {T_{i}^{(n)}T_{i}^{(n)}-\sigma _{\text{oct}}^{2}}}\\&=\left[{\frac {1}{3}}\left(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}\right)-{\frac {1}{9}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}\right]^{\frac {1}{2}}\\&={\frac {1}{3}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}{\sqrt {2I_{1}^{2}-6I_{2}}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}J_{2}}}\end{aligned}}}
参照
注記 ^ 詳細: [ T 1 ( e ) T 2 ( e ) T 3 ( e ) ] = [ e 1 e 2 e 3 ] ⋅ [ σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 ] . {\displaystyle \left[{\begin{matrix}T_{1}^{(\mathbf {e} )}&T_{2}^{(\mathbf {e} )}&T_{3}^{(\mathbf {e} )}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}e_{1}&e_{2}&e_{3}\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right].}
参考文献 ^ abc イルゲンス、フリチョフ (2008)、連続力学、シュプリンガー、 ISBN 978-3-540-74297-5 ^ トゥルーズデル、C. ; Toupin, RA (1960)、「The Classical Field Theories」、 Flügge, Siegfried (編)、 Principles of Classical Mechanics and Field Theory/Prinzipien der Klassischen Mechanik und Feldtheorie 、Handbuch der Physik (Encyclopedia of Physics)、vol. III/1、ベルリン – ハイデルベルク – ニューヨーク: Springer-Verlag 、pp. 226 – 793、 Bibcode :1960HDP....2....F、 doi :10.1007/978-3-642-45943-6、 ISBN 978-3-540-02547-4 、 MR 0118005、 Zbl 0118.39702 。 ^ チャドウィック、ピーター（1999）、連続体力学：簡潔な理論と問題、物理学の本、ドーバー出版、 ISBN 0-486-40180-4 ^ ab Fung, Yuan-cheng; Tong, Pin (2001), 古典および計算固体力学、World Scientific、 ISBN 981-02-4124-0 ^ ab スミス＆トゥルーズデル p. 97 ^ ab Mase, G. Thomas; Mase, George E. (1999)、『エンジニアのための連続体力学』（第2版）、CRC Press、 ISBN 0-8493-1855-6 ^ abc Liu, I-Shih (2002)、連続体力学、Springer、 ISBN 3-540-43019-9 ^ ab Wu, Han-Chin (2005), 連続体力学と塑性, CRC Press, ISBN 1-58488-363-4 ^ ルブリナー ^ バサール ^ abc Atanackovic, Teodor M.; Guran, Ardéshir (2000), 科学者とエンジニアのための弾性理論, Springer, ISBN 0-8176-4072-X ^ Hjelmstad, Keith D. (2005)、構造力学の基礎（第2版）、Prentice-Hall、 ISBN 0-387-23330-X ^ ab Chen, Wai-Fah; Han, Da-Jian (2007)、構造エンジニアのための塑性、J. Ross Publishing、 ISBN 978-1-932159-75-2 ^ ハムロック、バーナード（2005年）、機械要素の基礎、マグロウヒル、 ISBN 0-07-297682-9 ^ Chatterjee, Rabindranath (1999)、連続体力学の数学的理論、Alpha Science、 ISBN 81-7319-244-8 ^ イェーガー、ジョン・コンラッド、クック、NGW、ジマーマン、RW（2007）、岩石力学の基礎（第4版）、ワイリー・ブラックウェル、 ISBN 978-0-632-05759-7 ^ アミーン、モハメッド（2005年）『計算弾性：弾性理論と有限要素法・境界要素法』アルファサイエンス、 ISBN 1-84265-201-X 。 ^ プラガー、ウィリアム（2004）、連続体の力学入門、ドーバー出版、 ISBN 0-486-43809-0
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{ij}=\left[{\begin{行列}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{行列}}\right]=\left[{\begin{行列}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\シグマ_{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b80798aa935ba1fff304659fd337b186c98807d)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}T_{1}^{(\mathbf {n} )}&T_{2}^{(\mathbf {n} )}&T_{3}^{(\mathbf {n} )}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8560fd0237cab052b95b2fc45b004b5939e2fdd6)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma '_{11}&\sigma '_{12}&\sigma '_{13}\\\sigma '_{21}&\sigma '_{22}&\sigma '_{23}\\\sigma '_{31}&\sigma '_{32}&\sigma '_{33}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\\\end{matrix}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8e97b908a7aef59c1dee8f237aea2ff1502d32b)
![{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{smallmatrix}}\right]=\left[{\begin{smallmatrix}-10&10\\10&15\end{smallmatrix}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aad42a3ade938e1b3157160ee5cadce8d0dc04e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}\\&=\sigma _{kk}={\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})\\[4pt]I_{2}&={\begin{vmatrix}\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{13}\\\sigma _{31}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\\\end{vmatrix}}\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}+\sigma _{22}\sigma _{33}+\sigma _{11}\sigma _{33}-\sigma _{12}^{2}-\sigma _{23}^{2}-\sigma _{31}^{2}\\&={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{ii}\sigma _{jj}-\sigma _{ij}\sigma _{ji}\right)={\frac {1}{2}}\left[\left({\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})\right)^{2}-{\text{tr}}\left({\boldsymbol {\sigma }}^{2}\right)\right]\\[4pt]I_{3}&=\det(\sigma _{ij})=\det({\boldsymbol {\sigma }})\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _{33}+2\sigma _{12}\sigma _{23}\sigma _{31}-\sigma _{12}^{2}\sigma _{33}-\sigma _{23}^{2}\sigma _{11}-\sigma _{31}^{2}\sigma _{22}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b969b2ddfebc4820ea1a54fa0be422e95cc6eeb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\text{n}}^{2}&=\left(T^{(n)}\right)^{2}-\sigma _{\text{n}}^{2}\\&=\sigma _{1}^{2}n_{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}n_{3}^{2}-\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)^{2}\\&=\left(\sigma _{1}^{2}-\sigma _{2}^{2}\right)n_{1}^{2}+\left(\sigma _{2}^{2}-\sigma _{3}^{2}\right)n_{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}-\left[\left(\sigma _{1}-\sigma _{3}\right)n_{1}^{2}+\left(\sigma _{2}-\sigma _{3}\right)n_{2}^{2}+\sigma _{3}\right]^{2}\\&=(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}n_{1}^{2}n_{2}^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}n_{2}^{2}n_{3}^{2}+(\sigma _{1}-\sigma _{3})^{2}n_{1}^{2}n_{3}^{2}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a535f8bf2c0d25666c5bba4154e51d8e3f18769b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[n_{1}^{2}\sigma _{1}^{2}+n_{2}^{2}\sigma _{2}^{2}+n_{3}^{2}\sigma _{3}^{2}\right]-2\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)\sigma _{\mathrm {n} }+\lambda \left(n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}\right)&=0\\\left[\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)^{2}\right]-2\sigma _{\mathrm {n} }^{2}+\lambda &=0\\\left[\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\sigma _{\mathrm {n} }^{2}\right]-2\sigma _{\mathrm {n} }^{2}+\lambda &=0\\\lambda &=\sigma _{\mathrm {n} }^{2}-\tau _{\mathrm {n} }^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/435843df946acb6203b414aa916239bb299bd72d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}s_{ij}&=\sigma _{ij}-{\frac {\sigma _{kk}}{3}}\delta _{ij},\,\\\left[{\begin{matrix}s_{11}&s_{12}&s_{13}\\s_{21}&s_{22}&s_{23}\\s_{31}&s_{32}&s_{33}\end{matrix}}\right]&=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}\pi &0&0\\0&\pi &0\\0&0&\pi \end{matrix}}\right]\\&=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}-\pi &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\pi &\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\pi \end{matrix}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dce1e7903eacf6a01d8ed5ee553b176079eaa393)
![{\displaystyle {\begin{aligned}J_{1}&=s_{kk}=0,\\[3pt]J_{2}&={\frac {1}{2}}s_{ij}s_{ji}={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {s}}^{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2}\right)\\&={\frac {1}{6}}\left[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}\right]+\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}\\&={\frac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]\\&={\frac {1}{3}}I_{1}^{2}-I_{2}={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}^{2}\right)-{\frac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})^{2}\right],\\[3pt]J_{3}&=\det(s_{ij})\\&={\frac {1}{3}}s_{ij}s_{jk}s_{ki}={\frac {1}{3}}{\text{tr}}\left({\boldsymbol {s}}^{3}\right)\\&={\frac {1}{3}}\left(s_{1}^{3}+s_{2}^{3}+s_{3}^{3}\right)\\&=s_{1}s_{2}s_{3}\\&={\frac {2}{27}}I_{1}^{3}-{\frac {1}{3}}I_{1}I_{2}+I_{3}={\frac {1}{3}}\left[{\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }}^{3})-\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}^{2}\right)\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})+{\frac {2}{9}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})^{3}\right].\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf3225a2dae9a8c27b8d713bcd32584e15b611ea)
![{\displaystyle \sigma _{\text{vM}}={\sqrt {3\,J_{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}~\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa6ede9bfaa3a25ee197f8971b4c8f5b0b94b0e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\text{oct}}&={\sqrt {T_{i}^{(n)}T_{i}^{(n)}-\sigma _{\text{oct}}^{2}}}\\&=\left[{\frac {1}{3}}\left(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}\right)-{\frac {1}{9}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}\right]^{\frac {1}{2}}\\&={\frac {1}{3}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}{\sqrt {2I_{1}^{2}-6I_{2}}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}J_{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62e0e2d5f528010c0bf4dab5db94572d2ea10f9a)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}T_{1}^{(\mathbf {e} )}&T_{2}^{(\mathbf {e} )}&T_{3}^{(\mathbf {e} )}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}e_{1}&e_{2}&e_{3}\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2adec62e9f25fc4de128510ed5817022dcd61d6d)
