ケーリー変換

Mathematical operation

数学において、ケーリー変換はアーサー・ケーリーにちなんで名付けられ、関連する一連のもののいずれかです。ケーリー（1846）によって最初に記述されたように、ケーリー変換は歪対称行列と特殊直交行列との間の写像です。この変換は、実解析、複素解析、および四元数解析において用いられるホモグラフィです。ヒルベルト空間理論において、ケーリー変換は線型作用素間の写像です（ニコルスキー 1988）。

実ホモグラフィ

ケーリー変換の簡単な例は、実射影直線上で行うことができます。ここでのケーリー変換は、{1, 0, −1, ∞} の元を順番に並べ替えます。例えば、正の実数を区間 [−1, 1] に写します。このように、ケーリー変換は、ルジャンドル有理関数を持つ正の実数上の関数にルジャンドル多項式を適用するために用いられます。

実射影変換では、点は射影座標で記述され、写像は

${\displaystyle [y,\ 1]=\left[{\frac {x-1}{x+1}},\ 1\right]\thicksim [x-1,\ x+1]=[x,\ 1]{\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}.}$

複素ホモグラフィ

上複素半平面から単位円板へのケーリー変換

複素平面の上半分におけるケーリー変換は次のようになる: ^{[1] [2]}

${\displaystyle f(z)={\frac {z-i}{z+i}}.}$

はに写像され、メビウス変換は複素平面における一般化円を置換するため、実数直線 は単位円に写像されます。さらに、は同相写像であり、によって 0 に取られるため、上半平面 は単位円に写像されます。 ${\displaystyle \{\infty ,1,-1\}}$ ${\displaystyle \{1,-i,i\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f}$

双曲幾何学のモデルの観点から見ると、このケーリー変換はポアンカレ半平面モデルとポアンカレ円板モデルを関連付けます。

電気工学では、ケーリー変換は、リアクタンス半平面を伝送線路のインピーダンス整合に使用されるスミス チャートにマッピングするために使用されています。

四元数ホモグラフィー

四元数の四次元空間では、ベルソル ${\displaystyle a+b{\vec {i}}+c{\vec {j}}+d{\vec {k}}}$

${\displaystyle u(\theta ,r)=\cos \theta +r\sin \theta }$単位3 次元球面を形成します。

四元数は非可換であるため、その射影直線の要素は同次座標を持ち、同次因子が左辺で乗算されることを示す。四元数変換は ${\displaystyle U[a,b]}$

${\displaystyle f(u,q)=U[q,1]{\begin{pmatrix}1&1\\-u&u\end{pmatrix}}=U[q-u,\ q+u]\sim U[(q+u)^{-1}(q-u),\ 1].}$

上で述べた実数ホモグラフィと複素数ホモグラフィは、それぞれがゼロまたは である四元数ホモグラフィの例です。明らかに、変換は をとり、 をとります。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle u\to 0\to -1}$ ${\displaystyle -u\to \infty \to 1}$

このホモグラフィを評価すると、ベルサーがその軸にマッピングされます。 ${\displaystyle q=1}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle f(u,1)=(1+u)^{-1}(1-u)=(1+u)^{*}(1-u)/|1+u|^{2}.}$

しかし ${\displaystyle |1+u|^{2}=(1+u)(1+u^{*})=2+2\cos \theta ,\quad {\text{and}}\quad (1+u^{*})(1-u)=-2r\sin \theta .}$

したがって ${\displaystyle f(u,1)=-r{\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=-r\tan {\frac {\theta }{2}}.}$

この形式では、ケーリー変換は回転の有理パラメータ化として記述されている。複素数の恒等式^[3] ${\displaystyle t=\tan \phi /2}$

${\displaystyle e^{-i\varphi }={\frac {1-ti}{1+ti}}}$

ここで、右側は の変換であり、左側は負のラジアンによる平面の回転を表します。 ${\displaystyle ti}$ ${\displaystyle \phi }$

逆

LetSince​ ${\displaystyle u^{*}=\cos \theta -r\sin \theta =u^{-1}.}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\-u&u\end{pmatrix}}\ {\begin{pmatrix}1&-u^{*}\\1&u^{*}\end{pmatrix}}\ =\ {\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}\ \sim \ {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\ ,}$

ここで同値性は四元数上の射影線型群にあり、逆は ${\displaystyle f(u,1)}$

${\displaystyle U[p,1]{\begin{pmatrix}1&-u^{*}\\1&u^{*}\end{pmatrix}}\ =\ U[p+1,\ (1-p)u^{*}]\sim U[u(1-p)^{-1}(p+1),\ 1].}$

ホモグラフィは全単射なので、ベクトル四元数を3次元バーソル球面に写像します。バーソルは3次元空間における回転を表すので、ホモグラフィは球面からの回転を生成します。 ${\displaystyle f^{-1}(u,1)}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

マトリックスマップ

実数上のn × n 正方行列のうち、単位行列 I を持つ任意の歪対称行列をAとする（つまりA ^T  = − A）。

するとI  +  Aは逆変換可能となり、ケーリー変換は

${\displaystyle Q=(I-A)(I+A)^{-1}\,\!}$

は直交行列Qを生成します（Q ^T Q  = I ）。上記のQの定義における行列乗算は可換であるため、Q はと定義することもできます。実際、Q は行列式 +1 を持つ必要があるため、特殊直交行列となります。 ${\displaystyle Q=(I+A)^{-1}(I-A)}$

逆に、Qを固有値として−1を持たない任意の直交行列とすると、

${\displaystyle A=(I-Q)(I+Q)^{-1}\,\!}$

は歪対称行列です。（反転も参照してください。） Qの条件は、行列式が-1である行列を自動的に除外しますが、特定の特殊な直交行列も除外します。

しかし、任意の回転（特殊直交）行列Qは次のように表される。

${\displaystyle Q={\bigl (}(I-A)(I+A)^{-1}{\bigr )}^{2}}$

対称行列Aに対して、より一般的には任意の直交行列Qは次のように書ける。

${\displaystyle Q=E(I-A)(I+A)^{-1}}$

ある歪対称行列Aと±1を要素とするある対角行列Eに対して^[4]

わずかに異なる形式も見られ、^{[5] [6]}各方向に異なるマッピングを必要とする。

${\displaystyle {\begin{aligned}Q&=(I-A)^{-1}(I+A),\\[5mu]A&=(Q-I)(Q+I)^{-1}.\end{aligned}}}$

写像は因子の順序を逆にして書くこともできる。^{[7] [8]}しかし、Aは常に(μI±A)−1と可換なので 、 順序の^入れ替えは定義に影響を与えない。

例

2×2の場合、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&\tan {\frac {\theta }{2}}\\-\tan {\frac {\theta }{2}}&0\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

180°回転行列− Iは除外されますが、tan ^θ ⁄ ₂が無限大に近づくにつれてそれが 限界になります。

3×3の場合、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\frac {1}{K}}{\begin{bmatrix}w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}&2(xy-wz)&2(wy+xz)\\2(xy+wz)&w^{2}-x^{2}+y^{2}-z^{2}&2(yz-wx)\\2(xz-wy)&2(wx+yz)&w^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\end{bmatrix}},}$

ここでK  =  w ²  +  x ²  +  y ²  +  z ²、w = 1である。これは四元数 に対応する回転行列として認識される。

${\displaystyle w+\mathbf {i} x+\mathbf {j} y+\mathbf {k} z\,\!}$

（ケイリーが前年に発表した公式による）ただし、 通常のスケーリングであるw ²  +  x ²  +  y ²  +  z ^{2 = 1 ではなく、} w = 1 となるようにスケーリングされている 。したがって、ベクトル ( x , y , z ) は、tan ^θ ⁄ ₂でスケーリングされた単位回転軸となる 。この場合も180°回転は除外されるが、この場合はすべてQであり、対称的である（したがってQ ^T  = Q）。

その他のマトリックス

「直交」を「ユニタリー」に、「歪対称」を「歪エルミート」に置き換えることで、この写像を複素行列に拡張することができます。違いは、転置行列 (· ^{T ) を}共役転置行列(· ^H )に置き換えることです。これは、標準的な実内積を標準的な複素内積に置き換えることと一致しています。実際、転置行列や共役転置行列以外の随伴行列を選択することで、定義をさらに拡張することができます。

形式的には、定義はある程度の可逆性のみを必要とするため、Qの代わりに固有値に-1を含まない任意の行列Mを代入することができる。例えば、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-a&ab-c\\0&0&-b\\0&0&0\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}1&2a&2c\\0&1&2b\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Aが歪対称（歪エルミート）となるのは、Q が固有値 -1 を持たない直交（ユニタリ）である 場合のみであることに注意してください。

オペレーターマップ

内積空間の無限次元版はヒルベルト空間であり、もはや行列について語ることはできない。しかし、行列は単に線型作用素の表現に過ぎず、これを用いることができる。したがって、行列写像と複素平面写像の両方を一般化することで、作用素のケーリー変換を定義できる。^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}U&{}=(A-\mathbf {i} I)(A+\mathbf {i} I)^{-1}\\A&{}=\mathbf {i} (I+U)(I-U)^{-1}\end{aligned}}}$

ここで、  Uの定義域（dom U）は ( A + i I ) dom  Aである。詳細は自己随伴演算子を参照のこと。

参照

• 双一次変換
• 対称演算子の拡張

参考文献

1. ロバート・エヴァリスト・グリーン &スティーブン・G・クランツ(2006)複素一変数関数論、189ページ、数学大学院研究#40、アメリカ数学会 ISBN 9780821839621
2. エルウィン・クライシグ(1983)『高度工学数学』第5版、611ページ、Wiley ISBN 0471862517
3. 正接半角の公式を参照
4. Gallier, Jean (2006). 「直交行列のケーリー表現と行列の対角成分を摂動して逆行列にすることに関する考察」arXiv : math/0606320 .
   ガリエが述べたように、これらの結果の最初のものは、ヘルマン・ワイル（1946年）『古典群』（第2版）プリンストン大学出版局、補題2.10.D、p.60の改良版である。

   2番目の例は、Bellman, Richard (1960). Introduction to Matrix Analysis . SIAM Publications. §6.4 exercise 11, p. 91–92に演習問題として掲載されています。

5. Golub, Gene H. ; Van Loan, Charles F. (1996)、『行列計算』（第3版）、ジョンズ・ホプキンス大学出版局、ISBN 978-0-8018-5414-9
6. F. Chong (1971)「ケーリー変換に関する幾何学的注釈」、 A Spectrum of Mathematics: Essays Presented to HG Forder、 John C. Butcher編、オークランド大学出版局、84,5ページ
7. クーラント、リチャード；ヒルベルト、デイヴィッド（1989）、数理物理学の方法、第1巻（第1英語版）、ニューヨーク：ワイリー・インターサイエンス、pp.536、7、ISBN 978-0-471-50447-4第7章、§7.2
8. ハワード・イヴス(1966)初等行列理論、§ 5.4A ケイリーの実直交行列の構成、365～7 ページ、アリン＆ベーコン
9. ルーディン 1991、p. 356-357 §13.17。

• スターリング・K・ベルベリアン（1974）『関数解析と作用素論の講義』、数学大学院テキスト第15号、278、281ページ、シュプリンガー・フェアラークISBN 978-0-387-90081-0
• Cayley、Arthur (1846)、「Sur quelques propriétés des déterminants gauches」、Journal für die reine und angewandte Mathematik、32 (2): 119–123、doi :10.1515/crll.1846.32.119、ISSN  0075-4102;アーサー・ケイリー（1889年）『アーサー・ケイリー数学論文集成 第1巻（1841-1853年）』（ケンブリッジ大学出版局、  332-336ページ）の記事52（ 332-336ページ）として転載。
• Lokenath Debnath & Piotr Mikusiński (1990) Introduction to Hilbert Spaces with Applications、213ページ、Academic Press ISBN 0-12-208435-7
• ギルバート・ヘルムバーグ（1969）ヒルベルト空間におけるスペクトル理論入門、288ページ、§38：ケーリー変換、応用数学と力学#6、ノースホラント
• Nikolski、Nikolai Kapitonovich (1988)、「Cayley 変換」、Hazewinkel、Michiel (編)、Encyclopedia of Mathematics、vol. 2、クルーワー、p. 80、土井：10.1007/978-94-009-6000-8、ISBN 978-94-009-6002-2;ロシアのヴィノグラドフ著、イワン・マトヴェービッチ編から翻訳。 (1977)、マテマティチェスカヤ・エンツィクロペディヤ、モスクワ: ソビエツカヤ・エンツィクロペディヤ
• ヘンリー・リカード（2010）『線形代数の現代的入門』 504ページ、CRC Press ISBN 978-1-4398-0040-9。
• ルディン、ウォルター(1991). 関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Cayley_transform&oldid=1309371869"