積分の順序（微積分）

微積分学において、積分順序の交換とは、関数の反復積分（またはフビニの定理を用いた多重積分）を、積分を実行する順序を変更することで、より単純な積分に変換する手法である。積分順序の交換が有効な場合もあれば、そうでない場合もある。

問題の説明

試験問題は、次の形式の積分を評価するものである。

${\displaystyle \iint _{D}\ f(x,y)\ dx\,dy,}$

ここで、Dはxy平面上の二次元領域である。関数fによっては直接積分が可能であるが、そうでない場合は、積分の順序を変えることで積分をより単純な形に簡約できる場合がある。この交換の難しさは、領域Dの記述の変化を判断することである。

この方法は他の多重積分にも適用できる。^{[ 1 ] [ 2 ]}

完全な評価が困難であったり、数値積分が必要であったりする場合でも、次に示すように、二重積分を一回の積分に簡約できる場合があります。一回の積分に簡約することで、数値評価がはるかに容易かつ効率的になります。

部分積分との関係

図1：三角形領域上の積分は、最初のステップとして垂直または水平のストリップを用いて行うことができます。これは、z軸からxy平面を見下ろした俯瞰図です。傾斜した直線は曲線y = xです。

反復積分を考える

${\displaystyle \int _{a}^{z}\,\int _{a}^{x}\,h(y)\,dy\,dx,}$

この式では、最初にyについて 2 番目の積分が計算され、x は一定に保たれます。つまり、幅dxのストリップが最初にy方向に積分され ( x方向の幅dxのストリップがy方向を横切るy変数について積分され)、幅dyの長方形がy軸に沿って無限数追加されます。これにより、 x軸に沿ってy = aからy = xまで、z 方向にz = h ( y )の 3 次元スライスが形成されます。厚さ dx が無限小の場合、スライス上で x は無限小のみで変化することに注意します。x は一定であると想定できます。[ 3 ] この積分は図 1 の左側のパネルに示されていますが、関数 h ( y )が簡単に積分できない場合は^{特に不便です}。図の右側のパネルに示すように、積分の順序を逆にすることで、積分を 1 回の積分に簡約できます。この変数の交換を実現するには、まず幅dyのストリップを直線x = yから限界x = zまで積分し、次にその結果をy = aからy = zまで積分して、次の結果を得ます。

${\displaystyle \int _{a}^{z}\int _{a}^{x}h(y)\ dy\ dx=\int _{a}^{z}h(y)\ dy\ \int _{y}^{z}dx=\int _{a}^{z}\left(z-y\right)h(y)\,dy.}$

この結果は、以下のように部分積分の公式の例と見ることができる。 ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \int _{a}^{z}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{z}-\int _{a}^{z}f'(x)g(x)\,dx}$

代わりの：

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}h(y)\,dy~{\text{ and }}~g'(x)=1.}$

それが結果をもたらします。

主値積分

主値積分への応用については、Whittaker and Watson、^{[ 5 ]} Gakhov、^{[ 6 ]} Lu、^{[ 7 ]}またはZwillinger ^{[ 8 ]を参照。また、Obolashvili [ 9 ]}のPoincaré-Bertrand変換の議論も参照。積分の順序を入れ替えられない例はKanwalによって示されている: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{L}^{*}{\frac {d{\tau }_{1}}{{\tau }_{1}-t}}\ \int _{L}^{*}\ g(\tau ){\frac {d\tau }{\tau -\tau _{1}}}={\frac {1}{4}}g(t)\ ,}$

その間：

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{L}^{*}g(\tau )\ d\tau \left(\int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\left(\tau _{1}-t\right)\left(\tau -\tau _{1}\right)}}\right)=0\ .}$

2番目の形式は部分分数展開とソホーツキー・プレメリの公式を用いた評価によって評価される：^{[ 11 ]}

${\displaystyle \int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\tau _{1}-t}}=\int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\tau _{1}-t}}=\pi \ i\ .}$

この表記はコーシー主値を示す。カンワルを参照。^{[ 10 ]} ${\displaystyle \int _{L}^{*}}$

基本定理

積分の順序を逆にする根拠については、TWケルナー著『フーリエ解析』 ^{[ 12 ]}で議論されている。ケルナーは、積分の順序を入れ替えると、以下の定理IIの条件が満たされないため、2つの異なる解が得られるという例を挙げて議論を始めている。その例は以下の通りである。

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy=\left[{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right]_{1}^{\infty }=-{\frac {1}{1+x^{2}}}\ \left[x\geq 1\right]\ .}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy\right)\ dx=-{\frac {\pi }{4}}\ .}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dx\right)\ dy={\frac {\pi }{4}}\ .}$

交換の許容性を支配する2つの基本定理を、チャウドリとズバイルから以下に引用する。^{[ 13 ]}

定理I — f ( x ,  y )をa ≤ x < ∞, c ≤ y < ∞で定義される定数符号の連続関数とし、積分を

${\displaystyle J(y):=\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)\,dx}$          そして           ${\displaystyle J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)\,dy}$

対応するパラメータの関数とみなされ、それぞれc ≤ y < ∞、a ≤ x < ∞で連続となる。そして、反復積分の少なくとも1つが

${\displaystyle \int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }\ f(x,\ y)dx\right)dy}$          そして           ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }\ f(x,\ y)dy\right)dx}$

が収束すると、もう一方の積分も収束し、それらの値は一致します。

定理II — f ( x ,  y )はa ≤ x < ∞, c ≤ y < ∞で連続とし、積分は

${\displaystyle J(y):=\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)\,dx}$          そして           ${\displaystyle J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)\,dy}$

それぞれ、 c ≤ y < Cのすべての有限区間とa ≤ x < Aのすべての有限区間で一様収束する。そして、反復積分の少なくとも1つが

${\displaystyle \int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }|f(x,\ y)|dx\right)dy}$          そして           ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }|f(x,\ y)|dy\right)dx}$

収束すると、反復積分

${\displaystyle \int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)dx\right)dy}$          そして           ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }\left(\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)dy\right)dx}$

も収束し、その値は等しくなります。

応用において最も重要な定理はプロッターとモリーから引用されている: ^{[ 14 ]}

定理— F がpとqが連続で、 a ≤ x ≤ bに対してp ( x ) ≤ q ( x )が成り立つ領域であるとする。f ( x ,  y ) がF上で連続であるとする。すると ${\displaystyle F=\left\{(x,\ y):a\leq x\leq b,p(x)\leq y\leq q(x)\right\}\,}$

${\displaystyle \iint _{F}f(x,y)\,dA=\int _{a}^{b}\int _{p(x)}^{q(x)}f(x,\ y)\,dy\ dx.}$

対応する結果は、閉領域Fがc ≤ y ≤ dに対してr ( y ) ≤  s ( y ) となる表現を持つ場合に成立する。このような場合、 ${\displaystyle F=\left\{(x,\ y):c\leq y\leq d,\ r(y)\leq x\leq s(y)\right\}}$

${\displaystyle \iint _{F}f(x,\ y)dA=\int _{c}^{d}\int _{r(y)}^{s(y)}f(x,\ y)\,dx\ dy\ .}$

言い換えれば、計算可能な場合、両方の反復積分は二重積分に等しく、したがって互いに等しくなります。

参照

• フビニの定理

参考文献と注釈

1. ショーン・ディニーン(2001). 『多変数微積分と幾何学』シュプリンガー p. 162. ISBN 1-85233-472-X。
2. リチャード・クーラント＆フリッツ・ジョン（2000年）『微積分と解析入門：第2巻/1、第2巻。数学の古典』シュプリンガー、p.897、ISBN 3-540-66569-2。
3. 「二重積分」オレゴン州立大学数学科。1996年。
4. プライム「 ′ 」はラグランジュ表記法における微分を表す。
5. エドマンド・テイラー・ウィテカー、ジョージ・ネヴィル・ワトソン(1927). 『現代解析学講座：無限過程と解析関数の一般理論入門、主要な超越関数の説明付き』（第4版、復刻版）ケンブリッジ大学出版局. §4.51, 75ページ. ISBN 0-521-58807-3。{{cite book}}:ISBN / 日付の非互換性（ヘルプ）
6. FD Gakhov (1990).境界値問題. Courier Dover Publications. p. 46. ISBN 0-486-66275-6。
7. Jian-Ke Lu (1993).分析関数の境界値問題。シンガポール: ワールドサイエンティフィック。 p. 44.ISBN​ 981-02-1020-5。
8. ダニエル・ツウィリンガー (1992)。統合のハンドブック。 AKピーターズ株式会社 p. 61.ISBN​ 0-86720-293-9。
9. エレナ・イロディオノフナ・オボラシビリ (2003).クリフォード解析における高階偏微分方程式：問題への効果的な解法ビルクハウザー. p. 101. ISBN 0-8176-4286-2。
10. ラム P. カンワル (1996)。線形積分方程式: 理論と技術(第 2 版)。ボストン：ビルクホイザー。 p. 194.ISBN​ 0-8176-3940-3。
11. ソホーツキー・プレメリの公式に関する議論については、例えばJoseph A. Cima、Alec L. Matheson、William T. Ross (2006). The Cauchy Transform . American Mathematical Society. p. 56. ISBNを参照のこと。 0-8218-3871-7。あるいはRainer Kress (1999). Linear integral equations (2nd ed.). Springer. p. Theorem 7.6, p. 101. ISBN 0-387-98700-2。
12. トーマス・ウィリアム・ケルナー (1988)。フーリエ解析。ケンブリッジ大学出版局。 p.第 47 章と第 48 章。ISBN 0-521-38991-7。
13. M. Aslam Chaudhry & Syed M. Zubair (2001). On a Class of Incomplete Gamma Functions with Applications . CRC Press. p. Appendix C. ISBN 1-58488-143-7。
14. マレー・H・プロッター＆チャールズ・B・モリー・ジュニア（1985年）『中級微積分学』シュプリンガー、307ページ。ISBN 0-387-96058-9。

外部リンク

• ポールのオンライン数学ノート：微積分III
• 反復積分を使用した「二重積分」の計算を示す優れた 3D 画像 (オレゴン州立大学数学科)。
• Ron MiechのUCLA微積分問題Archived 2016-08-16 at the Wayback Machine積分の順序を変えるより複雑な例（問題33、35、37、39、41、43を参照）
• デュアン・ナイカンプのミネソタ大学のウェブサイト

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