Mathematical function
チェビシェフ関数 （ x < 50） ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 関数 、 x < 10 4 ψ ( x ) − x {\displaystyle \psi (x)-x} 関数 、 x < 10 7の場合 ψ ( x ) − x {\displaystyle \psi (x)-x} 数学 において 、 チェビシェフ関数 （チェビシェフかんすう、英: Chebyshev function）は、スカラー化関数（ チェビシェフかんすう ）または関連する2つの関数のいずれかである。 最初のチェビシェフ関数 ϑ ( x ) または θ ( x ) は次のように与えられる。
ϑ ( x ) = ∑ p ≤ x log p {\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p} ここで、は 自然対数 を表し 、その和は x 以下のすべての 素数 p に及びます。 log {\displaystyle \log }
2 番目のチェビシェフ関数 ψ ( x )も同様に定義され、その和は xを 超えない すべての 素数 冪に及ぶ。
ψ ( x ) = ∑ k ∈ N ∑ p k ≤ x log p = ∑ n ≤ x Λ ( n ) = ∑ p ≤ x ⌊ log p x ⌋ log p , {\displaystyle \psi (x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\left\lfloor \log _{p}x\right\rfloor \log p,} ここで、 Λは フォン・マンゴルト関数 です 。チェビシェフ関数、特に2番目の関数 ψ ( x )は、 素数 に関する 証明 でよく用いられます。これは、 素数計算関数 π ( x ) よりも扱いが簡単だからです （正確な式は下記を参照）。どちらのチェビシェフ関数も x に漸近的であり 、 これは 素数定理 と等価です 。
チェビシェフ関数 、 チェビシェフ効用関数 、または 重み付きチェビシェフスカラー化関数は、 最小化する関数が複数あり、それらを単一の関数に「スカラー化」したい場合に使用されます。
f T c h b ( x , w ) = max i w i f i ( x ) . {\displaystyle f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}f_{i}(x).} [1] この関数を の異なる値に対して最小化することで、非凸部分も含めた パレート面 上のすべての点が得られる 。 [1] 多くの場合、最小化される関数は ではないが、 いくつかのスカラー に対して は となる 。すると [2] w {\displaystyle w} f i {\displaystyle f_{i}} | f i − z i ∗ | {\displaystyle |f_{i}-z_{i}^{*}|} z i ∗ {\displaystyle z_{i}^{*}} f T c h b ( x , w ) = max i w i | f i ( x ) − z i ∗ | . {\displaystyle f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}|f_{i}(x)-z_{i}^{*}|.}
これら 3 つの関数はすべて、 パフヌティ・チェビシェフ に敬意を表して命名されています。
人間関係 2番目のチェビシェフ関数は、次のように書くことで1番目の関数と関連していることがわかる。
ψ ( x ) = ∑ p ≤ x k log p {\displaystyle \psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p} ここで、 kは p k ≤ x かつ x < p k + 1 を満たす 唯一の 整数 である。kの値は OEIS :A206722 に示されている 。より直接的な関係は次のように与えられる 。
ψ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ϑ ( x 1 n ) . {\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}.} この最後の和には、有限個のゼロでない項しか存在しない。
ϑ ( x 1 n ) = 0 for n > log 2 x = log x log 2 . {\displaystyle \vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}=0\quad {\text{for}}\quad n>\log _{2}x={\frac {\log x}{\log 2}}.} 2 番目のチェビシェフ関数は、 1 からn までの整数の 最小公倍数 の対数です 。
lcm ( 1 , 2 , … , n ) = e ψ ( n ) . {\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.} 整数変数 nの lcm(1, 2, ..., n ) の値は OEIS :A003418 に示されています 。
関係性 ψ （ × )/ × そして ϑ （ × )/ × 次の 定理は 2つの商 とを関連付けます 。 [3] ψ ( x ) x {\displaystyle {\frac {\psi (x)}{x}}} ϑ ( x ) x {\displaystyle {\frac {\vartheta (x)}{x}}}
定理： の場合 、 x > 0 {\displaystyle x>0}
0 ≤ ψ ( x ) x − ϑ ( x ) x ≤ ( log x ) 2 2 x log 2 . {\displaystyle 0\leq {\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\leq {\frac {(\log x)^{2}}{2{\sqrt {x}}\log 2}}.} この 不等式 は、
lim x → ∞ ( ψ ( x ) x − ϑ ( x ) x ) = 0. {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\!\left({\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\right)\!=0.} つまり、 または のどちらか が 極限 に近づくと 、もう一方も同様に近づき、2 つの極限は等しくなります。 ψ ( x ) / x {\displaystyle \psi (x)/x} ϑ ( x ) / x {\displaystyle \vartheta (x)/x}
証明： なので 、 ψ ( x ) = ∑ n ≤ log 2 x ϑ ( x 1 / n ) {\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n})}
0 ≤ ψ ( x ) − ϑ ( x ) = ∑ 2 ≤ n ≤ log 2 x ϑ ( x 1 / n ) . {\displaystyle 0\leq \psi (x)-\vartheta (x)=\sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n}).} しかし、定義から、 自明な不等式が成り立つ。 ϑ ( x ) {\displaystyle \vartheta (x)}
ϑ ( x ) ≤ ∑ p ≤ x log x ≤ x log x {\displaystyle \vartheta (x)\leq \sum _{p\leq x}\log x\leq x\log x} それで
0 ≤ ψ ( x ) − ϑ ( x ) ≤ ∑ 2 ≤ n ≤ log 2 x x 1 / n log ( x 1 / n ) ≤ ( log 2 x ) x log x = log x log 2 x 2 log x = x ( log x ) 2 2 log 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}0\leq \psi (x)-\vartheta (x)&\leq \sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}x^{1/n}\log(x^{1/n})\\&\leq (\log _{2}x){\sqrt {x}}\log {\sqrt {x}}\\&={\frac {\log x}{\log 2}}{\frac {\sqrt {x}}{2}}\log x\\&={\frac {{\sqrt {x}}\,(\log x)^{2}}{2\log 2}}.\end{aligned}}} 最後に、 で割って 定理の不等式を取得します。 x {\displaystyle x}
漸近法と境界 チェビシェフ関数には以下の境界が知られています: [1] [2] (これらの式では p k は k 番目の素数、 p 1 = 2 、 p 2 = 3 など)
ϑ ( p k ) ≥ k ( log k + log log k − 1 + log log k − 2.050735 log k ) for k ≥ 10 11 , ϑ ( p k ) ≤ k ( log k + log log k − 1 + log log k − 2 log k ) for k ≥ 198 , | ϑ ( x ) − x | ≤ 0.006788 x log x for x ≥ 10 544 111 , | ψ ( x ) − x | ≤ 0.006409 x log x for x ≥ e 22 , 0.9999 x < ψ ( x ) − ϑ ( x ) < 1.00007 x + 1.78 x 3 for x ≥ 121. {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (p_{k})&\geq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2.050735}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 10^{11},\\[8px]\vartheta (p_{k})&\leq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 198,\\[8px]|\vartheta (x)-x|&\leq 0.006788\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq 10\,544\,111,\\[8px]|\psi (x)-x|&\leq 0.006409\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq e^{22},\\[8px]0.9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}&&{\text{for }}x\geq 121.\end{aligned}}} さらに、 リーマン予想 によれば、
| ϑ ( x ) − x | = O ( x 1 2 + ε ) | ψ ( x ) − x | = O ( x 1 2 + ε ) {\displaystyle {\begin{aligned}|\vartheta (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\\|\psi (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\end{aligned}}} 任意のε > 0 に対して 。
ϑ ( x ) と ψ ( x ) の両方に上限が存在する ので、 [4] [3]
ϑ ( x ) < 1.000028 x ψ ( x ) < 1.03883 x {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (x)&<1.000028x\\\psi (x)&<1.03883x\end{aligned}}} 任意のx > 0 に対して 。
定数 1.03883 の説明は OEIS : A206431 に記載されています。
1895 年、 ハンス カール フリードリッヒ フォン マンゴルトは、 リーマン ゼータ関数 の非自明な 零点 の和として ψ ( x ) を表す 明示 的な式 を証明しました [4] 。
ψ 0 ( x ) = x − ∑ ρ x ρ ρ − ζ ′ ( 0 ) ζ ( 0 ) − 1 2 log ( 1 − x − 2 ) . {\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\tfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).} （ の数値 ζ ′ (0) / ζ (0) はlog(2π) です 。) ここで ρ は ゼータ関数の非自明な零点を通過し、 ψ 0 はψ と同じです が、ジャンプ不連続点 (素数累乗)では 左と右の値の中間の値になります。
ψ 0 ( x ) = 1 2 ( ∑ n ≤ x Λ ( n ) + ∑ n < x Λ ( n ) ) = { ψ ( x ) − 1 2 Λ ( x ) x = 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 11 , 13 , 16 , … ψ ( x ) otherwise. {\displaystyle \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\!\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\\,\psi (x)&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}} 対数 の テイラー級数 から 、明示的な式の最後の項は の和として理解できます。 xω / ω ゼータ関数の自明な零点、 ω = −2, −4, −6, ... 、すなわち
∑ k = 1 ∞ x − 2 k − 2 k = 1 2 log ( 1 − x − 2 ) . {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{-2k}}={\tfrac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right).} 同様に、最初の項 x = × 1 / 1 は 、ゼータ関数の 1 における単純な 極 に対応します。ゼロではなく極であるため、項の符号が反対になります。
プロパティ エアハルト・シュミット の 定理に よれば、ある明示的な正の 定数 K に対して 、
ψ ( x ) − x < − K x {\displaystyle \psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}} そして、無限個の自然数 x が存在し、
ψ ( x ) − x > K x . {\displaystyle \psi (x)-x>K{\sqrt {x}}.} [5] [6] 小文字 表記 では 、上記の式は次のように書ける 。
ψ ( x ) − x ≠ o ( x ) . {\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\right).} ハーディ と リトルウッド [7]は 、より強い結果を証明している。
ψ ( x ) − x ≠ o ( x log log log x ) . {\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\log \log \log x\right).}
原始数との関係 最初のチェビシェフ関数は、 x の 原始関数 の対数 で
あり 、 x #と表記される。
ϑ ( x ) = ∑ p ≤ x log p = log ∏ p ≤ x p = log ( x # ) . {\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log \left(x\#\right).} 素数 定理は と等価である 。 （小 記法 ） と同値な から 、 直ちに次の式が得られる。 lim x → ∞ ( ϑ ( x ) / x ) = 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }({\vartheta (x)}/x)=1} ϑ ( x ) = x ( 1 + o ( 1 ) ) {\displaystyle \vartheta (x)=x(1+o(1))} x → ∞ {\displaystyle x\rightarrow \infty } o {\displaystyle o} o {\displaystyle o}
x # = e ( 1 + o ( 1 ) ) x . {\displaystyle x\#=e^{(1+o(1))x}.}
素数計算関数との関係 チェビシェフ関数は素数計算関数と以下のように関連付けられる。定義
Π ( x ) = ∑ n ≤ x Λ ( n ) log n . {\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.} それから
Π ( x ) = ∑ n ≤ x Λ ( n ) ∫ n x d t t log 2 t + 1 log x ∑ n ≤ x Λ ( n ) = ∫ 2 x ψ ( t ) d t t log 2 t + ψ ( x ) log x . {\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\int _{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}.} Πから 素数関数 π への 移行は 、 次の式によって行われる。
Π ( x ) = π ( x ) + 1 2 π ( x ) + 1 3 π ( x 3 ) + ⋯ {\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\,\right)+{\tfrac {1}{3}}\pi \left({\sqrt[{3}]{x}}\,\right)+\cdots } 確かに π ( x ) ≤ x なので、近似のためにこの最後の関係式は次の形に書き直すことができる。
π ( x ) = Π ( x ) + O ( x ) . {\displaystyle \pi (x)=\Pi (x)+O\left({\sqrt {x}}\,\right).}
リーマン予想 リーマン 予想は 、ゼータ関数の すべての非自明な 零点は 実部を持つと述べている 。 1 / 2 . この場合、 | x ρ | = √ x となり、
∑ ρ x ρ ρ = O ( x log 2 x ) . {\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=O\!\left({\sqrt {x}}\,\log ^{2}x\right).} 上記のことから、
π ( x ) = li ( x ) + O ( x log x ) . {\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\!\left({\sqrt {x}}\,\log x\right).}
スムージング機能 平滑化チェビシェフ関数と の差 × 2 / 2 x < 10 6 の場合 平滑 化関数 は次のように定義される。
ψ 1 ( x ) = ∫ 0 x ψ ( t ) d t . {\displaystyle \psi _{1}(x)=\int _{0}^{x}\psi (t)\,dt.} 明らかに ψ 1 ( x ) ∼ x 2 2 . {\displaystyle \psi _{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}}.}
注記 ^ Joshua Knowles (2014年5月2日). 「多目的最適化の概念、アルゴリズム、および性能評価基準」 (PDF) . マンチェスター大学. p. 34. 2022年12月9日時点のオリジナル (PDF)からのアーカイブ。 2022年 8月29日 閲覧 。 ^ Ho-Huu, V.; Hartjes, S.; Visser, HG; Curran, R. (2018). 「複雑なパレート面を持つ二目的最適化問題のための改良型MOEA/Dアルゴリズムと構造最適化への応用」 (PDF) . エキスパートシステムの応用 . 92. デルフト工科大学. 6ページ 方程式(2). doi :10.1016/j.eswa.2017.09.051. ^ アポストル、トム・M. (2010). 解析的数論入門 . シュプリンガー. pp. 75– 76. ^ Rosser, J. Barkley ; Schoenfeld, Lowell (1962). 「素数の関数の近似式」. Illinois J. Math . 6 : 64–94 . doi :10.1215/ijm/1255631807. ^ Pierre Dusart 、「RHなしの素数上のいくつかの関数の推定」 arXiv : 1002.0442 ^ Pierre Dusart, "Sharper bounds for ψ , θ , π , p k ", Rapport de recherche no. 1998-06, Université de Limoges. 短縮版は「The k th prime is greater than k (log k + log log k − 1) for k ≥ 2 」として掲載されています。Mathematics of Computation , Vol. 68, No. 225 (1999), pp. 411–415. ^ Erhard Schmidt、「Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze」、 Mathematische Annalen 、 57 (1903)、195–204 ページ。 ^ G.H. HardyとJE Littlewood、「リーマンゼータ関数の理論と素数分布の理論への貢献」、 Acta Mathematica 、 41 （1916）pp.119-196。 ^ ダベンポート、ハロルド (2000). 『 乗法数論 』 シュプリンガー. p. 104. ISBN 0-387-95097-4 . Google ブック検索。
参考文献
外部リンク 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (p_{k})&\geq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2.050735}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 10^{11},\\[8px]\vartheta (p_{k})&\leq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 198,\\[8px]|\vartheta (x)-x|&\leq 0.006788\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq 10\,544\,111,\\[8px]|\psi (x)-x|&\leq 0.006409\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq e^{22},\\[8px]0.9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}&&{\text{for }}x\geq 121.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7301be23d04a6fb8d72a32bdccccb1cc2f9596f)
![{\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\,\right)+{\tfrac {1}{3}}\pi \left({\sqrt[{3}]{x}}\,\right)+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/366ea3365a925e84a1dd8555ba2d8d27aac1207e)
