Characteristic classes of vector bundles
数学 、 特に 代数位相幾何学 、 微分幾何学 、 代数 幾何学において、 チャーン類は 複素 ベクトル束 に関連する 特性類 である。チャーン類は 、 弦理論、 チャーン＝サイモンズ理論 、 結び目理論 、 グロモフ＝ウィッテン不変量 など、数学や物理学の多くの分野における基礎概念となっている。チャーン類は 、Shiing-Shen Chern (1946) によって導入された。
幾何学的アプローチ
基本的な考え方と動機 チャーン類は 特性類です。滑らかな多様体上のベクトル束に関連付けられた 位相不変量 です 。一見異なる2つのベクトル束が同じであるかどうかという問いに答えるのは、非常に難しい場合があります。チャーン類は簡単なテストを提供します。2つのベクトル束のチャーン類が一致しない場合、それらのベクトル束は異なります。しかし、その逆は成り立ちません。
位相幾何学、微分幾何学、代数幾何学において、ベクトル束が 線型独立な 切断をいくつ持つかを数えることはしばしば重要になります。チャーン類は、例えば リーマン・ロッホの定理 や アティヤ・シンガーの指数定理 を通して、この点についていくつかの情報を提供します。
チャーン類は実用的に計算可能です。微分幾何学（および一部の代数幾何学）では、チャーン類は 曲率形式 の係数の多項式として表すことができます。
工事 この主題に取り組む方法はいろいろありますが、それぞれが Chern クラスのわずかに異なる特徴に焦点を当てています。
チャーン類への元々のアプローチは代数位相幾何学によるものでした。チャーン類は、 ベクトル束から 分類空間 （この場合は 無限 グラスマン多様体）への写像を提供する ホモトピー理論 から生じます。多様体 M上の任意の複素ベクトル束 Vに対して、 M から分類空間への 写像 f が存在し、束 V は分類空間上の普遍束の f による引き戻しに等しくなります。したがって、 Vのチャーン類は普遍束のチャーン類の引き戻しとして定義できます。そして、これらの普遍チャーン類は、 シューベルトサイクル を用いて明示的に記述できます 。
M から分類空間への任意の2つの写像 f , g において、引き戻しが同じバンドル V である場合、それらの写像は必ずホモトピックであることが示される。したがって、任意の普遍チャーン類から M のコホモロジー類への f または g による引き戻しは、 必ず同じ類となる。これは、 V のチャーン類が明確に定義されていることを示している。
チャーンのアプローチは、本稿で主に解説されている曲率アプローチを介した微分幾何学を用いた。彼は、以前の定義が実際には彼の定義と等価であることを示した。その結果得られた理論は チャーン＝ヴェイユ理論 として知られている。
アレクサンダー・グロタンディーク のアプローチもあり、 公理的には線束の場合のみを定義する必要があることを示しています。
チャーン類は代数幾何学 において自然に生じる 。代数幾何学における一般化チャーン類は、任意の非特異多様体上のベクトル束（より正確には、 局所自由層 ）に対して定義できる。代数幾何学的チャーン類は、基底体が特別な性質を持つことを必要としない。特に、ベクトル束は必ずしも複素数である必要はない。
特定のパラダイムに関わらず、チャーン類の直感的な意味は、 ベクトル束の 切断における「必要な零点」に関するものです。例えば、毛玉を平らに梳かすことはできないという定理（ 毛玉定理）が挙げられます。これは厳密には 実 ベクトル束に関する問題ですが （球状の「毛」は実際には実数直線のコピーです）、毛が複素数である場合（下記の複素毛玉定理の例を参照）、あるいは他の多くの体上の1次元射影空間の場合など、一般化が可能です。
詳しい議論については、 Chern-Simons 理論を 参照してください。
直線束のチャーン類 （ Xを CW複体 の ホモトピー型 を持つ位相空間とする 。）
V が 直線束 のとき、重要な特殊なケースが発生します 。このとき、唯一の非自明なチャーン類は、 X の第二コホモロジー群の元である第一チャーン類です。これはトップチャーン類なので、 束の オイラー類に等しくなります。
最初のチャーン類は、位相的に言えば、複素直線束を分類するための 完全な不変量 であることが判明している。つまり、 X 上の直線束の同型類 と の元との間には一対一の 関係 があり、これは直線束に最初のチャーン類を関連付ける。さらに、この一対一の関係は群準同型（したがって同型）である。
複素直線束の テンソル 積は 、第2コホモロジー群の加法に対応する。 [1] [2] H 2 ( X ; Z ) {\displaystyle H^{2}(X;\mathbb {Z} )} c 1 ( L ⊗ L ′ ) = c 1 ( L ) + c 1 ( L ′ ) ; {\displaystyle c_{1}(L\otimes L')=c_{1}(L)+c_{1}(L');}
代数幾何学において、第一チャーン類による複素直線束（の同型類）のこの分類は、因子の線型同値類による正則直線束（の同型類）の分類 の 大まかな 近似 で ある 。
1 より大きい次元の複素ベクトル束の場合、チャーン類は完全な不変量ではありません。
建設
チャーン・ワイル理論による 滑らかな多様体 M上の 複素階数 n の複素 ベクトル束 V が与えられ 、 ベクトル束接続 を固定する。すると、 V の 各チャーン類（ チャーン形式 とも呼ばれる）の代表値は、 の 曲率形式 の 特性多項式 の係数として与えられる 。 ∇ {\displaystyle \nabla } c k ( V ) {\displaystyle c_{k}(V)} Ω {\displaystyle \Omega } ∇ {\displaystyle \nabla }
det ( i t Ω 2 π + I ) = ∑ k c k ( V ) t k {\displaystyle \det \left({\frac {it\Omega }{2\pi }}+I\right)=\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}}
行列式は、 M 上の偶数次複素微分形式の可換代数に係数を持つ t の多項式を要素とする行列 環上にあります 。V の 曲率形式は 、
ω を 接続形式 、 d を 外微分 として定義されます
。あるいは、 ω を V の ゲージ群 の ゲージ場 として定義される同じ式によって定義されます 。スカラー tは、ここでは行列式から和を 生成する ための 不定値 としてのみ使用され 、 I は n × nの 単位行列 を表します 。 n × n {\displaystyle n\times n} Ω {\displaystyle \Omega } Ω = d ω + 1 2 [ ω , ω ] {\displaystyle \Omega =d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ]}
与えられた式が チャーン類の 代表であると言うことは、ここでの「類」が 正確な微分形式 の付加 までを 意味することを示しています。つまり、チャーン類は ド・ラーム・コホモロジー の意味で コホモロジー類 です。チャーン形式のコホモロジー類は接続の選択に依存しないことが示せます 。 ∇ {\displaystyle \nabla }
行列の恒等式から が成り立つ 。 にマクローリン級数を適用すると 、 チャーン 形式について次の式が得られる。 t r ( ln ( X ) ) = ln ( det ( X ) ) {\displaystyle \mathrm {tr} (\ln(X))=\ln(\det(X))} det ( X ) = exp ( t r ( ln ( X ) ) ) {\displaystyle \det(X)=\exp(\mathrm {tr} (\ln(X)))} ln ( X + I ) {\displaystyle \ln(X+I)}
∑ k c k ( V ) t k = [ 1 + i t r ( Ω ) 2 π t + t r ( Ω 2 ) − t r ( Ω ) 2 8 π 2 t 2 + i − 2 t r ( Ω 3 ) + 3 t r ( Ω 2 ) t r ( Ω ) − t r ( Ω ) 3 48 π 3 t 3 + ⋯ ] . {\displaystyle \sum _{k}c_{k}(V)t^{k}=\left[1+i{\frac {\mathrm {tr} (\Omega )}{2\pi }}t+{\frac {\mathrm {tr} (\Omega ^{2})-\mathrm {tr} (\Omega )^{2}}{8\pi ^{2}}}t^{2}+i{\frac {-2\mathrm {tr} (\Omega ^{3})+3\mathrm {tr} (\Omega ^{2})\mathrm {tr} (\Omega )-\mathrm {tr} (\Omega )^{3}}{48\pi ^{3}}}t^{3}+\cdots \right].}
オイラークラス経由 チャーン類はオイラー類を用いて定義することができます。これはミルナーとスタシェフの著書におけるアプローチであり、 ベクトル束の向き の役割を強調しています。
基本的な観察は、 複素ベクトル束は 最終的に連結であるため、標準的な向きを持つという ことです。したがって、束の最高チャーン類をそのオイラー類（基礎となる実ベクトル束のオイラー類）と定義し、下位のチャーン類を帰納的に扱います。 GL n ( C ) {\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}
正確な構築は以下の通りである。アイデアは、基底変換を行ってランクが1低いバンドルを得ることである。 を パラコンパクト空間 B 上の複素ベクトルバンドルとする 。 Bが E に零切断として 埋め込まれていると考え、 とし 、新しいベクトルバンドルを定義する。
ここで、各ファイバーは E の ファイバー Fを F 内の非零ベクトル v が張る直線で割った商となる（ B′ の点は E の ファイバー Fと F 上の非零ベクトルで指定される ）。 [3] このとき、は E よりもランクが1低い。 ファイバーバンドルの ギシン列 から 、 は の同型である ことが分かる 。 π : E → B {\displaystyle \pi \colon E\to B} B ′ = E ∖ B {\displaystyle B'=E\setminus B} E ′ → B ′ {\displaystyle E'\to B'} E ′ {\displaystyle E'} π | B ′ : B ′ → B {\displaystyle \pi |_{B'}\colon B'\to B} ⋯ → H k ( B ; Z ) → π | B ′ ∗ H k ( B ′ ; Z ) → ⋯ , {\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} ^{k}(B;\mathbb {Z} ){\overset {\pi |_{B'}^{*}}{\to }}\operatorname {H} ^{k}(B';\mathbb {Z} )\to \cdots ,} π | B ′ ∗ {\displaystyle \pi |_{B'}^{*}} k < 2 n − 1 {\displaystyle k<2n-1} c k ( E ) = { π | B ′ ∗ − 1 c k ( E ′ ) k < n e ( E R ) k = n 0 k > n {\displaystyle c_{k}(E)={\begin{cases}{\pi |_{B'}^{*}}^{-1}c_{k}(E')&k<n\\e(E_{\mathbb {R} })&k=n\\0&k>n\end{cases}}}
次に、この定義に対して Chern クラスの公理が満たされているかどうかを確認するために、いくらかの作業が必要になります。
参照: Thom 同型性 。
例
リーマン球面の複素接束 をリーマン球面 （1次元 複素射影空間） とする 。z を リーマン球面の 正則 局所座標 とする 。 各点において の形をとる複素接ベクトルの束を とする。ここで aは 複素数 である。 毛玉定理 の複素版を証明しよう 。V に は、どこでもゼロでない断面は存在しない。 C P 1 {\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}} V = T C P 1 {\displaystyle V=T\mathbb {CP} ^{1}} a ∂ / ∂ z {\displaystyle a\partial /\partial z}
このためには、次の事実が必要である：自明バンドルの最初のチャーン類はゼロである、すなわち、 c 1 ( C P 1 × C ) = 0. {\displaystyle c_{1}(\mathbb {CP} ^{1}\times \mathbb {C} )=0.}
これは、自明な束は常に平坦接続を持つという事実によって証明される。そこで、 c 1 ( V ) ≠ 0. {\displaystyle c_{1}(V)\not =0.}
ケーラー計量 を考える h = d z d z ¯ ( 1 + | z | 2 ) 2 . {\displaystyle h={\frac {dzd{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.}
曲率2形式は次のように与えられることが容易に示される。 Ω = 2 d z ∧ d z ¯ ( 1 + | z | 2 ) 2 . {\displaystyle \Omega ={\frac {2dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.}
さらに、第一チャーン類の定義により c 1 = [ i 2 π tr Ω ] . {\displaystyle c_{1}=\left[{\frac {i}{2\pi }}\operatorname {tr} \Omega \right].}
このコホモロジー類が非零であることを示さなければならない。極座標 に切り替えた後 、リーマン球面上で積分を計算すれば十分である
。 ストークスの定理 により 、 正確な形式 は0に積分されるため、コホモロジー類は非零である。 ∫ c 1 = i π ∫ d z ∧ d z ¯ ( 1 + | z | 2 ) 2 = 2 {\displaystyle \int c_{1}={\frac {i}{\pi }}\int {\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}=2}
これは、 が自明なベクトル束ではないことを証明します。 T C P 1 {\displaystyle T\mathbb {CP} ^{1}}
複素射影空間 層/束の正確なシーケンスがあります: [4] ここで 、 は構造層(つまり、自明な直線束)、 は セールのねじれ層 (つまり、 超平面束 )、最後の非ゼロ項は 接層 /束です。 0 → O C P n → O C P n ( 1 ) ⊕ ( n + 1 ) → T C P n → 0 {\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbb {CP} ^{n}\to 0} O C P n {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}} O C P n ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)}
上記のシーケンスを取得するには、次の 2 つの方法があります。
[5] を の座標とし、 を 正 準射影とし、 とすると、 次式が成り立ちます。 z 0 , … , z n {\displaystyle z_{0},\ldots ,z_{n}} C n + 1 , {\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1},} π : C n + 1 ∖ { 0 } → C P n {\displaystyle \pi \colon \mathbb {C} ^{n+1}\setminus \{0\}\to \mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}} U = C P n ∖ { z 0 = 0 } {\displaystyle U=\mathbb {CP} ^{n}\setminus \{z_{0}=0\}} π ∗ d ( z i / z 0 ) = z 0 d z i − z i d z 0 z 0 2 , i ≥ 1. {\displaystyle \pi ^{*}d(z_{i}/z_{0})={z_{0}dz_{i}-z_{i}dz_{0} \over z_{0}^{2}},\,i\geq 1.} 言い換えれば、 基底 を持つ 自由加群である 余接層 は 、次の正確な列に当てはまる。 Ω C P n | U {\displaystyle \Omega _{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}|_{U}} O U {\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}} d ( z i / z 0 ) {\displaystyle d(z_{i}/z_{0})} 0 → Ω C P n | U → d z i ↦ e i ⊕ 1 n + 1 O ( − 1 ) | U → e i ↦ z i O U → 0 , i ≥ 0 , {\displaystyle 0\to \Omega _{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}|_{U}{\overset {dz_{i}\mapsto e_{i}}{\to }}\oplus _{1}^{n+1}{\mathcal {O}}(-1)|_{U}{\overset {e_{i}\mapsto z_{i}}{\to }}{\mathcal {O}}_{U}\to 0,\,i\geq 0,}
は 中間項の基底です。同じ列は明らかに射影空間全体にわたって正確であり、その双対は前述の列です。 e i {\displaystyle e_{i}} L を 原点を通る 直線とする 。 点 L における複素接空間が、 L からその補空間への 線型写像の集合であることは、 初等幾何学 の演習問題で明らかになる。したがって、接束は
、η が を満たすベクトル束である ホム束 と同一視できる 。したがって、以下の式が成り立つ。 C n + 1 {\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}} C P n {\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}} T C P n {\displaystyle T\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}} Hom ( O ( − 1 ) , η ) {\displaystyle \operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),\eta )} O ( − 1 ) ⊕ η = O ⊕ ( n + 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)\oplus \eta ={\mathcal {O}}^{\oplus (n+1)}} T C P n ⊕ O = Hom ( O ( − 1 ) , η ) ⊕ Hom ( O ( − 1 ) , O ( − 1 ) ) = O ( 1 ) ⊕ ( n + 1 ) . {\displaystyle T\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}\oplus {\mathcal {O}}=\operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),\eta )\oplus \operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),{\mathcal {O}}(-1))={\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1)}.} 全チャーン類の加法性 （すなわち、ホイットニーの和の公式）により、 a はコホモロジー群の標準生成子 、すなわち、トートロジー直線束の最初のチャーン類の負 （注意：が E の双対である 場合 ） である。 c = 1 + c 1 + c 2 + ⋯ {\displaystyle c=1+c_{1}+c_{2}+\cdots } c ( C P n ) = d e f c ( T C P n ) = c ( O C P n ( 1 ) ) n + 1 = ( 1 + a ) n + 1 , {\displaystyle c(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}){\overset {\mathrm {def} }{=}}c(T\mathbb {CP} ^{n})=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}(1))^{n+1}=(1+a)^{n+1},} H 2 ( C P n , Z ) {\displaystyle H^{2}(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n},\mathbb {Z} )} O C P n ( − 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}(-1)} c 1 ( E ∗ ) = − c 1 ( E ) {\displaystyle c_{1}(E^{*})=-c_{1}(E)} E ∗ {\displaystyle E^{*}}
特に、任意 の k ≥ 0 {\displaystyle k\geq 0} c k ( C P n ) = ( n + 1 k ) a k . {\displaystyle c_{k}(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n})={\binom {n+1}{k}}a^{k}.}
チャーン多項式 チャーン多項式は、チャーン類や関連概念を体系的に扱うための便利な方法です。定義により、複素ベクトル束 E に対して、 E の チャーン多項式 c t は 次のように与えられます。 c t ( E ) = 1 + c 1 ( E ) t + ⋯ + c n ( E ) t n . {\displaystyle c_{t}(E)=1+c_{1}(E)t+\cdots +c_{n}(E)t^{n}.}
これは新しい不変量ではない。形式変数 tは単に c k ( E )の次数を追跡しているに過ぎない 。 [6] 特に、は E の 全チャーン類 によって完全に決定され 、 その逆もまた同様である。 c t ( E ) {\displaystyle c_{t}(E)} c ( E ) = 1 + c 1 ( E ) + ⋯ + c n ( E ) {\displaystyle c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E)}
チャーン類（下記参照）の公理の一つであるホイットニー和公式は、 c t が以下の意味で加法的であることを述べている。 ここで、が （複素）直線束の直和である場合、この和公式から以下の式が成り立つ。 ここで、 は 最初のチャーン類である。E の チャーン根 と呼ばれる根は 、多項式の係数を決定する。すなわち、 σ k は基本対称多項式 である 。言い換えれば、 a i を形式変数と考えると、 c k は σ k である。対称多項式 に関する基本事実は、例えば t i の任意の対称多項式は、 t i の基本対称多項式の多項式であるということである。 分割原理 または環論の いずれかによって、任意のチャーン多項式 はコホモロジー環を拡大した後、線型因子に因数分解される。これまでの議論において、 E は 直線束の直和である必要はない。結論は c t ( E ⊕ E ′ ) = c t ( E ) c t ( E ′ ) . {\displaystyle c_{t}(E\oplus E')=c_{t}(E)c_{t}(E').} E = L 1 ⊕ ⋯ ⊕ L n {\displaystyle E=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}} c t ( E ) = ( 1 + a 1 ( E ) t ) ⋯ ( 1 + a n ( E ) t ) {\displaystyle c_{t}(E)=(1+a_{1}(E)t)\cdots (1+a_{n}(E)t)} a i ( E ) = c 1 ( L i ) {\displaystyle a_{i}(E)=c_{1}(L_{i})} a i ( E ) {\displaystyle a_{i}(E)} c k ( E ) = σ k ( a 1 ( E ) , … , a n ( E ) ) {\displaystyle c_{k}(E)=\sigma _{k}(a_{1}(E),\ldots ,a_{n}(E))} c t ( E ) {\displaystyle c_{t}(E)}
「複素ベクトル束 Eにおける任意の対称多項式 f を評価するには、 f をσ k の多項式として 書き 、 σ k を c k ( E )に置き換えます 。」
例： s k などの 多項式があります （ ニュートンの恒等式 を参照）。この和
は E のチャーン指標と呼ばれ 、最初の数項は次のようになります（ E は省略します）。 t 1 k + ⋯ + t n k = s k ( σ 1 ( t 1 , … , t n ) , … , σ k ( t 1 , … , t n ) ) {\displaystyle t_{1}^{k}+\cdots +t_{n}^{k}=s_{k}(\sigma _{1}(t_{1},\ldots ,t_{n}),\ldots ,\sigma _{k}(t_{1},\ldots ,t_{n}))} s 1 = σ 1 , s 2 = σ 1 2 − 2 σ 2 {\displaystyle s_{1}=\sigma _{1},s_{2}=\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2}} ch ( E ) = e a 1 ( E ) + ⋯ + e a n ( E ) = ∑ s k ( c 1 ( E ) , … , c n ( E ) ) / k ! {\displaystyle \operatorname {ch} (E)=e^{a_{1}(E)}+\cdots +e^{a_{n}(E)}=\sum s_{k}(c_{1}(E),\ldots ,c_{n}(E))/k!} ch ( E ) = rk + c 1 + 1 2 ( c 1 2 − 2 c 2 ) + 1 6 ( c 1 3 − 3 c 1 c 2 + 3 c 3 ) + ⋯ . {\displaystyle \operatorname {ch} (E)=\operatorname {rk} +c_{1}+{\frac {1}{2}}(c_{1}^{2}-2c_{2})+{\frac {1}{6}}(c_{1}^{3}-3c_{1}c_{2}+3c_{3})+\cdots .}
例 : E の トッド類 は次のように与えられます。 td ( E ) = ∏ 1 n a i 1 − e − a i = 1 + 1 2 c 1 + 1 12 ( c 1 2 + c 2 ) + ⋯ . {\displaystyle \operatorname {td} (E)=\prod _{1}^{n}{a_{i} \over 1-e^{-a_{i}}}=1+{1 \over 2}c_{1}+{1 \over 12}(c_{1}^{2}+c_{2})+\cdots .}
注記 : チャーン類は本質的に初等対称多項式であるという観察は、チャーン類を「定義」するために用いることができる。G n を n 次元複素ベクトル空間の 無限グラスマン多項式 とする 。この空間には、階数 の同形ベクトル束 、例えば が存在する 。 は 階数ベクトル束の 分類空間 と呼ばれる。なぜなら、 X 上 の階数 n の任意の複素ベクトル束 E が与えられたとき、 に沿った へ の引き戻しが に 同型となるような 連続写像が存在し 、この写像は ホモトピーを除いて一意だからである。 ボレルの定理によれば、 G n のコホモロジー環はまさに対称多項式環であり、これは初等対称多項式 σ k の多項式である。したがって、 f E の引き戻しは次のよう に書ける。 そして、次のように置く。 n {\displaystyle n} E n → G n {\displaystyle E_{n}\to G_{n}} G n {\displaystyle G_{n}} n {\displaystyle n} f E : X → G n {\displaystyle f_{E}:X\to G_{n}} E n {\displaystyle E_{n}} X {\displaystyle X} f E {\displaystyle f_{E}} E {\displaystyle E} f E {\displaystyle f_{E}} f E ∗ : Z [ σ 1 , … , σ n ] → H ∗ ( X , Z ) . {\displaystyle f_{E}^{*}:\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]\to H^{*}(X,\mathbb {Z} ).} c k ( E ) = f E ∗ ( σ k ) . {\displaystyle c_{k}(E)=f_{E}^{*}(\sigma _{k}).}
注 ：任意の特性類はチャーン類の多項式である。その理由は以下の通りで ある。CW複素数 Xに、 X 上の階数 n の複素ベクトル束の同型類の集合を 、そして写像にその引き戻しを割り当てる反変関手を とする。定義により、 特性類 はコホモロジー関手へ の自然変換である。 特性類はコホモロジー環の環構造により環を形成する。 米田の補題によれば、この特性類の環は G n のコホモロジー環と全く同じである 。 Vect n C {\displaystyle \operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }} Vect n C = [ − , G n ] {\displaystyle \operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }=[-,G_{n}]} H ∗ ( − , Z ) . {\displaystyle H^{*}(-,\mathbb {Z} ).} Nat ( [ − , G n ] , H ∗ ( − , Z ) ) = H ∗ ( G n , Z ) = Z [ σ 1 , … , σ n ] . {\displaystyle \operatorname {Nat} ([-,G_{n}],H^{*}(-,\mathbb {Z} ))=H^{*}(G_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}].}
E を階数 r のベクトル束 と そのチャーン多項式
とし ます。 c t ( E ) = ∑ i = 0 r c i ( E ) t i {\displaystyle c_{t}(E)=\sum _{i=0}^{r}c_{i}(E)t^{i}}
の 双対バンドル については 、 。 [7] E ∗ {\displaystyle E^{*}} E {\displaystyle E} c i ( E ∗ ) = ( − 1 ) i c i ( E ) {\displaystyle c_{i}(E^{*})=(-1)^{i}c_{i}(E)} L が線束 ならば [8] [9] であり 、 c t ( E ⊗ L ) = ∑ i = 0 r c i ( E ) c t ( L ) r − i t i {\displaystyle c_{t}(E\otimes L)=\sum _{i=0}^{r}c_{i}(E)c_{t}(L)^{r-i}t^{i}} c i ( E ⊗ L ) , i = 1 , 2 , … , r {\displaystyle c_{i}(E\otimes L),i=1,2,\dots ,r} c 1 ( E ) + r c 1 ( L ) , … , ∑ j = 0 i ( r − i + j j ) c i − j ( E ) c 1 ( L ) j , … , ∑ j = 0 r c r − j ( E ) c 1 ( L ) j . {\displaystyle c_{1}(E)+rc_{1}(L),\dots ,\sum _{j=0}^{i}{\binom {r-i+j}{j}}c_{i-j}(E)c_{1}(L)^{j},\dots ,\sum _{j=0}^{r}c_{r-j}(E)c_{1}(L)^{j}.} の チャーン根については 、 [10] 特に、 α 1 , … , α r {\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}} E {\displaystyle E} c t ( Sym p E ) = ∏ i 1 ≤ ⋯ ≤ i p ( 1 + ( α i 1 + ⋯ + α i p ) t ) , c t ( ∧ p E ) = ∏ i 1 < ⋯ < i p ( 1 + ( α i 1 + ⋯ + α i p ) t ) . {\displaystyle {\begin{aligned}c_{t}(\operatorname {Sym} ^{p}E)&=\prod _{i_{1}\leq \cdots \leq i_{p}}(1+(\alpha _{i_{1}}+\cdots +\alpha _{i_{p}})t),\\c_{t}(\wedge ^{p}E)&=\prod _{i_{1}<\cdots <i_{p}}(1+(\alpha _{i_{1}}+\cdots +\alpha _{i_{p}})t).\end{aligned}}} c 1 ( ∧ r E ) = c 1 ( E ) . {\displaystyle c_{1}(\wedge ^{r}E)=c_{1}(E).} 例えば、 [11] では 、 c i = c i ( E ) {\displaystyle c_{i}=c_{i}(E)} いつ 、 r = 2 {\displaystyle r=2} c ( Sym 2 E ) = 1 + 3 c 1 + 2 c 1 2 + 4 c 2 + 4 c 1 c 2 , {\displaystyle c(\operatorname {Sym} ^{2}E)=1+3c_{1}+2c_{1}^{2}+4c_{2}+4c_{1}c_{2},} いつ 、 r = 3 {\displaystyle r=3} c ( Sym 2 E ) = 1 + 4 c 1 + 5 c 1 2 + 5 c 2 + 2 c 1 3 + 11 c 1 c 2 + 7 c 3 . {\displaystyle c(\operatorname {Sym} ^{2}E)=1+4c_{1}+5c_{1}^{2}+5c_{2}+2c_{1}^{3}+11c_{1}c_{2}+7c_{3}.} (cf. Segre クラス#例 2 )
これらの抽象的性質を用いて、 上の線束の残りのチャーン類を計算することができます 。 を 示したことを思い出してください 。次に、テンソル冪を用いて、任意の整数に対する のチャーン類と関連付けることができます 。 C P 1 {\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}} O ( − 1 ) ∗ ≅ O ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)^{*}\cong {\mathcal {O}}(1)} c 1 ( O ( 1 ) ) = 1 ∈ H 2 ( C P 1 ; Z ) {\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}(1))=1\in H^{2}(\mathbb {CP} ^{1};\mathbb {Z} )} c 1 ( O ( n ) ) = n {\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}(n))=n}
プロパティ 位相空間 X 上の 複素ベクトル束 E が与えられたとき、 E のチャーン類は X の コホモロジー の元の列である 。 E の k 番目のチャーン類は 、通常 c k ( E ) と表記され、 整数 係数を持つ X のコホモロジー の元である
。また、 全チャーン類 を定義することもできる。 H 2 k ( X ; Z ) , {\displaystyle H^{2k}(X;\mathbb {Z} ),} c ( E ) = c 0 ( E ) + c 1 ( E ) + c 2 ( E ) + ⋯ . {\displaystyle c(E)=c_{0}(E)+c_{1}(E)+c_{2}(E)+\cdots .}
値は実係数のコホモロジー群ではなく整数コホモロジー群にあるため、これらのチャーン類はリーマン例のものよりもわずかに洗練されています。 [ 説明が必要 ]
古典的な公理的定義 Chern クラスは次の 4 つの公理を満たします。
c 0 ( E ) = 1 {\displaystyle c_{0}(E)=1} すべてのE について 。 自然性: が 連続 で、 f*Eが E の ベクトル束プルバック である場合 、 となります 。 f : Y → X {\displaystyle f:Y\to X} c k ( f ∗ E ) = f ∗ c k ( E ) {\displaystyle c_{k}(f^{*}E)=f^{*}c_{k}(E)} ホイットニー 和公式： が 別の複素ベクトル束である場合、 直和 のチャーン類は次のように与えられる 。 F → X {\displaystyle F\to X} E ⊕ F {\displaystyle E\oplus F} c ( E ⊕ F ) = c ( E ) ⌣ c ( F ) ; {\displaystyle c(E\oplus F)=c(E)\smile c(F);} c k ( E ⊕ F ) = ∑ i = 0 k c i ( E ) ⌣ c k − i ( F ) . {\displaystyle c_{k}(E\oplus F)=\sum _{i=0}^{k}c_{i}(E)\smile c_{k-i}(F).} 正規化:上の 同語直線束 の全チャーン類は 1− H であり、ここで H は 超平面 の ポアンカレ双対で ある。 C P k {\displaystyle \mathbb {CP} ^{k}} C P k − 1 ⊆ C P k {\displaystyle \mathbb {CP} ^{k-1}\subseteq \mathbb {CP} ^{k}}
グロタンディークの公理的アプローチ あるいは、 アレクサンダー・グロタンディーク （1958）は、これらをわずかに小さい公理のセットに置き換えました。
自然度: (上記と同じ) 加法性: が ベクトル束の 正確な列 である場合、 となります 。 0 → E ′ → E → E ″ → 0 {\displaystyle 0\to E'\to E\to E''\to 0} c ( E ) = c ( E ′ ) ⌣ c ( E ″ ) {\displaystyle c(E)=c(E')\smile c(E'')} 正規化: Eが 線束 で ある場合 、 は 基礎となる実ベクトル束の オイラー 類 です。 c ( E ) = 1 + e ( E R ) {\displaystyle c(E)=1+e(E_{\mathbb {R} })} e ( E R ) {\displaystyle e(E_{\mathbb {R} })} 彼は、 ルレイ・ヒルシュの定理 を用いて、任意の有限階数の複素ベクトル束の全チャーン類が、トートロジー的に定義された直線束の最初のチャーン類によって定義できることを示しています。
すなわち、階数 nの 複素ベクトル束 E → B の射影化を、 任意の点における繊維が 繊維 E b の射影空間となるB 上の繊維束として導入する 。この束の全空間 には、その同語複素直線束が備わっており、これを と表記する。また、 各繊維に対して、 複素射影空間 のコホモロジーを考慮し、繊維のコホモロジーを張る超平面の（ポアンカレ双対）類をマイナスとする 最初のチャーン類
の制限が課される 。 P ( E ) {\displaystyle \mathbb {P} (E)} b ∈ B {\displaystyle b\in B} P ( E ) {\displaystyle \mathbb {P} (E)} τ {\displaystyle \tau } c 1 ( τ ) =: − a {\displaystyle c_{1}(\tau )=:-a} P ( E b ) {\displaystyle \mathbb {P} (E_{b})}
したがって、これらの類は、 ファイバーのコホモロジーの基底に制限されるアンビエントコホモロジー類の族を形成する。 ルレイ・ヒルシュの定理 によれば、任意の類は、基底上の類を係数として 、 1, a , a 2 , ..., a n −1 の線型結合として一意に表すことができる。 1 , a , a 2 , … , a n − 1 ∈ H ∗ ( P ( E ) ) {\displaystyle 1,a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}\in H^{*}(\mathbb {P} (E))} H ∗ ( P ( E ) ) {\displaystyle H^{*}(\mathbb {P} (E))}
特に、 グロタンディークの意味で E のチャーン類を定義することができ、これは次のようにクラスを展開することによって表され 、関係は次のようになります。 c 1 ( E ) , … c n ( E ) {\displaystyle c_{1}(E),\ldots c_{n}(E)} − a n {\displaystyle -a^{n}} − a n = c 1 ( E ) ⋅ a n − 1 + ⋯ + c n − 1 ( E ) ⋅ a + c n ( E ) . {\displaystyle -a^{n}=c_{1}(E)\cdot a^{n-1}+\cdots +c_{n-1}(E)\cdot a+c_{n}(E).}
次に、この代替定義が、自分が好む他の定義と一致するかどうかを確認したり、以前の公理的な特徴付けを使用したりできます。
チャーンクラスのトップ 実際、これらの性質はチャーン類を独自に特徴づけるものであり、とりわけ以下のことを意味します。
nが V の複素階数である とき 、すべての k > n に対して成立 する。したがって、全チャーン類は終了する。 c k ( V ) = 0 {\displaystyle c_{k}(V)=0} V の最高チャーン類 （つまり 、 nは V の階数）は 、基礎となる実ベクトル束の オイラー類 と常に等しくなります。 c n ( V ) {\displaystyle c_{n}(V)}
代数幾何学では
公理的な記述 コホモロジー環の代数幾何的な類似体である チョウ環 に値を取るチャーン類の別の構成もあります。
を次元 の非特異な準射影多様体とする 。チャーン類と呼ばれる 元に代数的ベクトル束を割り当て 、チャーン多項式 が以下の式を満たす、 チャーン類の唯一の理論が存在することが示される （グロタンディークの公理的アプローチに類似）。 [12] X {\displaystyle X} n {\displaystyle n} E → X {\displaystyle E\to X} c i ( E ) ∈ A i ( X ) {\displaystyle c_{i}(E)\in A^{i}(X)} c t ( E ) = c 0 ( E ) + c 1 ( E ) t + ⋯ + c n ( E ) t n {\displaystyle c_{t}(E)=c_{0}(E)+c_{1}(E)t+\cdots +c_{n}(E)t^{n}}
カルティエ因子 の場合 、 となり 、 となります 。 D {\displaystyle D} E ≅ O X ( D ) {\displaystyle E\cong {\mathcal {O}}_{X}(D)} c t ( E ) = 1 + D t {\displaystyle c_{t}(E)=1+Dt} が射影である 場合、 となります 。 f : X ′ → X {\displaystyle f:X'\to X} c i ( f ∗ E ) = f ∗ c i ( E ) {\displaystyle c_{i}(f^{*}E)=f^{*}c_{i}(E)} が 上のベクトル束の正確な列である 場合 、ホイットニーの和の公式が成り立ちます 。 0 → E ′ → E → E ″ → 0 {\displaystyle 0\to E'\to E\to E''\to 0} X {\displaystyle X} c t ( E ) = c t ( E ′ ) c t ( E ″ ) {\displaystyle c_{t}(E)=c_{t}(E')c_{t}(E'')}
通常のシーケンス 射影空間の特性類を計算することは、多くの特性類計算の基礎となる。なぜなら、任意の滑らかな射影部分多様体に対して、 短い正確な列が存在する
からである。 X ⊂ P n {\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}} 0 → T X → T P n | X → N X / P n → 0 {\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}|_{X}\to {\mathcal {N}}_{X/\mathbb {P} ^{n}}\to 0}
五重三重 例えば、 の非特異 五次三次 多様体を考える 。その正規束は で与えられ 、短完全列 P 4 {\displaystyle \mathbb {P} ^{4}} O X ( 5 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(5)} 0 → T X → T P 4 | X → O X ( 5 ) → 0 {\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{4}}|_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(5)\to 0}
における超平面類を と表記する 。するとホイットニーの和公式から次の式が得られる。 h {\displaystyle h} A ∙ ( X ) {\displaystyle A^{\bullet }(X)} c ( T X ) c ( O X ( 5 ) ) = ( 1 + h ) 5 = 1 + 5 h + 10 h 2 + 10 h 3 {\displaystyle c({\mathcal {T}}_{X})c({\mathcal {O}}_{X}(5))=(1+h)^{5}=1+5h+10h^{2}+10h^{3}}
超曲面のチャウ環を計算するのは困難であるため、この列を の連接層の列として考える 。これにより、 P 4 {\displaystyle \mathbb {P} ^{4}} c ( T X ) = 1 + 5 h + 10 h 2 + 10 h 3 1 + 5 h = ( 1 + 5 h + 10 h 2 + 10 h 3 ) ( 1 − 5 h + 25 h 2 − 125 h 3 ) = 1 + 10 h 2 − 40 h 3 {\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {1+5h+10h^{2}+10h^{3}}{1+5h}}\\&=\left(1+5h+10h^{2}+10h^{3}\right)\left(1-5h+25h^{2}-125h^{3}\right)\\&=1+10h^{2}-40h^{3}\end{aligned}}}
ガウス・ボネ定理を用いると、類を積分して オイラー標数を計算することができます。これは伝統的に オイラー類 と呼ばれます。これは、 類が 5点で表現できるためです（ ベズーの定理 ）。そして、オイラー標数の定義とレフシェッツ超平面定理を用いることで、オイラー標数を用いて のコホモロジーのベッティ数を計算することができます。 c 3 ( T X ) {\displaystyle c_{3}({\mathcal {T}}_{X})} ∫ [ X ] c 3 ( T X ) = ∫ [ X ] − 40 h 3 = − 200 {\displaystyle \int _{[X]}c_{3}({\mathcal {T}}_{X})=\int _{[X]}-40h^{3}=-200} h 3 {\displaystyle h^{3}} X {\displaystyle X}
d次超曲面 が 次滑らかな超曲面である 場合、 関係式 を与える 短完全列 が得られる ので、これを と計算できます
。これにより 、全体のチャーン類が得られます。特に、が偶数である 場合、 はスピン4次元多様体であることが分かる ので、 次滑らかな超曲面はすべて スピン多様体 となります 。 X ⊂ P 3 {\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{3}} d {\displaystyle d} 0 → T X → T P 3 | X → O X ( d ) → 0 {\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{3}}|_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(d)\to 0} c ( T X ) = c ( T P 3 | X ) c ( O X ( d ) ) {\displaystyle c({\mathcal {T}}_{X})={\frac {c({\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{3}|_{X}})}{c({\mathcal {O}}_{X}(d))}}} c ( T X ) = ( 1 + [ H ] ) 4 ( 1 + d [ H ] ) = ( 1 + 4 [ H ] + 6 [ H ] 2 ) ( 1 − d [ H ] + d 2 [ H ] 2 ) = 1 + ( 4 − d ) [ H ] + ( 6 − 4 d + d 2 ) [ H ] 2 {\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {(1+[H])^{4}}{(1+d[H])}}\\&=(1+4[H]+6[H]^{2})(1-d[H]+d^{2}[H]^{2})\\&=1+(4-d)[H]+(6-4d+d^{2})[H]^{2}\end{aligned}}} X {\displaystyle X} 4 − d {\displaystyle 4-d} 2 k {\displaystyle 2k}
近似概念
チャーンキャラクター チャーン類は、空間の 位相的K理論 からその有理コホモロジー（の完備化）への環の準同型を構成するために用いることができる。直線束 L に対して、チャーン指標chは次のように定義される
。
ch ( L ) = exp ( c 1 ( L ) ) := ∑ m = 0 ∞ c 1 ( L ) m m ! . {\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.}
より一般的には、 直線束の直和が第一チャーン類である場合、 チャーン指標は加法的に定義される。 V = L 1 ⊕ ⋯ ⊕ L n {\displaystyle V=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}} x i = c 1 ( L i ) , {\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i}),} ch ( V ) = e x 1 + ⋯ + e x n := ∑ m = 0 ∞ 1 m ! ( x 1 m + ⋯ + x n m ) . {\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\cdots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\cdots +x_{n}^{m}).}
これは次のように書き直すことができる: [13]
ch ( V ) = rk ( V ) + c 1 ( V ) + 1 2 ( c 1 ( V ) 2 − 2 c 2 ( V ) ) + 1 6 ( c 1 ( V ) 3 − 3 c 1 ( V ) c 2 ( V ) + 3 c 3 ( V ) ) + ⋯ . {\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\operatorname {rk} (V)+c_{1}(V)+{\frac {1}{2}}(c_{1}(V)^{2}-2c_{2}(V))+{\frac {1}{6}}(c_{1}(V)^{3}-3c_{1}(V)c_{2}(V)+3c_{3}(V))+\cdots .}
この最後の式は、 分割原理 を適用することで正当化され、任意のベクトル束 V の定義 ch(V) として採用されます。
基底が多様体である場合に接続を使用してチャーン類を定義する場合（つまり、 チャーン-ヴェイユ理論 ）、チャーン指標の明示的な形式は次のようになります
。 ここで 、Ωは接続の 曲率 です 。 ch ( V ) = [ tr ( exp ( i Ω 2 π ) ) ] {\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\left[\operatorname {tr} \left(\exp \left({\frac {i\Omega }{2\pi }}\right)\right)\right]}
チャーン指標は、テンソル積のチャーン類の計算を容易にするため、特に有用である。具体的には、以下の恒等式に従う。
ch ( V ⊕ W ) = ch ( V ) + ch ( W ) {\displaystyle \operatorname {ch} (V\oplus W)=\operatorname {ch} (V)+\operatorname {ch} (W)} ch ( V ⊗ W ) = ch ( V ) ch ( W ) . {\displaystyle \operatorname {ch} (V\otimes W)=\operatorname {ch} (V)\operatorname {ch} (W).}
上述のように、チャーン類に対するグロタンディークの加法性公理を用いると、これらの恒等式の最初のものは一般化され、 chは K 理論 K ( X )から X の有理コホモロジーへ の アーベル群の 準同型 であると述べることができる。2番目の恒等式は、この準同型が K ( X )の積も尊重するという事実を確立し 、したがって ch は環の準同型となる。
チャーン指標は ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理 で使用されます。
チャーン数 次元の 有向多様体 を扱う場合 、全次数のチャーン類の積 （すなわち、積におけるチャーン類の添え字の合計は となるべき）は 、向きホモロジー類 と対にして （または「多様体上で積分」して）整数、つまりベクトル束の チャーン数 を与えることができる。例えば、多様体の次元が 6 の場合、 、 、 の3 つの線形独立なチャーン数が存在している 。一般に、多様体の次元が の場合 、可能な独立チャーン数の数は の 分割 数である。 2 n {\displaystyle 2n} 2 n {\displaystyle 2n} n {\displaystyle n} c 1 3 {\displaystyle c_{1}^{3}} c 1 c 2 {\displaystyle c_{1}c_{2}} c 3 {\displaystyle c_{3}} 2 n {\displaystyle 2n} n {\displaystyle n}
複素数（またはほぼ複素数）多様体の接束のチャーン数は多様体のチャーン数と呼ばれ、重要な不変量です。
一般化コホモロジー理論 チャーン類の理論には一般化があり、通常のコホモロジーを 一般化されたコホモロジー理論 に置き換えます。このような一般化が可能な理論は、 複素有向性 と呼ばれます。チャーン類の形式的な性質は同じですが、重要な違いが1つあります。それは、線束のテンソル積の第一チャーン類を因子の第一チャーン類を用いて計算する規則が、（通常の）加法ではなく、 形式的な群法則 であるという点です。
代数幾何学 代数幾何学には、ベクトル束のチャーン類に関する同様の理論があります。チャーン類がどの群に属するかによって、いくつかのバリエーションがあります。
複素多様体の場合、チャーン類は上記のように通常のコホモロジーの値を取ることができます。 一般体上の多様体の場合、チャーン類は エタールコホモロジー や l 進コホモロジー などのコホモロジー理論で値を取ることができます。 一般体上の多様体V に対して、 チャーン類は チャウ群 CH(V) の準同型で値を取ることもできます。たとえば、多様体 V 上の直線束の最初のチャーン類は、次数を 1 減らしたCH( V ) から CH( V ) への準同型です。これは、チャウ群がホモロジー群の一種の類似体であり、コホモロジー群の元は キャップ積 を使用したホモロジー群の準同型として考えることができるという事実に対応します 。
構造を持つ多様体 チャーン類の理論は、 ほぼ複素多様体 に対する コボルディズム 不変量を生み出します。
M が概複素多様体である 場合、その 接束は 複素ベクトル束である。したがって、 M の チャーン類は、 その接束のチャーン類として定義される。 Mが コンパクト で次元が 2 d である場合、チャーン類の 全次数 2 d の各 単項式は、 M の 基本類 と対になって 整数、すなわち M の チャーン数 を与える。 M ′ が同じ次元の別の概複素多様体である場合、 M ′ のチャーン数が M のチャーン数と一致する場合、かつその場合に 限り 、 M と同型である 。
この理論は、両立する概複素構造を介することで、実 シンプレク ティックベクトル束にも拡張される。特に、 シンプレクティック多様体は 明確に定義されたチャーン類を持つ。
算術スキームとディオファントス方程式 （ アラケロフ幾何学 を参照）
参照
注記 ^ ボット、ラウル 、トゥ、ローリング (1995). 代数的位相幾何学における微分形式 (Corr. 3. 印刷版). ニューヨーク [ua]: シュプリンガー. p. 267ff. ISBN 3-540-90613-4 。 ^ ハッチャー、アレン . 「ベクトル束とK理論」 (PDF) . 命題3.10. ^ 編集者注: 私たちの表記法は Milnor−Stasheff の表記法とは異なりますが、より自然に思われます。 ^ この数列は オイラー数列 と呼ばれることもあります。 ^ Hartshorne、第II章 定理8.13。 ^ 環論的な項では、次数付き環の同型性が存在します。 ここで、左辺は偶数項のコホモロジー環、η は次数を無視した環準同型性であり、 x は同次で次数 | x | を持ちます。 H 2 ∗ ( M , Z ) → ⊕ k ∞ η ( H 2 ∗ ( M , Z ) ) [ t ] , x ↦ x t | x | / 2 {\displaystyle H^{2*}(M,\mathbb {Z} )\to \oplus _{k}^{\infty }\eta (H^{2*}(M,\mathbb {Z} ))[t],x\mapsto xt^{|x|/2}} ^ フルトン、注釈3.2.3. (a) ^ フルトン、注釈3.2.3. (b) ^ Fulton、例3.2.2。 ^ フルトン、注釈3.2.3. (c) ^ たとえば、WolframAlpha を使用して多項式を展開し、 が の基本的な対称多項式であるという事実を使用します 。 c i {\displaystyle c_{i}} α i {\displaystyle \alpha _{i}} ^ Hartshorne、付録A.3 Chernクラス。 ^ (§ チャーン多項式も参照) V が 線束の和であるとき、 V のチャーン類は における基本対称多項式として表現できることに注目してください。特に、一方では であり、他方では その結果として、ニュートンの恒等式を使用して、上記の ch( V ) におけるべき乗和を V の チャーン 類 のみ で 再 表現 する こと が でき 、 主張する式が得られます。 x i {\displaystyle x_{i}} c i ( V ) = e i ( x 1 , … , x n ) . {\displaystyle c_{i}(V)=e_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}).} c ( V ) := ∑ i = 0 n c i ( V ) , {\displaystyle c(V):=\sum _{i=0}^{n}c_{i}(V),} c ( V ) = c ( L 1 ⊕ ⋯ ⊕ L n ) = ∏ i = 1 n c ( L i ) = ∏ i = 1 n ( 1 + x i ) = ∑ i = 0 n e i ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle {\begin{aligned}c(V)&=c(L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n})\\&=\prod _{i=1}^{n}c(L_{i})\\&=\prod _{i=1}^{n}(1+x_{i})\\&=\sum _{i=0}^{n}e_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})\end{aligned}}}
参考文献
外部リンク
フィールド 重要な概念 メトリックとプロパティ 主な結果
![{\displaystyle \Omega =d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f7c4659b6e7352c32510a81c0d9f8afdeab74e)
![{\displaystyle \sum _{k}c_{k}(V)t^{k}=\left[1+i{\frac {\mathrm {tr} (\Omega )}{2\pi }}t+{\frac {\mathrm {tr} (\Omega ^{2})-\mathrm {tr} (\Omega )^{2}}{8\pi ^{2}}}t^{2}+i{\frac {-2\mathrm {tr} (\Omega ^{3})+3\mathrm {tr} (\Omega ^{2})\mathrm {tr} (\Omega )-\mathrm {tr} (\Omega )^{3}}{48\pi ^{3}}}t^{3}+\cdots \right]。](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665e6b590402d49117e2ea870d5df279e1d89ef1)
![{\displaystyle c_{1}=\left[{\frac {i}{2\pi }}\operatorname {tr} \Omega \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55b51326e739a3dc716d0f6d9e0d5d095d6c3fe8)
![{\displaystyle f_{E}^{*}:\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]\to H^{*}(X,\mathbb {Z} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01756308bbe78178bd49f25f1e5e2aa297e0c025)
![{\displaystyle \operatorname {ベクトル} _{n}^{\mathbb {C} }=[-,G_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a335e563799383694e3073de608043b248286367)
![{\displaystyle \operatorname {Nat} ([-,G_{n}],H^{*}(-,\mathbb {Z} ))=H^{*}(G_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c796a5ea1c5c3e24fabeb95c5cfeef9d7c66150e)
![{\displaystyle \int _{[X]}c_{3}({\mathcal {T}}_{X})=\int _{[X]}-40h^{3}=-200}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc53a6bd8f1db3ed43036979c121c553109d53b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {(1+[H])^{4}}{(1+d[H])}}\\&=(1+4[H]+6[H]^{2})(1-d[H]+d^{2}[H]^{2})\\&=1+(4-d)[H]+(6-4d+d^{2})[H]^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca2779c48dbc64c5414a4da97c9f9941accadf3a)
![{\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\left[\operatorname {tr} \left(\exp \left({\frac {i\Omega }{2\pi }}\right)\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2473fa0b260fc2463468e8b3984a178804ba7ccf)
![{\displaystyle H^{2*}(M,\mathbb {Z} )\to \oplus _{k}^{\infty }\eta (H^{2*}(M,\mathbb {Z} ))[t],x\mapsto xt^{|x|/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dd6eaeedff045ca1d0fe892e1e494984372baa2)
