カイ分布

Probability distribution

カイ
確率密度関数
累積分布関数
表記	${\displaystyle \chi (k)\;}$または ${\displaystyle \chi _{k}\!}$
パラメータ	${\displaystyle k>0\,}$（自由度）
サポート	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{2^{(k/2)-1}\Gamma (k/2)}}\;x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}$
CDF	${\displaystyle P(k/2,x^{2}/2)\,}$
平均	${\displaystyle \mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}}$
中央値	${\displaystyle \approx {\sqrt {k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}}}}$
モード	${\displaystyle {\sqrt {k-1}}\,}$のために ${\displaystyle k\geq 1}$
分散	${\displaystyle \sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,}$
歪度	${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3}}}\,(1-2\sigma ^{2})}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})}$
エントロピ	${\displaystyle \ln(\Gamma (k/2))+\,}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi _{0}(k/2))}$
MGF	複雑（本文参照）
CF	複雑（本文参照）

確率論および統計学において、カイ分布（カイさんさんぶん、カイさんぶん、カイさんぶん）は、非負の実数直線上の連続確率分布である。これは、独立したガウス分布の確率変数の平方和の正の平方根の分布である。言い換えれば、これは多変量ガウス分布の確率変数と原点との間のユークリッド距離の分布である。カイ分布は、カイ二乗分布に従う変数の正の平方根を表す。

が平均0、標準偏差1の独立した正規分布の確率変数である場合、統計量は ${\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{k}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle Y={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}}}}$

はカイ分布に従って分布します。カイ分布は1つの正の整数パラメータを持ち、これは自由度（つまり、確率変数の数）を指定します。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Z_{i}}$

最もよく知られている例としては、レイリー分布（自由度が2 のカイ分布）と理想気体中の分子速度のマクスウェル・ボルツマン分布（自由度が 3 のカイ分布）があります。

定義

確率密度関数

カイ分布の確率密度関数（pdf ）は

${\displaystyle f(x;k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{k/2-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x\geq 0;\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

ここでガンマ関数です。 ${\displaystyle \Gamma (z)}$

累積分布関数

累積分布関数は次のように表されます。

${\displaystyle F(x;k)=P(k/2,x^{2}/2)\,}$

ここでは正規化されたガンマ関数です。 ${\displaystyle P(k,x)}$

生成関数

モーメント生成関数は次のように与えられます。

${\displaystyle M(t)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right)+t{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right),}$

ここではクンマーの合流型超幾何関数 である。特性関数は次のように与えられる。 ${\displaystyle M(a,b,z)}$

${\displaystyle \varphi (t;k)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)+it{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right).}$

プロパティ

瞬間

生のモーメントは次のように与えられます。

${\displaystyle \mu _{j}=\int _{0}^{\infty }f(x;k)x^{j}\mathrm {d} x=2^{j/2}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+j)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}}$

ここではガンマ関数です。したがって、最初のいくつかのモーメントは次のようになります。 ${\displaystyle \ \Gamma (z)\ }$

${\displaystyle \mu _{1}={\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+1)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}}$

${\displaystyle \mu _{2}=k\ ,}$

${\displaystyle \mu _{3}=2{\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+3)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}=(k+1)\ \mu _{1}\ ,}$

${\displaystyle \mu _{4}=(k)(k+2)\ ,}$

${\displaystyle \mu _{5}=4{\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k\!+\!5)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}=(k+1)(k+3)\ \mu _{1}\ ,}$

${\displaystyle \mu _{6}=(k)(k+2)(k+4)\ ,}$

ここで右端の式はガンマ関数の再帰関係を使用して導出されます。

${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\ \Gamma (x)~.}$

これらの式から、次の関係を導き出すことができます。

平均: kが大きい場合はに近くなります。 ${\displaystyle \mu ={\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+1)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}\ ,}$ ${\displaystyle {\sqrt {k-{\tfrac {1}{2}}\ }}\ }$

分散: k が増加するにつれて近づきます。 ${\displaystyle V=k-\mu ^{2}\ ,}$ ${\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}\ }$

歪度： ${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu }{\ \sigma ^{3}\ }}\left(1-2\sigma ^{2}\right)~.}$

尖度過剰: ${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {2}{\ \sigma ^{2}\ }}\left(1-\mu \ \sigma \ \gamma _{1}-\sigma ^{2}\right)~.}$

エントロピ

エントロピーは次のように与えられます。

${\displaystyle S=\ln(\Gamma (k/2))+{\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi ^{0}(k/2))}$

ここで、はポリガンマ関数です。 ${\displaystyle \psi ^{0}(z)}$

大きなn近似

カイ2乗分布の平均と分散のn=k+1近似値を求めます。これは、例えば、正規分布する母集団の標本の標準偏差の分布を求める際に応用されます（nは標本サイズ）。

平均は次のようになります。

${\displaystyle \mu ={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma ((n-1)/2)}}}$

ルジャンドルの複製公式を使用して次のように記述します。

${\displaystyle 2^{n-2}\,\Gamma ((n-1)/2)\cdot \Gamma (n/2)={\sqrt {\pi }}\Gamma (n-1)}$、

となることによって：

${\displaystyle \mu ={\sqrt {2/\pi }}\,2^{n-2}\,{\frac {(\Gamma (n/2))^{2}}{\Gamma (n-1)}}}$

ガンマ関数のスターリング近似を使用すると、平均値は次のようになります。

${\displaystyle \mu ={\sqrt {2/\pi }}\,2^{n-2}\,{\frac {\left({\sqrt {2\pi }}(n/2-1)^{n/2-1+1/2}e^{-(n/2-1)}\cdot [1+{\frac {1}{12(n/2-1)}}+O({\frac {1}{n^{2}}})]\right)^{2}}{{\sqrt {2\pi }}(n-2)^{n-2+1/2}e^{-(n-2)}\cdot [1+{\frac {1}{12(n-2)}}+O({\frac {1}{n^{2}}})]}}}$

${\displaystyle =(n-2)^{1/2}\,\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]={\sqrt {n-1}}\,(1-{\frac {1}{n-1}})^{1/2}\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}$

${\displaystyle ={\sqrt {n-1}}\,\cdot \left[1-{\frac {1}{2n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]\,\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}$

${\displaystyle ={\sqrt {n-1}}\,\cdot \left[1-{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}$

したがって、分散は次のようになります。

${\displaystyle V=(n-1)-\mu ^{2}\,=(n-1)\cdot {\frac {1}{2n}}\,\cdot \left[1+O({\frac {1}{n}})\right]}$

関連ディストリビューション

• もしそうなら（カイ二乗分布） ${\displaystyle X\sim \chi _{k}}$ ${\displaystyle X^{2}\sim \chi _{k}^{2}}$
• ${\displaystyle \chi _{1}\sim \mathrm {HN} (1)\,}$（半正規分布）の場合、つまり、 の場合、任意の の場合、 ${\displaystyle X\sim N(0,1)\,}$ ${\displaystyle |X|\sim \chi _{1}\,}$ ${\displaystyle Y\sim \mathrm {HN} (\sigma )\,}$ ${\displaystyle \sigma >0\,}$ ${\displaystyle {\tfrac {Y}{\sigma }}\sim \chi _{1}\,}$
• ${\displaystyle \chi _{2}\sim \mathrm {Rayleigh} (1)\,}$（レイリー分布）そして任意の ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )\,}$ ${\displaystyle \sigma >0\,}$ ${\displaystyle {\tfrac {Y}{\sigma }}\sim \chi _{2}\,}$
• ${\displaystyle \chi _{3}\sim \mathrm {Maxwell} (1)\,}$（マクスウェル分布）そして任意の ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Maxwell} (a)\,}$ ${\displaystyle a>0\,}$ ${\displaystyle {\tfrac {Y}{a}}\sim \chi _{3}\,}$
• ${\displaystyle \|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}{(0,1)}\|_{2}\sim \chi _{k}}$の標準正規乱数ベクトルのユークリッドノルムは、自由度がのカイ分布に従って分布する。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$
• カイ分布は、一般化ガンマ分布、仲上分布、非心カイ分布などのさまざまな分布の特殊なケースです。
• ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\tfrac {\chi _{k}-\mu _{k}}{\sigma _{k}}}{\xrightarrow {d}}\ N(0,1)\,}$（正規分布）
• カイ2乗分布の平均（ の平方根で尺度化）は、正規分布の標準偏差の不偏推定における補正係数を生成します。 ${\displaystyle n-1}$

さまざまなカイ分布とカイ二乗分布

名前	統計
カイ二乗分布	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
非心カイ二乗分布	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
カイ分布	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$
非心カイ分布	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

参考文献

• Martha L. Abell、James P. Braselton、John Arthur Ra​​fter、John A. Rafter、「Statistics with Mathematica」（1999）、237f。
• Jan W. Gooch, Encyclopedic Dictionary of Polymers vol. 1 (2010)、付録E、p. 972。

外部リンク

• http://mathworld.wolfram.com/ChiDistribution.html

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