チャウグループ

Analogs of homology groups for algebraic varieties

代数幾何学において、任意の体上の代数多様体のチャウ群（クロード・シュヴァレー (1958)がウェイ・リアン・チャウにちなんで名付けた）は、位相空間のホモロジーの代数幾何学的類似体である。チャウ群の元は、単体ホモロジー群または細胞ホモロジー群が部分複体から形成されるのと同様に、部分多様体（いわゆる代数的サイクル）から形成される。多様体が滑らかな場合、チャウ群はコホモロジー群として解釈でき（ポアンカレ双対性を参照）、交差積と呼ばれる乗法を持つ。チャウ群は代数多様体に関する豊富な情報を持っているため、一般には計算が困難である。

有理的同値性とチョウ群

以下では、体上の多様体を上の有限型の整スキームと定義します。上の有限型の任意のスキームに対して、上の代数的サイクルとは、整数係数を持つの部分多様体の有限線形結合を意味します。(以下、特に断りのない限り、部分多様体は において閉じているものと理解します。)自然数に対して、 上の -次元サイクル群(または略して-サイクル)は、 の-次元部分多様体の集合上の自由アーベル群です。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle Z_{i}(X)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$

次元の多様性と、が常にゼロではない任意の有理関数に対して、の約数は-サイクルである。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle i+1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle (f)=\sum _{Z}\operatorname {ord} _{Z}(f)Z,}$

ここで、和は のすべての次元部分多様体に渡って広がり、整数はに沿ったの消失位数を表す。（したがって、に に沿って極がある場合、 は負になる。）消失位数の定義では、 が特異値であることに注意する必要がある。^[1] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z}(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z}(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W}$

上の有限型のスキームにおいて、ゼロと有理的に同値な-サイクル群は、のすべての-次元部分多様体と上のすべての非零有理関数に対するサイクルによって生成されるの部分群です。上の -次元サイクルのチャウ群は、ゼロと有理的に同値なサイクルの部分群によるの商群です。チャウ群の部分多様体のクラスを と書くことがあり、2つの部分多様体とが を持つ場合、と は有理的に同値であると言えます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle Z_{i}(X)}$ ${\displaystyle (f)}$ ${\displaystyle (i+1)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle CH_{i}(X)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z_{i}(X)}$ ${\displaystyle [Z]}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle [Z]=[W]}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W}$

例えば、が次元 の変種であるとき、チャウ群はの因子類群である。 が（またはより一般的には、局所ノイザン正規階乗スキーム^[2] ）上滑らかなとき、これは上の直線束のピカール群と同型である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle CH_{n-1}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$

合理的等価性の例

射影空間における有理同値性

超曲面によって定義される有理的に同値な閉路は、射影空間上で容易に構成できます。なぜなら、それらはすべて同じベクトル束の消失軌跡として構成できるからです。例えば、 次数の斉次多項式が2つあるとすると、の消失軌跡として定義される超曲面の族を構成できます。図式的に言えば、これは次のように構成できます。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f,g\in H^{0}(\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(d))}$ ${\displaystyle sf+tg}$

${\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf+tg)}}\right)\hookrightarrow \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{n}}$

射影を用いて、点上のファイバーはで定義される射影超曲面であることがわかります。これは、 次数の任意の超曲面のサイクル類がと有理的に同値であることを示すために使用できます。 は有理的同値性を証明するために使用できます。 の軌跡は であり、その重複度 （これはそのサイクル類の係数です）を持つことに注目してください。 ${\displaystyle \pi _{1}:X\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle [s_{0}:t_{0}]}$ ${\displaystyle s_{0}f+t_{0}g}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d[\mathbb {P} ^{n-1}]}$ ${\displaystyle sf+tx_{0}^{d}}$ ${\displaystyle x_{0}^{d}=0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle d}$

曲線上の閉路の有理的同値性

滑らかな射影曲線 の2つの異なる直線束をとると、両方の直線束の一般切断の消失点が における同値でない閉路類を定義します。これは、滑らかな多様体の場合、との因子類が同値でない類を定義するためです。 ${\displaystyle L,L'\in \operatorname {Pic} (C)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle CH(C)}$ ${\displaystyle \operatorname {Div} (C)\cong \operatorname {Pic} (C)}$ ${\displaystyle s\in H^{0}(C,L)}$ ${\displaystyle s'\in H^{0}(C,L')}$

チャウリング

スキームが体 上で滑らかな場合、チャウ群は単なる次数付きアーベル群ではなく、環を形成します。つまり、が 上で滑らかな場合、を 上の余次元-サイクルのチャウ群と定義します。（が次元 の変種 である場合、これは単に であることを意味します。）すると、群は積 を持つ可換次数付き環を形成します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle CH^{i}(X)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle CH^{i}(X)=CH_{n-i}(X)}$ ${\displaystyle CH^{*}(X)}$

${\displaystyle CH^{i}(X)\times CH^{j}(X)\rightarrow CH^{i+j}(X).}$

積は代数的閉路の交差から生じる。例えば、と がそれぞれ余次元との滑らかな部分多様体であり、と がに交差する場合、における積は、すべて余次元 を持つ交差 の既約成分の和となる。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle [Y][Z]}$ ${\displaystyle CH^{i+j}(X)}$ ${\displaystyle Y\cap Z}$ ${\displaystyle i+j}$

より一般的には、様々なケースにおいて、交差理論はチョウ環における積を表す明示的なサイクルを構築する。例えば、と が相補次元（つまり、それらの次元の和が の次元になる）の部分多様体で、その交差が次元ゼロである場合、 は、交差数と呼ばれる係数を持つ交差の点の和に等しい。上の滑らかなスキームの任意の部分多様体 と について、交差の次元に関する仮定なしに、ウィリアム・フルトンとロバート・マクファーソンの交差理論は、 のチョウ群における像が の積 であるのチョウ群の標準元を構築する。^[3] ${\displaystyle [Y][Z]}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [Y][Z]}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Y\cap Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [Y][Z]}$

例

射影空間

任意の体上の射影空間 のチャウ環は、 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle CH^{*}(\mathbb {P} ^{n})\cong \mathbf {Z} [H]/(H^{n+1}),}$

ここでは超平面（単一の線形関数の零点）の類である。さらに、射影空間における次数と余次元の任意の部分多様体はと有理的に同値である。したがって、と次数における相補次元の任意の2つの部分多様体と に対し、チャウ環におけるそれらの積は単に ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle dH^{a}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle [Y]\cdot [Z]=a\,b\,H^{n}}$

ここで、 はにおける -有理点の類である。例えば、と が横断的に交差する場合、 は次数 の零閉路となる。基底体が代数的に閉じている場合、これはちょうど 個の交点が存在することを意味する。これは、列挙幾何学の古典的な結果であるベズーの定理の一種である。 ${\displaystyle H^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Y\cap Z}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle ab}$

射影束公式

体上の滑らかな適切なスキーム上の階数のベクトルバンドルが与えられたとき、付随する射影バンドルのチャウ環は、 のチャウ環と のチャーン類を用いて計算できる。とのチャーン類とすると、環の同型が存在する。 ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \zeta =c_{1}({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (E)}(1))}$ ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{r}}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle CH^{\bullet }(\mathbb {P} (E))\cong {\frac {CH^{\bullet }(X)[\zeta ]}{\zeta ^{r}+c_{1}\zeta ^{r-1}+c_{2}\zeta ^{r-2}+\cdots +c_{r}}}}$

ヒルツェブルッフ面

例えば、ヒルツェブルッフ面のチャウ環は、射影束公式を用いて容易に計算できる。これは上でとして構築されることを思い出してほしい。すると、このベクトル束の唯一の非自明なチャーン類は である。これは、チャウ環が と同型であることを意味する。 ${\displaystyle F_{a}=\mathbb {P} ({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(a))}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle c_{1}=aH}$

${\displaystyle CH^{\bullet }(F_{a})\cong {\frac {CH^{\bullet }(\mathbb {P} ^{1})[\zeta ]}{(\zeta ^{2}+aH\zeta )}}\cong {\frac {\mathbf {Z} [H,\zeta ]}{(H^{2},\zeta ^{2}+aH\zeta )}}}$

備考

他の代数多様体では、チャウ群はより多様な振る舞いをすることがあります。例えば、体 上の楕円曲線とします。すると、 上の零閉路のチャウ群は、正確な列に収束します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle 0\rightarrow X(k)\rightarrow CH_{0}(X)\rightarrow \mathbf {Z} \rightarrow 0.}$

このように、楕円曲線のチャウ群は、の-有理点群と密接に関連しています。が数体のとき、は のモーデル・ヴェイユ群と呼ばれ、数論における最も深遠な問題のいくつかはこの群を理解しようとする試みです。が複素数のとき、楕円曲線の例は、チャウ群が非可算アーベル群になり得ることを示しています。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X(k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X(k)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$

関数性

上のスキームの適切な射 に対して、各整数 に対してプッシュフォワード準同型が存在する。例えば、上の適切なスキームに対して、これはの閉点を上の次数まで取り込む準同型 を与える。（ の閉点はの有限拡大体に対して の形を持ち、その次数は上の体の次数を意味する。） ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f_{*}:CH_{i}(X)\to CH_{i}(Y)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle CH_{0}(X)\to \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle k}$

次元のファイバー（空の可能性もある）を持つ上のスキームの平坦射 に対して、準同型が存在します。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f^{*}:CH_{i}(Y)\to CH_{i+r}(X)}$

チャウ群の重要な計算ツールは、次に示す局所化列である。体上のスキームとの閉部分スキームに対して、正確な列が存在する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle CH_{i}(Z)\rightarrow CH_{i}(X)\rightarrow CH_{i}(X-Z)\rightarrow 0,}$

ここで、最初の準同型は真射 に関連するプッシュフォワードであり、2番目の準同型は平坦射 に関するプルバックです。^{[4]局所化シーケンスは、チャウ群の一般化、（ボレル–ムーア）}モティヴィックホモロジー群（高次チャウ群とも呼ばれる）を使用して左に拡張できます。^[5] ${\displaystyle Z\to X}$ ${\displaystyle X-Z\to X}$

上の滑らかなスキームの任意の射に対して、引き戻し準同型 が存在し、これは実際には環準同型 です。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f^{*}:CH^{i}(Y)\to CH^{i}(X)}$ ${\displaystyle CH^{*}(Y)\to CH^{*}(X)}$

フラットプルバックの例

非例は のブローアップを使用して構築できることに注意してください。たとえば、 の原点のブローアップを取ると、原点上のファイバーは と同型になります。 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

曲線の分岐被覆

曲線の分岐被覆を考える

${\displaystyle f:\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f(x)-g(x,y))}}\right)\to \mathbb {A} _{x}^{1}}$

因数分解を得るたびに射影は分岐するので ${\displaystyle f(\alpha )=0}$

${\displaystyle g(\alpha ,y)=(y-a_{1})^{e_{1}}\cdots (y-a_{k})^{e_{k}}}$

ここで、 の1つである。これは、点がそれぞれ重複度を持つことを意味する。点の平坦な引き戻しは、 ${\displaystyle e_{i}>1}$ ${\displaystyle \{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}\}=f^{-1}(\alpha )}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{k}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f^{*}[\alpha ]=e_{1}[\alpha ]+\cdots +e_{k}[\alpha _{k}]}$

平らな多様体ファミリー

平坦な多様体族を考える

${\displaystyle X\to S}$

と部分多様体である。そして、直交座標の平方根を用いて ${\displaystyle S'\subset S}$

${\displaystyle {\begin{matrix}S'\times _{S}X&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\S'&\to &S\end{matrix}}}$

の像は の部分多様体であることが分かる。したがって、 ${\displaystyle S'\times _{S}X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f^{*}[S']=[S'\times _{S}X]}$

サイクルマップ

チャウ群からより計算可能な理論への 準同型写像（サイクル写像として知られる）はいくつかあります。

まず、複素数上のスキームXに対して、チャウ群からボレル・ムーアホモロジーへの準同型が存在する：^[6]

${\displaystyle {\mathit {CH}}_{i}(X)\rightarrow H_{2i}^{BM}(X,\mathbf {Z} ).}$

2の因数は、Xのi次元部分多様体が実次元2 iを持つために現れる。Xが複素数上で滑らかな場合、このサイクル写像はポアンカレ双対性を用いて準同型写像として 書き直すことができる。

${\displaystyle {\mathit {CH}}^{j}(X)\rightarrow H^{2j}(X,\mathbf {Z} ).}$

この場合（XはC上滑らか）、これらの準同型はチャウ環からコホモロジー環への環準同型を形成します。直感的に言えば、これはチャウ環とコホモロジー環の両方の積が閉路の交差を記述するためです。

滑らかな複素射影多様体に対して、チャウ環から通常のコホモロジーへのサイクル写像は、より豊富な理論であるドリーニュコホモロジーによって因数分解される。^[7]これは、ホモロジー的にゼロと同値なサイクルから中間ヤコビアンへのアーベル・ヤコビ写像を組み込んでいる。指数列は、 CH ¹ ( X ) がドリーニュコホモロジーに同型写像することを示しているが、j > 1 のCH ^j ( X ) では写像が成立しない。

任意の体k上のスキームXに対して、チャウ群から(ボレル–ムーア)エタールホモロジーへの類似のサイクル写像が存在する。Xがk上で滑らかな場合、この準同型はチャウ環からエタールコホモロジーへの環準同型と同一視できる。^[8]

K理論との関係

体上の滑らかなスキームX上の（代数的）ベクトル束 Eは、位相におけるのと同じ形式的性質を持つCH ⁱ ( X ) のチャーン類c _i ( E )を持つ。 ^[9]チャーン類はベクトル束とチャウ群の間に密接な関係を与える。すなわち、K ₀ ( X )をX上のベクトル束のグロタンディーク群とする。グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理の一部として、グロタンディークはチャーン指標が同型を与えることを示した。

${\displaystyle K_{0}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} \cong \prod _{i}{\mathit {CH}}^{i}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} .}$

この同型性は、代数サイクル上の他の適切な同値関係と比較して、有理数同値の重要性を示しています。

推測

代数幾何学と数論における最も深遠な予想のいくつかは、チョウ群を理解しようとする試みです。例えば：

• モーデル・ヴェイユの定理は、数体上の任意のn次元多様体Xに対して、因子類群CH _{n -1} ( X )が有限生成であることを意味する。すべてのChow群が数体上の任意の多様体に対して有限生成であるかどうかは未解決問題である。L-関数の値に関するブロッホ・カトー予想は、これらの群が有限生成であることを予言する。さらに、ホモロジー同値性を法とするサイクル群の階数、およびホモロジー的にゼロと同値なサイクル群の階数は、特定の整数点における与えられた多様体のL-関数の消失の位数に等しくなければならない。これらの階数の有限性は、代数K理論におけるバス予想からも導かれる。
• 滑らかな複素射影多様体Xに対して、ホッジ予想は、チャウ群から特異コホモロジーへのサイクル写像の（有理数Qでテンソル化した）像を予測する。有限生成体（有限体や数体など）上の滑らかな射影多様体に対して、テイト予想は、チャウ群からl進コホモロジーへのサイクル写像の（ Q _lでテンソル化した）像を予測する。
• 任意の体上の滑らかな射影多様体Xに対して、ブロッホ・ベイリンソン予想は、 Xの（有理数でテンソル化された）Chow群に強い性質を持つフィルトレーションを予測する。 ^{[10]この予想は、} Xの特異コホモロジーまたはエタールコホモロジーとXのChow群の間に密接な関係があることを意味する。

例えば、Xを滑らかな複素射影面とする。X上の零閉路のChow群は、次数準同型写像によって整数に写像される。Kを核とする。幾何学的種数 h ⁰ ( X , Ω ² )が零でない場合、MumfordはKが「無限次元」（ X上の零閉路の有限次元族の像ではない）であることを示した。^[11] Bloch-Beilinson予想は、満足のいく逆、すなわち零閉路に関するBloch予想を意味する。すなわち、幾何学的種数が零の滑らかな複素射影面Xに対して、Kは有限次元であるべきである。より正確には、 XのAlbanese多様体の複素点群に同型に写像されるべきである。^[12]

変種

二変量理論

フルトンとマクファーソンは、「操作的チャウ環」を定義し、より一般的には任意のスキームの射に関連する二変理論を定義することで、チャウ環を特異多様体へと拡張した。^[13]二変理論とは、写像にそれぞれ群と環を割り当てる共変関数と反変関数のペアである。これはコホモロジー理論を一般化するものであり、コホモロジー理論は空間に環、すなわちコホモロジー環を割り当てる反変関数である。「二変」という名称は、この理論が共変関数と反変関数の両方を含むという事実に由来する。^[14]

これはある意味ではチョウ環の特異多様体への最も基本的な拡張である。モティヴィックコホモロジーなどの他の理論は操作的チョウ環に写像される。^[15]

その他のバリエーション

算術的チョウ群は、 Q上の多様体のチョウ群と、アラケロフ理論的情報、つまり関連する複素多様体上の微分形式をエンコードする要素を組み合わせたものです。

体上の有限型スキームのチャウ群の理論は、代数空間の理論へと容易に拡張できる。この拡張の主な利点は、後者のカテゴリでは商を形成するのが容易であり、したがって代数空間の同変チャウ群を考えるのがより自然になることである。より困難な拡張は、スタックのチャウ群の拡張である。これは、ある特殊な場合にのみ構築されており、特に仮想基本クラスを理解するために必要となる。

歴史

因子の有理同値性（線型同値性として知られる）は19世紀に様々な形で研究され、数論におけるイデアル類群や代数曲線理論におけるヤコビ多様体につながった。より高次元の閉路については、有理同値は1930年代にフランチェスコ・セヴェリによって導入された。1956年、ウェイ・リアン・チョウは、チョウの移動補題を用いて、滑らかな準射影多様体に対する有理同値を法とする閉路上で交差積が明確に定義されているという影響力のある証明を与えた。1970年代から、フルトンとマクファーソンは、可能な限り特異多様体を用いて、チョウ群の現在の標準的な基礎を与えた。彼らの理論では、滑らかな多様体の交差積は、正規円錐への変形によって構成される。^[16]

参照

• 交差理論
• グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理
• ホッジ予想
• 動機（代数幾何学）

参考文献

引用

1. Fulton. 交差理論、第1.2節および付録A.3。
2. Stacksプロジェクト、https://stacks.math.columbia.edu/tag/0BE9
3. フルトン、交差理論、セクション8.1。
4. フルトン、交差理論、命題1.8。
5. Bloch, 代数的サイクルと高次K群; Voevodsky, 体上のモチーフの三角形化圏、セクション2.2および命題4.2.9。
6. フルトン、交差理論、セクション19.1
7. ヴォワザン『ホッジ理論と複素代数幾何学』第1巻、第12.3.3節、第2巻、定理9.24。
8. Deligne、Cohomologie Etale (SGA 4 1/2)、Expose 4.
9. Fulton、交差理論、セクション3.2および例8.3.3。
10. ヴォワザン『ホッジ理論と複素代数幾何学』第2巻、予想11.21。
11. ヴォワザン『ホッジ理論と複素代数幾何学』第2巻、定理10.1。
12. ヴォワザン『ホッジ理論と複素代数幾何学』第2巻第11章。
13. フルトン『交差理論』第17章。
14. ウィリアム・フルトン、ロバート・マクファーソン (1981). 特異空間研究のための圏論的枠組み.アメリカ数学会. ISBN 9780821822432。
15. B. Totaro, Chow 群、Chow コホモロジー、線型多様体
16. フルトン『交差理論』第5章、第6章、第8章。

入門

• アイゼンバッド、デイヴィッド、ハリス、ジョー、『3264とその他：代数幾何学第二講座』

高度な

• ブロッホ、スペンサー（1986）、「代数的サイクルと高次K理論」、数学の進歩、61（3）：267-304、doi：10.1016/0001-8708（86）90081-2、ISSN  0001-8708、MR  0852815
• Claude, Chevalley (1958)、「Les classs d'équivalence rationnelle, I」、Anneaux de Chow et application、Séminaire Claude Chevalley、vol. 3、1–14 ページ​
• Claude, Chevalley (1958)、「Les classs d'équivalence rationnelle, II」、Anneaux de Chow et application、Séminaire Claude Chevalley、vol. 3、1–18 ページ​
• 周維良（1956）「代数多様体における循環 の同値類について」『数学年報』64（3）450-479、doi :10.2307/1969596、ISSN0003-486X  、JSTOR1969596  、MR0082173
• ドリーニュ、ピエール(1977)、Cohomologie Etale (SGA 4 1/2)、Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-08066-4、MR  0463174
• フルトン、ウィリアム（1998）、交差理論、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-98549-7、MR  1644323
• Severi、Francesco (1932)、「La serie canonica e la teoria delle serie principali di gruppi di punti sopra una superficie algebrica」、Commentarii Mathematici Helvetici、4 : 268–326、doi :10.1007/bf01202721、JFM  58.1229.01
• ヴォエヴォドスキー、ウラジミール（2000）「体上のモチーフの三角化範疇」『サイクル、転移、およびモチーフホモロジー理論』プリンストン大学出版局、 188～ 238頁 、 ISBN 9781400837120、MR  1764202
• ヴォワザン、クレア（2002年）、ホッジ理論と複素代数幾何学（全2巻）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-7180​​1-1、MR  1997577

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