Term in quantum information theory
量子情報理論 では 、 量子チャネル の 古典容量 とは、チャネルの多くの用途の限界において古典データをエラーなく送信できる最大速度のことです。
背景
混合状態と量子チャネル 混合 量子状態は、 密度演算子 として知られる単位トレースの正演算子であり 、、、など で表されることが多い。 量子 チャネル の最も単純なモデルは、 古典量子チャネルである。 ρ {\displaystyle \rho } σ {\displaystyle \sigma } ω {\displaystyle \omega }
x ↦ ρ x . {\displaystyle x\mapsto \rho _{x}.} これは、送信端の古典的な文字を受信端の 量子状態に送信します が、その間にノイズが混入する可能性があります。受信側のタスクは、送信者の入力を決定するための測定を実行することです。状態が 互いに完全に区別可能（つまり、 に対して となる直交台を持つ ）であり、通信路にノイズがない場合、完全な復号は自明に可能です。状態が すべて互いに可換である場合、通信路は実質的に古典的です。状況が自明ではなくなるのは、状態が 重なり合う台を持ち、必ずしも可換ではない場合のみです。 x {\displaystyle x} ρ x {\displaystyle \rho _{x}} ρ x {\displaystyle \rho _{x}} Tr ρ x ρ x ′ = 0 {\displaystyle \operatorname {Tr} \rho _{x}\rho _{x^{\prime }}=0} x ≠ x ′ {\displaystyle x\neq x^{\prime }} ρ x {\displaystyle \rho _{x}} ρ x {\displaystyle \rho _{x}}
量子測定 量子測定 を記述する最も一般的な方法は、 正の演算子値測度 を用いることであり 、その要素は通常 と表記される 。これらの演算子は、有効な POVM を形成するために、正値性と完全性を満たす必要がある。 { Λ m } m {\displaystyle \left\{\Lambda _{m}\right\}_{m}}
Λ m ≥ 0 ∀ m {\displaystyle \Lambda _{m}\geq 0\ \ \ \ \forall m} ∑ m Λ m = I . {\displaystyle \sum _{m}\Lambda _{m}=I.} 量子力学 の確率的解釈によれば、誰かが POVMに対応する測定装置を使用して 量子状態を測定する場合、 結果を得る 確率 は ρ {\displaystyle \rho } { Λ m } {\displaystyle \left\{\Lambda _{m}\right\}} p ( m ) {\displaystyle p\left(m\right)} m {\displaystyle m}
p ( m ) = Tr { Λ m ρ } , {\displaystyle p\left(m\right)={\text{Tr}}\left\{\Lambda _{m}\rho \right\},} そして測定後の状態は
ρ m ′ = 1 p ( m ) Λ m ρ Λ m , {\displaystyle \rho _{m}^{\prime }={\frac {1}{p\left(m\right)}}{\sqrt {\Lambda _{m}}}\rho {\sqrt {\Lambda _{m}}},} 測定者が結果を得る場合 。 m {\displaystyle m}
量子チャネルを介した古典通信 上記は、CQチャネルを介した古典的な通信方式を考えるのに十分です。送信者はCQチャネルを用いて古典的な文字 xを 量子状態 にマッピングします 。この量子状態はノイズのある量子チャネルを介して送信され、受信者は何らかのPOVMを用いて測定し、別の古典的な文字を取得します。 ρ x {\displaystyle \rho _{x}}
正確な定義 古典容量は、古典的な情報伝送のための符号化方式によって達成可能な最大速度として定義することができ、次のように定義される。 [1]
定義。 (符号化方式) 量子チャネルを使用した古典的な情報伝送の符号化方式は、 すべての に対するヒルベルト・シュミット内積に関して となるような 符号化マップ と復号化 POVMのペアによって与えられます 。 ( n , m , δ ) {\displaystyle (n,m,\delta )} T : B ( H A ) → B ( H A ) {\displaystyle T:B({\mathcal {H}}_{A})\to B({\mathcal {H}}_{A})} E : { 0 , 1 } n → D ( H A ⊗ n ) {\displaystyle E:\{0,1\}^{n}\to D({\mathcal {H}}_{A}^{\otimes n})} μ : { 0 , 1 } n → B ( H B ) ⊗ n {\displaystyle \mu :\{0,1\}^{n}\to B({\mathcal {H}}_{B})^{\otimes n}} ⟨ μ ( x ) , T ⊗ n ( E ( x ) ) ⟩ ≥ 1 − δ {\displaystyle \langle \mu (x),T^{\otimes n}(E(x))\rangle \geq 1-\delta } x ∈ { 0 , 1 } n {\displaystyle x\in \{0,1\}^{n}}
定義。 (達成可能なレート)またはのいずれかが成立 し、かつ任意の に対して 、 との両方が成立するような -符号化方式 が存在する 場合、 そのチャネルに対して レートが達成可能である 。 R ≥ 0 {\displaystyle R\geq 0} T {\displaystyle T} R = 0 {\displaystyle R=0} R > 0 {\displaystyle R>0} n {\displaystyle n} ( n , m n , δ n ) {\displaystyle (n,m_{n},\delta _{n})} R = lim n → ∞ m n / n {\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }m_{n}/n} lim n → ∞ δ n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\delta _{n}=0}
ホレボ・シューマッハ・ウェストモアランドの定理 量子通信路のホレボ情報（ホレボ量とも呼ばれる）は 次 の よう に定義される。 χ {\displaystyle \chi } N {\displaystyle {\mathcal {N}}}
χ ( N ) = max ρ X A I ( X ; B ) N ( ρ ) {\displaystyle \chi ({\mathcal {N}})=\max _{\rho ^{XA}}I(X;B)_{{\mathcal {N}}(\rho )}} ここで 、古典量子状態は次の形式をとる。 ρ X A {\displaystyle \rho ^{XA}}
ρ X A = ∑ x p X ( x ) | x ⟩ ⟨ x | X ⊗ ρ x A {\displaystyle \rho ^{XA}=\sum _{x}p_{X}(x)\vert x\rangle \langle x\vert ^{X}\otimes \rho _{x}^{A}} 特定のチャネルに入力できる いくつかの確率分布 および密度演算子。 p X ( x ) {\displaystyle p_{X}(x)} ρ x A {\displaystyle \rho _{x}^{A}}
1997年にシューマッハーとウェストモアランド [2] が、また1998年にホレボ [3] が独立に、量子通信路の古典容量は次のように定義できることを証明した。
C ( T ) = lim k → ∞ χ ( T ⊗ k ) . {\displaystyle C(T)=\lim _{k\to \infty }\chi (T^{\otimes k}).}
穏やかな測定補題 穏やかな測定の補題は、高い確率で成功する測定は平均的には状態をそれほど乱さないということを述べています。
補題 (Winter)期待密度演算子 を持つ アンサンブルが与えられたとき、 状態 で 確率 を持つ 演算子が 成功すると仮定します 。 { p X ( x ) , ρ x } {\displaystyle \left\{p_{X}(x),\rho _{x}\right\}} ρ ≡ ∑ x p X ( x ) ρ x {\displaystyle \rho \equiv \sum _{x}p_{X}(x)\rho _{x}} Λ {\displaystyle \Lambda } I ≥ Λ ≥ 0 {\displaystyle I\geq \Lambda \geq 0} 1 − ϵ {\displaystyle 1-\epsilon } ρ {\displaystyle \rho }
Tr Λ ρ ≥ 1 − ϵ . {\displaystyle \operatorname {Tr} \Lambda \rho \geq 1-\epsilon .} すると、正規化されていない状態は、期待される トレース距離 において元の状態 に近くなります 。 Λ ρ x Λ {\displaystyle {\sqrt {\Lambda }}\rho _{x}{\sqrt {\Lambda }}} ρ x {\displaystyle \rho _{x}}
E X [ ‖ Λ ρ X Λ − ρ X ‖ 1 ] ≤ 2 ϵ . {\displaystyle \mathbb {E} _{X}[\left\Vert {\sqrt {\Lambda }}\rho _{X}{\sqrt {\Lambda }}-\rho _{X}\right\Vert _{1}]\leq 2{\sqrt {\epsilon }}.} 穏やかな測定補題には次のような類似があり、任意の演算子 、 に対して 成り立ち 、 : ρ {\displaystyle \rho } σ {\displaystyle \sigma } Λ {\displaystyle \Lambda } 0 ≤ ρ , σ , Λ ≤ I {\displaystyle 0\leq \rho ,\sigma ,\Lambda \leq I}
Tr Λ ρ ≤ Tr Λ σ + ‖ ρ − σ ‖ 1 . {\displaystyle \operatorname {Tr} \Lambda \rho \leq \operatorname {Tr} \Lambda \sigma +\left\Vert \rho -\sigma \right\Vert _{1}.} 1
この不等式の量子情報理論的解釈は、状態に作用する量子測定から 結果を得る確率が、 合計された上で結果を得る 確率と 2 つの状態 およびの区別 可能性の合計によって制限されるという
ものです 。 Λ {\displaystyle \Lambda } ρ {\displaystyle \rho } Λ {\displaystyle \Lambda } σ {\displaystyle \sigma } ρ {\displaystyle \rho } σ {\displaystyle \sigma }
非可換和界 補題 （センの境界） [4] および 、および射影子 、…と なる ような 部分正規化状態に対して、 σ {\displaystyle \sigma } 0 ≤ σ {\displaystyle 0\leq \sigma } Tr σ ≤ 1 {\displaystyle \operatorname {Tr} \sigma \leq 1} Π 1 {\displaystyle \Pi _{1}} Π N {\displaystyle \Pi _{N}} Tr σ − Tr Π N ⋯ Π 1 σ Π 1 ⋯ Π N ≤ 2 ∑ i = 1 N Tr ( I − Π i ) σ . {\displaystyle \operatorname {Tr} \sigma -\operatorname {Tr} \Pi _{N}\cdots \Pi _{1}\ \sigma \ \Pi _{1}\cdots \Pi _{N}\leq 2{\sqrt {\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Tr} \left(I-\Pi _{i}\right)\sigma }}.}
直感的に言えば、センの境界は、古典確率論の 結合境界 （事象は
どこにあるか） に類似しているため、一種の「非可換結合境界」と言える。 これと類似した量子境界は、 Pr ( A 1 ∩ ⋯ ∩ A N ) c = Pr ( A 1 c ∪ ⋯ ∪ A N c ) ≤ ∑ i = 1 N Pr ( A i c ) , {\displaystyle \Pr \left(A_{1}\cap \cdots \cap A_{N}\right)^{c}=\Pr \left(A_{1}^{c}\cup \cdots \cup A_{N}^{c}\right)\leq \sum _{i=1}^{N}\Pr(A_{i}^{c}),} A 1 , … , A N {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{N}}
Tr ( I − Π 1 ⋯ Π N ⋯ Π 1 ) ρ ≤ ∑ i = 1 N Tr ( I − Π i ) ρ {\displaystyle {\text{Tr}}\left(I-\Pi _{1}\cdots \Pi _{N}\cdots \Pi _{1}\right)\rho \leq \sum _{i=1}^{N}{\text{Tr}}\left(I-\Pi _{i}\right)\rho } を部分空間の交差への射影子として 考えると、この関係が成り立ちます。ただし、これは射影子 , ..., が 可換な場合にのみ成立します（ , , を選択すると 反例となります）。射影子が非可換な場合は、非可換境界または量子結合境界を使用する必要があります。 Π 1 ⋯ Π N {\displaystyle \Pi _{1}\cdots \Pi _{N}} Π 1 {\displaystyle \Pi _{1}} Π N {\displaystyle \Pi _{N}} Π 1 = | + ⟩ ⟨ + | {\displaystyle \Pi _{1}=\left\vert +\right\rangle \left\langle +\right\vert } Π 2 = | 0 ⟩ ⟨ 0 | {\displaystyle \Pi _{2}=\left\vert 0\right\rangle \left\langle 0\right\vert } ρ = | 0 ⟩ ⟨ 0 | {\displaystyle \rho =\left\vert 0\right\rangle \left\langle 0\right\vert }
証拠 センの非可換和界を用いてHSW定理を証明します。まずコードの選択方法を説明し、次にボブのPOVMの構築方法を示し、最後にプロトコルのエラーを分析します。
エンコーディングマップ まず、アリスとボブがランダムな符号の選択に合意する過程を説明します。彼らは通信路 と分布 を持っています 。彼らは IID分布 に従って 古典系列
を選択します 。選択した後、それらを というインデックスでラベル付けします 。これにより、以下の量子符号語が生成されます。 x → ρ x {\displaystyle x\rightarrow \rho _{x}} p X ( x ) {\displaystyle p_{X}\left(x\right)} M {\displaystyle M} x n {\displaystyle x^{n}} p X n ( x n ) {\displaystyle p_{X^{n}}\left(x^{n}\right)} { x n ( m ) } m ∈ [ M ] {\displaystyle \left\{x^{n}\left(m\right)\right\}_{m\in \left[M\right]}}
ρ x n ( m ) = ρ x 1 ( m ) ⊗ ⋯ ⊗ ρ x n ( m ) . {\displaystyle \rho _{x^{n}\left(m\right)}=\rho _{x_{1}\left(m\right)}\otimes \cdots \otimes \rho _{x_{n}\left(m\right)}.} 量子コードブックは となる 。コードブックの平均状態は { ρ x n ( m ) } {\displaystyle \left\{\rho _{x^{n}\left(m\right)}\right\}}
E X n { ρ X n } = ∑ x n p X n ( x n ) ρ x n = ρ ⊗ n , {\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\rho _{X^{n}}\right\}=\sum _{x^{n}}p_{X^{n}}\left(x^{n}\right)\rho _{x^{n}}=\rho ^{\otimes n},} 2
どこ 。 ρ = ∑ x p X ( x ) ρ x {\displaystyle \rho =\sum _{x}p_{X}\left(x\right)\rho _{x}}
POVM構造の解読 上記の補題から得られるセンの境界は、ボブがアリスが送信する状態を復号する方法を示唆している。ボブはまず「受信した状態は平均典型部分空間内にあるか？」と尋ねる。彼は、 に対応する典型部分空間測定を実行することで、これを操作的に行うことができる 。次に、彼は順番に「受信したコードワードは 条件付き典型部分空間内にあるか？」と尋ねる。これはある意味で、「受信したコードワードは送信されたコードワードであるか？」という質問と同等である
。 彼は、条件付き典型射影に対応する測定を実行することで、これらの質問を操作的に行うことができる 。 { Π ρ , δ n , I − Π ρ , δ n } {\displaystyle \left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n},I-\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}} m th {\displaystyle m^{\text{th}}} m th {\displaystyle m^{\text{th}}} { Π ρ x n ( m ) , δ , I − Π ρ x n ( m ) , δ } {\displaystyle \left\{\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta },I-\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}}
なぜこの順次復号方式がうまく機能するのでしょうか？その理由は、送信されたコードワードが平均的に典型的な部分空間内にあるからです。
E X n { Tr { Π ρ , δ ρ X n } } = Tr { Π ρ , δ E X n { ρ X n } } {\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }\ \rho _{X^{n}}\right\}\right\}={\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }\ \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\rho _{X^{n}}\right\}\right\}} = Tr { Π ρ , δ ρ ⊗ n } {\displaystyle ={\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }\ \rho ^{\otimes n}\right\}} ≥ 1 − ϵ , {\displaystyle \geq 1-\epsilon ,} ここで、不等式は(\ref{eq:1st-typ-prop})から導かれる。また、 条件付き量子典型性から以下の条件が成り立つため、投影器は（平均的には） 状態に対する「良い検出器」となる。 Π ρ x n ( m ) , δ {\displaystyle \Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }} ρ x n ( m ) {\displaystyle \rho _{x^{n}\left(m\right)}}
E X n { Tr { Π ρ X n , δ ρ X n } } ≥ 1 − ϵ . {\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}},\delta }\ \rho _{X^{n}}\right\}\right\}\geq 1-\epsilon .}
エラー分析 我々の逐次復号法でコードワードを正しく 検出する確率は、 m th {\displaystyle m^{\text{th}}}
Tr { Π ρ X n ( m ) , δ Π ^ ρ X n ( m − 1 ) , δ ⋯ Π ^ ρ X n ( 1 ) , δ Π ρ , δ n ρ x n ( m ) Π ρ , δ n Π ^ ρ X n ( 1 ) , δ ⋯ Π ^ ρ X n ( m − 1 ) , δ Π ρ X n ( m ) , δ } , {\displaystyle {\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho _{x^{n}\left(m\right)}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right\},} ここで、 を略記する 。（平均典型部分空間への投影は1回だけであることに注意。）したがって、コードワードの誤検出の確率は 次のように与えられる。 Π ^ ≡ I − Π {\displaystyle {\hat {\Pi }}\equiv I-\Pi } m th {\displaystyle m^{\text{th}}}
1 − Tr { Π ρ X n ( m ) , δ Π ^ ρ X n ( m − 1 ) , δ ⋯ Π ^ ρ X n ( 1 ) , δ Π ρ , δ n ρ x n ( m ) Π ρ , δ n Π ^ ρ X n ( 1 ) , δ ⋯ Π ^ ρ X n ( m − 1 ) , δ Π ρ X n ( m ) , δ } , {\displaystyle 1-{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho _{x^{n}\left(m\right)}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right\},} そしてこの方式の平均エラー確率は
1 − 1 M ∑ m Tr { Π ρ X n ( m ) , δ Π ^ ρ X n ( m − 1 ) , δ ⋯ Π ^ ρ X n ( 1 ) , δ Π ρ , δ n ρ x n ( m ) Π ρ , δ n Π ^ ρ X n ( 1 ) , δ ⋯ Π ^ ρ X n ( m − 1 ) , δ Π ρ X n ( m ) , δ } . {\displaystyle 1-{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho _{x^{n}\left(m\right)}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}.} 平均エラー確率を分析する代わりに、平均エラー確率の期待値を分析します。ここでの期待値は、コードのランダムな選択に関するものです。
1 − E X n { 1 M ∑ m Tr { Π ρ X n ( m ) , δ Π ^ ρ X n ( m − 1 ) , δ ⋯ Π ^ ρ X n ( 1 ) , δ Π ρ , δ n ρ X n ( m ) Π ρ , δ n Π ^ ρ X n ( 1 ) , δ ⋯ Π ^ ρ X n ( m − 1 ) , δ Π ρ X n ( m ) , δ } } . {\displaystyle 1-\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho _{X^{n}\left(m\right)}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}\right\}.} 3
最初のステップは、上記の量にセンの境界値を適用することです。しかし、その前に、上記の式を少し書き直し、次の点に注意する必要があります。
1 = E X n { 1 M ∑ m Tr { ρ X n ( m ) } } {\displaystyle 1=\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\rho _{X^{n}\left(m\right)}\right\}\right\}} = E X n { 1 M ∑ m Tr { Π ρ , δ n ρ X n ( m ) } + Tr { Π ^ ρ , δ n ρ X n ( m ) } } {\displaystyle =\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\right\}+{\text{Tr}}\left\{{\hat {\Pi }}_{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\right\}\right\}} = E X n { 1 M ∑ m Tr { Π ρ , δ n ρ X n ( m ) Π ρ , δ n } } + 1 M ∑ m Tr { Π ^ ρ , δ n E X n { ρ X n ( m ) } } {\displaystyle =\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}+{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{{\hat {\Pi }}_{\rho ,\delta }^{n}\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\rho _{X^{n}\left(m\right)}\right\}\right\}} = E X n { 1 M ∑ m Tr { Π ρ , δ n ρ X n ( m ) Π ρ , δ n } } + Tr { Π ^ ρ , δ n ρ ⊗ n } {\displaystyle =\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}+{\text{Tr}}\left\{{\hat {\Pi }}_{\rho ,\delta }^{n}\rho ^{\otimes n}\right\}} ≤ E X n { 1 M ∑ m Tr { Π ρ , δ n ρ X n ( m ) Π ρ , δ n } } + ϵ {\displaystyle \leq \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}+\epsilon } （ ３ ）に代入すると（今は小さな 項については忘れて）、上限は次のようになる。 ϵ {\displaystyle \epsilon }
E X n { 1 M ∑ m Tr { Π ρ , δ n ρ X n ( m ) Π ρ , δ n } } {\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}} − E X n { 1 M ∑ m Tr { Π ρ X n ( m ) , δ Π ^ ρ X n ( m − 1 ) , δ ⋯ Π ^ ρ X n ( 1 ) , δ Π ρ , δ n ρ X n ( m ) Π ρ , δ n Π ^ ρ X n ( 1 ) , δ ⋯ Π ^ ρ X n ( m − 1 ) , δ Π ρ X n ( m ) , δ } } . {\displaystyle -\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho _{X^{n}\left(m\right)}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}\right\}.} 次に、この式にセンの境界を適用し 、逐次射影子を 、、、 …、とし ます。これにより上界が得られます。 平方根の凹面性により、この式は上から次のように制限されます。 σ = Π ρ , δ n ρ X n ( m ) Π ρ , δ n {\displaystyle \sigma =\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}} Π ρ X n ( m ) , δ {\displaystyle \Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }} Π ^ ρ X n ( m − 1 ) , δ {\displaystyle {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }} Π ^ ρ X n ( 1 ) , δ {\displaystyle {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }} E X n { 1 M ∑ m 2 [ Tr { ( I − Π ρ X n ( m ) , δ ) Π ρ , δ n ρ X n ( m ) Π ρ , δ n } + ∑ i = 1 m − 1 Tr { Π ρ X n ( i ) , δ Π ρ , δ n ρ X n ( m ) Π ρ , δ n } ] 1 / 2 } . {\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}2\left[{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i=1}^{m-1}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right]^{1/2}\right\}.}
2 [ E X n { 1 M ∑ m Tr { ( I − Π ρ X n ( m ) , δ ) Π ρ , δ n ρ X n ( m ) Π ρ , δ n } + ∑ i = 1 m − 1 Tr { Π ρ X n ( i ) , δ Π ρ , δ n ρ X n ( m ) Π ρ , δ n } } ] 1 / 2 {\displaystyle 2\left[\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i=1}^{m-1}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}\right]^{1/2}} ≤ 2 [ E X n { 1 M ∑ m Tr { ( I − Π ρ X n ( m ) , δ ) Π ρ , δ n ρ X n ( m ) Π ρ , δ n } + ∑ i ≠ m Tr { Π ρ X n ( i ) , δ Π ρ , δ n ρ X n ( m ) Π ρ , δ n } } ] 1 / 2 , {\displaystyle \leq 2\left[\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i\neq m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}\right]^{1/2},} ここで、2 番目の境界は、コードワードと等しくないすべてのコードワードを合計することによって決まります (この合計は必ず大きくなります)。 m th {\displaystyle m^{\text{th}}}
ここでは、平方根の中の項を小さくできることだけを示すことに焦点を絞ります。最初の項を考えてみましょう。
E X n { 1 M ∑ m Tr { ( I − Π ρ X n ( m ) , δ ) Π ρ , δ n ρ X n ( m ) Π ρ , δ n } } {\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}} ≤ E X n { 1 M ∑ m Tr { ( I − Π ρ X n ( m ) , δ ) ρ X n ( m ) } + ‖ ρ X n ( m ) − Π ρ , δ n ρ X n ( m ) Π ρ , δ n ‖ 1 } {\displaystyle \leq \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\rho _{X^{n}\left(m\right)}\right\}+\left\Vert \rho _{X^{n}\left(m\right)}-\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\Vert _{1}\right\}} ≤ ϵ + 2 ϵ . {\displaystyle \leq \epsilon +2{\sqrt {\epsilon }}.} ここで、最初の不等式は( 1 )から導かれ、2番目の不等式は緩やかな作用素補題と無条件および条件付き典型性の性質から導かれる。ここで、2番目の項と次の不等式連鎖を考えてみよう。
∑ i ≠ m E X n { Tr { Π ρ X n ( i ) , δ Π ρ , δ n ρ X n ( m ) Π ρ , δ n } } {\displaystyle \sum _{i\neq m}\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho _{X^{n}\left(m\right)}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}} = ∑ i ≠ m Tr { E X n { Π ρ X n ( i ) , δ } Π ρ , δ n E X n { ρ X n ( m ) } Π ρ , δ n } {\displaystyle =\sum _{i\neq m}{\text{Tr}}\left\{\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\right\}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\rho _{X^{n}\left(m\right)}\right\}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}} = ∑ i ≠ m Tr { E X n { Π ρ X n ( i ) , δ } Π ρ , δ n ρ ⊗ n Π ρ , δ n } {\displaystyle =\sum _{i\neq m}{\text{Tr}}\left\{\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\right\}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho ^{\otimes n}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}} ≤ ∑ i ≠ m 2 − n [ H ( B ) − δ ] Tr { E X n { Π ρ X n ( i ) , δ } Π ρ , δ n } {\displaystyle \leq \sum _{i\neq m}2^{-n\left[H\left(B\right)-\delta \right]}\ {\text{Tr}}\left\{\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\right\}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}} 最初の等式は、コードワード と が 異なるため独立であるため成り立ちます。2番目の等式は( 2 )から成り立ちます。最初の不等式は(\ref{eq:3rd-typ-prop})から成り立ちます。続けて、 X n ( m ) {\displaystyle X^{n}\left(m\right)} X n ( i ) {\displaystyle X^{n}\left(i\right)}
≤ ∑ i ≠ m 2 − n [ H ( B ) − δ ] E X n { Tr { Π ρ X n ( i ) , δ } } {\displaystyle \leq \sum _{i\neq m}2^{-n\left[H\left(B\right)-\delta \right]}\ \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\right\}\right\}} ≤ ∑ i ≠ m 2 − n [ H ( B ) − δ ] 2 n [ H ( B | X ) + δ ] {\displaystyle \leq \sum _{i\neq m}2^{-n\left[H\left(B\right)-\delta \right]}\ 2^{n\left[H\left(B|X\right)+\delta \right]}} = ∑ i ≠ m 2 − n [ I ( X ; B ) − 2 δ ] {\displaystyle =\sum _{i\neq m}2^{-n\left[I\left(X;B\right)-2\delta \right]}} ≤ M 2 − n [ I ( X ; B ) − 2 δ ] . {\displaystyle \leq M\ 2^{-n\left[I\left(X;B\right)-2\delta \right]}.} 最初の不等式は、 トレースと期待値を交換することから導かれます。2番目の不等式は(\ref{eq:2nd-cond-typ})から導かれます。次の2つは簡単です。 Π ρ , δ n ≤ I {\displaystyle \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\leq I}
すべてをまとめると、平均エラー確率の期待値の最終的な境界が得られます。
1 − E X n { 1 M ∑ m Tr { Π ρ X n ( m ) , δ Π ^ ρ X n ( m − 1 ) , δ ⋯ Π ^ ρ X n ( 1 ) , δ Π ρ , δ n ρ X n ( m ) Π ρ , δ n Π ^ ρ X n ( 1 ) , δ ⋯ Π ^ ρ X n ( m − 1 ) , δ Π ρ X n ( m ) , δ } } {\displaystyle 1-\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho _{X^{n}\left(m\right)}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}\right\}} ≤ ϵ + 2 [ ( ϵ + 2 ϵ ) + M 2 − n [ I ( X ; B ) − 2 δ ] ] 1 / 2 . {\displaystyle \leq \epsilon +2\left[\left(\epsilon +2{\sqrt {\epsilon }}\right)+M\ 2^{-n\left[I\left(X;B\right)-2\delta \right]}\right]^{1/2}.} したがって、 を選択する限り 、エラー確率がゼロになるコードが存在します。 M = 2 n [ I ( X ; B ) − 3 δ ] {\displaystyle M=2^{n\left[I\left(X;B\right)-3\delta \right]}}
古典容量の非加法性 HSW 定理は、チャネルの古典的容量を、 Holevo 量の の複数回の使用にわたる 正規化によって表現するものと見ることができます 。量子情報理論における未解決の問題は 、 量が加法的であるかどうかを判断することであり、そうであれば、古典的容量は の 1 回の使用を使用して表現できることになります 。 [5] しかし、このステートメントに対する反例となるチャネルが、最終的に 2009 年に Matthew Hastingsによって示されました 。[6] その後の研究で、自然な確率分布からランダムに選択されたチャネルは高い確率で反例を与えるという意味で、これは一般的な現象であることが示されました。（これは、ランダムサンプリングによって非ゼロの確率でのみ反例が得られることが示される 確率的方法を使用した証明とは対照的です。）この証明は、 Dvoretzky の定理 を使用して与えることができます 。 [5] Φ {\displaystyle \Phi } χ {\displaystyle \chi } Φ {\displaystyle \Phi } χ {\displaystyle \chi } Φ {\displaystyle \Phi }
参照
参考文献 ワイルド、マーク・M.（2017）、 量子情報理論 、ケンブリッジ大学出版局、 arXiv ： 1106.1445 、 Bibcode ：2011arXiv1106.1445W、 doi ：10.1017/9781316809976.001、 S2CID 2515538 Guha, Saikat; Tan, Si-Hui; Wilde, Mark M. (2012)「光通信と量子読み取りのための明示的な容量達成受信機」、 IEEE International Symposium on Information Theory Proceedings (ISIT 2012) 、pp. 551– 555、 arXiv : 1202.0518 、 doi :10.1109/ISIT.2012.6284251、 ISBN 978-1-4673-2579-0 、 S2CID 8786400 。
注記 ^ 「講義11: 量子チャネルの古典容量」 (PDF) 。 ^ シューマッハ、ベンジャミン; ウェストモアランド、マイケル (1997)、「ノイズのある量子チャネルを介した古典情報の送信」、 Phys. Rev. A 、 56 (1): 131– 138、 Bibcode :1997PhRvA..56..131S、 doi :10.1103/PhysRevA.56.131 ^ Holevo, Alexander S. (1998)、「一般信号状態を持つ量子チャネルの容量」、 IEEE Transactions on Information Theory 、 44 (1): 269– 273、 arXiv : quant-ph/9611023 、 doi :10.1109/18.651037 ^ Sen, Pranab (2012)、「逐次復号法による量子干渉チャネルのHan-Kobayashi内界の達成」、 IEEE International Symposium on Information Theory Proceedings (ISIT 2012) 、pp. 736– 740、 arXiv : 1109.0802 、 doi :10.1109/ISIT.2012.6284656、 S2CID 15119225 ^ ab Aubrun, Guillaume; Szarek, Stanisław; Werner, Elisabeth (2011). 「ヘイスティングスの加法性反例、ドヴォレツキーの定理による」. Communications in Mathematical Physics . 305 (1): 85– 97. doi :10.1007/s00220-010-1172-y. ISSN 0010-3616. ^ Hastings, MB (2009-03-15). 「エンタングル入力を用いた通信容量の超加法性」. Nature Physics 5 ( 4). Springer Science and Business Media LLC: 255– 257. doi :10.1038/nphys1224. ISSN 1745-2473.
![{\displaystyle \mathbb {E} _{X}[\left\Vert {\sqrt {\Lambda }}\rho _{X}{\sqrt {\Lambda }}-\rho _{X}\right\Vert _{1}]\leq 2{\sqrt {\epsilon }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/779eb70143f74ce6fb080e187bfedf113b0fa108)
![{\displaystyle \left\{x^{n}\left(m\right)\right\}_{m\in \left[M\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf9dd8cc1e5caad58b7ade0d102d44ad45b59aeb)
![{\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}2\left[{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i=1}^{m-1}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right]^{1/2}\right\}。](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e8af8e6d3df74179d929b0b7df655e88c28024c)
![{\displaystyle 2\left[\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i=1}^{m-1}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}\right]^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/414f90052d1ccd2ab6a99a2f8e0c820e7de48a75)
![{\displaystyle \leq 2\left[\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i\neq m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}\right]^{1/2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66d5efccd853c9773f3d4088310341dd54792446)
![{\displaystyle \leq \sum _{i\neq m}2^{-n\left[H\left(B\right)-\delta \right]}\ {\text{Tr}}\left\{\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\right\}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/766b53801d4e9b0ef12aa5bb9df5c74ab3de7ad1)
![{\displaystyle \leq \sum _{i\neq m}2^{-n\left[H\left(B\right)-\delta \right]}\ \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\right\}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09e06b1c4ec20cbf7bed43a518cf0c2b522b1f57)
![{\displaystyle \leq \sum _{i\neq m}2^{-n\left[H\left(B\right)-\delta \right]}\ 2^{n\left[H\left(B|X\right)+\delta \right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/685e6b7b8564c5a7cfb1389d9399b5d9e1543635)
![{\displaystyle =\sum _{i\neq m}2^{-n\left[I\left(X;B\right)-2\delta \right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/799eb077dc365776f52b854994e2fc1a1d576df1)
![{\displaystyle \leq M\ 2^{-n\left[I\left(X;B\right)-2\delta \right]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eb5d144afd25f4b88c8e42f8508e5f8b15f76dd)
![{\displaystyle \leq \epsilon +2\left[\left(\epsilon +2{\sqrt {\epsilon }}\right)+M\ 2^{-n\left[I\left(X;B\right)-2\delta \right]}\right]^{1/2}。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a7aab80bd1207acd967d6fc5afcbc3d86fcf45)
![{\displaystyle M=2^{n\left[I\left(X;B\right)-3\delta \right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e8f324608bae3649a69bf52f4d4210b3cfa4841)
