古典的なウィーナー空間

Space of stochastic processes

ノーバート・ウィーナー

数学において、古典ウィーナー空間とは、与えられた定義域（通常は実数直線の部分区間）上のすべての連続関数の集合であり、計量空間（通常はn次元ユークリッド空間）に値を取る。古典ウィーナー空間は、サンプルパスが連続関数である確率過程の研究に有用である。アメリカの数学者ノーバート・ウィーナーにちなんで名付けられた。

意味

と計量空間を考える。古典的なウィーナー空間は、すべての連続関数の空間である。つまり、任意の固定された ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle C(E,M)}$ ${\displaystyle f:E\to M.}$ ${\displaystyle t\in E,}$

${\displaystyle d(f(s),f(t))\to 0}$として ${\displaystyle |s-t|\to 0.}$

ほとんどすべての応用において、またはをとり、ある については と書きます。簡潔にするために、これはベクトル空間と書きます。集合 の最小値で値 0 をとる関数のみからなる線型部分空間については と書きます。多くの著者はこれを「古典ウィーナー空間」と呼んでいます。 ${\displaystyle E=[0,T]}$ ${\displaystyle E=\mathbb {R} _{+}=[0,+\infty )}$ ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C([0,T]);}$ ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle C_{0}}$

古典的ウィーナー空間の性質

均一トポロジー

ベクトル空間は均一ノルムを備えることができる ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in [0,\,T]}|f(t)|}$

これをノルムベクトル空間（実際には がコンパクトであるためバナッハ空間）に変換する。このノルムは、通常の方法で に計量を与える： 。この計量における開集合によって生成される位相は、に一様収束する位相、すなわち一様位相である。 ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle d(f,g):=\|f-g\|}$ ${\displaystyle [0,T],}$

定義域を「時間」、値域を「空間」と考えると、一様位相の直感的な見方は、時間を固定したまま、空間を「わずかに揺らして」 のグラフを のグラフの上に載せることができれば、2つの関数が「近い」ということになります。これを、空間と時間の両方を「揺らす」ことができるスコロホード位相と比較してください。 ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

より一般的な領域を見てみると ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\geq 0}|f(t)|,}$

ウィーナー空間はもはやバナッハ空間ではないが、ウィーナー空間が追加の制約の下で定義されればバナッハ空間になることができる。

${\displaystyle \lim \limits _{s\to \infty }s^{-1}|f(s)|=0.}$

分離性と完全性

一様計量に関して、は可分かつ完備な空間である。 ${\displaystyle C}$

• 分離可能性はストーン・ワイエルシュトラスの定理の結果である。
• 完全性は、連続関数の列の一様極限がそれ自体連続であるという事実の結果です。

可分かつ完全であるため、はポーランド空間です。 ${\displaystyle C}$

古典的なウィーナー空間におけるタイトネス

関数の連続性係数は次のように定義される。 ${\displaystyle f:[0,T]\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \omega _{f}(\delta ):=\sup \left\{|f(s)-f(t)|:s,t\in [0,T],\,|s-t|\leq \delta \right\}.}$

この定義は、連続でなくても意味を持ち、連続係数が0に近づくときのみ連続であることが示されます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta \to 0:}$

${\displaystyle f\in C\iff \omega _{f}(\delta )\to 0{\text{ as }}\delta \to 0}$。

アルツェラ・アスコリ定理を応用すると、古典的ウィーナー空間上の確率測度の列がタイトであるためには、次の条件が両方とも満たされる必要があることが示せます。 ${\displaystyle (\mu _{n})_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in C:|f(0)|\geq a\}=0,}$そして

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in C:\omega _{f}(\delta )\geq \varepsilon \}=0}$すべての人のために ${\displaystyle \varepsilon >0.}$

古典的なウィーナー測度

には「標準的な」測度があり、これは古典ウィーナー測度（または単にウィーナー測度）として知られています。ウィーナー測度には（少なくとも）2つの同値な特徴付けがあります。 ${\displaystyle C_{0},}$

ブラウン運動を、原点から始まり、ほぼ確実に連続した経路と独立した増分を持つマルコフ 確率過程 と定義すると、 ${\displaystyle B:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle B_{t}-B_{s}\sim \,\mathrm {Normal} \left(0,|t-s|\right),}$

すると古典的なウィーナー測度は過程の法則となる ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle B.}$

あるいは、抽象的なウィーナー空間構成を用いることもできる。この構成では、古典的なウィーナー測度は、次の式に対応するキャメロン・マーティン・ヒルベルト空間上の標準ガウス円筒集合測度のラドン化である。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle C_{0}.}$

古典的なウィーナー測度はガウス測度です。具体的には、厳密に正の確率測度です。

上の古典的なウィーナー測度が与えられると、積測度は上の確率測度となり、ここで は上の標準的なガウス測度を表す。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle C_{0},}$ ${\displaystyle \gamma ^{n}\times \gamma }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \gamma ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

ウィーナー測度の座標マップ

確率過程と から までのすべての関数の関数空間 について、写像を見る。そしてによって定義される座標写像、あるいは標準版を定義できる。 は別の過程を形成する。 および に対して、ウィーナー測度はにおける唯一の測度であり、座標過程はブラウン運動となる。^[1] ${\displaystyle \{X_{t},t\in [0,T]\}:(\Omega ,{\mathcal {F}},P)\to (M,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle M^{E}\equiv \{E\to M\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varphi :\Omega \to M^{E}}$ ${\displaystyle Y_{t}:M^{E}\to M}$ ${\displaystyle Y_{t}(\omega )=\omega (t)}$ ${\displaystyle \{Y_{t},t\in E\}}$ ${\displaystyle M=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle E=\mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} )}$

ウィーナー空間の部分空間

連続的に埋め込まれたヒルベルト空間を とし、ウィーナー測度を とすると、となる。これは1973年にスモリャノフとウグラノフによって証明され、同年にゲルキンによって独立に証明された。^{[2] [3]}しかし、より弱い位相を持つヒルベルト空間が存在し、は1993年にウグラノフによって証明された。^[4] ${\displaystyle H\subset C_{0}([0,R])}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (H)=0}$ ${\displaystyle H\subset C_{0}([0,R])}$ ${\displaystyle \gamma (H)=1}$

参照

• 抽象ウィーナー空間
• ガウス確率空間
• マリアヴァン計算
• マリアビン誘導体
• スコロホッド空間は、関数が不連続になることを許容する古典的なウィーナー空間の一般化である。
• ウィーナー過程

参考文献

1. レヴズ、ダニエル;やあ、マーク (1999)。連続マーチンゲールとブラウン運動。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 293. スプリンガー。33～ 37ページ 。
2. スモリャノフ, オレグ・G.; ウグラノフ, アレクセイ・V. (1973). 「ウィーナー空間のすべてのヒルベルト部分空間は測度ゼロを持つ」.数学ノート. 14 (3): 772– 774. doi :10.1007/BF01147453.
3. Guerquin, Małgorzata (1973). 「ウィーナー測度の非ヒルベルト的構造」. Colloq. Math . 28 : 145–146 . doi :10.4064/cm-28-1-145-146.
4. Uglanov, Alexei V. (1992). 「ウィーナー測度のヒルベルト台」.数学ノート. 51 (6): 589– 592. doi :10.1007/BF01263304.

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