電磁場の分類

微分幾何学および理論物理学において、電磁場の分類とは、ローレンツ多様体の各点における双ベクトルの点ごとの分類である。これはマクスウェル方程式の解の研究に用いられ、アインシュタインの相対性理論にも応用されている。

分類定理

ロレンツ時空の点p (つまりイベント)における電磁場は、 pにおける接空間上に定義された実バイベクトルF = F ^abによって表されます。

pにおける接空間は、E ^1,3の実内積空間として等長である。つまり、ミンコフスキー時空と同じベクトルの大きさと角度の概念を持つ。表記を簡略化するため、時空はミンコフスキー時空であると仮定する。これにより、 pにおける接空間と基底多様体との区別が曖昧になる傾向があるが、幸いなことに、この特殊化によって失われるものは何もない。その理由については、本稿の最後で論じる。

電磁場の分類定理は、いわゆる「主ヌル方向」を定義し、検証することにより、ロレンツ計量 η = η ab との関係において双ベクトル F を特徴づけます。これを説明しましょ_う。

双ベクトルF ^abは、計量で1つ指数を下げることで定義される歪対称線型作用素F ^a_b = F ^acη _cbを与える。これはpにおける接空間にr ^a → F ^a_b r ^bによって作用する。文脈に応じて、記号Fは双ベクトルまたは作用素を表すために使用する。

外積代数から導かれる二分法について述べる。 F = v ∧ w（v、wは線型独立）と書ける二分ベクトルは単純と呼ばれる。4次元ベクトル空間上の任意の非零二分ベクトルは単純であるか、 F = v ∧ w + x ∧ y （ v、w、x、yは線型独立）と書ける。つまり、この2つの場合は互いに排他的である。このように述べると、この二分法は計量ηを参照せず、外積代数のみを参照する。しかし、関連する歪対称線型作用素F ^a_{b は}前者の場合は階数2、後者の場合は階数4であることが容易に分かる。 ^{[ 1 ]}

分類定理を述べるために、 Fの固有値問題、すなわち、固有値方程式を満たす固有値λと固有ベクトルrを求める問題を考える。

F^{a}{}_{b}r^{b}=\lambda \,r^{a}.

Fの歪対称性は次を意味します:

固有ベクトルrがヌルベクトル（つまりη ( r , r ) = 0）であるか、固有値λがゼロであるか、またはその両方であるかのいずれかです。

ヌル固有ベクトルによって生成される 1 次元部分空間は、二重ベクトルの 主ヌル方向と呼ばれます。

分類定理は、二ベクトルの可能な主零方向を特徴づける。これは、任意の非零二ベクトルに対して、以下のいずれかが必ず成立することを規定する。

双ベクトルは1つの「繰り返される」主ヌル方向を持つ。この場合、双ベクトル自体はヌルであると言われる。
双ベクトルには 2 つの異なる主ヌル方向があります。この場合、双ベクトルは非ヌルと呼ばれます。

さらに、任意の非ヌル双ベクトルについて、2つの異なる主ヌル方向に関連付けられた2つの固有値は同じ大きさで反対の符号、λ = ± νを持つため、非ヌル双ベクトルの3つのサブクラスが存在します。

空間的：ν = 0
時間的 ：ν ≠0かつ階数F = 2
非単純：ν ≠ 0 かつ階数F = 4、

ここで、rank は線形演算子Fのrankを指します。

物理的な解釈

上記の双ベクトルの代数的分類は、相対論的物理学において重要な応用があります。電磁場は歪対称の第 2 階テンソル場 (電磁場テンソル) によって表されるため、電磁場の代数的分類が直ちに得られます。

ミンコフスキー時空上の直交座標チャートにおいて、計量シグネチャがほぼ負のとき、電磁場テンソルは成分を持つ。 $(\eta _{\mu \nu })={\text{diag}}(+---)$

F_{ab}=\left({\begin{matrix}0&B_{z}&-B_{y}&E_{x}/c\\-B_{z}&0&B_{x}&E_{y}/c \\B_{y}&-B_{x}&0&E_{z}/c\\-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c&0\end{matrix}}\right)

ここで、およびはそれぞれ、慣性観測者（我々の座標系で静止している）によって測定された電場と磁場の成分を表す。相対論的物理学では通常、となる幾何化された単位系を用いるのが便利である。特殊相対論の「指数体操」形式においては、ミンコフスキー計量は指数の増減に用いられる。 $E_{x},E_{y},E_{z}$ $B_{x},B_{y},B_{z}$ $c=1$ $\eta$

不変量

電磁場の基本的な不変量は次のとおりです。

P\equiv {\frac {1}{2}}F_{ab}\,F^{ab}=\|{\vec {B}}\|^{2}-{\frac {\|{\vec {E}}\|^{2}}{c^{2}}}=-{\frac {1}{2}}{}^{*}F_{ab}\,{}^{*}F^{ab}

Q\equiv {\frac {1}{4}}F_{ab}\,{}^{*}F^{ab}={\frac {1}{8}}\epsilon ^{abcd}F_{ab}F_{cd}={\frac {{\vec {E}}\cdot {\vec {B}}}{c}}

。

(基本的とは、他のすべての不変量がこれら 2 つで表現できることを意味します。)

ヌル電磁場はによって特徴付けられる。この場合、不変量から、電場と磁場は直交し、大きさ（幾何学的単位で）は同じであることが分かる。ヌル場の例としては、ミンコフスキー空間における平面電磁波が挙げられる。 $P=Q=0$

非ヌル場はによって特徴付けられます。の場合、電場または磁場のいずれかがゼロになる慣性座標系が存在します。（これらはそれぞれ静磁場と静電場に対応します。）の場合、電場と磁場が比例する慣性座標系が存在します。 $P^{2}+Q^{2}\neq \,0$ $P\neq 0=Q$ $Q\neq 0$

曲がったロレンツ多様体

これまでミンコフスキー時空についてのみ議論してきました。（強い）同値原理によれば、上記の「慣性系」を単にフレーム場に置き換えるだけで、曲面多様体上でも全てが全く同じように機能します。

参照

注記

^ここで与えられたランクは線形演算子またはテンソルとしてのランクに対応します。kベクトルに対して定義されたランクはここで与えられたランクの半分です。

参考文献

ランダウ、レフ・D.; リフシッツ、EM (1973). 『古典場の理論』ニューヨーク: ペルガモン. ISBN 0-08-025072-6。セクション25を参照してください。

[1] ここで与えられたランクは線形演算子またはテンソルとしてのランクに対応します。kベクトルに対して定義されたランクはここで与えられたランクの半分です。

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