クリフォード分析

クリフォード解析は、ウィリアム・キングドン・クリフォードにちなんで名付けられたクリフォード代数を用いて、ディラック作用素、解析学と幾何学におけるディラック型作用素、およびその応用を研究する分野です。ディラック型作用素の例には、リーマン多様体上のホッジ・ディラック作用素、ユークリッド空間のディラック作用素と逆作用素、球面上の共形作用素、ユークリッドn空間のラプラシアン、スピン多様体上のアティヤ・シンガー・ディラック作用素、ラリタ・シュウィンガー/シュタイン・ワイス型作用素、共形ラプラシアン、スピノル・ラプラシアン、スピン^C多様体上のディラック作用素、ディラック作用素系、パネイツ作用素、双曲空間上のディラック作用素、双曲ラプラシアン方程式、ワインスタイン方程式などがあります。 ${\displaystyle d+{\star }d{\star }}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})}$

ユークリッド空間

ユークリッド空間ではディラック演算子は次の形をとる。

${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$

ここで、e ₁、...、e _{n は}R ⁿの直交基底であり、R ^{n は}複素クリフォード代数Cl _n ( C ) に埋め込まれていると見なされ、 e _j ² = −1となります。

これにより

${\displaystyle D^{2}=-\Delta _{n}}$

ここでΔn_はnユークリッド空間におけるラプラシアンである。

ユークリッドディラック演算子の 基本解は

${\displaystyle G(x-y):={\frac {1}{\omega _{n}}}{\frac {x-y}{\|x-y\|^{n}}}}$

ここでωn_は単位球Sn ^{− 1}の表面積である。

ご了承ください

${\displaystyle D{\frac {1}{(n-2)\omega _{n}\|x-y\|^{n-2}}}=G(x-y)}$

どこ

${\displaystyle {\frac {1}{(n-2)\;\omega _{n}\;\|x-y\|^{n-2}}}}$

は、 n ≥ 3のラプラス方程式の基本解です。

ディラック作用素の最も基本的な例はコーシー・リーマン作用素である。

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}}$

複素平面上では、1変数複素解析の多くの基本的性質は、多くの1階ディラック型作用素にも当てはまる。ユークリッド空間では、これにはコーシーの定理、コーシーの積分公式、モレラの定理、テイラー級数、ローラン級数、リウヴィルの定理が含まれる。この場合、コーシー核はG ( x − y )である。コーシーの積分公式の証明は1変数複素解析の場合と同じであり、ユークリッド空間の各非零ベクトルxがクリフォード代数において逆元を 持つという事実、すなわち

${\displaystyle -{\frac {x}{\|x\|^{2}}}\in \mathbf {R} ^{n}.}$

この逆関数は、符号を除いてxのケルビン逆関数である。ユークリッド・ディラック方程式Df = 0 の解は、（左）モノジェニック関数と呼ばれる。モノジェニック関数は、スピン多様体上の調和スピノルの特殊なケースである。

3次元および4次元では、クリフォード解析は四元数解析と呼ばれることもあります。n = 4の場合、ディラック作用素はコーシー・リーマン・フューター作用素と呼ばれることもあります。さらに、クリフォード解析のいくつかの側面は超複素解析と呼ばれます。

クリフォード解析には、コーシー変換、ベルクマン核、セゲー核、プレメリ演算子、ハーディ空間、ケルツマン・シュタイン公式、そしてΠ変換（あるいはベーリング・アールフォース変換）など、類似の変換法があります。これらはすべて、移動境界値問題、特異積分、古典的な調和解析など、境界値問題の解法に応用されています。特にクリフォード解析は、特定のソボレフ空間において、3次元の完全水波問題を解くために用いられてきました。この手法は、2次元以上のすべての次元で機能します。

クリフォード解析の大部分は、複素クリフォード代数を実クリフォード代数Cl _nに置き換えれば機能します。しかし、ディラック演算子とフーリエ変換の相互作用を扱う必要がある場合は、そうではありません。

フーリエ変換

上半空間R ^{n ,+}と境界R ^{n −1 、} e ₁ , ..., e _{n −1}の広がりをフーリエ変換で考えると、ディラック演算子の記号

${\displaystyle D_{n-1}=\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$

iζは​

${\displaystyle \zeta =\zeta _{1}e_{1}+\cdots +\zeta _{n-1}e_{n-1}.}$

この設定では、プレメリの式は

${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{2}}+G(x-y)|_{\mathbf {R} ^{n-1}}}$

これらの演算子の記号は、符号を除いて、

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1\pm i{\frac {\zeta }{\|\zeta \|}}\right).}$

これらは、 R ^{n −1上の Cl} _n ( C ) 値の平方可積分関数の空間上の射影演算子（相互に消滅するべき等性としても知られています）です。

ご了承ください

${\displaystyle G|_{\mathbf {R} ^{n}}=\sum _{j=1}^{n-1}e_{j}R_{j}}$

ここで、R _jはj番目のリースポテンシャル であり、

${\displaystyle {\frac {x_{j}}{\|x\|^{n}}}.}$

の シンボルとして ${\displaystyle G|_{\mathbf {R} ^{n}}}$

${\displaystyle {\frac {i\zeta }{\|\zeta \|}}}$

クリフォード乗算から簡単に分かるように、

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n-1}R_{j}^{2}=1.}$

したがって、畳み込み演算子は、ヒルベルト変換のユークリッド空間への自然な一般化です。 ${\displaystyle G|_{\mathbf {R} ^{n}}}$

U ′ がR ^{n −1}の領域であり、g ( x ) が Cl _n ( C ) 値の実解析関数であるとする。このとき、g はR ⁿにおけるU ′のある近傍上のディラック方程式のコーシー・コヴァレフスカイア拡張を持つ。この拡張は次のように明示的に与えられる。

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }\left(x_{n}e_{n}^{-1}D_{n-1}\right)^{j}g(x).}$

この拡張を変数xに適用すると、

${\displaystyle e^{-i\langle x,\zeta \rangle }\left({\tfrac {1}{2}}\left(1\pm i{\frac {\zeta }{\|\zeta \|}}\right)\right)}$

それは分かります

${\displaystyle e^{-i\langle x,\zeta \rangle }}$

は、 E ₊  +  E ₋のR ^{n −1}への制限です。ここで、 E ₊は上半空間の単関数であり、E ₋は下半空間の単関数です。

クリフォード解析から生じるnユークリッド空間 におけるペイリー・ウィーナーの定理もあります。

共形構造

多くのディラック型作用素は、計量の共形変化に対して共変性を持つ。これは、ユークリッド空間におけるディラック作用素、およびメビウス変換下の球面上のディラック作用素に当てはまる。したがって、これは共形平坦多様体、および同時にスピン多様体でもある共形多様体上のディラック作用素にも当てはまる。

ケーリー変換（立体投影）

R ⁿから単位球面S ⁿへのケーリー変換または立体射影は、ユークリッドディラック演算子を球面ディラック演算子D _Sに変換する。明示的には

${\displaystyle D_{S}=x\left(\Gamma _{n}+{\frac {n}{2}}\right)}$

ここでΓ _nは球面ベルトラミ・ディラック演算子である

${\displaystyle \sum \nolimits _{1\leq i<j\leq n+1}e_{i}e_{j}\left(x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}-x_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\right)}$

そしてS ⁿのx。

n空間 上のケーリー変換は

${\displaystyle y=C(x)=(e_{n+1}x+1)(x+e_{n+1})^{-1},\qquad x\in \mathbf {R} ^{n}.}$

その逆は

${\displaystyle x=(-e_{n+1}+1)(y-e_{n+1})^{-1}.}$

nユークリッド空間の領域U上で定義された関数f ( x )とディラック方程式の解に対して、

${\displaystyle J(C^{-1},y)f(C^{-1}(y))}$

はC ( U ) 上のD _Sによって消滅する。

${\displaystyle J(C^{-1},y)={\frac {y-e_{n+1}}{\|y-e_{n+1}\|^{n}}}.}$

さらに遠く

${\displaystyle D_{S}(D_{S}-x)=\triangle _{S},}$

S ⁿ上の共形ラプラシアンまたは山辺作用素。明示的に

${\displaystyle \triangle _{S}=-\triangle _{LB}+{\tfrac {1}{4}}n(n-2)}$

ここで、はS ⁿ上のラプラス・ベルトラミ作用素である。この作用素は、ケーリー変換によってユークリッドラプラシアンと共形的に同値となる。また、 ${\displaystyle \triangle _{LB}}$ ${\displaystyle \triangle _{S}}$

${\displaystyle D_{s}(D_{S}-x)(D_{S}-x)(D_{S}-2x)}$

パネイツ演算子は、

${\displaystyle -\triangle _{S}(\triangle _{S}+2),}$

n球面上の演算子である。ケーリー変換により、この演算子は双ラプラシアンと共形的に同値となる。これらはすべてディラック型演算子の例である。 ${\displaystyle \triangle _{n}^{2}}$

メビウス変換

nユークリッド空間上のメビウス変換は次のように表される。

${\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}},}$

ここで、 a、b、c、dはCl _nであり、特定の制約を満たす。関連する2×2行列はAhlfors-Vahlen行列と呼ばれる。

${\displaystyle y=M(x)+{\frac {ax+b}{cx+d}}}$

Df ( y ) = 0 のとき、ディラック方程式の解は ${\displaystyle J(M,x)f(M(x))}$

${\displaystyle J(M,x)={\frac {\widetilde {cx+d}}{\|cx+d\|^{n}}}}$

そして ~ はクリフォード代数に作用する基本的な反自己同型である。演算子D ^k、あるいはkが偶数のときのΔ _n ^{k /2 は、}ケーリー変換を含むメビウス変換の下で同様の共変性を示す。

ax + bとcx + dがゼロ以外の場合、それらは両方ともクリフォード群のメンバーです。

として

${\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {-ax-b}{-cx-d}}}$

とすると、 J ( M , x )の定義において符号を選択​​できます。これは、共形平坦多様体Mに対して、そのセクションにディラック演算子を作用させることができるスピノルバンドルを定義するために、M上のスピン構造が必要であることを意味します。明示的な簡単な例としては、 n円筒、nユークリッド空間から原点を引いたホップ多様体、上半空間で完全に不連続に作用する一般化モジュラー群の作用によって因数分解することで上半空間から得られるkハンドル付きトーラスの一般化などがあります。これらのコンテキストでディラック演算子を導入できます。これらのディラック演算子は、アティヤ–シンガー–ディラック演算子の特別な例です。

アティヤ・シンガー・ディラックのオペレーター

スピン多様体MがスピノルバンドルSとSの滑らかな切断s ( x )を持つとき、 Mの接バンドルの局所直交基底e ₁ ( x )、...、 e _n ( x )を用いて、 sに作用するアティヤ・シンガー・ディラック作用素は次のように定義される。

${\displaystyle Ds(x)=\sum _{j=1}^{n}e_{j}(x){\tilde {\Gamma }}_{e_{j}(x)}s(x),}$

ここで、スピン接続は、 M上のレヴィ・チヴィタ接続をSに持ち上げたものである。Mがnユークリッド空間のとき、ユークリッドディラック演算子に戻る。 ${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}}$

アティヤ・シンガー・ディラック作用素Dからリヒネロヴィッチの公式が得られる。

${\displaystyle D^{2}=\Gamma ^{*}\Gamma +{\tfrac {\tau }{4}},}$

ここで、^{τ は多様体上のスカラー曲率、Γ ∗ は Γ の随伴演算子である。D 2}演算子はスピノルラプラシアンとして知ら^れている。

Mがコンパクトで、τ ≥ 0かつτ > 0がどこかで成立する場合、多様体上には非自明な調和スピノルは存在しない。これがリヒネロヴィチの定理である。リヒネロヴィチの定理は、一変数複素解析におけるリウヴィルの定理の一般化であることは容易に理解できる。この定理から、そのような多様体上の滑らかなスピノル切断空間上では、作用素Dは逆であることが分かる。

アティヤ・シンガー・ディラック作用素がコンパクトな台を持つ滑らかなスピノル切断空間上で可逆な場合には、

${\displaystyle C(x,y):=D^{-1}*\delta _{y},\qquad x\neq y\in M,}$

ここで、δ _yはyにおけるディラックのデルタ関数である。これによりコーシー核が得られ、これが このディラック作用素の基本解となる。この核から調和スピノルのコーシー積分公式が得られる。この核を用いることで、本稿の最初の節で述べたことの多くを可逆なアティヤ・シンガー・ディラック作用素にも適用できる。

ストークスの定理などを使用して、さらに、計量の共形変化の下では、各計量に関連付けられたディラック演算子は互いに比例し、その結果、それらの逆演算子も（存在する場合）比例することを決定できます。

これらすべては、アティヤ・シンガー指数理論やディラック型演算子を含む幾何学的解析の他の側面との潜在的なつながりを提供します。

双曲型ディラック型演算子

クリフォード解析では、上半空間、円板、または双曲線上の微分演算子を双曲計量、つまりポアンカレ計量に関して考慮します。

上半空間では、クリフォード代数Cl _{n をCl n −1} + Cl _{n −1} e _nに分割する。したがって、Cl _nにa がある場合、 aはb + ce _nと表すことができ、この場合、 a , bは Cl _{n −1}となる。すると、射影作用素PとQ は次のように定義される。P ( a ) = bおよびQ ( a ) = c 。上半空間における関数fに双曲計量に関して作用するホッジ・ディラック作用素は、次のように定義される。

${\displaystyle Mf=Df+{\frac {n-2}{x_{n}}}Q(f)}$。

この場合

${\displaystyle M^{2}f=-\triangle _{n}P(f)+{\frac {n-2}{x_{n}}}{\frac {\partial P(f)}{\partial x_{n}}}-\left(\triangle _{n}Q(f)-{\frac {n-2}{x_{n}}}{\frac {\partial Q(f)}{\partial x_{n}}}+{\frac {n-2}{x_{n}^{2}}}Q(f)\right)e_{n}}$。

オペレーター

${\displaystyle \triangle _{n}-{\frac {n-2}{x_{n}}}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$

はポアンカレ計量に関するラプラシアンであり、他の演算子はワインスタイン演算子の例です。

双曲型ラプラシアンは共形群の作用に対して不変ですが、双曲型ディラック演算子はそのような作用に対して共変です。

ラリタ・シュウィンガー/シュタイン・ヴァイスのオペレーター

ラリタ・シュウィンガー作用素は、スタイン・ワイス作用素と​​も呼ばれ、スピン群とピン群の表現論で生じる。作用素R _kは共形共変な一次微分作用素である。ここでk = 0, 1, 2, .... k = 0 のとき、ラリタ・シュウィンガー作用素はディラック作用素に等しい。直交群O( n ) の表現論では、同次調和多項式の空間に値を取る関数を考えるのが一般的である。この表現論をO( n ) の二重被覆 Pin( n ) に精密化すると、同次調和多項式の空間がディラック方程式のk 個の同次多項式解の空間、つまりk個の単一多項式で置き換えられる。関数f ( x , u )を考え、 xはUに、領域はR ⁿに、u はR ⁿにわたって変化する。さらに、f ( x , u ) はuのk単項多項式である。ここで、 xのディラック演算子D _xをf ( x , u )に適用する。クリフォード代数は可換ではないので、D _x f ( x , u ) はもはやk単項多項式ではなく、uの同次調和多項式となる。ここで、 k次同次調和多項式h _kに対して、アルマンシ・フィッシャー分解が成立する。

${\displaystyle h_{k}(x)=p_{k}(x)+xp_{k-1}(x)}$

ここでp _kとp _{k −1}はそれぞれkとk −1の単元多項式である。Pをh _kからp _kへの射影とすると、ラリタ・シュウィンガー作用素はPD _kと定義され、 R _kと表記される。オイラーの補題を用いると、

${\displaystyle D_{u}up_{k-1}(u)=(-n-2k+2)p_{k-1}.}$

それで

${\displaystyle R_{k}=\left(I+{\frac {1}{n+2k-2}}uD_{u}\right)D_{x}.}$

会議とジャーナル

クリフォード代数と幾何代数は、幅広い応用分野を持つ活気に満ちた学際的なコミュニティを形成しています。この分野の主要な会議には、クリフォード代数とその数理物理学への応用に関する国際会議（ICCA）と、コンピュータサイエンスとエンジニアリングへの幾何代数の応用（AGACSE）シリーズがあります。主要な出版物は、SpringerのジャーナルであるAdvances in Applied Clifford Algebrasです。

参照

• クリフォード代数
• 複雑なスピン構造
• 共形多様体
• 共形平坦多様体
• ディラック演算子
• ポアンカレ計量
• スピングループ
• スピン構造
• スピノル束

参考文献

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外部リンク

• 解析学と幾何学におけるディラック作用素に関する講義ノート
• Calderbank, David MJ (1997-12-19), Dirac operators and Clifford analysis on manifolds with boundary , Danish Mathematical Society, DMF-1997-12-007 PP-1997-53, 2009-08-13にオリジナルからアーカイブ

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