時計の角度の問題

時計の角度の問題は、アナログ時計の針の間の角度を求める数学の問題の一種です。

数学の問題

時計の角度の問題は、角度と時間という2つの異なる測定単位に関連しています。角度は通常、12の目盛りから時計回りに度数で測定されます。時間は通常、 12時間制に基づいています。

このような問題を解決する方法の一つは、1分間の角度変化率を考慮することです。通常の12時間表示のアナログ時計の時針は12時間（720分）で360°、つまり1分間に0.5°回転します。分針は60分で360°、つまり1分間に6°回転します。^[1]

時針の角度の方程式

\theta _{\text{hr}}=0.5^{\circ }\times M_{\Sigma }=0.5^{\circ }\times (60\times H+M)

どこ：

$θ$ は、12度から時計回りに測った針の角度である。
$H$ は時間です。
$M$ は時間経過の分数です。
$M Σ$ は12時からの分数です。 $M_{\Sigma }=(60\times H+M)$

分針の角度の方程式

\theta _{\text{min.}}=6^{\circ }\times M

どこ：

$θ$ は、12 時の位置から時計回りに測定された針の角度（度）です。
$M$ は分です。

例

時刻は5時24分です。時針の角度は度です。

\theta _{\text{hr}}=0.5^{\circ }\times (60\times 5+24)=162^{\circ }

分針の角度（度）は次のとおりです。

\theta _{\text{min.}}=6^{\circ }\times 24=144^{\circ }

両手の間の角度の方程式

両手の間の角度は次の式で求められます。

{\begin{aligned}\Delta \theta &=\vert \theta _{\text{hr}}-\theta _{\text{min.}}\vert \\&=\vert 0.5^{\circ }\times (60\times H+M)-6^{\circ }\times M\vert \\&=\vert 0.5^{\circ }\times (60\times H+M)-0.5^{\circ }\times 12\times M\vert \\&=\vert 0.5^{\circ }\times (60\times H-11\times M)\vert \\\end{aligned}}

どこ

$H$ は時間です
$M$ は分です

角度が 180 度より大きい場合は、360 度からそれを引きます。

例1

時刻は2時20分です。

{\begin{aligned}\Delta \theta &=\vert 0.5^{\circ }\times (60\times 2-11\times 20)\vert \\&=\vert 0.5^{\circ }\times (120-220)\vert \\&=50^{\circ }\end{aligned}}

例2

時刻は10時16分です。

{\begin{aligned}\Delta \theta &=\vert 0.5^{\circ }\times (60\times 10-11\times 16)\vert \\&=\vert 0.5^{\circ }\times (600-176)\vert \\&=212^{\circ }\ \ (>180^{\circ })\\&=360^{\circ }-212^{\circ }\\&=148^{\circ }\end{aligned}}

時計の時針と分針が重なるのはどのようなときですか?

このグラフィカルなソリューションでは、T は時間（時）、Pは針の位置、θは針の角度（度）を表します。赤い線（太い実線）は時針、青い線（細い実線）は分針を表します。これらの交点（赤い四角）は、針が一直線になっていることを示します。さらに、オレンジ色の円（一点鎖線）は針が対向している位置、ピンクの三角形（破線）は針が垂直になっている位置を示します。SVGファイルでは、グラフにマウスポインターを合わせると、時計の文字盤上の針の位置が表示されます。

時針と分針は、角度が同じ場合にのみ重なります。

{\begin{aligned}\theta _{\text{min}}&=\theta _{\text{hr}}\\\Rightarrow 6^{\circ }\times M&=0.5^{\circ }\times (60\times H+M)\\\Rightarrow 12\times M&=60\times H+M\\\Rightarrow 11\times M&=60\times H\\\Rightarrow M&={\frac {60}{11}}\times H\\\Rightarrow M&=5.{\overline {45}}\times H\end{aligned}}

$Hは0から$ 11までの範囲の整数です。これは、0:00、1:05.45、2: 10.90、3 : 16.36、4 :21.81、5: 27.27、6 : 32.72、7 : 38.18、8 :43.63、9: 49.09、10 : 54.54、12 : 00という時刻を表します。（0.45分はちょうど27.27秒です。）

参照

時計の位置

参考文献

^ エルギン、デイブ (2007). 「時計の文字盤上の角度」.学校における数学. 36 (5). 数学協会: 4–5 . JSTOR 30216063.

外部リンク

https://web.archive.org/web/20100615083701/http://delphiforfun.org/Programs/clock_angle.htm
http://www.ldlewis.com/hospital_clock/ - 詳細な時計の角度分析
https://web.archive.org/web/20100608044951/http://www.jimloy.com/puzz/clock1.htm

[1] エルギン、デイブ (2007). 「時計の文字盤上の角度」.学校における数学. 36 (5). 数学協会: 4–5 . JSTOR 30216063.