A function that sends open (resp. closed) subsets to open (resp. closed) subsets
数学 、より具体的には 位相 幾何学 において 、開 写像とは、開集合を開集合に写像する 2 つの位相空間の間の関数である。[1] [2] [3] つまり、関数は、像 内の任意の開集合に対して が開いている場合、開いている 。 同様 に 、 閉写 像 と は 、 閉
集合 を 閉 集合
に 写像 する 関数である 。 [3] [4]
写像は、開いている場合も、閉じている場合も、その両方である場合も、どちらでもない場合もある。 [5] 特に、開写像は必ずしも閉じている必要はなく、その逆も同様である。 [6] f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} U {\displaystyle U} X , {\displaystyle X,} f ( U ) {\displaystyle f(U)} Y . {\displaystyle Y.}
開写像 [7] と閉写像 [8]は必ずしも 連続で はない 。 [4] さらに、一般の場合、連続性は開写像や閉写像とは独立しており、連続関数は、一方の性質を持つことも、両方を持つことも、どちらも持たないこともある。 [3]この事実は、 距離空間 に限定した場合でも成り立つ 。 [9]
開写像と閉写像の定義はより自然に思えるが、連続写像に比べると開写像と閉写像ははるかに重要ではない。定義により、関数が 連続であるための必要十分条件は、 のすべての開集合の 逆像が において開いていること [2] （同様に、 のすべての閉集合の逆像が において閉じていることも必要十分条件である）である 。 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} Y {\displaystyle Y} X . {\displaystyle X.} Y {\displaystyle Y} X {\displaystyle X}
オープンマップの初期の研究は、 シミオン・ストイロウ と ゴードン・トーマス・ワイバーン によって開拓されました。 [10]
定義と特徴 が位相空間の部分集合である とき 、 と （それぞれ ）を その空間におけるの 閉包 （それぞれ 内部 ）を表すものとする。 を 位相空間 間の写像とする 。が任意 の集合であるとき、 は の像と呼ばれる。 S {\displaystyle S} S ¯ {\displaystyle {\overline {S}}} Cl S {\displaystyle \operatorname {Cl} S} Int S {\displaystyle \operatorname {Int} S} S {\displaystyle S} f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} S {\displaystyle S} f ( S ) := { f ( s ) : s ∈ S ∩ domain f } {\displaystyle f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}} S {\displaystyle S} f . {\displaystyle f.}
競合する定義 「開写像 」には、広く用いられている2つの異なる、しかし密接に関連した定義があり 、どちらも「開集合を開集合へ写像する」と要約できます。以下の用語は、2つの定義を区別するために用いられることがあります。
地図 は f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y}
「 強開写像 」 が定義域の 開部分集合 である ときはいつでも 、 はの 余域 の開部分集合である U {\displaystyle U} X {\displaystyle X} f ( U ) {\displaystyle f(U)} f {\displaystyle f} Y . {\displaystyle Y.} 「 相対的に開いた写像 「 が領域の開集合である 、 はの 像 の開集合である。 ここで、通常通り、この集合は の余域 その上に誘導される 部分空間位相 U {\displaystyle U} X {\displaystyle X} f ( U ) {\displaystyle f(U)} f {\displaystyle f} Im f := f ( X ) , {\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X),} f {\displaystyle f} Y . {\displaystyle Y.} 強開写像はすべて相対開写像である。しかし、これらの定義は一般には同値ではない。
警告：多くの著者は「オープンマップ」を「 比較的 オープンなマップ」と定義しています （例えば、『 数学百科事典』）。一方、「オープンマップ」を「 強く オープンなマップ」と定義する著者もいます 。一般的に、これらの定義は同等 ではない ため、著者が「オープンマップ」の定義をどのように使用しているかを常に確認することをお勧めします。 射影写像 が 相対的に開いていることと、それが強開であることは同値である。したがって、この重要な特殊なケースにおいては、定義は同値である。より一般的には、 射影写像 が強開写像である 場合と、それが相対的に開いていることは同値である。 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} f : X → f ( X ) {\displaystyle f:X\to f(X)}
は常に強開写像の 像 の開部分集合である ので、強開写像 はその余域の開部分集合でなければならない 。実際、相対開写像が強開写像となるのは、その像がその余域の開部分集合である場合に限る。まとめると、 X {\displaystyle X} X , {\displaystyle X,} f ( X ) = Im f {\displaystyle f(X)=\operatorname {Im} f} f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} Y . {\displaystyle Y.}
マップが強開となるのは、マップが相対的に開であり、その像がその余域の開集合である場合に限ります。 この特徴付けを使用すると、「オープン マップ」の 2 つの定義のいずれかに関連する結果を、他の定義に関連する状況に適用することが簡単になることがよくあります。
上記の議論は、「open」という単語をそれぞれ「closed」という単語に置き換えれば、閉じたマップにも適用されます。
オープンマップ 地図 は f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} オープンマップ または 次の同等の条件のいずれかを満たす場合、 マップは強くオープンになります。
定義： の開集合をその余域の開集合に写す。つまり、 の任意 の開集合に対して 、 は の開集合である。 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} U {\displaystyle U} X {\displaystyle X} f ( U ) {\displaystyle f(U)} Y . {\displaystyle Y.} f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} は比較的開いた写像であり、その像は その余域の開いた部分集合である Im f := f ( X ) {\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X)} Y . {\displaystyle Y.} の あらゆる 近傍 （どんなに小さくても） に対して、 は の近傍である 。この条件において、「近傍」という単語の最初の部分または両方の部分を「開近傍」に置き換えても、結果は同じ条件となる。 x ∈ X {\displaystyle x\in X} N {\displaystyle N} x {\displaystyle x} f ( N ) {\displaystyle f(N)} f ( x ) {\displaystyle f(x)} の すべての開近傍 に対して 、 は の近傍です 。 x ∈ X {\displaystyle x\in X} N {\displaystyle N} x {\displaystyle x} f ( N ) {\displaystyle f(N)} f ( x ) {\displaystyle f(x)} の すべての開近傍 に対して 、 は の開近傍です 。 x ∈ X {\displaystyle x\in X} N {\displaystyle N} x {\displaystyle x} f ( N ) {\displaystyle f(N)} f ( x ) {\displaystyle f(x)} f ( Int X A ) ⊆ Int Y ( f ( A ) ) {\displaystyle f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {Int} _{Y}(f(A))} の すべての部分集合に対して、 は 集合の 位相的な内部 を表す。 A {\displaystyle A} X , {\displaystyle X,} Int {\displaystyle \operatorname {Int} } が の 閉部分集合 である ときはいつでも、 集合は の閉部分集合である。 C {\displaystyle C} X {\displaystyle X} { y ∈ Y : f − 1 ( y ) ⊆ C } {\displaystyle \left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}} Y . {\displaystyle Y.} これはすべての部分集合に当てはまる 恒等式 の結果である。 f ( X ∖ R ) = Y ∖ { y ∈ Y : f − 1 ( y ) ⊆ R } , {\displaystyle f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},} R ⊆ X . {\displaystyle R\subseteq X.} が の 根拠 である 場合 、次のものをこのリストに追加できます。 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} X {\displaystyle X}
f {\displaystyle f} は、基本開集合をその共域内の開集合に写像します（つまり、任意の基本開集合に対して は の 開集合の部分集合です ）。 B ∈ B , {\displaystyle B\in {\mathcal {B}},} f ( B ) {\displaystyle f(B)} Y {\displaystyle Y}
閉じた地図 地図 は f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 相対的に閉じた写像 が定義域の 閉部分集合 である ときはいつでも は の 像 の閉部分集合である。 ここで通常通り、この集合は の 余域 その上に誘導される 部分空間位相 C {\displaystyle C} X {\displaystyle X} f ( C ) {\displaystyle f(C)} f {\displaystyle f} Im f := f ( X ) , {\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X),} f {\displaystyle f} Y . {\displaystyle Y.}
地図 は f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 閉じた地図 または 次の同等の条件のいずれかを満たす場合、 強く閉じたマップとなります。
定義: の閉部分集合をその余域の閉部分集合に写す。つまり、 の任意 の閉部分集合 は の閉部分集合である。 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} C {\displaystyle C} X , {\displaystyle X,} f ( C ) {\displaystyle f(C)} Y . {\displaystyle Y.} f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} は比較的閉じた写像であり、その像は その余域の閉じた部分集合である Im f := f ( X ) {\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X)} Y . {\displaystyle Y.} f ( A ) ¯ ⊆ f ( A ¯ ) {\displaystyle {\overline {f(A)}}\subseteq f\left({\overline {A}}\right)} すべてのサブセットについて A ⊆ X . {\displaystyle A\subseteq X.} f ( C ) ¯ ⊆ f ( C ) {\displaystyle {\overline {f(C)}}\subseteq f(C)} すべての閉集合に対して C ⊆ X . {\displaystyle C\subseteq X.} が の開部分集合である ときはいつでも、 集合は の開部分集合である。 U {\displaystyle U} X {\displaystyle X} { y ∈ Y : f − 1 ( y ) ⊆ U } {\displaystyle \left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq U\right\}} Y . {\displaystyle Y.} が の ネット であり 、が における 点である 場合 、 は の 集合に 収束する。 x ∙ {\displaystyle x_{\bullet }} X {\displaystyle X} y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} f ( x ∙ ) → y {\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to y} Y , {\displaystyle Y,} x ∙ {\displaystyle x_{\bullet }} X {\displaystyle X} f − 1 ( y ) . {\displaystyle f^{-1}(y).} 収束とは、 の開集合のすべてが、十分に大きなインデックスすべてに対して を含むことを 意味 する 。 x ∙ → f − 1 ( y ) {\displaystyle x_{\bullet }\to f^{-1}(y)} X {\displaystyle X} f − 1 ( y ) {\displaystyle f^{-1}(y)} x j {\displaystyle x_{j}} j . {\displaystyle j.} 射影写像 が 強閉写像であるための必要十分条件は、それが相対的に閉写像である場合である。したがって、この重要な特殊なケースにおいては、2つの定義は同値である。定義により、写像が 相対的に閉写像であるための必要十分条件は、 射影写像 が強閉写像である場合である。 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} f : X → Im f {\displaystyle f:X\to \operatorname {Im} f}
開集合における「 連続写像 」の定義（「開集合のすべての原像は開である」という命題）において、「開」という語の両方を「閉」に置き換えると、結果として得られる命題（「閉集合のすべての原像は閉である」）は連続性と 等しく なります。しかし、「開写像」の定義（「開集合のすべての像は開である」）では、この定義は成立しません。なぜなら、結果として得られる命題（「閉集合のすべての像は閉である」）は「閉写像」の定義であり、これは一般に開性とは等しく ないから です。閉写像であっても閉じていないものも存在し、また、閉写像であっても開いていないものも存在します。開写像／閉写像と連続写像のこの違いは、最終的には、任意の集合についてのみ 一般に等式が保証されるのに対し、原像については常に等式が成立する という事実に起因します 。 S , {\displaystyle S,} f ( X ∖ S ) ⊇ f ( X ) ∖ f ( S ) {\displaystyle f(X\setminus S)\supseteq f(X)\setminus f(S)} f − 1 ( Y ∖ S ) = f − 1 ( Y ) ∖ f − 1 ( S ) {\displaystyle f^{-1}(Y\setminus S)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(S)}
例 で定義される 関数は 連続、閉、相対的に開いているが、（強く）開いているわけではない。これは、 が の定義域内の を含ま ない 任意の 開区間である 場合、 となり、 この開区間は と の両方の開部分集合となるためである 。しかし、 が に含まれる 任意の開区間である 場合、 は の余域 の開部分集合ではなく の 開部分集合 となる 。 のすべての開区間の集合は 上のユークリッド位相の基底となるため、 は 相対的に 開い て いる が 、（強く）開いているわけではないことがわかる。 f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} U = ( a , b ) {\displaystyle U=(a,b)} f {\displaystyle f} R {\displaystyle \mathbb {R} } 0 {\displaystyle 0} f ( U ) = ( min { a 2 , b 2 } , max { a 2 , b 2 } ) , {\displaystyle f(U)=(\min\{a^{2},b^{2}\},\max\{a^{2},b^{2}\}),} R {\displaystyle \mathbb {R} } Im f := f ( R ) = [ 0 , ∞ ) . {\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(\mathbb {R} )=[0,\infty ).} U = ( a , b ) {\displaystyle U=(a,b)} R {\displaystyle \mathbb {R} } 0 {\displaystyle 0} f ( U ) = [ 0 , max { a 2 , b 2 } ) , {\displaystyle f(U)=[0,\max\{a^{2},b^{2}\}),} f {\displaystyle f} R {\displaystyle \mathbb {R} } Im f = [ 0 , ∞ ) . {\displaystyle \operatorname {Im} f=[0,\infty ).} R {\displaystyle \mathbb {R} } R , {\displaystyle \mathbb {R} ,} f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
が離散位相 を持つ 場合 （つまり、すべての部分集合が開かつ閉である場合）、すべての関数は 開かつ閉である（ただし、必ずしも連続である必要はない）。例えば、 から への 床関数は開かつ閉であるが、連続ではない。この例は、開写像または閉写像の下での 連結空間 の像が必ずしも連結である必要はない ことを示している。 Y {\displaystyle Y} f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} R {\displaystyle \mathbb {R} } Z {\displaystyle \mathbb {Z} }
位相空間の 積が あるときはいつでも、 自然な射影は 開写像である [12] [13] （そして連続である）。 ファイバー束 と 被覆写像 の射影は積の局所的に自然な射影であるため、これらも開写像である。しかし、射影は必ずしも閉じている必要はない。例えば、最初の成分への射影を考えてみよう 。すると、集合は では閉じている が では 閉じていない。
しかし、コンパクト空間の場合、 射影は 閉じている。これは本質的に チューブ補題 である。 X = ∏ X i , {\textstyle X=\prod X_{i},} p i : X → X i {\displaystyle p_{i}:X\to X_{i}} p 1 : R 2 → R {\displaystyle p_{1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} } A = { ( x , 1 / x ) : x ≠ 0 } {\displaystyle A=\{(x,1/x):x\neq 0\}} R 2 , {\displaystyle \mathbb {R} ^{2},} p 1 ( A ) = R ∖ { 0 } {\displaystyle p_{1}(A)=\mathbb {R} \setminus \{0\}} R . {\displaystyle \mathbb {R} .} Y , {\displaystyle Y,} X × Y → X {\displaystyle X\times Y\to X}
単位円 上のすべての点について、 正の - 軸の 角度を 、その点と原点を結ぶ直線に関連付けることができます 。単位円から半開 区間[0,2π) へのこの関数は、全単射で、開写像であり、閉写像ですが、連続ではありません。これは、開写像または閉写像の下での コンパクト空間 の像が 必ずしもコンパクトである必要はないことを示しています。また、これを単位円から実数への関数として考えると、開写像でも閉写像でもないことに注意してください。 余域 を指定することが重要です。 x {\displaystyle x}
十分な条件 すべての 同相写像は 開写像、閉写像、連続写像である。実際、 全単射 連続写像が同相写像となるのは、それが開写像である 場合と同値で あり、同値として、それが閉写像である場合と同値である。
2つの（強く）開いた写像の合成 は 開いた写像であり、2つの（強く）閉じた写像の合成は閉じた写像である。 [14] [15] しかし、2つの相対的に開いた写像の合成は相対的に開いている必要はなく、同様に、2つの相対的に閉じた写像の合成は相対的に閉じている必要はない。 が強く開いている（それぞれ、強く閉じている） かつが相対的に開いている（それぞれ、相対的に閉じている）場合、 は相対的に開いている（それぞれ、相対的に閉じている）。 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} g : Y → Z {\displaystyle g:Y\to Z} g ∘ f : X → Z {\displaystyle g\circ f:X\to Z}
を写像とする。任意の部分集合が 相対的に 開写像（それぞれ、相対的に閉写像、強く開写像、強く閉写像、連続写像、 射影写像 ）である場合、その -飽和 部分集合 への 制限についても同様である
。 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} T ⊆ Y , {\displaystyle T\subseteq Y,} f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} f | f − 1 ( T ) : f − 1 ( T ) → T {\displaystyle f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T} f {\displaystyle f} f − 1 ( T ) . {\displaystyle f^{-1}(T).}
2つの開写像のカテゴリカル和は開写像であり、2つの閉写像のカテゴリカル和は閉写像である。
[15] 2つの開写像のカテゴリ カル積 は 開写像であるが、2つの閉写像のカテゴリカル積は必ずしも閉写像である必要はない。 [14] [15]
全単射写像が開写像となるのは、それが閉写像である場合に限ります。全単射連続写像の逆は、全単射開／閉写像です（逆もまた同様です）。全射開写像は必ずしも閉写像とは限らず、同様に全射閉写像は必ずしも開写像とは限らない。 多様体 上のすべての 座標チャート やすべての 被覆写像 を含む、すべての 局所同相写像 は開写像です。
閉写像補題の変形は、 局所コンパクト ハウスドルフ空間間の連続関数が適切であれば、その関数も閉じていることを述べています。
複素解析 において 、同じ名前の 開写像定理は、 複素平面 の 連結した 開部分集合上で定義された すべての非定数 正則関数は 開写像であると述べます。
領域不変性 定理は、2 次元位相 多様体 間の連続かつ局所的に入射する関数は 開関数でなければならないことを述べています。 n {\displaystyle n}
関数解析学 において 、 開写像定理は、 バナッハ空間 間の すべての射影連続 線型作用素は開写像であることを述べています。この定理は、バナッハ空間だけでなく、 位相ベクトル空間 にも一般化されています 。
射影写像は ほぼ開写像 と呼ばれる f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 任意 の に対して 、 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} x ∈ f − 1 ( y ) {\displaystyle x\in f^{-1}(y)} x {\displaystyle x} の開点 は 定義により の任意の開近傍に対して の 近傍 と なる こと （近傍は必ずしも開近傍である必要はないことに注意 ） 。 すべて の 射影開写像は概開写像ですが、一般にその逆は必ずしも真ではありません。射影が概開写像である場合、 の位相 に全く依存 しない 条件 ）を満たすとき、それは開写像となります。 f , {\displaystyle f,} U {\displaystyle U} x , {\displaystyle x,} f ( U ) {\displaystyle f(U)} f ( x ) {\displaystyle f(x)} Y {\displaystyle Y} f ( U ) {\displaystyle f(U)} f : ( X , τ ) → ( Y , σ ) {\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )} Y {\displaystyle Y} σ {\displaystyle \sigma }
が の 同じ 繊維 （つまり ）に属する ときはいつでも、 の 任意 の近傍に対して の近傍が存在し、 m , n ∈ X {\displaystyle m,n\in X} f {\displaystyle f} f ( m ) = f ( n ) {\displaystyle f(m)=f(n)} U ∈ τ {\displaystyle U\in \tau } m , {\displaystyle m,} V ∈ τ {\displaystyle V\in \tau } n {\displaystyle n} F ( V ) ⊆ F ( U ) . {\displaystyle F(V)\subseteq F(U).} 写像が連続であれば、上記の条件は写像が開写像であるためにも必要である。つまり、が 連続射影であれば、それがほぼ開写像であり、かつ上記の条件を満たすときのみ、それが開写像となる。 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y}
プロパティ
連続したオープンマップまたはクローズドマップ が連続写像であり、かつ開写像 または 閉写像である場合 、次のようになります。 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y}
が全射 ならばそれは 商写像であり、 遺伝的に商写像 でもある 。 f {\displaystyle f} あらゆる部分集合に対して 制約が商写像である場合、 その射影写像は 遺伝的に商 写像であると呼ばれます 。 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} T ⊆ Y , {\displaystyle T\subseteq Y,} f | f − 1 ( T ) : f − 1 ( T ) → T {\displaystyle f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T} が注入 である 場合 、それは 位相的埋め込み です。 f {\displaystyle f} が全 単射 であれば 同相写像 である 。 f {\displaystyle f} 最初の2つのケースでは、開いているか閉じているかは、 それに続く結論を導くための 十分な条件に過ぎません。3番目のケースでは、それは 必要条件 でもあります。
連続マップを開く が連続（強）開写像である 場合、 次 のようになります。 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} A ⊆ X , {\displaystyle A\subseteq X,} S ⊆ Y , {\displaystyle S\subseteq Y,}
f − 1 ( Bd Y S ) = Bd X ( f − 1 ( S ) ) {\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {Bd} _{Y}S\right)=\operatorname {Bd} _{X}\left(f^{-1}(S)\right)} ここで、 は 集合の 境界 を表します。 Bd {\displaystyle \operatorname {Bd} } f − 1 ( S ¯ ) = f − 1 ( S ) ¯ {\displaystyle f^{-1}\left({\overline {S}}\right)={\overline {f^{-1}(S)}}} ここで、 集合の 閉包を 表します。 S ¯ {\displaystyle {\overline {S}}} が集合の 内部を表す とき 、 この 集合は 必然的に 正則閉集合 （ ）となる。 [注 1] 特に、 が正則閉集合ならば も成り 、 が正則開集合ならば も 成り立つ 。 A ¯ = Int X A ¯ , {\displaystyle {\overline {A}}={\overline {\operatorname {Int} _{X}A}},} Int {\displaystyle \operatorname {Int} } Int Y f ( A ) ¯ = f ( A ) ¯ = f ( Int X A ) ¯ = f ( Int X A ¯ ) ¯ {\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} _{Y}f(A)}}={\overline {f(A)}}={\overline {f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)}}={\overline {f\left({\overline {\operatorname {Int} _{X}A}}\right)}}} f ( A ) ¯ {\displaystyle {\overline {f(A)}}} Y {\displaystyle Y} A {\displaystyle A} f ( A ) ¯ . {\displaystyle {\overline {f(A)}}.} A {\displaystyle A} Y ∖ f ( X ∖ A ) ¯ . {\displaystyle Y\setminus {\overline {f(X\setminus A)}}.} 連続開写像 も射影的であれば 、またさらに、 が正則開（正則閉） [注 1] 部分集合であることは 、が正則開（正則閉）部分集合である ことと同値である。 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} Int X f − 1 ( S ) = f − 1 ( Int Y S ) {\displaystyle \operatorname {Int} _{X}f^{-1}(S)=f^{-1}\left(\operatorname {Int} _{Y}S\right)} S {\displaystyle S} Y {\displaystyle Y} f − 1 ( S ) {\displaystyle f^{-1}(S)} X . {\displaystyle X.} ネットが 点に 収束 し 、連続開写像が射影的である場合 、 任意の に対して、 （何らかの 有向集合 によってインデックス付けされた ） に ネットが存在し、 において であり の サブネットである。さらに 、インデックス集合は の積 順序 を持つ とみなすことができる。 ここで は の任意 の 近傍基数 で ある [注 2] y ∙ = ( y i ) i ∈ I {\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i\in I}} Y {\displaystyle Y} y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} x ∈ f − 1 ( y ) {\displaystyle x\in f^{-1}(y)} x ∙ = ( x a ) a ∈ A {\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}} X {\displaystyle X} A {\displaystyle A} x ∙ → x {\displaystyle x_{\bullet }\to x} X {\displaystyle X} f ( x ∙ ) := ( f ( x a ) ) a ∈ A {\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right):=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}} y ∙ . {\displaystyle y_{\bullet }.} A {\displaystyle A} A := I × N x {\displaystyle A:=I\times {\mathcal {N}}_{x}} N x {\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}} x {\displaystyle x} ⊇ . {\displaystyle \,\supseteq .\,}
参照 ほぼオープンな地図 - オープンな地図と同等の条件を満たす地図 閉グラフ – 位相幾何学における関数の性質 Pages displaying short descriptions of redirect targets 閉じた線形作用素 – グラフが閉じた線形作用素 局所同相写像 – 各点付近で可逆な数学関数 準開写像 – 空でない開集合を、その共域に空でない内部空間を持つ集合に写す関数 商写像（位相） - 位相空間の構築 Pages displaying short descriptions of redirect targets 完全写像 – 連続した閉射影写像で、その各ファイバーもコンパクト集合である 適切な写像 – すべてのコンパクトの原像がコンパクトであるという性質を持つ位相空間間の写像 配列被覆マップ
注記 ^ ab 部分集合 は S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 正則閉集合 の 場合 、または同値の場合、 の場合、 ここで （それぞれ ） における 位相境界 （それぞれ 内部 、 閉包 ） この集合 は と呼ばれる。 Int S ¯ = S {\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} S}}=S} Bd ( Int S ) = Bd S , {\displaystyle \operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S,} Bd S {\displaystyle \operatorname {Bd} S} Int S , {\displaystyle \operatorname {Int} S,} S ¯ {\displaystyle {\overline {S}}} S {\displaystyle S} X . {\displaystyle X.} S {\displaystyle S} の閉部分集合の 内部（ に含まれる ） は常に の正則開部分集合 である。 の開部分集合の 閉包（ に含まれる は常に の正則閉部分集合である。 Int ( S ¯ ) = S {\displaystyle \operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S} Bd ( S ¯ ) = Bd S . {\displaystyle \operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S.} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} X . {\displaystyle X.} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} X . {\displaystyle X.} ^ 明示的には、任意の に対して となるような任意 の を選び 、 を任意の とします 。この割り当ては と なるような 順序射 を定義し、 は の 共終 部分集合 となるので、は の ウィラードサブネット となります。 a := ( i , U ) ∈ A := I × N x , {\displaystyle a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},} h a ∈ I {\displaystyle h_{a}\in I} i ≤ h a and y h a ∈ f ( U ) {\displaystyle i\leq h_{a}{\text{ and }}y_{h_{a}}\in f(U)} x a ∈ U ∩ f − 1 ( y h a ) {\displaystyle x_{a}\in U\cap f^{-1}\left(y_{h_{a}}\right)} a ↦ h a {\displaystyle a\mapsto h_{a}} h : A → I {\displaystyle h:A\to I} h ( A ) {\displaystyle h(A)} I ; {\displaystyle I;} f ( x ∙ ) {\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)} y ∙ . {\displaystyle y_{\bullet }.}
引用 ^ マンクレス、ジェームズ・R. (2000). トポロジー （第2版）. プレンティス・ホール . ISBN 0-13-181629-2 。 ^ ab メンデルソン、バート (1990) [1975]. 位相幾何学入門 （第3版）. ドーバー. p. 89. ISBN 0-486-66352-3 定理5.3は、関数が 連続であるためには、各開集合の 逆 像が開集合となる必要があることを述べていることを覚えておくことが重要です。 この連続性の特徴付けは、関数が持つ場合と持たない場合がある別の性質、すなわち各開集合の像が開集合となるという性質（このような関数は 開写像 と呼ばれます）と混同してはいけません。 f {\displaystyle f} ^ abc Lee, John M. (2003). 滑らかな多様体入門 . 大学院数学テキスト. 第218巻. Springer Science & Business Media. p. 550. ISBN 9780387954486 写像（連続写像または非連続写像）は、 任意の閉部分集合に対して が において開いているとき 開写像 と言われ 、 任意の閉部分集合に対して が において 閉じているとき 閉写像 と言われます。 連続写像は、平面の部分集合を含む簡単な例を調べるとわかるように、開いている場合も、閉じている場合も、その両方である場合も、どちらでもない場合もあります。 F : X → Y {\displaystyle F:X\to Y} U ⊆ X , {\displaystyle U\subseteq X,} F ( U ) {\displaystyle F(U)} Y , {\displaystyle Y,} K ⊆ U , {\displaystyle K\subseteq U,} F ( K ) {\displaystyle F(K)} Y . {\displaystyle Y.} ^ ab Ludu, Andrei (2012年1月15日). 非線形波動と等高線および閉曲面上のソリトン . Springer Series in Synergetics. p. 15. ISBN 9783642228940 開写像 と は、 2つの位相空間間の開集合を開集合に写す写像です。同様に、 閉写像と は閉集合を閉集合に写す写像です。開写像と閉写像は必ずしも連続ではありません。 ^ ソラブ、ハウシャン・H. (2003). 基礎実解析. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. p. 203. ISBN 9780817642112 これで、関数が閉じていなくても開いている場合もあれば、開いていなくても閉じている場合もあることを示す例題の準備ができました 。また、関数は開いていると同時に閉じている場合もあれば、開いても閉じてもいない場合もあります。 (引用した文は距離空間の文脈で述べられていますが、位相空間は距離空間の一般化として生じるため、この文はそこでも当てはまります。) ^ Naber, Gregory L. (2012). ユークリッド空間における位相幾何学的手法 . Dover Books on Mathematics (復刻版). Courier Corporation. p. 18. ISBN 9780486153445 演習1-19. 射影 写像 π 1 : X 1 × ··· × X k → X i は開写像であるが、必ずしも閉写像である必要はないことを示せ。ヒント： R 2 のへの射影は 閉写像ではない。同様に、任意の定数写像は閉写像であるので、閉写像は必ずしも開写像である必要はない。ただし、1対1かつ全写像である写像の場合、「開」と「閉」の概念は同義である。 π i : X i × ⋯ × X k → X i {\displaystyle \pi _{i}:X_{i}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}} R {\displaystyle \mathbb {R} } ^ メンデルソン、バート (1990) [1975]. 位相幾何学入門 （第3版）. ドーバー. p. 89. ISBN 0-486-66352-3 関数が、 集合 の各開集合に対して の 開集合であり ながら 連続 では ない という性質を持つ 状況は数多くあります。 f : ( X , τ ) → ( Y , τ ′ ) {\displaystyle f:\left(X,\tau \right)\to \left(Y,\tau '\right)} A {\displaystyle A} X , {\displaystyle X,} f ( A ) {\displaystyle f(A)} Y , {\displaystyle Y,} f {\displaystyle f} ^ ブース、ヨハン（2000年）『要約可能性における古典的および現代的な手法』オックスフォード大学出版局、332頁 。ISBN 0-19-850165-X さて、 最後の命題が一般に真であるかどうか、つまり閉写像が連続であるかどうかという疑問が生じます。次の例が証明するように、これは一般には成り立ちません。 ^ Kubrusly, Carlos S. (2011). 『作用素理論の要素 』 Springer Science & Business Media. p. 115. ISBN 9780817649982 一般に、距離空間から距離空間へ の 写像は、 「連続」、「開」、「閉」の属性の任意の組み合わせを持つことができます（つまり、これらは独立した概念です） 。 F : X → Y {\displaystyle F:X\to Y} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} ^ ハート、KP;永田、J.ヴォーン、JE、編。 (2004)。 一般トポロジーの百科事典 。エルゼビア。 p. 86.ISBN 0-444-50355-2 開（内部）地図の研究は、 S.ストイロウ の論文[13,14]から始まったようです。地図の開性は、 GTホワイバーン [19,20] によって初めて広範囲に研究されたことは明らかです。 ^ ウィラード、スティーブン (1970). 一般位相幾何学 . アディソン・ウェスレー. ISBN 0486131785 。 ^ Lee, John M. (2012). 滑らかな多様体入門. 大学院数学テキスト. 第218巻（第2版）. p. 606. doi :10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN 978-1-4419-9982-5 . オリジナルから2022年10月13日にアーカイブ 。 2021年9月12日 閲覧。 演習A.32. が位相空間である とする。それぞれの射影が 開写像であることを示せ。 X 1 , … , X k {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}} π i : X 1 × ⋯ × X k → X i {\displaystyle \pi _{i}:X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}} ^ ab バウエス、ハンス＝ヨアヒム;キンテロ、アントニオ (2001)。 無限ホモトピー理論 。 K - 数学のモノグラフ。 Vol. 6.p. 53.ISBN 9780792369820 開写像の合成は開写像であり、閉写像の合成は閉写像である。また、 開写像の積は開写像である。一方、閉写像の積は必ずしも閉写像とは限らない。 ^ abc James, IM (1984). 一般位相幾何学とホモトピー理論 . Springer-Verlag. p. 49. ISBN 9781461382836 …… 開写像の合成は開写像であり、閉写像の合成は閉写像であることを思い出しましょう。また、開写像の和は開写像であり、閉写像の和は閉写像です。しかし、開写像の積は開写像であっても、閉写像の積は必ずしも閉写像であるとは限りません。
参考文献 
