閉線形演算子

Linear operator whose graph is closed

数学の一分野である関数解析において、閉線型作用素（くせんがたこうそ）あるいは閉作用素（しょくよう）とは、部分的に定義された 線型作用素であり、そのグラフは閉じている（閉グラフ性を参照）。これは非有界作用素の基本的な例である。

閉グラフ定理は、バナッハ空間間の線型作用素が閉作用素であるための必要十分条件であり、かつその作用素の定義域が であるときに限られる、と述べている。実際には多くの作用素は有界ではないが、それでも閉グラフを持つことが望ましい。したがって、 のすべての上で定義できるわけではない。有用性を維持するために、それらは ではなく、真であるが稠密な部分空間 上で定義される。これにより、任意のベクトルを近似でき、主要なツール（閉包、随伴、スペクトル理論）を利用できる。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

意味

関数解析では、ある空間の部分集合上で定義される関数である部分関数を考えるのが一般的です。部分関数は、プロトタイプを持つことを示す表記法で宣言されます（つまり、その定義域は で、その余定義域は です）。 ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Y}$

すべての部分関数は、特に関数であるため、関数に関するすべての用語をそれらに適用できます。たとえば、部分関数のグラフは集合です。ただし、これには「閉グラフ」の定義という例外があります。が積位相の閉部分集合である場合、部分関数は閉グラフを持つと言われています。重要な点として、積空間は であり、通常の関数に対して上で定義されたものではないことに注意してください。対照的に、 を通常の関数（部分関数 ではなく）として考えると、「閉グラフを持つ」とは、が の閉部分集合であることを意味します。が の閉部分集合である場合、 は の閉部分集合でもありますが、その逆は一般には保証されません。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {graph} {\!(f)}=\{(x,f(x)):x\in \operatorname {dom} f\}.}$ ${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle D\times Y=\operatorname {dom} f\times Y}$ ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$ ${\displaystyle D\times Y.}$ ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (f)\times Y}$

定義: XとYが位相ベクトル空間(TVS)である場合、そのグラフがX ×  Yで閉じているとき、線型写像 f  : D ( f ) ⊆ X → Y は閉じた線型演算子と呼ばれます。

「閉じている」の反意語は「閉じていない」です。つまり、閉じていない線形演算子とは、そのグラフがその閉包よりも厳密に小さい線形演算子です。

閉鎖可能な地図と閉鎖

線形演算子は ${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y}$閉包可能である ${\displaystyle X\times Y}$とは、を含むベクトル部分空間 そのグラフが の集合の閉包に等しい関数（または多関数）が存在するときである。このような はの閉包呼ばれ、 で表され、必然的に を拡張する。 ${\displaystyle E\subseteq X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F:E\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle {\overline {f}},}$ ${\displaystyle f.}$

が閉包可能な線形演算子である場合、 ${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y}$コアまたはの本質的定義域は、への制限のグラフの における閉包が における のグラフの閉包に等しいような部分集合であるにおけるの閉包におけるの閉包に等しい）。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C\subseteq D}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{C}:C\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle \operatorname {graph} f{\big \vert }_{C}}$ ${\displaystyle X\times Y}$

例

有界演算子は、閉グラフ定理によって閉じた演算子です。閉じた演算子のより興味深い例として、有界でない演算子があります。

がハウスドルフTVSで、が上のベクトル位相であり、より厳密に細かい場合、恒等写像は閉じた不連続線型作用素である。^[1] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} :(X,\tau )\to (X,\nu )}$

区間上のすべての連続関数のバナッハ空間（上限ノルムを持つ）である微分演算子を考えます。その定義域を とすると は閉じた演算子となり、有界ではなくなります。^[2]一方、が滑らかなスカラー値関数の空間である場合、 は閉じたものではなくなりますが、閉包が可能になり、その閉包は 上で定義される拡張となります。に制限されたときに が閉じていないことを示すには、 であるが滑らかではない関数、たとえば を取ります。次に、 となる滑らかな関数の列にこれを軟化させて とするととなり、のグラフには含まれなくなります。 ${\displaystyle f={\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle X=Y=C([a,b])}$ ${\displaystyle [a,b].}$ ${\displaystyle D(f)}$ ${\displaystyle C^{1}([a,b]),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D(f)}$ ${\displaystyle C^{\infty }([a,b])}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{1}([a,b]).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{\infty }([a,b])\to C^{\infty }([a,b])}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle u(x)=x^{3/2}}$ ${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \|u_{n}-u\|_{\infty }\to 0}$ ${\displaystyle \|f(u_{n})-u'\|_{\infty }\to 0}$ ${\displaystyle (u,u')}$ ${\displaystyle f|_{C^{\infty }([a,b])}}$

基本的なプロパティ

バナッハ空間間の線形演算子については、次の特性が簡単に確認できます。 ${\displaystyle f:\operatorname {D} (f)\subseteq X\to Y}$

• 境界付き がドメイン全体で定義されている場合、 は、境界付きである場合に限り閉じています。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$
• が閉じている場合、は閉じています。ここではスカラー、 は恒等関数です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A-\lambda \mathrm {Id} _{\operatorname {D} (f)}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathrm {Id} _{\operatorname {D} (f)}}$
• が閉じている場合、その核（または零空間）は の閉じたベクトル部分空間です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$
• が閉じていて単射である場合、その逆も閉じています。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$
• 線形演算子が閉包を許容する場合、および におけるすべてのシーケンスのペアに対して、両方がでに収束し、両方がで収束する場合に限ります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=(y_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {D} (f)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x_{\bullet })=(f(x_{i}))_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle f(y_{\bullet })=(f(y_{i}))_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }f(x_{i})=\lim _{i\to \infty }f(y_{i})}$

参考文献

1. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、480頁。
2. クレイジグ、アーウィン (1978). 『関数解析入門とその応用』 ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社 p. 294. ISBN 0-471-50731-8。

• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Convergence Foundations Of Topology . New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.
• モルタッド、モハメッド・ヒチェム（2022）、「閉性」、作用素理論における反例、Cham: Springer International Publishing、pp.  307– 344、doi :10.1007/978-3-030-97814-3_19、ISBN 978-3-030-97813-6^[1]
• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• ルディン、ウォルター(1991). 関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277。

1. 2022年モルタド。

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