Nonlinear and exact periodic wave solution of the Korteweg–de Vries equation
パナマ 海岸近くの浅瀬で、 ほぼ周期的な うねりの上を飛行する 米軍 爆撃機（1933年）。鋭い波頭と非常に平坦な波頭は、クノイド波の特徴である。 流体力学 において 、 クノイダル波は コルテヴェク・ド・フリース方程式 の 非線形 かつ正確な 周期 波 解です 。これらの解は ヤコビの楕円関数 cn で表されるため、クノイダル波と呼ばれます。 クノイダル 波は、水深に比べて かなり長い 波長の 表面重力波を 記述するために使用されます。
クノイダル波の解は、 コルテヴェク と ド・フリース によって1895年の論文で導出され、そこで彼らは 分散 長波方程式（現在コルテヴェク・ド・フリース方程式として知られている）も提案した。 無限 波長 の極限では、クノイダル波は 孤立波 となる。
ベンジャミン ・ボナ・マホニー方程式は 、コルテウェグ・ド・フリース方程式と比較して 短 波長域での 挙動が改善されており、クノイダル波解を持つもう一つの一方向波動方程式です。さらに、コルテウェグ・ド・フリース方程式は一方向 波動伝播の場合の ブシネスク方程式 の近似であるため、クノイダル波はブシネスク方程式の近似解となります。
クノイダル波解は表面重力波以外の応用にも用いられ、例えば プラズマ物理学 における イオン音波を 記述するために使用される。 [1]
正弦 波よりも鋭い 山 と平坦な 谷 を特徴とするクノイド波 。図示の場合、楕円パラメータは m = 0.9です。 ほぼクノイド状の波列からなる横波 。 フランス、 大西洋の イル・ド・レ 島西端にあるファレス・デ・バレーヌ（鯨灯台）から撮影 。
背景
コルテヴェッグ・ド・フリース方程式、およびベンジャミン・ボナ・マホニー方程式 ル・メホーテ（1976）による周期水波に関するいくつかの理論の妥当性 [2] 。水色の領域はクノイダル波理論の妥当性範囲を示し、薄い黄色は エアリー波理論の妥当性範囲を示し、青い破線は ストークスの波動理論 で必要な次数と次数の間の境界を示す。薄い灰色の陰影は 、高波（ H > ） に対する5次 流れ関数理論を用いた数値近似による範囲拡張を示す。 1 / 4 H 破壊 ）。 コルテヴェク ・ド・フリース方程式 (KdV 方程式) は、流体層上の表面重力波の弱非線形長波 (長波とは平均水深に比べて波長が長いことを意味します) の一方向伝播を記述するために使用できます。KdV 方程式は、 周波数 分散効果と 振幅 分散効果の両方を含む 分散 波動方程式です。古典的な用途では、KdV 方程式は、 平均 水深 h の 約 5 倍を超える波長 λ (つまり λ > 5 h ) と、周期 τ が 重力加速度 の強度 g より大きい場合 に適用されます 。 [3] 古典的な波動近似の範囲内での KdV 方程式の位置付けを想定すると、次のようになります。 7 h / g {\displaystyle \scriptstyle 7{\sqrt {h/g}}}
コルテヴェク・ド・フリース方程式— λ > 7 h の長波に対する、弱非線形かつ分散性の波の前方伝播を記述します 。 浅水方程式 も非線形であり、振幅分散はありますが、周波数分散はありません。非常に長い波 ( λ > 20 h ) に有効です 。 ブシネスク方程式 — KdV方程式（古典的形式）と同じ有効範囲を持ちますが、任意の方向への波動伝播を許容するため、前方伝播波だけでなく、任意の方向への波動伝播も考慮します。欠点は、ブシネスク方程式はKdV方程式よりも解くのが難しい場合が多いことです。また、多くの応用において波の反射は小さく、無視できる場合もあります。 エアリー波理論 - 完全な周波数分散を持つため、任意の深さと波長に有効ですが、振幅分散のない線形理論であり、低振幅の波に限定されます。 ストークスの波動理論 は、弱非線形かつ分散的な波動を記述する摂動級数アプローチであり、特に水深に比べて波長が比較的短い深海域で有効です。しかし、長波の場合、KdV方程式にも適用されるブシネスクアプローチが好まれることが多いです。これは、浅瀬では 非線形波の山 と長く平坦な 谷 のため、ストークスの摂動級数は解に収束するまでに多くの項を必要とするためです。一方、KdVモデルやブシネスクモデルは、これらの長波の非線形波に対して良好な近似値を与えます。 KdV方程式はブシネスク方程式から導出できますが、前方伝播波を分離するためには追加の仮定が必要です。実用的には、 KdV方程式よりも ベンジャミン・ボナ・マホニー方程式 （BBM方程式）の方が適しています。これはKdVに類似した前方伝播モデルですが、短波長域での周波数分散挙動がはるかに優れています。短波長域での性能をさらに向上させるには、より短い波長でも有効な、現代の改良型ブシネスクモデルから一方向波動方程式を導出することから始めます。 [4]
クノイド波 楕円パラメータ m の 3 つの値に対するクノイド波プロファイル。 青 : m = 0, 赤 : m = 0.9 および 黒 : m = 0.99999。
KdV方程式のクノイダル波解は、コルテウェグとデ・フリースが1895年に発表した論文で提示された。この論文はデ・フリースの1894年の博士論文に基づいている。 [5] 非線形かつ分散性の長波に対する孤立波解は、 1872年に ブシネスク 、 1876年に レイリー によって既に発見されていた。これらの解の探索は、 ラッセルによる自然界と実験室実験の両方におけるこの 孤立波 （または「並進波」）の観測に端を発する 。 [4] KdV方程式のクノイダル波解は、小さな摂動に対して安定である。 [6]
クノイド波の 表面標高 η （ x 、 t ）は、水平位置 x と時間 t の関数として次のように与えられる： [7]
η ( x , t ) = η 2 + H cn 2 ( 2 K ( m ) x − c t λ m ) , {\displaystyle \eta (x,t)=\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\,\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle 2\,K(m)\,{\frac {x-c\,t}{\lambda }}&m\end{array}}\right),} ここで、 H は 波高 、 λ は 波長 、 c は 位相速度 、 η 2 は谷の 高度である 。さらに、cnは ヤコビの楕円関数 の一つであり、 K ( m )は 第一種完全楕円積分 である。どちらも楕円パラメータ m に依存する。後者 m はクノイダル波の形状を決定する。mが 0 のときクノイダル波は 余弦 関数となり、1に近いときクノイダル波は尖った 山 と（非常に）平坦な谷を持つ。mの値が0.95未満のとき 、 クノイダル関数は三角関数で近似できる。 [8]
非線形長波（ λ ≫ h ）の重要な無次元パラメータは ウルセルパラメータ である。
U = H λ 2 h 3 = H h ( λ h ) 2 . {\displaystyle U={\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}={\frac {H}{h}}\,\left({\frac {\lambda }{h}}\right)^{2}.} U の値が小さい場合 、例えば U < 5 の場合、 [9] 線形理論を使用できますが、それより高い値の場合は、クノイダル波理論のような非線形理論を使用する必要があります。ストークス波理論とクノイダル波理論（3次または5次）の境界領域は、アーセルパラメータの10～25の範囲です。 [10] アーセルパラメータの式からわかるように、与えられた相対波高 H / h に対して、アーセルパラメータ、ひいては非線形性は、相対波長 λ / h の増加とともに急速に増加します。
ポテンシャル流 理論における表面重力波の完全非線形問題の解析に基づくと 、上記のクノイダル波は摂動級数における最低次の項とみなすことができます。より高次のクノイダル波理論は、より短くより非線形な波に対しても有効です。5次のクノイダル波理論は、1979年にフェントンによって開発されました。 [11] 5次のストークス波理論と比較した5次のクノイダル波理論の詳細な説明は、フェントンのレビュー記事に記載されています。 [12]
クノイダル波の記述は、繰り込みによって、深海、さらには無限水深の波にも適していることがクラモンドによって発見された。 [13] [14] 実際の海で見られる浅瀬でのクノイダル波の相互作用の記述は、1994年にオズボーンによって提供された。 [15]
表面張力 表面張力の影響も重要である場合は、長波のクノイド波解に含めることができます。 [16]
周期波解
コルテヴェク・ド・フリース方程式 コルテヴェク ・ド・フリース方程式 （KdV方程式）は、水波および次元形式で使用される場合、次の式で表される： [17]
∂ t η + g h ∂ x η + 3 2 g h η ∂ x η + 1 6 h 2 g h ∂ x 3 η = 0 , {\displaystyle \partial _{t}\eta +{\sqrt {gh}}\;\partial _{x}\eta +{\tfrac {3}{2}}\,{\sqrt {\frac {g}{h}}}\;\eta \,\partial _{x}\eta +{\tfrac {1}{6}}\,h^{2}\,{\sqrt {gh}}\;\partial _{x}^{3}\eta =0,} どこ
η : 表面 標高、 x と t の関数 、正方向は上向き（重力に逆らう） × : 水平座標、 t ： 時間、 グラム :地球の重力 の値 、 h 平均 水深、 および ∂ x と ∂ t : x と t に関する 偏微分 演算子。
導出の詳細
無次元化 すべての量は重力加速度 g と水深 hを使って 無次元 化できます 。
η ~ = η h , {\displaystyle {\tilde {\eta }}={\frac {\eta }{h}},} x ~ = x h {\displaystyle {\tilde {x}}={\frac {x}{h}}} そして t ~ = g h t . {\displaystyle {\tilde {t}}={\sqrt {\frac {g}{h}}}\,t.} 得られたKdV方程式の無次元形は [17]である。
∂ t ~ η ~ + ∂ x ~ η ~ + 3 2 η ~ ∂ x ~ η ~ + 1 6 ∂ x ~ 3 η ~ = 0 , {\displaystyle \partial _{\tilde {t}}{\tilde {\eta }}+\partial _{\tilde {x}}{\tilde {\eta }}+{\tfrac {3}{2}}\,{\tilde {\eta }}\,\partial _{\tilde {x}}{\tilde {\eta }}+{\tfrac {1}{6}}\,\partial _{\tilde {x}}^{3}{\tilde {\eta }}=0,} 残りの部分では、表記を簡単にするために チルダ は省略します。
標準フォームとの関係 フォーム
∂ t ^ ϕ + 6 ϕ ∂ x ^ ϕ + ∂ x ^ 3 ϕ = 0 {\displaystyle \partial _{\hat {t}}\phi +6\,\phi \ \partial _{\hat {x}}\phi +\partial _{\hat {x}}^{3}\phi =0} 変換によって得られる
t ^ = 1 6 t , {\displaystyle {\hat {t}}={\tfrac {1}{6}}\,t,\,} x ^ = x − t {\displaystyle {\hat {x}}=x-t\,} そして ϕ = 3 2 η , {\displaystyle \phi ={\tfrac {3}{2}}\,\eta ,\,} しかし、この形式はこの導出ではこれ以上使用されません。
固定形式の伝播波 位相速度 c で伝播する周期波の解を 求める。これらの永久波は、以下のいずれかの波でなければならない。
η = η ( ξ ) {\displaystyle \eta =\eta (\xi )\,} 波 の位相 で ： ξ {\displaystyle \xi } ξ = x − c t . {\displaystyle \xi =x-c\,t.\,} したがって、空間と時間に関する偏微分は次のようになります。
∂ x η = η ′ {\displaystyle \partial _{x}\eta =\eta '\,} そして ∂ t η = − c η ′ , {\displaystyle \partial _{t}\eta =-c\,\eta ',\,} ここで、 η ′は 、 η ( ξ )の 引数 ξ に関する 常微分 を表す 。
これらをKdV方程式に用いると、次の3次 常微分方程式 が得られる。 [18]
1 6 η ‴ + ( 1 − c ) η ′ + 3 2 η η ′ = 0. {\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\,\eta '''+\left(1-c\right)\,\eta '+{\tfrac {3}{2}}\,\eta \,\eta '=0.\,} 1階常微分方程式の積分 これを一度 積分する と次の式が得られる。 [18]
1 6 η ″ + ( 1 − c ) η + 3 4 η 2 = 1 4 r , {\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\eta ''+\left(1-c\right)\,\eta +{\tfrac {3}{4}}\,\eta ^{2}={\tfrac {1}{4}}r,\,} r は積分定数である。4η′ を 乗じ て さらに 積分 すると [18]
1 3 ( η ′ ) 2 + 2 ( 1 − c ) η 2 + η 3 = r η + s , {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\left(\eta '\right)^{2}+2\,\left(1-c\right)\,\eta ^{2}+\eta ^{3}=r\,\eta +s,\,} Korteweg–de Vries方程式 と Benjamin–Bona–Mahony方程式 の周期波解に見られる 3次多項式 f(η) 。 s は別の積分定数である 。これは次のように表される。
1 3 ( η ′ ) 2 = f ( η ) {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\left(\eta '\right)^{2}=f(\eta )\,} と f ( η ) = − η 3 + 2 ( c − 1 ) η 2 + r η + s . {\displaystyle f(\eta )=-\eta ^{3}+2\,\left(c-1\right)\,\eta ^{2}+r\,\eta +s.\,} あ
3次多項式 f ( η ) は、 η が大きな正の値の場合には負になり 、 η が大きな負の値の場合には正になる。地表標高 ηは 実数で あるため 、積分定数 r と s も実数である。多項式 f は、その 根 η 1 、 η 2 、 η 3 を用いて次のように表すことができる 。 [7]
f ( η ) = − ( η − η 1 ) ( η − η 2 ) ( η − η 3 ) . {\displaystyle f(\eta )=-\left(\eta -\eta _{1}\right)\,\left(\eta -\eta _{2}\right)\,\left(\eta -\eta _{3}\right).} B
f ( η ) は実数値な ので、3 つの根 η 1 、 η 2 、 η 3 はすべて実数であるか、そうでない場合は 1 つが実数で残りの 2 つが 複素共役 のペアになります。後者の場合、実数値根が 1 つしかないため、 f ( η ) が 0になる標高 η は 1 つしかありません。したがって、表面の 傾斜 η ′ が 0 になる標高も 1 つだけです。ただし、ここでは表面の傾斜が 0 になる標高が 2 つ（波の山 と 谷（物理学）） ある波のような解を求めています 。結論として、 f ( η ) の 3 つの根はすべて実数値でなければなりません。
一般性を失うことなく、3 つの実根が次の順序になっていると仮定します。
η 1 ≥ η 2 ≥ η 3 . {\displaystyle \eta _{1}\geq \eta _{2}\geq \eta _{3}.\,} 1階常微分方程式の解 さて、式( A )から、 f ( η ) が正の場合にのみ、勾配の実数値が存在することがわかる。これはη2≤η≤η1に対応し 、 したがって 、 これ は地表標高が振動する範囲である （f ( η )のグラフも参照）。この条件は、 標高 η ( ξ ) を 次のように表すことで満たされる。 [7]
η ( ξ ) = η 1 cos 2 ψ ( ξ ) + η 2 sin 2 ψ ( ξ ) , {\displaystyle \eta (\xi )=\eta _{1}\;\cos ^{2}\,\psi (\xi )+\eta _{2}\,\sin ^{2}\,\psi (\xi ),} C
これは、求められている波動解の周期的な性質と、 三角関数 sinとcosの位相 ψ （ ξ ）と一致している。この形式から、式（ A ）と（ B ）のさまざまな項の次の説明 が得られる。
η − η 1 = − ( η 1 − η 2 ) sin 2 ψ ( ξ ) , η − η 2 = + ( η 1 − η 2 ) cos 2 ψ ( ξ ) , η − η 3 = ( η 1 − η 3 ) − ( η 1 − η 2 ) sin 2 ψ ( ξ ) , and η ′ = − 2 ( η 1 − η 2 ) sin ψ ( ξ ) cos ψ ( ξ ) ψ ′ ( ξ ) with ψ ′ ( ξ ) = d ψ ( ξ ) d ξ . {\displaystyle {\begin{aligned}\eta -\eta _{1}&=-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin ^{2}\,\psi (\xi ),\\\eta -\eta _{2}&=+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\cos ^{2}\,\psi (\xi ),\\\eta -\eta _{3}&=\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin ^{2}\,\psi (\xi ),&&{\text{and}}\\\eta '&=-2\,\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin \,\psi (\xi )\;\cos \,\psi (\xi )\;\;\psi '(\xi )&&{\text{with}}\quad \psi '(\xi )={\frac {{\text{d}}\psi (\xi )}{{\text{d}}\xi }}.\end{aligned}}} これらを式（ A ）と式（ B ）に用いると、いくつかの操作を経て、 ψ と ξ を関係づける次の常微分方程式 が得られる。 [7]
4 3 ( d ψ d ξ ) 2 = ( η 1 − η 3 ) − ( η 1 − η 2 ) sin 2 ψ ( ξ ) , {\displaystyle {\frac {4}{3}}\,\left({\frac {{\text{d}}\psi }{{\text{d}}\xi }}\right)^{2}=\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin ^{2}\,\psi (\xi ),} η 1 − η 3 ≥ η 1 − η 2 なので、右辺は依然として正である 。一般性を失うことなく、 ψ ( ξ ) は単調関数であると仮定することができる。なぜなら、 f ( η ) は η 2 < η < η 1 の 区間で零点を持たないからである。したがって、上記の常微分方程式は、 ξ ( ψ ) が ψ の関数であるという 観点からも解くことができる 。 [7]
1 Δ d ξ d ψ = ± 1 1 − m sin 2 ψ , {\displaystyle {\frac {1}{\Delta }}\,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}\psi }}=\pm \,{\frac {1}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\,\psi }}},} と：
Δ 2 = 4 3 1 η 1 − η 3 {\displaystyle \Delta ^{2}={\frac {4}{3}}\,{\frac {1}{\eta _{1}-\eta _{3}}}} そして m = η 1 − η 2 η 1 − η 3 , {\displaystyle m={\frac {\eta _{1}-\eta _{2}}{\eta _{1}-\eta _{3}}},} ここで、 m はいわゆる楕円パラメータであり、 [19] [20] 0 ≤ m ≤ 1 を満たす（ η 3 ≤ η 2 ≤ η 1 であるため）。 波の頂点で ξ = 0 を選んだ場合、 η (0) = η 1 の 積分は [7]を得る。
ξ = ± Δ ∫ 0 ψ d ψ ^ 1 − m sin 2 ψ ^ = ± Δ F ( ψ | m ) , {\displaystyle \xi =\pm \,\Delta \,\int _{0}^{\psi }{\frac {{\text{d}}{\hat {\psi }}}{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}{\hat {\psi }}}}}=\pm \,\Delta \,F(\psi |m),} D
ここで、 F ( ψ | m )は 第一種不完全楕円積分である 。 ヤコビの楕円関数 cnとsnは F ( ψ | m )
の逆関数であり、
cos ψ = cn ( ξ Δ m ) {\displaystyle \cos \,\psi =\operatorname {cn} \left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)} そして sin ψ = sn ( ξ Δ m ) . {\displaystyle \sin \,\psi =\operatorname {sn} \left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right).} 式（ C ）を用いると 、KdV方程式のクノイド波解が得られる [7]。
η ( ξ ) = η 2 + ( η 1 − η 2 ) cn 2 ( ξ Δ m ) . {\displaystyle \eta (\xi )=\eta _{2}+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right).} 残っているのは、パラメータ η 1 、 η 2 、 Δ 、 m を決定することです。
クノイド波パラメータ間の関係 まず、 η 1 は波頭標高、 η 2 は波谷標高なので、波高 を導入するのが便利です。波高は H = η 1 − η 2 と定義されます。したがって、 m および Δ については、次の式が成り立ちます 。
m = H η 1 − η 3 {\displaystyle m={\frac {H}{\eta _{1}-\eta _{3}}}} など Δ 2 m = 4 3 H {\displaystyle {\frac {\Delta ^{2}}{m}}={\frac {4}{3\,H}}} Δ = 4 3 m H . {\displaystyle \Delta ={\sqrt {{\frac {4}{3}}{\frac {m}{H}}}}.} クノイド波の解は次のように表すことができます。
η ( ξ ) = η 2 + H cn 2 ( ξ Δ m ) . {\displaystyle \eta (\xi )=\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right).} 第二に、谷は ψ = に位置している。 1 / 2 π 、つまり ξ = 0 と ξ = の間の距離 1 / 2 λ は、 λ が波長である場合 、式 ( D )
より 次のようになります。
1 2 λ = Δ F ( 1 2 π m ) = Δ K ( m ) , {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\,\lambda =\Delta \,F\left({\begin{array}{c|c}{\tfrac {1}{2}}\,\pi &m\end{array}}\right)=\Delta \,K(m),} 与える λ = 2 Δ K ( m ) = 16 3 m H K ( m ) , {\displaystyle \lambda =2\,\Delta \,K(m)={\sqrt {{\frac {16}{3}}{\frac {m}{H}}}}\;K(m),} ここで、 K ( m ) は 第一種完全楕円積分 である。第三に、波は平均水深の周りで振動するため、 η ( ξ ) の平均値はゼロでなければならない。したがって、 [7]
0 = ∫ 0 λ η ( ξ ) d ξ = 2 ∫ 0 1 2 λ [ η 2 + ( η 1 − η 2 ) cn 2 ( ξ Δ m ) ] d ξ = 2 ∫ 0 1 2 π [ η 2 + ( η 1 − η 2 ) cos 2 ψ ] d ξ d ψ d ψ = 2 Δ ∫ 0 1 2 π η 1 − ( η 1 − η 2 ) sin 2 ψ 1 − m sin 2 ψ d ψ = 2 Δ ∫ 0 1 2 π η 1 − m ( η 1 − η 3 ) sin 2 ψ 1 − m sin 2 ψ d ψ = 2 Δ ∫ 0 1 2 π [ η 3 1 − m sin 2 ψ + ( η 1 − η 3 ) 1 − m sin 2 ψ ] d ψ = 2 Δ [ η 3 K ( m ) + ( η 1 − η 3 ) E ( m ) ] = 2 Δ [ η 3 K ( m ) + H m E ( m ) ] , {\displaystyle {\begin{aligned}0&=\int _{0}^{\lambda }\eta (\xi )\;{\text{d}}\xi =2\,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\lambda }\left[\eta _{2}+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\operatorname {cn} ^{2}\,\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)\right]\;{\text{d}}\xi \\&=2\,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }{\Bigl [}\eta _{2}+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\cos ^{2}\,\psi {\Bigr ]}\,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}\psi }}\;{\text{d}}\psi =2\,\Delta \,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }{\frac {\eta _{1}-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\sin ^{2}\,\psi }{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}\;{\text{d}}\psi \\&=2\,\Delta \,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }{\frac {\eta _{1}-m\,\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)\,\sin ^{2}\,\psi }{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}\;{\text{d}}\psi =2\,\Delta \,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }\left[{\frac {\eta _{3}}{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}+\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)\,{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}\right]\;{\text{d}}\psi \\&=2\,\Delta \,{\Bigl [}\eta _{3}\,K(m)+\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)\,E(m){\Bigr ]}=2\,\Delta \,{\Bigl [}\eta _{3}\,K(m)+{\frac {H}{m}}\,E(m){\Bigr ]},\end{aligned}}} ここで、 E ( m ) は 第二種完全楕円積分である。楕円パラメータ m と波高 H の関数として、 η 1 、 η 2 、 η 3 は次の式で表される 。 [7]
η 3 = − H m E ( m ) K ( m ) , {\displaystyle \eta _{3}=-\,{\frac {H}{m}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}},} η 1 = H m ( 1 − E ( m ) K ( m ) ) {\displaystyle \eta _{1}={\frac {H}{m}}\,\left(1-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)} そして η 2 = H m ( 1 − m − E ( m ) K ( m ) ) . {\displaystyle \eta _{2}={\frac {H}{m}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right).} 第四に 、式（ A ）と（ B ）から 位相速度 c と根 η1 、 η2 、 η3 の 間に関係を確立することができる ： [ 7]
c = 1 + 1 2 ( η 1 + η 2 + η 3 ) = 1 + H m ( 1 − 1 2 m − 3 2 E ( m ) K ( m ) ) . {\displaystyle c=1+{\tfrac {1}{2}}\,\left(\eta _{1}+\eta _{2}+\eta _{3}\right)=1+{\frac {H}{m}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right).} 相対的な位相速度の変化は下図に示されています。図からわかるように、 m > 0.96（つまり 1 − m < 0.04）の場合、位相速度は波高 Hの増加に伴って増加します。これは、波がより長く、より非線形であることに対応しています。 m が固定されている場合、位相速度の非線形変化は 波高 H に比例します。位相速度 c は、波長 λ および 周期 τ と次の式で関係していることに注意してください。
c = λ τ . {\displaystyle c={\frac {\lambda }{\tau }}.} ソリューションの概要 ここでのすべての量は、無次元化 前の 表面重力波 に有効な次元形式で示されます 。
コルテヴェク・ド・フリース 方程式におけるクノイド波解の 相対 位相速度増加を、1− m の関数として表す 。 ここで m は楕円パラメータである。 横軸は 対数目盛り で、10 −6 から10 0 =1 までである。 この図は無次元量を表し、 位相 速度 c は浅水位相速度 を用いて無次元化し 、波高 H は平均水深 h を用いて無次元化している。 g h {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {gh}}} KdV方程式のクノイド波解は次の通りである: [7]
η ( x , t ) = η 2 + H cn 2 ( x − c t Δ m ) , {\displaystyle \eta (x,t)=\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {x-c\,t}{\Delta }}&m\end{array}}\right),} ここで、 H は 波高 （波の山 と 谷の 標高差 ）、 η 2 は 谷の標高、 mは 楕円パラメータ、 cは 位相 速度、cnは ヤコビの楕円関数 の1つである 。谷の高さ η 2 と幅パラメータ Δは、 H 、 h 、 m を用いて次のように表される 。 [7]
η 2 = H m ( 1 − m − E ( m ) K ( m ) ) , {\displaystyle \eta _{2}={\frac {H}{m}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right),} そして Δ = λ 2 K ( m ) = h 4 3 m h H , {\displaystyle \Delta ={\frac {\lambda }{2\,K(m)}}\,=h\,{\sqrt {{\frac {4}{3}}{\frac {m\,h}{H}}}},} ここで、 K ( m )は 第一種完全楕円積分 、 E ( m ) は 第二種完全楕円積分である。ここで K ( m ) と E ( m ) は楕円パラメータ m の関数として表されており、楕円係数 k （ m = k 2 ）の関数として表されているわけではない ことに注意されたい 。
波長 λ 、位相速度 c 、波の 周期 τは H 、 h 、 m と 次 の関係がある : [7]
λ = h 16 3 m h H K ( m ) , {\displaystyle \lambda =h\,{\sqrt {{\frac {16}{3}}{\frac {m\,h}{H}}}}\;K(m),} c = g h [ 1 + H m h ( 1 − 1 2 m − 3 2 E ( m ) K ( m ) ) ] {\displaystyle c={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right]} そして τ = λ c , {\displaystyle \tau ={\frac {\lambda }{c}},} 地球 の重力 と 連動します 。
多くの場合、既知の波パラメータは、波高 H 、平均水深 h 、重力加速度 g 、そして波長 λ または周期 τ です。そして、上記の λ 、 c 、 τ の関係を用いて楕円パラメータ m を求めます。これには、 何らかの 反復法による 数値解が 必要です。 [3]
ベンジャミン・ボナ・マホニー方程式 ベンジャミン ・ボナ・マホニー方程式 （BBM方程式）または正規化長波（RLW）方程式は、次元形式で次のように表される： [21]
∂ t η + g h ∂ x η + 3 2 g h η ∂ x η − 1 6 h 2 ∂ t ∂ x 2 η = 0. {\displaystyle \partial _{t}\eta +{\sqrt {g\,h}}\,\partial _{x}\eta +{\tfrac {3}{2}}\,{\sqrt {\frac {g}{h}}}\,\eta \,\partial _{x}\eta -{\tfrac {1}{6}}\,h^{2}\,\partial _{t}\,\partial _{x}^{2}\eta =0.} すべての量はKdV方程式と同じ意味を持ちます。BBM方程式は短波での挙動が優れているため、KdV方程式よりも好まれることが多いです。 [21]
導出の詳細
導出 導出はKdV方程式のものと類似している。 [22] 無次元BBM方程式は、平均水深 h と重力加速度 g を用いて無次元化される。 [21]
∂ t η + ∂ x η + 3 2 η ∂ x η − 1 6 ∂ t ∂ x 2 η = 0. {\displaystyle \partial _{t}\eta +\partial _{x}\eta +{\tfrac {3}{2}}\,\eta \,\partial _{x}\eta -{\tfrac {1}{6}}\,\partial _{t}\,\partial _{x}^{2}\eta =0.} これを標準形式に組み込むことができる
∂ t ^ φ + ∂ x ^ φ + φ ∂ x ^ φ − ∂ t ^ ∂ x ^ 2 φ = 0 {\displaystyle \partial _{\hat {t}}\varphi +\partial _{\hat {x}}\varphi +\varphi \,\partial _{\hat {x}}\varphi -\partial _{\hat {t}}\,\partial _{\hat {x}}^{2}\varphi =0\,} 変革を通じて：
t ^ = 6 t , {\displaystyle {\hat {t}}={\sqrt {6}}\,t,} x ^ = 6 x {\displaystyle {\hat {x}}={\sqrt {6}}\,x} そして φ = 3 2 η , {\displaystyle \varphi ={\tfrac {3}{2}}\,\eta ,} ただし、この標準形式はここでは使用されません。
KdV方程式のクノイド波解の導出と同様に、 ξ = x − ctの周期波解 η ( ξ ) が考えられます。すると、BBM方程式は3次常微分方程式となり、2回積分して次の式が得られます。
1 3 c ( η ′ ) 2 = f ( η ) {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\,c\,\left(\eta '\right)^{2}=f(\eta )\,} と f ( η ) = − η 3 + 2 ( c − 1 ) η 2 + r η + s . {\displaystyle f(\eta )=-\eta ^{3}+2\,\left(c-1\right)\,\eta ^{2}+r\,\eta +s.\,} これはKdV方程式の式と、 左辺 の( η ′ ) 2の前にある係数 cのみが異なります。座標変換 β = ξ / により 係数 c を取り除くことで、KdV方程式とBBM方程式の両方で同じ一次常微分方程式が得られます。ただし、ここでは前式で示した形が用いられます。これにより、KdV方程式の場合とは 異なる Δの定式化が実現されます。 c {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {c}}}
Δ = 4 3 m c H . {\displaystyle \Delta ={\sqrt {{\frac {4}{3}}{\frac {m\,c}{H}}}}.} H と m の関数としての 波長 λ の関係は、この変化によって影響を受ける。 Δ : {\displaystyle \Delta :}
λ = 16 3 m c H K ( m ) . {\displaystyle \lambda ={\sqrt {{\frac {16}{3}}\,{\frac {m\,c}{H}}}}\;K(m).} 残りの部分については、導出は KdV 方程式の場合と同様であるため、ここでは繰り返さないことにします。
再開する 結果は、深さ h の流体層上の水波について次元形式で提示されます。
BBM方程式のクノイド波解は、関連するパラメータの関係とともに次のようになる： [22]
η ( x , t ) = η 2 + H cn 2 ( x − c t Δ m ) , η 2 = H m ( 1 − m − E ( m ) K ( m ) ) , Δ = h 4 3 m h H c g h = λ 2 K ( m ) , λ = h 16 3 m h H c g h K ( m ) , c = g h [ 1 + H m h ( 1 − 1 2 m − 3 2 E ( m ) K ( m ) ) ] and τ = λ c . {\displaystyle {\begin{aligned}\eta (x,t)&=\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {x-c\,t}{\Delta }}&m\end{array}}\right),\\\eta _{2}&={\frac {H}{m}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right),\\\Delta &=h\,{\sqrt {{\frac {4}{3}}\,{\frac {m\,h}{H}}\,{\frac {c}{\sqrt {g\,h}}}}}&&={\frac {\lambda }{2\,K(m)}},\\\lambda &=h\,{\sqrt {{\frac {16}{3}}\,{\frac {m\,h}{H}}\,{\frac {c}{\sqrt {gh}}}}}\;K(m),\\c&={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right]&&{\text{and}}\\\tau &={\frac {\lambda }{c}}.\end{aligned}}} KdV方程式のクノイダル波解との唯一の違いは、波長 λ に関する式にある 。 [22] 実用的には、通常、水深 h 、 波高 H 、 重力加速度 g 、そして 波長 λ 、あるいは（多くの場合 ）周期τ（物理的には ） が与えられる。そして、楕円パラメータ mは、 λ 、 c 、 τ に関する上記の関係から、 何らかの 反復法 を用いて決定されなければならない。 [3]
例 Korteweg–de Vries方程式のクノイド波解のパラメータ関係。図には−log 10 (1− m )が示されており、 mは 完全楕円積分 の楕円パラメータであり 、 [20]は 無次元 周期 τ√g / h と相対 波高 H / h の関数として 表されている 。等高線上の値は−log 10 (1− m )であるため、値1は m = 1 − 10 −1 = 0.9に、値40は m = 1 − 10 −40 にそれぞれ対応する。 この例では、コルテヴェク・ド・フリース（KdV）方程式に従うクノイド波を考察します。この波のパラメータは以下のとおりです。
平均水深 h = 5 m (16 ft)、 波高 H = 3 m（9.8フィート）、 波 周期 τ = 7 s 、そして 重力加速度 g = 9.81 m/s 2 (32 ft/s 2 )。 周期 τ の代わりに、 波長 λ が 事前にわかっている量として現れる場合もあります。
まず、無次元周期を計算します。
τ g h = 9.80 , {\displaystyle \tau \,{\sqrt {\frac {g}{h}}}=9.80,} これは7より大きく、クノイダル理論が成立するのに十分な長さです。主な未知数は楕円パラメータ m です。これは、クノイダル波動理論からKdV方程式に対して計算される 波周期 τが、
λ = h 16 3 m h H K ( m ) , {\displaystyle \lambda =h\,{\sqrt {{\frac {16}{3}}{\frac {m\,h}{H}}}}\;K(m),} c = g h [ 1 + H m h ( 1 − 1 2 m − 3 2 E ( m ) K ( m ) ) ] {\displaystyle c={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right]} そして τ = λ c , {\displaystyle \tau ={\frac {\lambda }{c}},} τ の与えられた値と一致する 。ここで λ は波長、 c は波の 位相速度 である。さらに、 K ( m ) と E ( m ) はそれぞれ第一種と第二種の 完全楕円積分 である。楕円パラメータ mの探索は 、試行錯誤、あるいは数値 解法アルゴリズム を用いて 行うことができる 。この場合、初期推定値 m init = 0.99 から試行錯誤により、答えは
m = 0.9832 {\displaystyle m=0.9832\,} が見つかりました。このプロセスでは、波長 λ と位相速度 c が計算されています。
波長 λ = 50.8 m (167 フィート)、および 位相速度 c = 7.26 m/s (23.8 ft/s)。 位相速度 cは 、浅水方程式 に従って その値と比較することができます 。 g h {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {gh}}}
c g h = 1.0376 , {\displaystyle {\frac {c}{\sqrt {g\,h}}}=1.0376,} 非線形振幅 分散 の効果により 3.8% の増加を示していますが、この場合は 周波数 分散による位相速度の低下よりもこの増加が勝っています 。
波長がわかったので、 ウルセル数 も計算できます。
U = H λ 2 h 3 = 62 , {\displaystyle U={\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}=62,} これは小さくないため、 線形波理論は 適用できませんが、クノイダル波理論は適用できます。最後に、波長と深さの比は λ / h = 10.2 > 7であり、これもこの波がクノイダル波として考えられるほど十分に長いことを示しています。
孤立波限界 非常に長い非線形波動の場合、パラメータ m が1に近い場合（ m →1）、ヤコビ楕円関数cnは [23] で近似できる。
cn ( z | m ) ≈ sech ( z ) − 1 4 ( 1 − m ) [ sinh ( z ) cosh ( z ) − z ] tanh ( z ) sech ( z ) , {\displaystyle \operatorname {cn} \left(z|m\right)\approx \operatorname {sech} (z)-{\tfrac {1}{4}}\,(1-m)\,{\Bigl [}\sinh(z)\;\cosh(z)-z{\Bigr ]}\,\tanh(z)\;\operatorname {sech} (z),} と sech ( z ) = 1 cosh ( z ) . {\displaystyle \operatorname {sech} (z)={\frac {1}{\cosh(z)}}.} ここで、sinh、cosh、tanh、sechは 双曲線関数です 。m = 1 の極限では、
cn ( z | m ) → sech ( z ) , {\displaystyle \operatorname {cn} \left(z|m\right)\to \operatorname {sech} (z),} sech( z ) = 1 / cosh( z ) となる。
さらに、同じ極限 m → 1において、第一種完全楕円積分 K ( m )は無限大になり、第二種完全楕円積分 E ( m )は1になる。 [24]これは、位相速度 c と最小上昇 η2 の極限値が次のようになることを意味する 。 [ 25]
c = g h ( 1 + 1 2 H h ) {\displaystyle c={\sqrt {g\,h}}\,\left(1+{\frac {1}{2}}\,{\frac {H}{h}}\right)} そして η 2 = 0. {\displaystyle \eta _{2}=0.\,} その結果、幅パラメータΔ に関して 、 KdV方程式とBBM方程式の両方の 孤立波解は次のようになる。 [25]
η ( x , t ) = H sech 2 ( x − c t Δ ) . {\displaystyle \eta (x,t)=H\,\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x-c\,t}{\Delta }}\right).} クノイド波とm → 1の極限で見られる幅パラメータは、 KdV方程式とBBM方程式では異なります。 [25]
Δ = h 4 h 3 H {\displaystyle \Delta =h\,{\sqrt {\frac {4\,h}{3\,H}}}} ：KdV方程式、および Δ = h 4 h 3 H c g h {\displaystyle \Delta =h\,{\sqrt {{\frac {4\,h}{3\,H}}\,{\frac {c}{\sqrt {g\,h}}}}}} : BBM方程式。
しかし、高さH と深さ h の特定の組み合わせでは、両方の方程式の孤立波の位相速度は同じです 。
微小波高の限界 無限 小波高の場合、 クノイダル波理論の結果は、長波 λ ≫ h の極限において エアリー波理論 の結果に収束すると予想される。まず、無限小波高におけるクノイダル波の表面高度、次いで位相速度を検討する。
地表標高 導出の詳細
ヤコビ の楕円関数cnは フーリエ級数 に展開できる [26]
cn ( z | m ) = π m K ( m ) ∑ n = 0 ∞ sech ( ( 2 n + 1 ) π K ′ ( m ) 2 K ( m ) ) cos ( ( 2 n + 1 ) π z 2 K ( m ) ) . {\displaystyle \operatorname {cn} (z|m)={\frac {\pi }{{\sqrt {m}}\,K(m)}}\,\sum _{n=0}^{\infty }\,\operatorname {sech} \left((2n+1)\,{\frac {\pi \,K'(m)}{2\,K(m)}}\right)\;\cos \left((2n+1)\,{\frac {\pi \,z}{2\,K(m)}}\right).} K ′ ( m ) はヤコビ楕円関数の虚数1/4周期として知られ、 K ( m ) は実数1/4周期とも呼ばれる。これらは以下の関係式で表される： K ′ ( m ) = K (1− m ) [27]
ここでの関心は小さな波高、すなわち小さなパラメータ m ≪ 1に対応することにあるため、関連するパラメータの マクローリン級数を考え、 完全楕円積分 K と E から始めるの が便利である 。 [28] [29]
K ( m ) = π 2 [ 1 + ( 1 2 ) 2 m + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) 2 m 2 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) 2 m 3 + ⋯ ] , E ( m ) = π 2 [ 1 − ( 1 2 ) 2 m 1 − ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) 2 m 2 3 − ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) 2 m 3 5 − ⋯ ] . {\displaystyle {\begin{aligned}K(m)&={\frac {\pi }{2}}\,\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\,m+\left({\frac {1\,\cdot \,3}{2\,\cdot \,4}}\right)^{2}\,m^{2}+\left({\frac {1\,\cdot \,3\,\cdot \,5}{2\,\cdot \,4\,\cdot \,6}}\right)^{2}\,m^{3}+\cdots \right],\\E(m)&={\frac {\pi }{2}}\,\left[1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\,{\frac {m}{1}}-\left({\frac {1\,\cdot \,3}{2\,\cdot \,4}}\right)^{2}\,{\frac {m^{2}}{3}}-\left({\frac {1\,\cdot \,3\,\cdot \,5}{2\,\cdot \,4\,\cdot \,6}}\right)^{2}\,{\frac {m^{3}}{5}}-\cdots \right].\end{aligned}}} すると、フーリエ級数に現れる双曲余弦項は、 m ≪ 1 の小さい値に対して次のように展開できる: [26]
sech ( ( 2 n + 1 ) π K ′ ( m ) 2 K ( m ) ) = 2 q n + 1 2 1 + q 2 n + 1 {\displaystyle \operatorname {sech} \left((2n+1)\,{\frac {\pi \,K'(m)}{2\,K(m)}}\right)=2\,{\frac {q^{n+{\tfrac {1}{2}}}}{1+q^{2n+1}}}} q は次のように 与えられる。 q = exp ( − π K ′ ( m ) K ( m ) ) . {\displaystyle q=\exp \left(-\pi \,{\frac {K'(m)}{K(m)}}\right).} ノーム q は小さな m に対して次のような振る舞いをする： [30]
q = m 16 + 8 ( m 16 ) 2 + 84 ( m 16 ) 3 + 992 ( m 16 ) 4 + ⋯ . {\displaystyle q={\frac {m}{16}}+8\,\left({\frac {m}{16}}\right)^{2}+84\,\left({\frac {m}{16}}\right)^{3}+992\,\left({\frac {m}{16}}\right)^{4}+\cdots .} したがって、 フーリエ級数の最初の項の 振幅は次のようになります。
n = 0 {\displaystyle n=0\,} : π m K ( m ) sech ( π K ′ ( m ) 2 K ( m ) ) = 1 − 1 16 m − 9 16 m 2 + ⋯ , {\displaystyle {\frac {\pi }{{\sqrt {m}}\,K(m)}}\,\operatorname {sech} \,\left({\frac {\pi \,K'(m)}{2\,K(m)}}\right)=1-{\tfrac {1}{16}}\,m-{\tfrac {9}{16}}\,m^{2}+\cdots ,} n = 1 {\displaystyle n=1\,} : π m K ( m ) sech ( 3 π K ′ ( m ) 2 K ( m ) ) = 1 16 m + 1 32 m 2 + ⋯ , {\displaystyle {\frac {\pi }{{\sqrt {m}}\,K(m)}}\,\operatorname {sech} \,\left({\frac {3\,\pi \,K'(m)}{2\,K(m)}}\right)={\tfrac {1}{16}}\,m+{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots ,} n = 2 {\displaystyle n=2\,} : π m K ( m ) sech ( 5 π K ′ ( m ) 2 K ( m ) ) = 1 256 m 2 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {\pi }{{\sqrt {m}}\,K(m)}}\,\operatorname {sech} \,\left({\frac {5\,\pi \,K'(m)}{2\,K(m)}}\right)={\tfrac {1}{256}}\,m^{2}+\cdots .}
したがって、 m ≪ 1 の場合、ヤコビの楕円関数には最初のフーリエ級数の項があります。
cn ( z | m ) = ( 1 − 1 16 m − 9 16 m 2 + ⋯ ) cos α z + ( 1 16 m + 1 32 m 2 + ⋯ ) cos 2 α z + ( 1 256 m 2 + ⋯ ) cos 3 α z + ⋯ , {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cn} \,(z|m)&={\Bigl (}1-{\tfrac {1}{16}}\,m-{\tfrac {9}{16}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{16}}\,m+{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,2\,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{256}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,3\,\alpha \,z\;+\;\cdots ,\end{aligned}}} と α ≡ π 2 K ( m ) . {\displaystyle \alpha \equiv {\frac {\pi }{2\,K(m)}}.} そしてその正方形は
cn 2 ( z | m ) = ( 1 2 − 1 16 m − 1 32 m 2 + ⋯ ) + ( 1 2 − 3 512 m 2 + ⋯ ) cos 2 α z + ( 1 16 m + 1 32 m 2 + ⋯ ) cos 4 α z + ( 3 512 m 2 + ⋯ ) cos 6 α z + ⋯ . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cn} ^{2}\,(z|m)&={\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{16}}\,m-{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,2\,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{16}}\,m+{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,4\,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,6\,\alpha \,z\;+\;\cdots .\end{aligned}}} クノイド波の自由表面 η ( x , t ) は、楕円パラメータ m が小さい場合、フーリエ級数で表されます。まず、 cn 関数の偏角は ξ / Δ であり、波長 λ = 2 Δ K ( m ) であることに留意してください 。つまり、
θ ≡ π ξ K ( m ) ξ Δ = 2 π ξ λ . {\displaystyle \theta \equiv {\frac {\pi \,\xi }{K(m)}}\,{\frac {\xi }{\Delta }}=2\,\pi \,{\frac {\xi }{\lambda }}.} さらに、平均自由表面標高はゼロである。したがって、小振幅波の表面標高は
η ( x , t ) = H ( 1 2 − 3 512 m 2 + ⋯ ) cos θ + H ( 1 16 m + 1 32 m 2 + ⋯ ) cos 2 θ + H ( 3 512 m 2 + ⋯ ) cos 3 θ + ⋯ . {\displaystyle \eta (x,t)=\;H\,{\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots {\Bigr )}\,\cos \,\theta \;+\;H\,{\Bigl (}{\tfrac {1}{16}}\,m+{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots {\Bigr )}\,\cos \,2\theta \;+\;H\,{\Bigl (}{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots {\Bigr )}\,\cos \,3\theta \;+\;\cdots .} また、波長 λ は 、 KdV 方程式と BBM 方程式で異なる 楕円パラメータ mのマクローリン級数に展開できますが、これは今回の目的では必要ありません。
注：波高が無限小のときの 0m の限界挙動は 、次の式からもわかる： [31] cn ( z | m ) ≈ cos ( z ) + 1 4 m ( z − sin ( z ) cos ( z ) ) sin ( z ) + ⋯ , {\displaystyle \operatorname {cn} (z|m)\approx \cos(z)+{\tfrac {1}{4}}\,m\,{\bigl (}z-\sin(z)\,\cos(z){\bigr )}\,\sin(z)+\cdots ,} しかし、この近似における m に比例する高次の項には、cn( z | m ) の周期4K(m)と余弦cos(z)の周期2πとの不一致により 、 永年 項 が 含ま れ て い ます。上記の小さな m に対するフーリエ級数にはこの欠点はなく、 摂動論 における リンツテット・ポアンカレ法 を用いて得られる形と一致しています。
無限小の 波高 の場合、 m → 0の限界では、自由表面の標高は次のようになります。
η ( x , t ) = 1 2 H cos θ , {\displaystyle \eta (x,t)={\tfrac {1}{2}}\,H\,\cos \,\theta ,} と θ = 2 π ξ λ = 2 π x − c t λ . {\displaystyle \theta =2\,\pi \,{\frac {\xi }{\lambda }}=2\,\pi \ {\frac {x-c\,t}{\lambda }}.} したがって、波の 振幅 は 1 / 2 H 、 波高の半分。これは エアリー波理論 で研究されたものと同じ形式です が、クノイダル波理論は平均水深よりもはるかに長い波長を持つ長波にのみ有効であることに注意してください。
位相速度 導出の詳細
クノイド波の位相速度は、KdV方程式とBBM方程式の両方において、次のように与えられる: [7] [22]
c = g h [ 1 + H m h ( 1 − 1 2 m − 3 2 E ( m ) K ( m ) ) ] . {\displaystyle c={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right].} この定式化では、位相速度は 波高 H とパラメータ m の関数である。しかし、微小波高の波動伝播を決定するには、パラメータ mが ゼロに近づく極限において、一定 波長 λ における位相速度の挙動を決定する必要がある。これは、KdV方程式とBBM方程式とは異なる波長に関する式を用いて行うことができる。 [7] [22]
KdV : λ = h 16 3 m h H K ( m ) , {\displaystyle \lambda =h\,{\sqrt {{\frac {16}{3}}\,{\frac {mh}{H}}}}\,K(m),} BBM： λ = h 16 3 m h H c g h K ( m ) , {\displaystyle \lambda =h\,{\sqrt {{\frac {16}{3}}\,{\frac {mh}{H}}\,{\frac {c}{\sqrt {g\,h}}}}}\,K(m),}
相対 波数 κh を導入する：
κ h = 2 π λ h , {\displaystyle \kappa \,h={\frac {2\,\pi }{\lambda }}\,h,} 上記の位相速度と波長の式を用いると、位相速度における 係数 H / mは κh と m に置き換えられます。結果として得られる位相速度は以下のようになります。
KdV : c = g h [ 1 + ( κ h ) 2 4 3 π 2 K 2 ( m ) ( 1 − 1 2 m − 3 2 E ( m ) K ( m ) ) ] , {\displaystyle c={\sqrt {gh}}\,\left[1+(\kappa \,h)^{2}\,{\frac {4}{3\,\pi ^{2}}}\,K^{2}(m)\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right],} BBM： c = g h 1 1 − ( κ h ) 2 4 3 π 2 K 2 ( m ) ( 1 − 1 2 m − 3 2 E ( m ) K ( m ) ) . {\displaystyle c={\sqrt {gh}}\,{\frac {1}{\displaystyle 1-(\kappa \,h)^{2}\,{\frac {4}{3\,\pi ^{2}}}\,K^{2}(m)\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)}}.}
m が小さい場合の極限挙動は、 K ( m )と E ( m )の マクローリン級数 を用いて解析することができ 、 [28]両方の式の c の共通因子について次の式が得られる 。
γ = 4 3 π 2 K 2 ( m ) ( 1 − 1 2 m − 3 2 E ( m ) K ( m ) ) = − 1 6 + 1 64 m 2 + 1 64 m 3 + ⋯ , {\displaystyle \gamma ={\frac {4}{3\,\pi ^{2}}}\,K^{2}(m)\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-\,{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)=-{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{64}}\,m^{2}+{\tfrac {1}{64}}\,m^{3}+\cdots ,} したがって、 m → 0の極限では 、因子 γ → − 1 / 6 . m ≪ 1の場合の位相速度の限界値が 直接得られます。
KdV方程式とBBM方程式のクノイダル波理論によれば、微小波高の 位相速度 は [32]
KdV : c = [ 1 − 1 6 ( κ h ) 2 ] g h , {\displaystyle c={\Bigl [}1-{\tfrac {1}{6}}\,\left(\kappa h\right)^{2}{\Bigr ]}\,{\sqrt {g\,h}},} BBM : c = 1 1 + 1 6 ( κ h ) 2 g h , {\displaystyle c={\frac {1}{1+{\tfrac {1}{6}}\,\left(\kappa h\right)^{2}}}\,{\sqrt {g\,h}},}
ここで、 κ = 2 π / λ は 波数 、 κh は 相対波数です。これらの位相速度は、線形化されたKdV方程式とBBM方程式の正弦波解を直接探索して得られた結果と完全に一致しています。これらの方程式から明らかなように、線形化されたBBM方程式は、すべての κh に対して正の位相速度を持ちます。一方、線形化されたKdV方程式の位相速度は、 κh > の短波に対して符号が変わります 。これは、KdV方程式を一方向波動方程式として導出することと矛盾しています。 6 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {6}}}
完全な非粘性流方程式からの直接導出 ブラジル北東部、 アラグアリ川 河口付近の 波状ウナギと 幼生。高度約100フィート（30メートル）の飛行機から河口に向かって斜めに撮影。 [33] クノイド波は、非粘性 、 非回転 、および 非圧縮性の 流れ方程式から直接導出でき 、ベンジャミンとライトヒル（1954）が 波状ボア に関する研究で示したように、流れの3つの不変量で表現できます。 位相速度 とともに移動する 参照フレーム では、流れは 定常流 になり、クノイド波の解は、流れの 質量フラックス 、 運動量フラックス 、および エネルギーヘッド に直接関連付けることができます。ベンジャミンとライトヒル（1954）に従い、この非圧縮性の流れの 流れ関数 記述を使用すると、流速の水平成分と垂直成分は、流れ関数 Ψ （ ξ 、 z ）の空間微分であり、それぞれ ξ と z 方向で+ ∂ z Ψ と − ∂ ξ Ψ です（ ξ = x − ct ）。鉛直座標 z は、重力加速度の方向とは反対の、上向きの方向を正とし、 z のゼロレベルは流体領域の不浸透性下界です。自由表面は z = ζ ( ξ )にあります。ζ は 局所水深であり、表面標高 η ( ξ )と ζ = h + η（h は 平均 水深）の関係にあることに注意してください。
この定常流において、 各鉛直断面を通る 流量 Qは ξ に依存しない定数であり、また、水平床が存在するため、 各鉛直断面を通る水平方向の運動量フラックス S （ 密度 ρ で割った値）も保存される。さらに、この非粘性かつ非回転の流れには ベルヌーイの定理が適用され、流れ場の全域でベルヌーイ定数 R は一定となる 。これらは以下のように定義される。 [34]
Q = ∫ 0 ζ ( ξ ) ∂ z Ψ d z , R = p ρ + 1 2 [ ( ∂ ξ Ψ ) 2 + ( ∂ z Ψ ) 2 ] + g z and S = ∫ 0 ζ ( ξ ) [ p ρ + ( ∂ z Ψ ) 2 ] d z . {\displaystyle {\begin{aligned}Q&=\int _{0}^{\zeta (\xi )}\partial _{z}\Psi \;{\text{d}}z,\\R&={\frac {p}{\rho }}+{\tfrac {1}{2}}\,{\Bigl [}\left(\partial _{\xi }\Psi \right)^{2}+\left(\partial _{z}\Psi \right)^{2}{\Bigr ]}+g\,z\qquad {\text{and}}\\S&=\int _{0}^{\zeta (\xi )}\left[{\frac {p}{\rho }}+\left(\partial _{z}\Psi \right)^{2}\right]\;{\text{d}}z.\end{aligned}}} かなり長い波の場合、水深 ζが 波長 λ に比べて小さいと仮定すると、水深 ζ （ ξ ）と3つの不変量 Q 、 R 、 S の間には次の関係が得られます。 [34]
1 3 Q 2 ( ζ ′ ) 2 ≈ − g ζ 3 + 2 R ζ 2 − 2 S ζ + Q 2 . {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\,Q^{2}\,\left(\zeta '\right)^{2}\approx -g\,\zeta ^{3}+2\,R\,\zeta ^{2}-2\,S\,\zeta +Q^{2}.} E
この非線形かつ一次の 常微分方程式 には、クノイド波解があります。
深さh の流体上の 微小 振幅 の非常に長い波 と均一な流速 vの場合、流れの定数は 浅水方程式 に従います 。 [34]
Q 0 = v h , {\displaystyle Q_{0}=v\,h,} R 0 = 1 2 v 2 + g h {\displaystyle R_{0}={\tfrac {1}{2}}\,v^{2}+g\,h} そして S 0 = v 2 h + 1 2 g h 2 . {\displaystyle S_{0}=v^{2}\,h+{\tfrac {1}{2}}\,g\,h^{2}.} 式（ E ）は、流量 Q と重力加速度 g を用いて、臨界水深hcを定義すること で 無 次元 化できる 。
h c = Q 2 g 3 , {\displaystyle h_{c}={\sqrt[{3}]{\frac {Q^{2}}{g}}},} は、亜臨界流 と 超臨界流の間の 臨界流量 境界 に関係する （ フルード数 も参照）。したがって、この式の無次元形は
1 3 ( ζ ~ ′ ) 2 ≈ − ζ 3 + 2 R ~ ζ ~ 2 − 2 S ~ ζ ~ + 1 , {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\,\left({\tilde {\zeta }}'\right)^{2}\approx -\zeta ^{3}+2\,{\tilde {R}}\,{\tilde {\zeta }}^{2}-2\,{\tilde {S}}\,{\tilde {\zeta }}+1,} と
ζ ~ = ζ h c , {\displaystyle {\tilde {\zeta }}={\frac {\zeta }{h_{c}}},} ξ ~ = ξ h c , {\displaystyle {\tilde {\xi }}={\frac {\xi }{h_{c}}},} R ~ = R g h c , {\displaystyle {\tilde {R}}={\frac {R}{g\,h_{c}}},} そして S ~ = S g h c 2 . {\displaystyle {\tilde {S}}={\frac {S}{g\,h_{c}^{2}}}.}
導出 まずベルヌーイの方程式を使って 運動量フラックス S から圧力 pを消去します。
S = R ζ − 1 2 g ζ 2 + ∫ 0 ζ 1 2 [ ( ∂ z Ψ ) 2 − ( ∂ ξ Ψ ) 2 ] d z . {\displaystyle S=R\,\zeta -{\tfrac {1}{2}}\,g\,\zeta ^{2}+\int _{0}^{\zeta }{\tfrac {1}{2}}\left[\left(\partial _{z}\Psi \right)^{2}-\left(\partial _{\xi }\Psi \right)^{2}\right]\;{\text{d}}z.} 流線関数 Ψは z = 0の床の周りの マクローリン級数 として展開され 、不浸透床が流線型であることと流れの非回転性を用いて、 Ψ = 0および z = 0で ∂z 2 Ψ = 0 となる。 [34]
Ψ = z u b ( ξ ) − z 3 3 ! u b ″ ( ξ ) + z 5 5 ! u b iv ( ξ ) + ⋯ , {\displaystyle \Psi =z\,u_{b}(\xi )-{\frac {z^{3}}{3!}}\,u_{b}''(\xi )+{\frac {z^{5}}{5!}}\,u_{b}^{\text{iv}}(\xi )+\cdots ,} ここで、 u b は 河床 z = 0における水平速度である。波は長いので、 h ≫ λ 、 Q と S の近似式では z 3 と ζ 3 までの項のみが保持される。 すると、 運動量フラックス Sは次のようになる。 [34]
S = R ζ − 1 2 g ζ 2 + 1 2 ζ u b 2 − 1 6 ζ 3 u b u b ″ − 1 6 ζ 3 ( u b ′ ) 2 + ⋯ . {\displaystyle S=R\,\zeta -{\tfrac {1}{2}}\,g\,\zeta ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\,\zeta \,u_{b}^{2}-{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{3}\,u_{b}\,u_{b}''-{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{3}\,\left(u_{b}'\right)^{2}+\cdots .} 流量 Qは 自由表面 z = ζにおける流れ関数 Ψ の値であるため、次のようになる 。
Q = ζ u b ( ξ ) − 1 6 ζ 3 u b ″ ξ + ⋯ . {\displaystyle Q=\zeta \,u_{b}(\xi )-{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{3}\,u_{b}''{\xi }+\cdots .} 見ての通り、流量 Q はO( ζ )量である。このことから、河床流速は [34] となる。
u b = Q ζ + 1 6 ζ 2 u b ″ + ⋯ . {\displaystyle u_{b}={\frac {Q}{\zeta }}+{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{2}\,u_{b}''+\cdots .} Q / ζ は1次の量であることに注意してください。この関係式は、 運動量フラックス Sにおける層流速 u b を Q と ζ に 置き換えるために用いられます 。この関係式から以下の項が導出されます。
u b 2 = Q 2 ζ 2 + 1 3 ζ Q u b ″ + ⋯ , u b ′ = − Q ζ ζ ′ + 1 3 ζ ζ ′ u b ″ + 1 6 ζ 2 u b ‴ + ⋯ and ( u b ′ ) 2 = Q 2 ζ 4 ( ζ ′ ) 2 − 2 3 Q ζ ζ ′ u b ″ + ⋯ . {\displaystyle {\begin{aligned}u_{b}^{2}&={\frac {Q^{2}}{\zeta ^{2}}}+{\tfrac {1}{3}}\,\zeta \,Q\,u_{b}''+\cdots ,\\u_{b}'&=-{\frac {Q}{\zeta }}\,\zeta '+{\tfrac {1}{3}}\,\zeta \,\zeta '\,u_{b}''+{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{2}\,u_{b}'''+\cdots \qquad {\text{and}}\\\left(u_{b}'\right)^{2}&={\frac {Q^{2}}{\zeta ^{4}}}\,\left(\zeta '\right)^{2}-{\tfrac {2}{3}}\,{\frac {Q}{\zeta }}\,\zeta '\,u_{b}''+\cdots .\end{aligned}}} その結果、運動量フラックス Sは、 ζ3 に 比例する項までのみ保持して、次のようになる 。 [34]
S ≈ R ζ − 1 2 g ζ 2 + 1 2 Q 2 ζ − 1 6 Q 2 ζ ( ζ ′ ) 2 . {\displaystyle S\approx R\,\zeta -{\tfrac {1}{2}}\,g\,\zeta ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {Q^{2}}{\zeta }}-{\tfrac {1}{6}}\,{\frac {Q^{2}}{\zeta }}\,\left(\zeta '\right)^{2}.} これは直接式( E )の形に書き直すことができる 。
位置エネルギー 潜在エネルギー密度
E pot = 1 λ ∫ 0 λ 1 2 ρ g η 2 ( x , t ) d x {\displaystyle E_{\text{pot}}={\frac {1}{\lambda }}\,\int _{0}^{\lambda }{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,g\,\eta ^{2}(x,t)\;{\text{d}}x} ここで、 ρ は流体の 密度 であり、 KdV方程式の 無限個の 不変量の1つである。 [35]これは、KdV方程式に地表標高 η （ x 、 t ）を乗じることで確認できる。 連鎖律 を繰り返し適用すると、 結果は次のようになる。
∂ t ( 1 2 η 2 ) + ∂ x { 1 2 g h η 2 + 1 2 g h η 3 + 1 12 h 2 g h [ ∂ x 2 ( η 2 ) − 3 ( ∂ x η ) 2 ] } = 0 , {\displaystyle \partial _{t}\left({\tfrac {1}{2}}\,\eta ^{2}\right)+\partial _{x}\left\{{\tfrac {1}{2}}\,{\sqrt {g\,h}}\,\eta ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\,{\sqrt {\frac {g}{h}}}\,\eta ^{3}+{\tfrac {1}{12}}\,h^{2}{\sqrt {g\,h}}\,\left[\partial _{x}^{2}\left(\eta ^{2}\right)-3\left(\partial _{x}\eta \right)^{2}\right]\right\}=0,} これは保存形であり、周期区間（クノイダル波の波長）にわたって積分すると不変量となる。位置エネルギーはBBM方程式の不変量ではないが、 1 / 2 ρg [ η 2 + 1 / 6 h 2 ( ∂ x η ) 2 ] である。 [36]
まず、 クノイダル波の表面高さの 分散が計算されます。 η 2 = −(1/ λ ) 0 ∫ λ H cn 2 ( ξ / Δ |m) d x , cn( ξ / Δ |m) = cos ψ ( ξ ) および λ = 2 Δ K ( m )であることに注意してください 。したがって、 [37]
1 λ ∫ 0 λ η 2 d x = 1 λ ∫ 0 λ { η 2 + H cn 2 ( ξ Δ m ) } 2 d ξ = H 2 λ ∫ 0 λ cn 4 ( ξ Δ m ) d ξ − η 2 2 = Δ H 2 λ ∫ 0 π cos 4 ψ d ξ d ψ d ψ − η 2 2 = H 2 2 K ( m ) ∫ 0 π cos 4 ψ 1 − m sin 2 ψ d ψ − η 2 2 = 1 3 H 2 m 2 [ ( 2 − 5 m + 3 m 2 ) + ( 4 m − 2 ) E ( m ) K ( m ) ] − H 2 m 2 ( 1 − m − E ( m ) K ( m ) ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\lambda }}\,\int _{0}^{\lambda }\eta ^{2}\;{\text{d}}x&={\frac {1}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }\left\{\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)\right\}^{2}\;{\text{d}}\xi ={\frac {H^{2}}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }\operatorname {cn} ^{4}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)\;{\text{d}}\xi -\eta _{2}^{2}\\&={\frac {\Delta \,H^{2}}{\lambda }}\int _{0}^{\pi }\cos ^{4}\,\psi \,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}\psi }}\;{\text{d}}\psi -\eta _{2}^{2}={\frac {H^{2}}{2\,K(m)}}\int _{0}^{\pi }{\frac {\cos ^{4}\,\psi }{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}\;{\text{d}}\psi -\eta _{2}^{2}\\&={\frac {1}{3}}\,{\frac {H^{2}}{m^{2}}}\,\left[\left(2-5\,m+3\,m^{2}\right)+\left(4\,m-2\right)\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right]-{\frac {H^{2}}{m^{2}}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)^{2}\end{aligned}}} KdV方程式とBBM方程式の両方のポテンシャルエネルギーは、次のように求められる [37]
E pot = 1 2 ρ g H 2 [ − 1 3 m + 2 3 m ( 1 + 1 m ) ( 1 − E ( m ) K ( m ) ) − 1 m 2 ( 1 − E ( m ) K ( m ) ) 2 ] . {\displaystyle E_{\text{pot}}={\tfrac {1}{2}}\,\rho \,g\,H^{2}\,\left[-{\frac {1}{3\,m}}+{\frac {2}{3\,m}}\,\left(1+{\frac {1}{m}}\right)\left(1-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)-{\frac {1}{m^{2}}}\,\left(1-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)^{2}\right].} 位置エネルギーの 無限小波高限界（ m → 0）は E pot = 1 / 16 ρ g H 2 であり、これはエアリー波理論 と一致している 。 [37] 波高は 無限小波の極限では 振幅の2倍、 H = 2 aである。
参照
注釈と参考文献
注記 ^ Nezlin, MV (1993), プラズマ中の強力ビームの物理学 , CRC Press, p. 205, ISBN 978-0-7503-0186-2 ^ Le Méhauté, B. (1976), 流体力学と水波入門 、Springer、 ISBN 978-0-387-07232-6 ^ abc Dingemans (1997) 718–721頁。 ^ ab ディンジマンズ (1997)、689–691 ページ。 ^ de Jager, EM (2006). 「Korteweg–de Vries方程式の起源について」. arXiv : math/0602661v1 . ^ Drazin, PG (1977)、「クノイド波の安定性について」、 Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics 、 30 (1): 91– 105、 doi :10.1093/qjmam/30.1.91 ^ abcdefghijklmno ディンジマンズ (1997) pp. 708–715。 ^ Yunfeng Xu; Xiaohe Xia; Jianhua Wang (2012)、「クノイダル波理論におけるクノイダル関数の計算と近似」、 Computers & Fluids 、 68 : 244–247 、 doi :10.1016/j.compfluid.2012.07.012 ^ 正規化方法により、 Ursellパラメータは U ≪ 32 π 2 / 3 ≈ 100 のときに線形理論が適用可能であることを示します。 ^ Sorensen, RM (1993), 基礎波動力学：沿岸海洋エンジニア向け 、Wiley-Interscience、 ISBN 978-0-471-55165-2 、61ページ。 ^ Fenton, JD (1979)、「高次クノイダル波理論」、 流体力学ジャーナル 、 94 (1): 129– 161、 Bibcode :1979JFM....94..129F、 doi :10.1017/S0022112079000975、 S2CID 123177506 ^ Fenton, JD (1990)、「非線形波動理論」、Le Méhauté, B.; Hanes, DM (編)、 Ocean Engineering Science 、The Sea、vol. 9A、Wiley Interscience、pp. 3– 25 ^ Clamond, D. (1999)、「任意の深さの水平海底における定常有限振幅波」、 Journal of Fluid Mechanics 、 398 (1): 45– 60、 Bibcode :1999JFM...398...45C、 doi :10.1017/S0022112099006151、 S2CID 58904651 ^ Clamond, D. (2003)、「深海におけるクノイダル型表面波」、 Journal of Fluid Mechanics 、 489 : 101– 120、 Bibcode :2003JFM...489..101C、 CiteSeerX 10.1.1.573.3434 、 doi :10.1017/S0022112003005111、 S2CID 53631460 ^ Osborne, AR (1994)、「浅水クノイダル波相互作用」 (PDF) 、 非線形過程地球物理学 、 1 (4): 241– 251、 Bibcode :1994NPGeo...1..241O、 doi : 10.5194/npg-1-241-1994 ^ Vanden-Broeck、J.-M.; Shen、MC (1983)、「表面張力を伴う孤立波およびクノイダル波に関するメモ」、 Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik 、 34 (1): 112–117 、 Bibcode :1983ZaMP...34..112V、 doi :10.1007/BF00962619、 S2CID 119997409 ^ ab ディンジマンズ (1997) pp. 692–693。 ^ abc Dingemans (1997) p.701. ^ アブラモウィッツ＆ステグン（1965）590ページ。 ^ ab 楕円パラメータ m は楕円係数 k とは異なる： m = k 2 。Abramowitz & Stegun (1965) p. 590を参照。 ^ abc Dingemans (1997) p.694–696. ^ abcde ディンジマンズ (1997) p. 715. ^ アブラモウィッツ＆ステグン（1965）式16.15.2、p.574。 ^ アブラモウィッツ＆ステグン（1965）図17.1＆17.2、p.592。 ^ abc Dingemans (1997) 702–704ページ。 ^ ab アブラモウィッツ & ステガン (1965) 式。 16.23.2、p. 575. ^ アブラモウィッツ＆ステグン（1965）式17.3.5、p.590。 ^ ab Dingemans (1997) p.784. ^ アブラモウィッツ & ステガン (1965) 方程式。 17.3.9 および 17.3.10、p. 591. ^ アブラモウィッツ＆ステグン（1965年）17.3.21、p.591。 ^ アブラモウィッツ＆ステグン（1965）式16.13.2、p.573。 ^ ディンゲマンス（1997）695ページ ^ 図5： スーザン・バーチ＝ウィンクラー、デイビッド・K・リンチ（1988年）「世界各地の潮汐波の発生状況と特徴のカタログ」 （サーキュラー1022） 、 USGSレポート 、サーキュラー、 米国地質調査所 ：12、 Bibcode ：1988usgs.rept...12B、 doi ：10.3133/cir1022 ^ abcdefg ベンジャミンとライトヒル (1954) ^ ディンジマンズ (1997)、730–733 ページ。 ^ ベンジャミン、ボナ＆マホニー (1972) ^ abc Dingemans (1997) 791–794頁。
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さらに読む ベンジャミン, TB ; ライトヒル, MJ (1954)、「クノイド波とボアについて」、 ロンドン王立協会紀要、シリーズA、数学・物理科学 、 224 (1159): 448– 460、 Bibcode :1954RSPSA.224..448B、 doi :10.1098/rspa.1954.0172、 S2CID 119869484 de Jager, EM (2006). 「Korteweg–de Vries方程式の起源について」. arXiv : math/0602661v1 . ドラジン、PG ；ジョンソン、RS（1996）、 ソリトン：入門 、ケンブリッジ大学出版局、 ISBN 978-0-521-33655-0 フェントン, JD (1979)、「高次クノイダル波理論」、 流体力学ジャーナル 、 94 (1): 129– 161、 Bibcode :1979JFM....94..129F、 doi :10.1017/S0022112079000975、 S2CID 123177506 Keulegan, GH; Patterson, GW (1940)、 「非回転並進波の数学的理論」 、 国立標準局研究ジャーナル 、 24 (1月): 47–101 、 doi : 10.6028/jres.024.027 マイルズ、JW (1981)、「コルテウェグ・デ・フリース方程式：歴史的考察」、 流体力学ジャーナル 、 106 : 131– 147、 Bibcode :1981JFM...106..131M、 doi :10.1017/S0022112081001559、 S2CID 122811526 Wehausen, JV ; Laitone, EV (1960)、「表面波」、 Flügge, S. ; Truesdell, C. (eds.)、Encyclopedia of Physics, vol. IX、Springer Verlag、pp. 446– 778、2009年1月5日時点のオリジナルよりアーカイブ、2009年4月18 日 取得 クノイド波については702～714ページを参照 Wiegel, RL (1960)、「実用化のためのクノイダル波理論の提示」、 流体力学ジャーナル 、 7 (2): 273– 286、 Bibcode :1960JFM.....7..273W、 doi :10.1017/S0022112060001481、 S2CID 30587200
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\int _{0}^{\lambda }\eta (\xi )\;{\text{d}}\xi =2\,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\lambda }\left[\eta _{2}+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\operatorname {cn} ^{2}\,\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)\right]\;{\text{d}}\xi \\&=2\,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }{\Bigl [}\eta _{2}+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\cos ^{2}\,\psi {\Bigr ]}\,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}\psi }}\;{\text{d}}\psi =2\,\Delta \,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }{\frac {\eta _{1}-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\sin ^{2}\,\psi }{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}\;{\text{d}}\psi \\&=2\,\Delta \,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }{\frac {\eta _{1}-m\,\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)\,\sin ^{2}\,\psi }{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}\;{\text{d}}\psi =2\,\Delta \,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }\left[{\frac {\eta _{3}}{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}+\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)\,{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}\right]\;{\text{d}}\psi \\&=2\,\Delta \,{\Bigl [}\eta _{3}\,K(m)+\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)\,E(m){\Bigr ]}=2\,\Delta \,{\Bigl [}\eta _{3}\,K(m)+{\frac {H}{m}}\,E(m){\Bigr ]},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9858bd7674e85b2bdcc18b966a189e6e565d085d)
![{\displaystyle c={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/570876d0bfff0002b6cf7adaab043c49b5f7245d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\eta (x,t)&=\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {xc\,t}{\Delta }}&m\end{array}}\right),\\\eta _{2}&={\frac {H}{m}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right),\\\Delta &=h\,{\sqrt {{\frac {4}{3}}\,{\frac {m\,h}{H}}\,{\frac {c}{\sqrt {g\,h}}}}}}&&={\frac {\lambda }{2\,K(m)}},\\\lambda &=h\,{\sqrt {{\frac {16}{3}}\,{\frac {m\,h}{H}}\,{\frac {c}{\sqrt {gh}}}}}\;K(m),\\c&={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right]&&{\text{and}}\\\tau &={\frac {\lambda }{c}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca57381bfc686a1420f5942f568906cce47bb455)
![{\displaystyle \operatorname {cn} \left(z|m\right)\approx \operatorname {sech} (z)-{\tfrac {1}{4}}\,(1-m)\,{\Bigl [}\sinh(z)\;\cosh(z)-z{\Bigr ]}\,\tanh(z)\;\operatorname {sech} (z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9486016d72ad3b9e9a70d482c74d0f5108468af5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}K(m)&={\frac {\pi }{2}}\,\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\,m+\left({\frac {1\,\cdot \,3}{2\,\cdot \,4}}\right)^{2}\,m^{2}+\left({\frac {1\,\cdot \,3\,\cdot \,5}{2\,\cdot \,4\,\cdot \,6}}\right)^{2}\,m^{3}+\cdots \right],\\E(m)&={\frac {\pi }{2}}\,\left[1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\,{\frac {m}{1}}-\left({\frac {1\,\cdot \,3}{2\,\cdot \,4}}\right)^{2}\,{\frac {m^{2}}{3}}-\left({\frac {1\,\cdot \,3\,\cdot \,5}{2\,\cdot \,4\,\cdot \,6}}\right)^{2}\,{\frac {m^{3}}{5}}-\cdots \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a8fa88a458fd8929c14bef603f346c6841e4bb4)
![{\displaystyle c={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01cc17da57e1dbf3ab205df5bfdd091c82718797)
![{\displaystyle c={\sqrt {gh}}\,\left[1+(\kappa \,h)^{2}\,{\frac {4}{3\,\pi ^{2}}}\,K^{2}(m)\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e925078a7c33910437ef6855adbdddc3b6f88167)
![{\displaystyle c={\Bigl [}1-{\tfrac {1}{6}}\,\left(\kappa h\right)^{2}{\Bigr ]}\,{\sqrt {g\,h}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06539f6de1897886a721731db35dddeb949c15a8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}Q&=\int _{0}^{\zeta (\xi )}\partial _{z}\Psi \;{\text{d}}z,\\R&={\frac {p}{\rho }}+{\tfrac {1}{2}}\,{\Bigl [}\left(\partial _{\xi }\Psi \right)^{2}+\left(\partial _{z}\Psi \right)^{2}{\Bigr ]}+g\,z\qquad {\text{and}}\\S&=\int _{0}^{\zeta (\xi )}\left[{\frac {p}{\rho }}+\left(\partial _{z}\Psi \right)^{2}\right]\;{\text{d}}z.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c724184e53307d8d1b54979ae1340007981bdaf2)
![{\displaystyle h_{c}={\sqrt[{3}]{\frac {Q^{2}}{g}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc53aae236ba451c5cd2738826759e70a298043)
![{\displaystyle S=R\,\zeta -{\tfrac {1}{2}}\,g\,\zeta ^{2}+\int _{0}^{\zeta }{\tfrac {1}{2}}\left[\left(\partial _{z}\Psi \right)^{2}-\left(\partial _{\xi }\Psi \right)^{2}\right]\;{\text{d}}z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/514e0c8da01c709d5746c4edb53010efb06581c9)
![{\displaystyle \partial _{t}\left({\tfrac {1}{2}}\,\eta ^{2}\right)+\partial _{x}\left\{{\tfrac {1}{2}}\,{\sqrt {g\,h}}\,\eta ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\,{\sqrt {\frac {g}{h}}}\,\eta ^{3}+{\tfrac {1}{12}}\,h^{2}{\sqrt {g\,h}}\,\left[\partial _{x}^{2}\left(\eta ^{2}\right)-3\left(\partial _{x}\eta \right)^{2}\right]\right\}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d72e37ab27cff2f96b425d37e79bcc93dcb46d83)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\lambda }}\,\int _{0}^{\lambda }\eta ^{2}\;{\text{d}}x&={\frac {1}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }\left\{\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)\right\}^{2}\;{\text{d}}\xi ={\frac {H^{2}}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }\operatorname {cn} ^{4}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)\;{\text{d}}\xi -\eta _{2}^{2}\\&={\frac {\Delta \,H^{2}}{\lambda }}\int _{0}^{\pi }\cos ^{4}\,\psi \,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}\psi }}\;{\text{d}}\psi -\eta _{2}^{2}={\frac {H^{2}}{2\,K(m)}}\int _{0}^{\pi }{\frac {\cos ^{4}\,\psi }{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}\;{\text{d}}\psi -\eta _{2}^{2}\\&={\frac {1}{3}}\,{\frac {H^{2}}{m^{2}}}\,\left[\left(2-5\,m+3\,m^{2}\right)+\left(4\,m-2\right)\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right]-{\frac {H^{2}}{m^{2}}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/241df305c1a0cdad90d96bedcd2def8a495d3dfd)
![{\displaystyle E_{\text{pot}}={\tfrac {1}{2}}\,\rho \,g\,H^{2}\,\left[-{\frac {1}{3\,m}}+{\frac {2}{3\,m}}\,\left(1+{\frac {1}{m}}\right)\left(1-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)-{\frac {1}{m^{2}}}\,\left(1-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)^{2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a9820b3d9fa4dbe108096668b8c714ba4575219)
