共同ファイブレーション

Concept in homotopy theory

数学、特にホモトピー理論において、位相空間間の連続写像

${\displaystyle i:A\to X}$

がコファイブレーションであるとは、それがすべての位相空間 に関してホモトピー拡大特性を持つ場合である。つまり、 がコファイブレーションであるとは、各位相空間、および を満たす任意の連続写像 、 に対して、からへの任意のホモトピーに対して、からへの連続写像とホモトピーが存在し、すべての および に対して成り立つ場合である。(ここで、は単位区間 を表す。) ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f,f':A\to S}$ ${\displaystyle g:X\to S}$ ${\displaystyle g\circ i=f}$ ${\displaystyle h:A\times I\to S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle g':X\to S}$ ${\displaystyle h':X\times I\to S}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle h'(i(a),t)=h(a,t)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle t\in I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle [0,1]}$

この定義は、すべての空間に関してホモトピーリフティングプロパティを満たすために必要なファイブレーションの定義と形式的に双対です。これは、位相幾何学におけるより広いエックマン-ヒルトン双対性の一例です。

コファイブレーションはホモトピー理論の基本概念である。クイレンは、より一般的な圏におけるホモトピー理論を行うための形式的な枠組みとして、モデル圏の概念を提唱した。モデル圏は、ファイブレーション、コファイブレーション、そして弱同値性と呼ばれる、特定の持ち上げ公理と因数分解公理を満たす3つの区別された射のクラスを備えている。

定義

ホモトピー理論

以下では、単位間隔を表すものとします。 ${\displaystyle I=[0,1]}$

位相空間の写像はコファイブレーションと呼ばれる^{[1] pg51}では、任意の写像に対して、 への拡張が存在する（つまり、となる写像が存在する）とき、写像のホモトピーを写像のホモトピーに拡張できる。ここで ${\displaystyle i\colon A\to X}$ ${\displaystyle f:A\to S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f':X\to S}$ ${\displaystyle f'\circ i=f}$ ${\displaystyle H:A\times I\to S}$ ${\displaystyle H':X\times I\to S}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H(a,0)&=f(a)\\H'(x,0)&=f'(x)\end{aligned}}}$

この条件は次の可換図式で表すことができる。

はコンパクトオープントポロジーを備えたパス空間です。 ${\displaystyle S^{I}}$ ${\displaystyle S}$

モデル カテゴリにおけるコファイブレーションの概念については、モデル カテゴリを参照してください。

例

位相幾何学において

位相学者は長年にわたり「良好な部分空間埋め込み」の概念を研究してきた。その多くは、写像がコファイブレーションであるか、その逆であるか、あるいはホモロジーに関して同様の形式的性質を持つことを意味する。1937年、ボルスクは、が双正規空間（が正規であり、単位区間との積が正規である）である場合、 の任意の閉部分空間は任意の絶対近傍リトラクトに関してホモトピー拡大性を持つことを証明した。同様に、が の閉部分空間であり、部分空間包含が絶対近傍リトラクトである場合、を に包含することはコファイブレーションである。^{[2] [3]}ハッチャーの入門書『代数的位相学』では、コファイブレーションに関連する特異ホモロジーにおいて同じ長完全列を持つ「良好なペア」という専門用語が用いられているが、これは同値ではない。コファイブレーションの概念は、ホモトピー理論的定義がより形式的解析や一般化に適しているため、これらの概念とは区別される。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\times I\cup X\times {1}\subset X\times I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

が位相空間間の連続写像である場合、の写像円筒と呼ばれる位相空間が関連付けられます。以下の可換図に示すように、の標準的な部分空間埋め込みと射影写像が存在します。さらに、はコファイブレーションであり、はホモトピー同値です。この結果は、「ホモトピー圏において、すべての写像はコファイブレーションと同値である」と要約できます。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Mf}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle i:X\to Mf}$ ${\displaystyle r:Mf\to Y}$ ${\displaystyle r\circ i=f}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r}$

アルネ・ストロームはこの結果を強化し、すべての写像はコファイブレーションとホモトピー同値（これもファイブレーション）の合成として因数分解できることを証明した。^[4] ${\displaystyle f:X\to Y}$

区別された基点を持つ位相空間は、包含写像がコファイブレーションである 場合にwell-pointed であると言われます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {x}\to X}$

固体円板の境界球面の包含写像は、あらゆる に対する共繊維化です。 ${\displaystyle S^{n-1}\to D^{n}}$ ${\displaystyle n}$

よく使われる事実として、細胞包有物はコファイブレーションである（例えば、 がCW ペアであれば、 はコファイブレーションである）というものがあります。これは、前述の事実と、プッシュアウトがスケルトンへの接着写像であるため、コファイブレーションがプッシュアウトに対して安定であるという事実から導かれます。 ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle A\to X}$ ${\displaystyle n-1}$

連鎖複体において

十分な射影を持つアーベル圏をとする ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

を次数 の鎖複体のカテゴリとすると、モデルカテゴリ構造^{[5] pg 1.2}が存在し、ここで弱同値は準同型、ファイブレーションはエピモーフィズム、コファイブレーションは写像である。 ${\displaystyle C_{+}({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle q<<0}$

${\displaystyle i:C_{\bullet }\to D_{\bullet }}$

これらは次数的にモニックであり、コカーネル複体はにおける射影対象の複体である。したがって、コフィブラント対象とは、その対象がすべて射影的である複体である。 ${\displaystyle {\text{Coker}}(i)_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

単体集合

単体集合の圏^{[5] 1.3ページ}には、ファイブレーションがまさにカンファイブレーションであり、コファイブレーションがすべて単射写像であり、弱同値が単体写像であり、幾何学的実現関手を適用した後にホモトピー同値になるようなモデル圏構造があります ${\displaystyle {\textbf {SSet}}}$

性質

• ハウスドルフ空間では、すべてのコファイブレーションは閉じた包含（閉像を持つ単射）である。この結果は弱ハウスドルフ空間にも一般化される
• コファイブレーションの押し出しはコファイブレーションである。つまり、 が（コンパクト生成空間間の）任意の（連続）写像であり、 がコファイブレーションであるとき、誘導写像はコファイブレーションである。 ${\displaystyle g\colon A\to B}$ ${\displaystyle i\colon A\to X}$ ${\displaystyle B\to B\cup _{g}X}$
• マッピングシリンダーは、 の押し出しと（単位区間の一端における）埋め込みとして理解できます。つまり、マッピングシリンダーは と定義できます。押し出しの普遍性により、任意の空間Xに対してマッピングシリンダーが構成できるとき、 はまさにコファイブレーションです。 ${\displaystyle i\colon A\to X}$ ${\displaystyle i_{0}\colon A\to A\times I}$ ${\displaystyle Mi=X\cup _{i}(A\times I)}$ ${\displaystyle i}$
• からへの引き込みがある場合に限り、コファイブレーション ( A , X ) が存在します。これは押し出しであり、したがって図で意味のあるすべての空間への写像を誘導するためです。 ${\displaystyle X\times I}$ ${\displaystyle (A\times I)\cup (X\times \{0\})}$
• 変形-収縮ペア、および近傍の変形-収縮ペアについても同様の同等性が言えます。

コフィブラントを用いた構造

コフィブラントの代替

モデル圏において、 がコフィブレーションでない場合、写像シリンダーはコフィブラント置換を形成することに注意してください。実際、位相空間の圏のみを扱う場合、点から空間への任意の写像に対するコフィブラント置換はコフィブラント置換を形成します。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle i:*\to X}$ ${\displaystyle Mi}$

コファイバー

コファイバー化の場合、コファイバーは誘導商空間として定義されます。一般に、の場合、コファイバー^{[1] pg 59}は商空間として定義されます ${\displaystyle A\to X}$ ${\displaystyle X/A}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle C_{f}=M_{f}/(X\times \{0\})}$

これは の写像錐である。ホモトピー的には、コファイバーは写像 のホモトピー余核として働く。実際、尖った位相空間の場合、のホモトピー余極限は ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle {\underset {\to }{\text{hocolim}}}\left({\begin{matrix}X&\xrightarrow {f} &Y\\\downarrow &&\\\end{matrix}}\right)=C_{f}}$

実際、マップのシーケンスには、三角形に分割されたカテゴリで区別された三角形として機能するコファイバー シーケンスが装備されています。 ${\displaystyle X\to Y\to C_{f}}$

参照

• ファイバレーション
• ホモトピー余極限
• ホモトピーファイバー

参考文献

1. May, J. Peter. (1999).代数的位相幾何学の簡潔なコース. シカゴ: シカゴ大学出版局. ISBN 0-226-51182-0 OCLC  41266205
2. エドウィン・スパニアー著『代数的位相幾何学』1966年、57ページ
3. Garth Warner、「トポロジーとホモトピー理論のトピック」、セクション6。
4. Arne Strøm, ホモトピー圏はホモトピー圏である
5. Quillen、ダニエル G. (1967)。ホモトピカル代数。ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-03914-3 OCLC  294862881

• ピーター・メイ著『代数的位相幾何学の簡潔なコース』：第6章ではコファイブレーションの定義と議論が行われており、本書全体で使用されています
• ブラウン、ロナルド(2006). 「7. コファイブレーション」. トポロジーと群論. www.groupoids.org. ISBN 978-1-4196-2722-4。第7章には、他では見つからない多くの結果が含まれています

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