粗い構造

Concept in geometry and topology

幾何学と位相幾何学の数学的分野において、集合X上の粗い構造とは、距離空間と位相空間の大規模な構造を定義できる特定の特性を持つ直積X × Xの部分集合の集合である。

伝統的な幾何学と位相幾何学の関心は、空間の小規模構造に向けられている。関数の連続性などの性質は、小さな開集合の逆像、つまり近傍がそれ自体開集合であるかどうかに依存する。空間の大規模な性質、例えば有界性や空間の自由度などは、こうした特徴に依存しない。粗幾何学と粗位相幾何学は、空間の大規模な性質を測定するためのツールを提供する。計量や位相幾何学が空間の小規模構造に関する情報を含むのと同様に、粗構造はその空間の大規模な性質に関する情報を含む。

正確に言えば、粗い構造は位相構造の大規模な類似物ではなく、均一な構造の大規模な類似物です。

意味

あ集合 上の粗い構造は、（したがって、上の二項関係のより一般的な分類に該当する）の部分の集合である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X}$被制御集合sであり、恒等関係を持ち、部分集合、逆集合、有限和集合を取ることについて閉じており、関係 の合成。明示的には、 ${\displaystyle \mathbf {E} }$

1. 恒等線/対角線:

   対角線は 恒等関係の要素です。 ${\displaystyle \Delta =\{(x,x):x\in X\}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

2. サブセットを取得して閉じる:

   もし、そして ${\displaystyle E\in \mathbf {E} }$ ${\displaystyle F\subseteq E,}$ ${\displaystyle F\in \mathbf {E} .}$

3. 逆の措置を講じて閉鎖：

   の場合、逆（または転置）は の元であり、これは逆関係です。 ${\displaystyle E\in \mathbf {E} }$ ${\displaystyle E^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in E\}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

4. 組合の受け入れにより閉鎖：

   もしその組合が ${\displaystyle E,F\in \mathbf {E} }$ ${\displaystyle E\cup F}$ ${\displaystyle \mathbf {E} .}$

5. 構成により閉鎖：

   の場合、それらの積はのメンバーであり、関係 の合成です。 ${\displaystyle E,F\in \mathbf {E} }$ ${\displaystyle E\circ F=\{(x,y):{\text{ there exists }}z\in X{\text{ such that }}(x,z)\in E{\text{ and }}(z,y)\in F\}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

粗い構造を持つ集合は ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$粗い空間。

集合の部分集合は次のように定義される。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle E[K]}$ ${\displaystyle \{x\in X:(x,k)\in E{\text{ for some }}k\in K\}.}$のセクションは、セットとも表記されます。記号はセットを表します。これらは投影。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E[\{x\}],}$ ${\displaystyle E_{x}.}$ ${\displaystyle E^{y}}$ ${\displaystyle E^{-1}[\{y\}].}$

のサブセットは、 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$制御された集合である場合は有界集合。 ${\displaystyle B\times B}$

直感

制御集合は「小さな」集合、あるいは「無視できる集合」である。つまり、制御されている集合は無視できるが、グラフが制御されている関数は恒等関数に「近い」。有界粗構造において、これらの集合は有界集合であり、関数は一様計量において恒等関数から有限の距離にある関数である。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\times A}$ ${\displaystyle f:X\to X}$

粗い地図

集合と粗い構造が与えられたとき、写像と写像は ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f:S\to X}$ ${\displaystyle g:S\to X}$制御されたセットの 場合は閉じます。 ${\displaystyle \{(f(s),g(s)):s\in S\}}$

粗い構造の場合、それは ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$粗写像とは、集合の各有界集合が有界であり集合の各制御集合^[1]で制御されている場合であり、 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (f\times f)(E)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$が に近く、が に近いようなとが存在する場合、粗同値となる。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to X}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}.}$

例

• その計量空間 上の有界粗構造とは、有限 となるようなの部分集合全体の集合である。この構造において、整数格子は-次元ユークリッド空間と粗く同値である。 ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle \sup _{(x,y)\in E}d(x,y)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$
• 制御されている空間は ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X}$有界空間。このような空間は点と粗同値である。有界粗構造を持つ距離空間が（粗空間として）有界であることと、それが（距離空間として）有界であることは同値である。
• 自明な粗構造は対角線とその部分集合のみから構成される。この構造において、写像が粗同値となるのは、それが（集合の）全単射である場合のみである。
• その ${\displaystyle C_{0}}$距離空間上の粗い構造は、すべての に対してのコンパクト集合が存在するなのすべての部分集合の集合です。すべての に対してなの集合もコンパクトです。 ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle d(x,y)<\varepsilon }$ ${\displaystyle (x,y)\in E\setminus K\times K.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle \{(x,y)\in E:d(x,y)\geq \varepsilon \}}$
• その集合上の離散的な粗い構造は、対角線と、その対角線から外れた有限個の点のみを含む部分集合から構成されます ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle (x,y)}$
• が位相空間である場合、 ${\displaystyle X}$上の非離散的な粗構造はのすべての適切な部分集合から構成されますつまり場合は常に、 と のすべての部分集合相対的にコンパクトです。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X,}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E[K]}$ ${\displaystyle E^{-1}[K]}$ ${\displaystyle K}$

参照

• ボルノロジー – 有界性の数学的一般化
• 準等長関数 – 2つの計量空間間の関数で、それらの大規模な幾何学のみを尊重する関数
• 均一空間 – 均一な性質の概念を持つ位相空間

参考文献

1. ホフランド、クリスチャン・スチュアート.コース構造とヒグソンコンパクト化. OCLC  76953246.

• ジョン・ロー『粗幾何学講義』、大学講義シリーズ第31巻、アメリカ数学会：ロードアイランド州プロビデンス、2003年。『粗幾何学講義』の訂正
• ロー、ジョン (2006年6～7月). 「粗い空間とは何か？」(PDF) .アメリカ数学会報. 53 (6): 669. 2008年1月16日閲覧.

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Coarse_structure&oldid=1280896783"