マイナー行列（線型代数）

線型代数において、行列Aのマイナー行列とは、 Aから1つ以上の行と列を削除することで生成された、より小さな正方行列の行列式です。正方行列から1行と1列だけを削除することで得られるマイナー行列（第一マイナー行列）は、行列の余因子を計算するのに役立ちます。余因子は、正方行列の行列式と逆行列の両方を計算するのに役立ちます。定義では、正方行列が元の行列よりも小さいという要件は省略されることがよくあります

定義と例

第一小行列

Aが正方行列である場合、 i行j列目の要素の小行列式（ ( i , j )小行列式、または第一小行列式^{[ 1 ]}とも呼ばれる）は、i行j列目を削除して形成される部分行列の行列式である。この数はしばしばM _{i , j}と表記される。( i , j )余因子は、小行列式に(-1) ^{i + j}を 乗じることで得られる

これらの定義を説明するために、次の3×3行列を考えてみましょう。

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\\\end{bmatrix}}}$$

マイナー行列M _2,3とコファクターC _2,3を計算するには、上記の行列から行 2 と列 3 を削除した行列式を求めます。

$${\displaystyle M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}1&4&\Box \\\Box &\Box &\Box \\-1&9&\Box \\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&4\\-1&9\\\end{bmatrix}}=9-(-4)=13}$$

したがって、 (2,3)項の余因子は

$${\displaystyle C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.}$$

一般的な定義

Aをm × n行列、kを0 < k ≤ m、k ≤ nの整数とします。Aのk × k小行列式は、Aのk次小行列式とも呼ばれ、 m = nの場合は、Aの( n − k )次小行列式(「行列式」という語は省略されることが多く、「次数」という語が「次数」の代わりに使用されることもあります) は、Aからm − k行とn − k列を削除することによって得られるk × k行列の行列式です。 この用語は、上記のように ( m − k行とn − k列を削除することによって) Aから得られるk × k行列を指すために使用されることもありますが、この行列はAの(正方) 部分行列と呼ぶべきであり、「小行列式」という用語はこの行列の行列式を指すために残しておきます。 上記の行列Aには、サイズk × kの小行列式が合計で存在します。0次のマイナー行列は1と定義されることが多い。正方行列の場合、0次のマイナー行列は行列の行列式となる。^{[ 2 ] [ 3 ]} ${\textstyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}}$

をインデックスの順序付けられたシーケンス（特に明記しない限り、マイナーについて話すときは常に自然順序であると想定されます）とします。これら のインデックスの選択に対応するマイナーは、情報源に応じて、または、または、または、または（( i )はインデックスIのシーケンスなどを示します）で表されます。また、文献では 2 種類の表記法が使用されています。インデックスIおよびJの順序付けられたシーケンスに関連付けられたマイナーによって、一部の著者^{[ 4 ]}は、上記のように、インデックスがIにある行とインデックスがJにある列から元の行列の要素を取得することによって形成される行列の行列式を意味しますが、他の一部の著者は、IおよびJに関連付けられたマイナーによって、 Iの行とJの列を削除することによって元の行列から形成された行列の行列式を意味します。^{[ 2 ]}どちらの表記法が使用されているかは常に確認する必要があります。この記事では、 Iの行とJの列から要素を選択する包括的な定義を使用します。例外的なケースは、最初のマイナーまたは上記の( i , j )マイナーの場合です。その場合、排他的意味は文献のどこでも標準的であり、この記事でも使用されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}I&=1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq m,\\[2pt]J&=1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n,\end{aligned}}}$$ ${\textstyle \det {\bigl (}(\mathbf {A} _{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}{\bigr )}}$ ${\displaystyle \det _{I,J}A}$ ${\displaystyle \det \mathbf {A} _{I,J}}$ ${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}}$ ${\displaystyle M_{I,J}}$ ${\displaystyle M_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}}$ ${\displaystyle M_{(i),(j)}}$ ${\textstyle M_{i,j}=\det {\bigl (}\left(\mathbf {A} _{p,q}\right)_{p\neq i,q\neq j}{\bigr )}}$

補行列

正方行列Aの小行列M _{ijk ..., pqr ...}の補行列B _{ijk ..., pqr ...は、行列}AからM _{ijk ..., pqr ...}に関連するすべての行 ( ijk... ) と列 ( pqr... )を取り除いた行列式によって形成されます。元a _ijの最初の小行列の補行列は、単にその元です。^{[ 5 ]}

マイナーとコファクターの応用

行列式の補因子展開

行列式の展開に関するラプラスの公式において、余因子は重要な役割を果たします。これは、より大きな行列式をより小さな行列式を用いて計算する方法です。n × n行列A = ( a _ij )が与えられたとき、Aの行列式det( A )は、行列の任意の行または列の余因子と、それらを生成する要素の和として表すことができます。言い換えれば、j列目に沿って余因子展開を定義すると、次のようになります。 ${\displaystyle C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\det(\mathbf {A} )&=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+\cdots +a_{nj}C_{nj}\\[2pt]&=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}\\[2pt]&=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}\end{aligned}}}$$

i行目に沿った補因子展開は次のようになる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\det(\mathbf {A} )&=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}\\[2pt]&=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}\\[2pt]&=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}\end{aligned}}}$$

行列の逆行列

可逆行列の逆行列は、クラメールの規則を用いてその余因子を計算することで、以下のように記述することができます。正方行列Aのすべての余因子によって形成される行列は、余因子行列（余因子行列、あるいは余行列とも呼ばれます） と呼ばれます。

$${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}}$$

Aの逆行列は、補因子行列の転置とAの行列式の逆数を掛け合わせたものである。

$${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.}$$

補因子行列の転置は、 Aの随伴行列（古典的随伴行列とも呼ばれる）と呼ばれます。

上記の式は次のように一般化できる： を 自然順序で並べた添え字の列とする（ここでAはn × n行列）。すると^{[ 6 ]} $${\displaystyle {\begin{aligned}I&=1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n,\\[2pt]J&=1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n,\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle [\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf {A} }},}$$

ここで、 I′、J′ は、I、Jの補完関係にあるインデックスの順序付きシーケンス（インデックスは上記のように自然数順）を表し、すべてのインデックス1, ..., nはIまたはI'のいずれかに1回だけ現れ、両方に現れることはありません（ JとJ'についても同様）。また、[ A ] _{I、J は}、インデックスセットIの行とインデックスセットJの列を選択して形成されるAの部分行列の行列式を表します。また、A の簡単な証明は、ウェッジ積を用いて行うことができます。実際、 ${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}=\det {\bigl (}(A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}{\bigr )}.}$

$${\displaystyle {\bigl [}\mathbf {A} ^{-1}{\bigr ]}_{I,J}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i'_{n-k}},}$$

ここで基底ベクトルはAである。両辺に Aを作用させると、 ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\ {\bigl [}\mathbf {A} ^{-1}{\bigr ]}_{I,J}\det \mathbf {A} (e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})\\[2pt]=&\ \pm (e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (\mathbf {A} e_{i'_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} e_{i'_{n-k}})\\[2pt]=&\ \pm [\mathbf {A} ]_{J',I'}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}).\end{aligned}}}$$

符号は と計算できるため 、符号はIとJ の要素の合計によって決まります。 $${\displaystyle (-1)^{\left(\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}\right)},}$$

その他の応用

実数要素（または他の任意の体からの要素）と階数rを持つm × n行列が与えられたとき、少なくとも1つの0以外のr × r小行列が存在し、それより大きい小行列はすべて0です

マイナー行列には次の表記法を使用します。Aがm × n行列、Iがk要素を持つ{1, ..., m }のサブセット、Jがk要素を持つ{1, ..., n }のサブセットである場合、 Iのインデックスを持つ行とJのインデックスを持つ列に対応するAのk × kマイナー行列を[ A ] _{I , J}と記述します。

• I = Jならば[ A ] _{I , J}は主小数点と呼ばれます。
• 主小行列に対応する行列が、より大きな行列の左上の正方部分行列（つまり、 1 からkまでの行と列の行列要素で構成され、主主小行列とも呼ばれる）である場合、主小行列は、主主小行列（次数k）またはコーナー（主）小行列（次数k）と呼ばれます。^{[ 3 ]} n × nの正方行列には、 n個の主小行列が存在します。
• 行列の基本小行列式は、最大サイズで行列式がゼロでない正方部分行列の行列式である。^{[ 3 ]}
• エルミート行列の場合、主小行列は正定値性を判断するために、また主小行列は半正定値性を判断するために使用できます。詳細については、シルベスターの基準を参照してください。

通常の行列乗算の公式と、2つの行列の積の行列式のコーシー・ビネ公式は、どちらも2つの行列の積の小行列式に関する以下の一般的な命題の特殊なケースです。Aがm×n行列、Bがn × p行列、Iがk要素を持つ{1, ..., m }の部分集合、Jがk要素を持つ{1, ..., p }の部分集合であるとします。すると、 k要素を持つ{1, ..., n }の部分集合K すべてにわたって、和が成り立ちます。この公式は、コーシー・ビネ公式の直接的な拡張です。 $${\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,}$$

多重線型代数アプローチ

多重線型代数では、ウェッジ積を用いて、より体系的な代数的処理が行われます。行列のk-小行列は、 k番目の外積冪写像 の要素です

行列の列をk 列ずつくさび状に並べると、k × k個の小行列式が、結果として得られるkベクトルの成分として現れます。例えば、行列の 2 × 2 小行列式は 、最初の 2 行から -13、最初の行と最後の行から -7、最後の 2 行から 5 です。ここで、 2 つの式が行列の 2 つの列に対応するくさび積を考えてみましょう。くさび積の特性、つまり双線型かつ交代型であること、 および反対称であることを利用して、 この式を次のように簡略化できます 。係数は、先ほど計算した小行列式と一致する必要があります。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&4\\3&\!\!-1\\2&1\\\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle (\mathbf {e} _{1}+3\mathbf {e} _{2}+2\mathbf {e} _{3})\wedge (4\mathbf {e} _{1}-\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})}$$ $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{i}=0,}$$ $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\wedge \mathbf {e} _{i},}$$ $${\displaystyle -13\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}-7\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}+5\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}}$$

異なる表記法に関するコメント

いくつかの書籍では、補因子の代わりに補助因子という用語が使用されています。^{[ 7 ]}さらに、補助因子はA _ijと表記され、補因子と同じように定義されます。 $${\displaystyle \mathbf {A} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}}$$

この表記法を使用すると、逆行列は次のように記述されます。 $${\displaystyle \mathbf {M} ^{-1}={\frac {1}{\det(M)}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}}$$

adjunct はadjugateやadjoint ではないことに注意してください。現代の用語では、行列の「adjoint」は、対応する adjoint 演算子を指すことがほとんどです。

参照

• 部分行列
• 複合マトリックス

参考文献

1. バーンサイド、ウィリアム・スノー & パントン、アーサー・ウィリアム (1886)方程式の理論：二元代数形式の理論入門。
2. 初等行列代数（第3版）、フランツ・E・ホーン、マクミラン社、1973年、ISBN 978-0-02-355950-1
3. 「マイナー」。数学百科事典
4. 線形代数と幾何学、Igor R. Shafarevich、Alexey O. Remizov、Springer-Verlag Berlin Heidelberg、2013年、 ISBN 978-3-642-30993-9
5. バーサ・ジェフリーズ著『数理物理学の方法』、135ページ、ケンブリッジ大学出版局、1999年ISBN 0-521-66402-0。
6. ヴィクトル・ヴァシルヴィッチ・プラソロフ（1994年6月13日）『線形代数の諸問題と定理』アメリカ数学会、pp.15–、ISBN 978-0-8218-0236-6。
7. フェリックス・ガントマッハー著『行列理論』（第1版、原文はロシア語）、モスクワ：国立技術理論文献出版社、1953年、491ページ

外部リンク

• Google VideoのMIT線形代数講義「余因子」、MIT OpenCourseWareより
• PlanetMathでの補因子展開。
• 「マイナー」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]

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