コイフレット

コイフレットは、ロナルド・コイフマンの要請によりイングリッド・ドーベシーズによって設計された離散ウェーブレットであり、消失モーメントを持つスケーリング関数を持つ。このウェーブレットはほぼ対称であり、そのウェーブレット関数は消失モーメントとスケーリング関数を持ち、カルデロン・ジグムント演算子を用いる多くの応用に用いられている。^[1]^[2] $N/3$ $N/3-1$

理論

コイフレットに関するいくつかの定理: ^[3]

定理1

ウェーブレットシステムの場合、次の 3 つの方程式は同等です。 $\{\phi ,{\tilde {\phi }},\psi ,{\tilde {\psi }},h,{\tilde {h}},g,{\tilde {g}}\}$

{\begin{array}{lcl}{\mathcal {M_{\tilde {\psi }}}}(0,l]=0&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\\\sum _{n}(-1)^{n}n^{l}h[n]=0&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\\H^{(l)}(\pi )=0&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\end{array}}

との間にも同様の同値関係が成り立つ。 $\psi$ ${\tilde {h}}$

定理2

ウェーブレットシステムの場合、次の 6 つの方程式は同等です。 $\{\phi ,{\tilde {\phi }},\psi ,{\tilde {\psi }},h,{\tilde {h}},g,{\tilde {g}}\}$

{\begin{array}{lcl}{\mathcal {M_{\tilde {\phi }}}}(t_{0},l]=\delta [l]&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\\{\mathcal {M_{\tilde {\phi }}}}(0,l]=t_{0}^{l}&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\\{\hat {\phi }}^{(}l)(0)=(-jt_{0})^{t}&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\\\sum _{n}(n-t_{0})^{l}h[n]=\delta [l]&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\\\sum _{n}n^{l}h[n]=t_{0}^{l}&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\\H^{(l)}(0)=(-jt_{0})^{t}&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\\\end{array}}

との間にも同様の同値関係が成り立つ。 ${\tilde {\psi }}$ ${\tilde {h}}$

定理3

双直交ウェーブレットシステムの場合、またはのいずれかが消失モーメントの次数 L を持つ場合、次の 2 つの方程式は同等です。 $\{\phi ,\psi ,{\tilde {\phi }},{\tilde {\psi }}\}$ ${\tilde {\psi }}$ $\psi$

{\begin{array}{lcl}{\mathcal {M_{\tilde {\psi }}}}(t_{0},l]=\delta [l]&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,{\bar {L}}-1\\{\mathcal {M_{\psi }}}(t_{0},l]=\delta [l]&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,{\bar {L}}-1\\\end{array}}

そのような ${\bar {L}}$ ${\bar {L}}\ll L$

コイフレ係数

スケーリング関数（ローパスフィルタ）とウェーブレット関数（ハイパスフィルタ）はどちらも係数で正規化する必要があります。以下はC6～30のスケーリング関数の係数です。ウェーブレット係数は、スケーリング関数の係数の順序を逆にし、さらに2つおきに符号を反転させることで導出されます（例：C6ウェーブレット = {−0.022140543057, 0.102859456942, 0.544281086116, −1.205718913884, 0.477859456942, 0.102859456942}）。 $1/{\sqrt {2}}$

数学的には、これはのように見えます。ここで、 kは係数インデックス、Bはウェーブレット係数、C はスケーリング関数係数です。Nはウェーブレットインデックスで、C6 の場合は 6 です。 $B_{k}=(-1)^{k}C_{N-1-k}$

**コイフレット係数（和が2になるように正規化）**
け	C6	C12	18世紀	C24	C30
−10					−0.0002999290456692
−9					0.0005071055047161
−8				0.0012619224228619	0.0030805734519904
−7				−0.0023044502875399	−0.0058821563280714
−6			−0.0053648373418441	−0.0103890503269406	−0.0143282246988201
−5			0.0110062534156628	0.0227249229665297	0.0331043666129858
−4		0.0231751934774337	0.0331671209583407	0.0377344771391261	0.0398380343959686
−3		−0.0586402759669371	−0.0930155289574539	−0.1149284838038540	−0.1299967565094460
−2	−0.1028594569415370	−0.0952791806220162	−0.0864415271204239	−0.0793053059248983	−0.0736051069489375
−1	0.4778594569415370	0.5460420930695330	0.5730066705472950	0.5873348100322010	0.5961918029174380
0	1.2057189138830700	1.1493647877137300	1.1225705137406600	1.1062529100791000	1.0950165427080700
1	0.5442810861169260	0.5897343873912380	0.6059671435456480	0.6143146193357710	0.6194005181568410
2	−0.1028594569415370	−0.1081712141834230	−0.1015402815097780	−0.0942254750477914	−0.0877346296564723
3	−0.0221405430584631	−0.0840529609215432	−0.1163925015231710	−0.1360762293560410	−0.1492888402656790
4		0.0334888203265590	0.0488681886423339	0.0556272739169390	0.0583893855505615
5		0.0079357672259240	0.0224584819240757	0.0354716628454062	0.0462091445541337
6		−0.0025784067122813	−0.0127392020220977	−0.0215126323101745	−0.0279425853727641
7		−0.0010190107982153	−0.0036409178311325	−0.0080020216899011	−0.0129534995030117
8			0.0015804102019152	0.0053053298270610	0.0095622335982613
9			0.0006593303475864	0.0017911878553906	0.0034387669687710
10			−0.0001003855491065	−0.0008330003901883	−0.0023498958688271
11			−0.0000489314685106	−0.0003676592334273	−0.0009016444801393
12				0.0000881604532320	0.0004268915950172
13				0.0000441656938246	0.0001984938227975
14				−0.0000046098383254	−0.0000582936877724
15				−0.0000025243583600	−0.0000300806359640
16					0.0000052336193200
17					0.0000029150058427
18					-0.0000002296399300
19					−0.0000001358212135

Matlab関数

F = coifwavf(W) は、文字列 W で指定された Coiflet ウェーブレットに関連付けられたスケーリングフィルタを返します。ここで、W は "coifN" です。N の可能な値は1、2、3、4、または 5 です。^[4]

参考文献

^ G. Beylkin, R. Coifman, V. Rokhlin (1991),「高速ウェーブレット変換と数値アルゴリズム」 , Comm. Pure Appl. Math., 44, pp. 141–183
^ イングリッド・ドーベシーズ『ウェーブレットに関する10の講義』、産業応用数学協会、1992年、 ISBN 0-89871-274-2
^ 「コイフレット型ウェーブレット：理論、設計、および応用」（PDF）。 2016年3月5日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2015年1月22日閲覧。
^ "coifwavf". www.mathworks.com/ . 2015年1月22日閲覧。

[bcr-1] G. Beylkin, R. Coifman, V. Rokhlin (1991),「高速ウェーブレット変換と数値アルゴリズム」 , Comm. Pure Appl. Math., 44, pp. 141–183

[deb-2] イングリッド・ドーベシーズ『ウェーブレットに関する10の講義』、産業応用数学協会、1992年、 ISBN 0-89871-274-2

[3] 「コイフレット型ウェーブレット：理論、設計、および応用」（PDF）。 2016年3月5日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2015年1月22日閲覧。

[4] "coifwavf". www.mathworks.com/ . 2015年1月22日閲覧。