ダルシー摩擦係数の公式

Equations for calculations of the Darcy friction factor

流体力学において、ダルシー摩擦係数の式は、ダルシー・ワイスバッハの式で使用される無次元量であるダルシー摩擦係数の計算を可能にする式であり、パイプの流れや開水路の流れにおける摩擦損失を記述します。

ダルシー摩擦係数は、ダルシー・ワイスバッハ摩擦係数、抵抗係数、あるいは単に摩擦係数とも呼ばれ、定義上はファニング摩擦係数の4倍の大きさです。^[1]

表記

この記事では、次の規則と定義を理解する必要があります。

• レイノルズ数Re は Re = V D / νとみなされます。ここで、 Vは流体の平均速度、Dはパイプの直径、ν は動粘性μ / ρ です。μ は流体の動粘性、ρ は流体の密度です。
• パイプの相対粗さε / D。ここで、 ε はパイプの有効粗さの高さ、D はパイプ（内径）です。
• fはダルシー摩擦係数を表します。その値は流れのレイノルズ数 Re とパイプの相対粗さ ε / Dに依存します。
• log 関数は、（エンジニアリング分野では慣例であるように）10 を底とするものと理解されています。つまり、x = log( y ) の場合、y = 10 ^xとなります。
• ln 関数は e を底とするものと理解されます。つまり、 x = ln( y ) の場合、y = e ^{x と}なります。

フローレジーム

どの摩擦係数の式が適用できるかは、存在する流れの種類によって異なります。

• 層流
• 層流と乱流の遷移
• 滑らかな導管内の完全な乱流
• 粗い導管内の完全な乱流
• 自由表面流。

遷移フロー

遷移流（完全な層流でも完全な乱流でもない）は、レイノルズ数 2300 から 4000 の範囲で発生します。この流れモードでは、ダルシー摩擦係数の値に大きな不確実性が伴います。

滑らかな導管内の乱流

ブラシウスの相関式は、ダルシー摩擦係数を計算する最も単純な式です。ブラシウスの相関式には配管の粗さに関する項がないため、平滑配管にのみ適用されます。しかし、その単純さから、粗面配管でもブラシウスの相関式が使用されることがあります。ブラシウスの相関式は、レイノルズ数100000まで有効です。

粗い導管内の乱流

粗い導管内の完全な乱流（レイノルズ数が 4000 を超える）のダルシー摩擦係数は、コールブルック - ホワイトの式でモデル化できます。

自由表面流

この記事のコールブルック方程式のセクションの最後の式は自由表面流れに関するものです。この記事の他の箇所で示されている近似は、このタイプの流れには適用できません。

数式の選択

計算式を選択する前に、ムーディーチャートに関する論文の中で、ムーディーは平滑管では精度が約±5%、粗管では±10%であると述べていることを知っておく価値があります。検討中の流動様式において複数の計算式が適用可能な場合、計算式の選択は以下のいずれか、または複数の要因によって影響を受ける可能性があります。

• 必要な精度
• 必要な計算速度
• 利用可能な計算技術:
  • 電卓（キー入力を最小限に抑える）
  • スプレッドシート（​​単一セルの式）
  • プログラミング/スクリプト言語（サブルーチン）。

コールブルック・ホワイト方程式

経験的なコールブルック・ホワイトの式（またはコールブルックの式）は、ダルシー摩擦係数f をレイノルズ数 Re とパイプの相対粗さ ε / D _hの関数として表し、滑らかなパイプと粗いパイプ内の乱流の実験研究のデータに適合させます。^{[2] [3]この式は、}ダルシー・ワイスバッハ摩擦係数f を（反復的に）解くために使用できます。

レイノルズ数が 4000 を超える場合、流体が完全に満たされた導管を流れるときは、次のように表されます。

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {\varepsilon }{3.7D_{\mathrm {h} }}}+{\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right)}$

または

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {\varepsilon }{14.8R_{\mathrm {h} }}}+{\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right)}$

どこ：

• 水力直径（m、ft） – 液体が充填された円形導管の場合、D = 内径 ${\displaystyle D_{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle D_{\mathrm {h} }}$
• 水力半径（m、ft） – 液体が充填された円形導管の場合、= D/4 = （内径）/4 ${\displaystyle R_{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle R_{\mathrm {h} }}$

注：一部の情報源では、上記の最初の式の粗さ項の分母に定数3.71を使用しています。^[4]

解決する

コールブルック方程式は、その暗黙的な性質のため、通常は数値的に解かれる。近年、ランバートW関数を用いてコールブルック方程式を明示的に再定式化し、厳密な解を得る手法が提案されている。^{[5] [6] [7]}

${\displaystyle x={\frac {1}{\sqrt {f}}},b={\frac {\varepsilon }{14.8R_{h}}},a={\frac {2.51}{Re}}}$

${\displaystyle x=-2\log(ax+b)}$

または

${\displaystyle 10^{-{\frac {x}{2}}}=ax+b}$

${\displaystyle p=10^{-{\frac {1}{2}}}}$

取得します:

${\displaystyle p^{x}=ax+b}$

${\displaystyle x=-{\frac {W\left(-{\frac {\ln p}{a}}\,p^{-{\frac {b}{a}}}\right)}{\ln p}}-{\frac {b}{a}}}$

それから：

${\displaystyle f={\frac {1}{\left({\dfrac {2W\left({\frac {\ln 10}{2a}}\,10^{\frac {b}{2a}}\right)}{\ln 10}}-{\dfrac {b}{a}}\right)^{2}}}}$

拡張フォーム

コールブルック方程式の追加の、数学的に同等な形式は次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=1.7384\ldots -2\log \left({\frac {2\varepsilon }{D_{\mathrm {h} }}}+{\frac {18.574}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right)}$

どこ：

1.7384... = 2 log (2 × 3.7) = 2 log (7.4)

18.574 = 2.51 × 3.7 × 2

そして

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=1.1364\ldots +2\log \left(D_{\mathrm {h} }/\varepsilon \right)-2\log \left(1+{\frac {9.287}{\mathrm {Re} (\varepsilon /D_{\mathrm {h} }){\sqrt {f}}}}\right)}$

または

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=1.1364\ldots -2\log \left({\frac {\varepsilon }{D_{\mathrm {h} }}}+{\frac {9.287}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right)}$

どこ：

1.1364... = 1.7384... − 2 log (2) = 2 log (7.4) − 2 log (2) = 2 log (3.7)

9.287 = 18.574 / 2 = 2.51 × 3.7。

上記の追加の等価形式は、このセクションの冒頭にある式中の定数3.7と2.51が正確であると仮定しています。これらの定数は、コールブルックが曲線フィッティングの際に丸められた値である可能性があります。しかし、明示的な式（本稿の他の箇所で見られるものなど）の結果とコールブルックの暗黙的な方程式で計算された摩擦係数を比較する場合（小数点以下数桁まで）は、実質的に正確であるとみなされます。

上記の追加の形式に類似した式（定数を小数点以下の桁数に丸めたり、全体の丸め誤差を最小限に抑えるためにわずかにずらしたりしたもの）は、様々な参考文献で見つけることができます。これらは本質的に同じ式であることに留意すると役立つでしょう。

自由表面流

コールブルック・ホワイトの式には、自由表面に対しても別の形が存在します。このような状態は、部分的に流体が満たされた状態でパイプを流れる場合に発生することがあります。自由表面流の場合：

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {\varepsilon }{12R_{\mathrm {h} }}}+{\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right).}$

上記の式は乱流に対してのみ有効です。自由表面流におけるfを推定する別の方法は、層流、遷移流、乱流のいずれの流動様式においても有効です。^[8]

${\displaystyle f=\left({\frac {24}{Re_{h}}}\right)^{a}\left[{\frac {0.86e^{W(1.35Re_{h})}}{Re_{h}}}\right]^{2(1-a)b}\left\{{\frac {1.34}{\left[\ln {12.21\left({\frac {R_{h}}{\epsilon }}\right)}\right]^{2}}}\right\}^{(1-a)(1-b)}}$

ここで、 a は次のようになります。

${\displaystyle a={\frac {1}{1+\left({\frac {Re_{h}}{678}}\right)^{8.4}}}}$

bは次のとおりです。

${\displaystyle b={\frac {1}{1+\left({\frac {Re_{h}}{150\left({\frac {R_{h}}{\epsilon }}\right)}}\right)^{1.8}}}}$

ここで、Re _hはレイノルズ数、 hは特性水力長（1次元流れの場合は水力半径、2次元流れの場合は水深）、R _hは水力半径（1次元流れの場合）または水深（2次元流れの場合）です。ランバートW関数は以下のように計算できます。

${\displaystyle W(1.35Re_{h})=\ln {1.35Re_{h}}-\ln {\ln {1.35Re_{h}}}+\left({\frac {\ln {\ln {1.35Re_{h}}}}{\ln {1.35Re_{h}}}}\right)+\left({\frac {\ln {[\ln {1.35Re_{h}}]^{2}-2\ln {\ln {1.35Re_{h}}}}}{2[\ln {1.35Re_{h}}]^{2}}}\right)}$

コールブルック方程式の近似

ハーランド方程式

ハーランド方程式は、1983年にノルウェー工科大学のSEハーランド教授によって提唱されました。^{[9]この方程式は、満水円管の}ダルシー・ワイスバッハ摩擦係数fを直接求めるために使用されます。これは暗黙的なコールブルック・ホワイト方程式の近似値ですが、実験データとの差異はデータの精度範囲内に収まっています。

ハーランド方程式^[10]は次のように表される。

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-1.8\log \left[\left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}\right)^{1.11}+{\frac {6.9}{\mathrm {Re} }}\right]}$

スワミー・ジャインの方程式

スワミー・ジェイン方程式は、満水円管のダルシー・ワイスバッハ摩擦係数fを直接求めるために使用されます。これは、暗黙のコールブルック・ホワイト方程式の近似です。 ^[11]

${\displaystyle f={\frac {0.25}{\left[\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{\frac {5.74}{\mathrm {Re} ^{0.9}}}\right)\right]^{2}}}}$

セルギデスの解決策

セルギデスの解は、全流量の円管におけ​​るダルシー・ワイスバッハ摩擦係数fを直接求めるために使用されます。これは暗黙のコールブルック・ホワイト方程式の近似であり、ステフェンセンの方法を用いて導出されました。^[12]

解決するには、3 つの中間値を計算し、それらの値を最終方程式に代入します。

${\displaystyle A=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{12 \over \mathrm {Re} }\right)}$

${\displaystyle B=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{2.51A \over \mathrm {Re} }\right)}$

${\displaystyle C=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{2.51B \over \mathrm {Re} }\right)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=A-{\frac {(B-A)^{2}}{C-2B+A}}}$

^{この式は、7 つのレイノルズ数 (2500 ～ 10 8} )による 10 個の相対粗さ値 (範囲 0.00004 ～ 0.05) で構成される 70 ポイントのマトリックスを持つテスト セットで、Colebrook–White 式と 0.0023% 以内で一致することがわかりました。

グーダール・ソナド方程式

グーダール方程式は、全流量の円管におけ​​るダルシー・ワイスバッハ摩擦係数fを直接解く最も正確な近似式である。これは、暗黙のコールブルック・ホワイト方程式の近似式である。方程式は次の形をとる^[13]。

${\displaystyle a={2 \over \ln(10)}}$

${\displaystyle b={\frac {\varepsilon /D}{3.7}}}$

${\displaystyle d={\ln(10)\mathrm {Re} \over 5.02}}$

${\displaystyle s={bd+\ln(d)}}$

${\displaystyle q={{s}^{s/(s+1)}}}$

${\displaystyle g={bd+\ln {d \over q}}}$

${\displaystyle z={\ln {q \over g}}}$

${\displaystyle D_{LA}=z{g \over {g+1}}}$

${\displaystyle D_{CFA}=D_{LA}\left(1+{\frac {z/2}{(g+1)^{2}+(z/3)(2g-1)}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}={a\left[\ln \left(d/q\right)+D_{CFA}\right]}}$

ブルキッチ解決策

ブルキッチはランバートW関数に基づくコールブルック方程式の近似値を示している^[14]

${\displaystyle S=\ln {\frac {\mathrm {Re} }{\mathrm {1.816\ln {\frac {1.1\mathrm {Re} }{\ln \left(1+1.1\mathrm {Re} \right)}}} }}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.71}}+{2.18S \over \mathrm {Re} }\right)}$

この式は、コールブルック・ホワイトの式と 3.15% 以内で一致することがわかりました。

ブルキッチ・プラックス解

ブルキッチとプラックスは、ランバートW関数の同族であるライト関数に基づくコールブルック方程式の近似値を示している^[15] ${\displaystyle \omega }$

${\textstyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}\approx 0.8686\cdot \left[B-C+\displaystyle {\frac {1.038\cdot C}{\mathrm {0.332+} \,x}}\right]\,}$

${\textstyle A\approx \displaystyle {\frac {Re\cdot \epsilon /D}{8.0884}}}$、、、 そして ${\textstyle B\approx \mathrm {ln} \,\left(Re\right)-0.7794}$ ${\textstyle C=}$ ${\displaystyle \mathrm {ln} \,\left(x\right)}$ ${\textstyle x=A+B}$

この式は、コールブルック・ホワイトの式と 0.0497% 以内で一致することがわかりました。

プラクス・ブルキッチ解

プラックスとブルキッチは、ランバートW関数の同族であるライト関数に基づくコールブルック方程式の近似値を示している^[16] ${\displaystyle \omega }$

${\textstyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}\approx 0.8685972\cdot \left[B-C+\displaystyle {\frac {C}{x-0.5588\cdot C+1.2079}}\,\right]}$

${\textstyle A\approx \displaystyle {\frac {Re\cdot \epsilon /D}{8.0897}}}$、、、 そして ${\textstyle B\approx \mathrm {ln} \,\left(Re\right)-0.779626}$ ${\textstyle C=}$ ${\displaystyle \mathrm {ln} \,\left(x\right)}$ ${\textstyle x=A+B}$

この式は、コールブルック・ホワイトの式と 0.0012% 以内で一致することがわかりました。

ニアズカーの解決策

セルギデスの解は暗黙のコールブルック・ホワイト方程式の最も正確な近似の一つであることが判明したため、ニアズカーはセルギデスの解を修正して、全流量の円形パイプのダルシー・ワイスバッハ摩擦係数fを直接解くようにした。^[17]

Niazkar の解決策は次のとおりです。

${\displaystyle A=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{4.5547 \over \mathrm {Re^{0.8784}} }\right)}$

${\displaystyle B=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{2.51A \over \mathrm {Re} }\right)}$

${\displaystyle C=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{2.51B \over \mathrm {Re} }\right)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=A-{\frac {(B-A)^{2}}{C-2B+A}}}$

文献で行われたコールブルック摩擦係数を推定するための42の異なる明示的な方程式の比較分析に基づいて、ニアズカーの解が最も正確な相関関係であることがわかりました。^[17]

ブラシウス相関

滑らかなパイプの初期の近似値^[18]は、パウル・リチャード・ハインリッヒ・ブラシウスによって、ダルシー・ヴァイスバッハ摩擦係数の観点から1913年の論文で示されています。^[19]

${\displaystyle f=0.3164\mathrm {Re} ^{-{1 \over 4}}}$。

ヨハン・ニクラセは1932年に、これが流体速度プロファイルのべき乗法則の相関に対応すると提案した。 ^[20]

_{ミシュラとグプタは1979年に、等価曲率半径Rc}を考慮した曲面管や螺旋管の補正法を提案した。[ ^21]

${\displaystyle f=0.316\mathrm {Re} ^{-{1 \over 4}}+0.0075{\sqrt {\frac {D}{2R_{c}}}}}$、

と、

${\displaystyle R_{c}=R\left[1+\left({\frac {H}{2\pi R}}\right)^{2}\right]}$

ここで、fは次の関数です。

• パイプ径、D（m、ft）
• 曲線半径、R（m、ft）
• 螺旋ピッチ、H（m、ft）
• レイノルズ数、Re（無次元）

有効期間:

• 再_tr <再< 10 ⁵
• 6.7 < 2R _c /D < 346.0
• 0 < H/D < 25.4

スワミー方程式

スワミー方程式は、全流動状態（層流、遷移流、乱流）における全流動円管のダルシー・ワイスバッハ摩擦係数（f ）を直接求めるために使用されます。この方程式は、層流状態においてはハーゲン・ポアズイユ方程式の正確な解であり、乱流状態においては暗黙のコールブルック・ホワイト方程式の近似値であり、指定された範囲における最大偏差は2.38%未満です。さらに、この方程式は、層流状態と乱流状態間の滑らかな遷移を提供し、0 < Re < 10 ^{8 の}全範囲方程式として有効です。^[22]

${\displaystyle f=\left\lbrace \left({\frac {64}{\mathrm {Re} }}\right)^{8}+9.5\left[\ln \left({\frac {\varepsilon }{{3.7}{D}}}+{\frac {5.74}{\mathrm {Re} ^{0.9}}}\right)-\left({\frac {2500}{\mathrm {Re} }}\right)^{6}\right]^{-16}\right\rbrace ^{\frac {1}{8}}}$

近似表

下表は、圧力駆動流れにおけるコールブルック・ホワイト関係式^{[23]の歴史的近似値の一覧である。チャーチル方程式[24]} (1977)は、非常に遅い流れ（レイノルズ数<1）に対して評価できる唯一の方程式であるが、チェン(2008)、^[25]、およびベロスら(2018) ^[8]の方程式も、層流領域（レイノルズ数<2300）における摩擦係数のほぼ正確な値を返す。その他の方程式はすべて、遷移流および乱流のみを対象としている。

コールブルック方程式の近似表

方程式	著者	年	範囲	参照
${\displaystyle f=0.0055\left[1+\left(2\times 10^{4}\cdot {\frac {\varepsilon }{D}}+{\frac {10^{6}}{\mathrm {Re} }}\right)^{\frac {1}{3}}\right]}$	ムーディー	1947	${\displaystyle 4000\leq \mathrm {Re} \leq 5\times 10^{8}}$ ${\displaystyle 0\leq \varepsilon /D\leq 0.01}$
${\displaystyle f=0.094\left({\frac {\varepsilon }{D}}\right)^{0.225}+0.53\left({\frac {\varepsilon }{D}}\right)+88\left({\frac {\varepsilon }{D}}\right)^{0.44}\cdot {\mathrm {Re} }^{-{\Psi }}}$ どこ ${\displaystyle \Psi =1.62\left({\frac {\varepsilon }{D}}\right)^{0.134}}$	木材	1966	${\displaystyle 4000\leq \mathrm {Re} \leq 5\times 10^{7}}$ ${\displaystyle 0.00001\leq \varepsilon /D\leq 0.04}$
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.715}}+{\frac {15}{\mathrm {Re} }}\right)}$	エック	1973
${\displaystyle f={\frac {0.25}{\left[\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{\frac {5.74}{\mathrm {Re} ^{0.9}}}\right)\right]^{2}}}}$	スワミーとジェイン	1976	${\displaystyle 5000\leq \mathrm {Re} \leq 10^{8}}$ ${\displaystyle 0.000001\leq \varepsilon /D\leq 0.05}$
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.71}}+\left({\frac {7}{\mathrm {Re} }}\right)^{0.9}\right)}$	チャーチル	1973
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.715}}+\left({\frac {6.943}{\mathrm {Re} }}\right)^{0.9}\right)}$	ジェイン	1976
${\displaystyle f=\left[\left({\frac {8}{\mathrm {Re} }}\right)^{12}+{\frac {1}{(\Theta _{1}+\Theta _{2})^{1.5}}}\right]^{\frac {1}{12}}}$ どこ ${\displaystyle \Theta _{1}=\left[2.457\ln \left(\left({\frac {7}{\mathrm {Re} }}\right)^{0.9}+0.27{\frac {\varepsilon }{D}}\right)\right]^{16}}$ ${\displaystyle \Theta _{2}=\left({\frac {37530}{\mathrm {Re} }}\right)^{16}}$	チャーチル	1977	すべてのフローレジーム
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left[{\frac {\varepsilon /D}{3.7065}}-{\frac {5.0452}{\mathrm {Re} }}\log \left({\frac {1}{2.8257}}\left({\frac {\varepsilon }{D}}\right)^{1.1098}+{\frac {5.8506}{\mathrm {Re} ^{0.8981}}}\right)\right]}$	チェン	1979	${\displaystyle 4000\leq \mathrm {Re} \leq 4\times 10^{8}}$
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=1.8\log \left[{\frac {\mathrm {Re} }{0.135\mathrm {Re} (\varepsilon /D)+6.5}}\right]}$	ラウンド	1980
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{\frac {4.518\log \left({\frac {\mathrm {Re} }{7}}\right)}{\mathrm {Re} \left(1+{\frac {\mathrm {Re} ^{0.52}}{29}}(\varepsilon /D)^{0.7}\right)}}\right)}$	バー	1981
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left[{\frac {\varepsilon /D}{3.7}}-{\frac {5.02}{\mathrm {Re} }}\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}-{\frac {5.02}{\mathrm {Re} }}\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{\frac {13}{\mathrm {Re} }}\right)\right)\right]}$ または ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left[{\frac {\varepsilon /D}{3.7}}-{\frac {5.02}{\mathrm {Re} }}\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{\frac {13}{\mathrm {Re} }}\right)\right]}$	ジグランとシルベスター	1982
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-1.8\log \left[\left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}\right)^{1.11}+{\frac {6.9}{\mathrm {Re} }}\right]}$	ハーランド[10]	1983
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=\Psi _{1}-{\frac {(\Psi _{2}-\Psi _{1})^{2}}{\Psi _{3}-2\Psi _{2}+\Psi _{1}}}}$ または ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=4.781-{\frac {(\Psi _{1}-4.781)^{2}}{\Psi _{2}-2\Psi _{1}+4.781}}}$ どこ ${\displaystyle \Psi _{1}=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{\frac {12}{\mathrm {Re} }}\right)}$ ${\displaystyle \Psi _{2}=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{\frac {2.51\Psi _{1}}{\mathrm {Re} }}\right)}$ ${\displaystyle \Psi _{3}=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{\frac {2.51\Psi _{2}}{\mathrm {Re} }}\right)}$	セルギデス	1984
${\displaystyle A=0.11\left({\frac {68}{Re}}+{\frac {\varepsilon }{D}}\right)^{0.25}}$ もしそうなら、そしてもし そうなら ${\displaystyle A\geq 0.018}$ ${\displaystyle f=A}$ ${\displaystyle A<0.018}$ ${\displaystyle f=0.0028+0.85A}$	ツァル	1989		[26]
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{\frac {95}{\mathrm {Re} ^{0.983}}}-{\frac {96.82}{\mathrm {Re} }}\right)}$	マナディリ	1997	${\displaystyle 4000\leq \mathrm {Re} \leq 10^{8}}$ ${\displaystyle 0\leq \varepsilon /D\leq 0.05}$
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left\lbrace {\frac {\varepsilon /D}{3.7065}}-{\frac {5.0272}{\mathrm {Re} }}\log \left[{\frac {\varepsilon /D}{3.827}}-{\frac {4.657}{\mathrm {Re} }}\log \left(\left({\frac {\varepsilon /D}{7.7918}}\right)^{0.9924}+\left({\frac {5.3326}{208.815+\mathrm {Re} }}\right)^{0.9345}\right)\right]\right\rbrace }$	ロメオ、ロヨ、モンソン	2002
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=0.8686\ln \left[{\frac {0.4587\mathrm {Re} }{(S-0.31)^{\frac {S}{(S+1)}}}}\right]}$ どこ： ${\displaystyle S=0.124\mathrm {Re} {\frac {\varepsilon }{D}}+\ln(0.4587\mathrm {Re} )}$	グーダール、ソンナド	2006
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=0.8686\ln \left[{\frac {0.4587\mathrm {Re} }{(S-0.31)^{\frac {S}{(S+0.9633)}}}}\right]}$ どこ： ${\displaystyle S=0.124\mathrm {Re} {\frac {\varepsilon }{D}}+\ln(0.4587\mathrm {Re} )}$	ヴァタンカ、クチャクザデ	2008
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=\alpha -{\frac {\alpha +2\log \left({\frac {\mathrm {B} }{\mathrm {Re} }}\right)}{1+{\frac {2.18}{\mathrm {B} }}}}}$ どこ ${\displaystyle \alpha ={\frac {0.744\ln(\mathrm {Re} )-1.41}{1+1.32{\sqrt {\varepsilon /D}}}}}$ ${\displaystyle \mathrm {B} ={\frac {\varepsilon /D}{3.7}}\mathrm {Re} +2.51\alpha }$	ブゼリ	2008
${\displaystyle {\frac {1}{f}}=\left({\frac {Re}{64}}\right)^{a}\left(1.8\log {\frac {Re}{6.8}}\right)^{2(1-a)b}\left(2.0\log {\frac {3.7D}{\epsilon }}\right)^{2(1-a)(1-b)}}$ どこ ${\displaystyle a={\frac {1}{1+\left({\frac {Re}{2720}}\right)^{9}}}}$ ${\displaystyle b={\frac {1}{1+\left({\frac {Re}{160{\frac {D}{\epsilon }}}}\right)^{2}}}}$	チェン	2008	すべてのフローレジーム	[25]
${\displaystyle f={\frac {6.4}{(\ln(\mathrm {Re} )-\ln(1+.01\mathrm {Re} {\frac {\varepsilon }{D}}(1+10{\sqrt {\frac {\varepsilon }{D}}})))^{2.4}}}}$	アヴチ、カルゴズ	2009
${\displaystyle f={\frac {0.2479-0.0000947(7-\log \mathrm {Re} )^{4}}{(\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.615}}+{\frac {7.366}{\mathrm {Re} ^{0.9142}}}\right))^{2}}}}$	エヴァンゲリデス、パパエヴァンジェロウ、ツィモプロス	2010
${\displaystyle f=1.613\left[\ln \left(0.234\left({\frac {\varepsilon }{D}}\right)^{1.1007}-{\frac {60.525}{\mathrm {Re} ^{1.1105}}}+{\frac {56.291}{\mathrm {Re} ^{1.0712}}}\right)\right]^{-2}}$	牙	2011
${\displaystyle f=\left[-2\log \left({\frac {2.18\beta }{\mathrm {Re} }}+{\frac {\varepsilon /D}{3.71}}\right)\right]^{-2}}$、 ${\displaystyle \beta =\ln {\frac {\mathrm {Re} }{1.816\ln \left({\frac {1.1Re}{\ln \left(1+1.1\mathrm {Re} \right)}}\right)}}}$	ブルキッチ	2011
${\displaystyle f=1.325474505\log _{e}\left(A-0.8686068432B\log _{e}\left(A-0.8784893582B\log _{e}\left(A+(1.665368035B)^{0.8373492157}\right)\right)\right)^{-2}}$ どこ ${\displaystyle A={\frac {\varepsilon /D}{3.7065}}}$ ${\displaystyle B={\frac {2.5226}{\mathrm {Re} }}}$	S.アラシュカル	2012
${\displaystyle f=\left({\frac {64}{\mathrm {Re} }}\right)^{a}\left[0.75\ln \left({\frac {\mathrm {Re} }{5.37}}\right)\right]^{2(a-1)b}\left[0.88\ln \left(3.41{\frac {D}{\epsilon }}\right)\right]^{2(a-1)(1-b)}}$ どこ ${\displaystyle a={\frac {1}{1+\left({\frac {\mathrm {Re} }{2712}}\right)^{8.4}}}}$ ${\displaystyle b={\frac {1}{1+\left({\frac {\mathrm {Re} }{150{\frac {D}{\epsilon }}}}\right)^{1.8}}}}$	ベロス、ナルバンティス、ツァキリス	2018	すべてのフローレジーム	[8] [27]
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=A-{\frac {(B-A)^{2}}{C-2B+A}}}$ どこ ${\displaystyle A=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{4.5547 \over \mathrm {Re} ^{0.8784}}\right)}$ ${\displaystyle B=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{2.51A \over \mathrm {Re} }\right)}$ ${\displaystyle C=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{2.51B \over \mathrm {Re} }\right)}$	ニアズカル	2019		[17]
${\displaystyle f={\frac {1}{\left(0.8284\ln \left({\dfrac {\varepsilon /D}{4.913}}+{\dfrac {10.31}{\mathrm {Re} }}\right)\right)^{2}}}}$	トカチェンコ、ミレイコフスキー	2020	偏差値5.36% ${\displaystyle 2320\leq {\mathrm {Re} }\leq 10^{9}}$ ${\displaystyle 0\leq {\varepsilon /D}\leq 0.65}$	[28]
${\displaystyle f=\left({\frac {8.128943+A_{1}}{8.128943A_{0}-0.86859209A_{1}\ln \left({\dfrac {A_{1}}{3.7099535\mathrm {Re} }}\right)}}\right)^{2}}$ どこ ${\displaystyle A_{0}=-0.79638\ln \left({\frac {\varepsilon /D}{8.208}}+{\frac {7.3357}{\mathrm {Re} }}\right)}$ ${\displaystyle A_{1}=\mathrm {Re} \left(\varepsilon /D\right)+9.3120665A_{0}}$	トカチェンコ、ミレイコフスキー	2020	偏差0.00072%、 ${\displaystyle 2320\leq {\mathrm {Re} }\leq 10^{9}}$ ${\displaystyle 0\leq {\varepsilon /D}\leq 0.65}$	[28]

参考文献

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さらに読む

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• Brkić, Dejan (2011). 「流動摩擦に関するコールブルック関係式の明示的近似法のレビュー」(PDF) . Journal of Petroleum Science and Engineering . 77 (1): 34– 48. Bibcode :2011JPSE...77...34B. doi :10.1016/j.petrol.2011.02.006.
• Brkić, Dejan (2011). 「流れ摩擦に関するCW方程式のW解」(PDF) .応用数学レターズ. 24 (8): 1379– 1383. doi : 10.1016/j.aml.2011.03.014 .
• Brkić, Dejan; Ćojbašić, Žarko (2017). 「Colebrookの乱流摩擦近似の進化的最適化」. Fluids . 2 (2): 15. Bibcode :2017Fluid...2...15B. doi : 10.3390/fluids2020015 . ISSN  2311-5521.
• Brkić, Dejan; Praks, Pavel (2019). 「ライトω関数に基づくコールブルック流動摩擦方程式の正確かつ効率的な明示的近似」. 数学7 (1): 記事34. https://doi.org/10.3390/math7010034. ISSN 2227-7390
• プラークス、パベル。ブルキッチ、デヤン（2020）。 「新しい流れ摩擦方程式のレビュー: コールブルックの明示的な相関関係を正確に構築する」。 Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería 36 (3): 記事 41。https://doi.org/10.23967/j.rimni.2020.09.001。 ISSN 1886-158X (オンライン版) - ISSN 0213-1315 (印刷版)
• Niazkar, Majid (2019). 「コールブルック摩擦係数の推定法の再検討：人工知能モデルとCWベースの明示的方程式の比較」. KSCE Journal of Civil Engineering . 23 (10): 4311– 4326. Bibcode :2019KSJCE..23.4311N. doi : 10.1007/s12205-019-2217-1 . S2CID  203040860.

外部リンク

• Serghides の解法による Darcy 摩擦係数を計算する Web ベースのツールです。
• オープンソースのパイプ摩擦計算機。

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