互換性（メカニズム）

Physical condition

連続体力学において、物体における適合 変形（またはひずみ）テンソル場とは、物体が連続した単一値の変位場にさらされたときに得られる唯一のテンソル場のことである。 適合性とは、そのような変位場が保証される条件を研究する学問である。適合条件は積分可能性条件の特殊なケースであり、1864年にバーレ・ド・サン＝ヴナンによって線形弾性に対して初めて導出され、 1886年にベルトラミによって厳密に証明された。^[1]

固体の連続体記述では、物体は微小な体積または質点の集合から構成されていると想定します。各体積は、隣接する体積と隙間や重なりなく接続されていると仮定します。連続体が変形した際に隙間や重なりが生じないようにするには、特定の数学的条件を満たす必要があります。隙間や重なりが生じずに変形する物体は、適合体と呼ばれます。 適合条件とは、特定の変形が物体を適合状態に保つかどうかを判定する数学的条件です。^[2]

微小ひずみ理論の文脈において、これらの条件は、物体の変位はひずみを積分することによって得られると述べることと等価である。このような積分は、単連結体^[3]においてサン＝ヴナンテンソル（または不適合テンソル）がゼロである場合に可能である。ここで、は微小ひずみテンソルであり、 有限変形の場合、適合条件は次のような形をとる 。ここで、は変形勾配である。 ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}({\boldsymbol {\varepsilon }})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {R}}:={\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }})^{T}={\boldsymbol {0}}~.}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {R}}:={\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

微小ひずみの適合条件

線形弾性における適合条件は、わずか3つの未知変位の関数であるひずみ-変位関係が6つ存在することを観察することによって得られる。これは、情報を失うことなく、3つの変位を方程式系から除去できることを示唆している。結果として得られるひずみのみで表現された式は、ひずみ場の可能な形状に対する制約を与える。

2次元

2次元平面ひずみ問題の場合、ひずみ-変位関係は $${\displaystyle \varepsilon _{11}={\cfrac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}~;~~\varepsilon _{12}={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\right]~;~~\varepsilon _{22}={\cfrac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}}$$

これらの関係を繰り返し微分し、変位とを除去すると、ひずみに対する2次元適合条件が得られる。 ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle u_{2}}$ $${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}\varepsilon _{11}}{\partial x_{2}^{2}}}-2{\cfrac {\partial ^{2}\varepsilon _{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}\varepsilon _{22}}{\partial x_{1}^{2}}}=0}$$

互換性のある平面ひずみ場によって許可される唯一の変位場は平面変位場、つまり です。 ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} (x_{1},x_{2})}$

3次元

3次元では、2次元で見られる形の方程式が2つ追加されるほか、形の方程式が3つ追加されます。 したがって、偏微分方程式の数は3 ⁴ =81個 ですが、対称条件により、この数は 6つの異なる適合条件に減少します。これらの条件は、インデックス表記法で^[4]と表すことができます。ここで、は置換記号です。回転演算子を直接テンソル表記法で表すと、直交座標系では と表すことができます。 $${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}\varepsilon _{33}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}={\cfrac {\partial }{\partial x_{3}}}\left[{\cfrac {\partial \varepsilon _{23}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial \varepsilon _{31}}{\partial x_{2}}}-{\cfrac {\partial \varepsilon _{12}}{\partial x_{3}}}\right]}$$ $${\displaystyle e_{ikr}~e_{jls}~\varepsilon _{ij,kl}=0}$$ ${\displaystyle e_{ijk}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }})^{T}={\boldsymbol {0}}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=e_{ijk}\varepsilon _{rj,i}\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{r}}$

2階テンソルは非互換テンソル （またはクローネンテンソル） として知られており、4階サン・ヴナン互換テンソルの簡約形である。 $${\displaystyle {\boldsymbol {R}}:={\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }})^{T}~;~~R_{rs}:=e_{ikr}~e_{jls}~\varepsilon _{ij,kl}}$$

有限ひずみの適合条件

変形が小さくなくてもよい固体の場合、適合条件は の形をとります 。ここで は変形勾配です。直交座標系に関する成分で表すと、これらの適合関係は と表すことができます。この条件は、変形が連続的であり、写像から導かれる場合に必要です（有限ひずみ理論を参照）。同じ条件は、単連結体における適合性を保証するのにも十分です。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ $${\displaystyle e_{ABC}~{\cfrac {\partial F_{iB}}{\partial X_{A}}}=0}$$ ${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\chi }}(\mathbf {X} ,t)}$

右コーシー・グリーン変形テンソルの適合条件

右コーシー・グリーン変形テンソルの適合条件は、 と表すことができます 。ここで、は第二種クリストッフェル記号です。 は、リーマン・クリストッフェル曲率テンソルの混合成分を表します。 $${\displaystyle R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }:={\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }]-{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\Gamma _{\alpha \rho }^{\gamma }]+\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }~\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }~\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }=0}$$ ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$ ${\displaystyle R_{ijk}^{m}}$

一般的な互換性の問題

連続体力学における両立性の問題は、単連結体上の許容される一価連続場を決定することを伴う。より正確には、この問題は次のように表現できる。^[5]

図1. 連続体の運動。

図1に示す物体の変形を考えてみましょう。すべてのベクトルを参照座標系で表すと、物体内の点の変位は次のように表されます。また、 ${\displaystyle \{(\mathbf {E} _{1},\mathbf {E} _{2},\mathbf {E} _{3}),O\}}$ $${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {x} -\mathbf {X} ~;~~u_{i}=x_{i}-X_{i}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial \mathbf {X} }}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {x} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}}$$

物体上の与えられた2階テンソル場に対して、次を満たす唯一のベクトル場が 存在するためにはどのような条件が必要かつ十分であるか？ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}(\mathbf {X} )}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {X} )}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} ={\boldsymbol {A}}\quad \equiv \quad v_{i,j}=A_{ij}}$$

必要な条件

必要条件として、体が存在し、を満たすと仮定する。すると、微分順序を変えても結果は変わらないので、テンソルの回転に関するよく知られた恒等式から、必要条件を得る。 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle v_{i,j}=A_{ij}}$ $${\displaystyle v_{i,jk}=A_{ij,k}~;~~v_{i,kj}=A_{ik,j}}$$ $${\displaystyle v_{i,jk}=v_{i,kj}}$$ $${\displaystyle A_{ij,k}=A_{ik,j}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {0}}}$$

十分な条件

図 2. 互換性の十分条件を証明するために使用される統合パス。

この条件が両立する2階テンソル場の存在を保証するのに十分であることを証明するために、まず、 となる場が存在する という仮定から始めます。この場を積分して、点と点を結ぶ線に沿ったベクトル場を求めます（図2参照）。つまり、ベクトル場が単値である場合、積分の値は からへの経路に依存しません。 ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (\mathbf {X} _{B})-\mathbf {v} (\mathbf {X} _{A})&=\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \cdot ~d\mathbf {X} \\[1ex]&=\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}{\boldsymbol {A}}(\mathbf {X} )\cdot d\mathbf {X} \end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

ストークスの定理から、閉経路に沿った 2 次テンソルの積分は次のように与えられます。の回転が0 であるという仮定を用いると、次の式が得られます。したがって、積分は経路に依存せず、適合条件は、物体が単連結である限り、一意の場を保証するのに十分です。 $${\displaystyle \oint _{\partial \Omega }{\boldsymbol {A}}\cdot d\mathbf {s} =\int _{\Omega }\mathbf {n} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {A}})~da}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\oint _{\partial \Omega }{\boldsymbol {A}}\cdot d\mathbf {s} =0\\[1ex]\implies \quad &\int _{AB}{\boldsymbol {A}}\cdot d\mathbf {X} +\int _{BA}{\boldsymbol {A}}\cdot d\mathbf {X} =0\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

変形勾配の適合性

変形勾配の適合条件は、上記の証明から次のことを観察することによって直接得られる。 そして、単連結体上の適合場の存在の必要十分条件は、 $${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {x} }$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}}$$

微小ひずみの適合性

小さな菌株の適合性の問題は次のように述べられます。

対称的な2階テンソル場が与えられたとき、次のような ベクトル場を構築できるのはいつでしょうか？ ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}={\tfrac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]}$$

必要な条件

が存在すると仮定し、の式が成り立つとします。ここでとなるため、指数表記では が連続的に微分可能な場合、 となります。したがって、直接テンソル表記では上記は必要条件です。 が無限小回転ベクトルの場合、 となります。したがって、必要条件は とも表記されます。 ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\boldsymbol {\epsilon }}+{\boldsymbol {\omega }}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}:={\tfrac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} -({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {\omega }}\equiv \omega _{ij,k}&={\tfrac {1}{2}}(u_{i,jk}-u_{j,ik})\\[2pt]&={\tfrac {1}{2}}(u_{i,jk}+u_{k,ji}-u_{j,ik}-u_{k,ji})\\[2pt]&=\varepsilon _{ik,j}-\varepsilon _{jk,i}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \omega _{ij,kl}=\omega _{ij,lk}}$ $${\displaystyle \varepsilon _{ik,jl}-\varepsilon _{jk,il}-\varepsilon _{il,jk}+\varepsilon _{jl,ik}=0}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})^{T}={\boldsymbol {0}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} +{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} ^{T}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} +{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} ^{T})^{T}={\boldsymbol {0}}}$

十分な条件

さて、物体の一部において条件が満たされていると仮定しましょう。この条件は、連続した単一値の変位場の存在を保証するのに十分でしょうか？ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})^{T}={\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

プロセスの第一歩は、この条件が無限小回転テンソルが 一意に定義されることを意味することを示すことです。そのためには、への経路に沿って積分します。つまり、剛体の回転を固定するための参照を知る必要があることに注意してください。 場は、との間の閉曲線に沿った等高線積分がゼロの場合にのみ一意に決定されます。つまり、しかし、単連結体のストークスの定理と適合性のための必要条件から、 場は一意に定義され、これは、物体が単連結である限り、無限小回転テンソルも一意に定義されることを意味します。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} _{A}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} _{B}}$ $${\displaystyle \mathbf {w} (\mathbf {X} _{B})-\mathbf {w} (\mathbf {X} _{A})=\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} \cdot d\mathbf {X} =\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})\cdot d\mathbf {X} }$$ ${\displaystyle \mathbf {w} (\mathbf {X} _{A})}$ ${\displaystyle \mathbf {w} (\mathbf {X} )}$ ${\displaystyle \mathbf {X} _{A}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} _{b}}$ $${\displaystyle \oint _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})\cdot d\mathbf {X} ={\boldsymbol {0}}}$$ $${\displaystyle \oint _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})\cdot d\mathbf {X} =\int _{\Omega _{AB}}\mathbf {n} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})~da={\boldsymbol {0}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

次のステップでは、変位場の一意性について考察します。前と同様に、変位勾配を積分します。ストークスの定理と関係式を用いて、次式を得 ます。したがって、変位場も一意に決定されます。したがって、適合条件は、単連結体において一意の変位場が存在することを保証するのに十分です。 ${\displaystyle \mathbf {u} }$ $${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} _{B})-\mathbf {u} (\mathbf {X} _{A})=\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} =\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}({\boldsymbol {\epsilon }}+{\boldsymbol {\omega }})\cdot d\mathbf {X} }$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} =-{\boldsymbol {\nabla }}\times \omega }$ $${\displaystyle \oint _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}({\boldsymbol {\epsilon }}+{\boldsymbol {\omega }})\cdot d\mathbf {X} =\int _{\Omega _{AB}}\mathbf {n} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }}+{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\omega }})~da={\boldsymbol {0}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

右コーシー・グリーン変形場との適合性

右コーシー・グリーン変形場の適合性問題は次のように表すことができます。

問題：が基準配置上に定義された正定値対称テンソル場であるとする。どのような条件下で、位置場によってマークされた変形配置が存在し、 ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}(\mathbf {X} )}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} )}$ $${\displaystyle (1)\quad \left({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\right)^{T}\left({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\right)={\boldsymbol {C}}}$$

必要な条件

条件 (1) を満たす体が存在すると仮定します。 直交座標基底に関する成分について、有限ひずみ理論から、であることが分かっています。したがって、 と書くことができます。 1 対 1 に写像された 2 つの対称な 2 階テンソル体に対して、 という関係も成り立ちます。との関係から、 次の関係が得られます。次に、 の関係から、 次の式が得られます。有限ひずみ理論からは、 次の式も得られます。したがって、 次の式が得られます。 再び、微分順序の可換性を用いると、 次の 式が得られます。または項をまとめると、 次の式が得られます。の定義から、これは逆であり、したがって 0 にはならないことがわかります。 したがって、 これらはリーマン-クリストッフェル曲率テンソルの混合成分であることを示すことができます。 したがって、 -互換性の必要条件は、変形のリーマン-クリストッフェル曲率が 0 になることです。 ${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} )}$ $${\displaystyle {\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\beta }}}=C_{\alpha \beta }}$$ ${\displaystyle C_{\alpha \beta }=g_{\alpha \beta }}$ $${\displaystyle \delta _{ij}~{\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}~{\frac {\partial x^{j}}{\partial X^{\beta }}}=g_{\alpha \beta }}$$ $${\displaystyle G_{ij}={\frac {\partial X^{\alpha }}{\partial x^{i}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{j}}}~g_{\alpha \beta }}$$ ${\displaystyle G_{ij}}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \delta _{ij}=G_{ij}}$ $${\displaystyle _{(x)}\Gamma _{ij}^{k}=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}x^{m}}{\partial X^{\alpha }\partial X^{\beta }}}={\frac {\partial x^{m}}{\partial X^{\mu }}}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-{\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}~{\frac {\partial x^{j}}{\partial X^{\beta }}}\,_{(x)}\Gamma _{ij}^{m}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial F_{~\alpha }^{m}}{\partial X^{\beta }}}=F_{~\mu }^{m}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\qquad ;~~F_{~\alpha }^{i}:={\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta \gamma }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{\alpha \gamma }}{\partial X^{\beta }}}+{\frac {\partial g_{\beta \gamma }}{\partial X^{\alpha }}}-{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial X^{\gamma }}}\right);\\[2pt]_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }&=g^{\nu \gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta \gamma }~;\\[2pt]g_{\alpha \beta }&=C_{\alpha \beta }~;~~g^{\alpha \beta }=C^{\alpha \beta }\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }={\cfrac {C^{\mu \gamma }}{2}}\left({\frac {\partial C_{\alpha \gamma }}{\partial X^{\beta }}}+{\frac {\partial C_{\beta \gamma }}{\partial X^{\alpha }}}-{\frac {\partial C_{\alpha \beta }}{\partial X^{\gamma }}}\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial F_{~\alpha }^{m}}{\partial X^{\beta }}}=F_{~\mu }^{m}~{\cfrac {C^{\mu \gamma }}{2}}\left({\frac {\partial C_{\alpha \gamma }}{\partial X^{\beta }}}+{\frac {\partial C_{\beta \gamma }}{\partial X^{\alpha }}}-{\frac {\partial C_{\alpha \beta }}{\partial X^{\gamma }}}\right)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}F_{~\alpha }^{m}}{\partial X^{\beta }\partial X^{\rho }}}={\frac {\partial ^{2}F_{~\alpha }^{m}}{\partial X^{\rho }\partial X^{\beta }}}\\[1.2ex]\implies &{\frac {\partial F_{~\mu }^{m}}{\partial X^{\rho }}}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+F_{~\mu }^{m}~{\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}\left[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\right]={\frac {\partial F_{~\mu }^{m}}{\partial X^{\beta }}}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }+F_{~\mu }^{m}~{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}\left[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }\right]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle F_{~\gamma }^{m}\,_{(X)}\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+F_{~\mu }^{m}~{\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}\left[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\right]=F_{~\gamma }^{m}\,_{(X)}\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }+F_{~\mu }^{m}~{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}\left[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }\right]}$$ $${\displaystyle F_{~\gamma }^{m}\left(\,_{(X)}\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+{\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }]-\,_{(X)}\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }-{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\gamma }]\right)=0}$$ ${\displaystyle F_{\gamma }^{m}}$ $${\displaystyle R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }:={\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }]-{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\gamma }]+\,_{(X)}\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-\,_{(X)}\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }=0}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$

十分な条件

十分性の証明はもう少し複雑です。^{[5] [6]} まず、 という仮定から始めます。と が存在し、となる ことを示さなければなりません。TYThomasの定理^[7]から、 のとき、連立方程式は単連結領域上で一意の解を持つことがわかります。最初の条件は の定義から成り、2番目の条件は仮定されています。したがって、仮定された条件から、 は連続する一意の解となります。 $${\displaystyle R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }=0~;~~g_{\alpha \beta }=C_{\alpha \beta }}$$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ $${\displaystyle {\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\beta }}}=C_{\alpha \beta }}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial F_{~\alpha }^{i}}{\partial X^{\beta }}}=F_{~\gamma }^{i}~\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }}$$ ${\displaystyle F_{~\alpha }^{i}}$ $${\displaystyle _{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }=_{(X)}\Gamma _{\beta \alpha }^{\gamma }~;~~R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }=0}$$ ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$ ${\displaystyle F_{~\alpha }^{i}}$ ${\displaystyle C^{2}}$

次に、方程式系を考えてみましょう。はであり、物体は単連結なので、上記の方程式には何らかの解が存在します。は という性質も満たすこと がわかります。また、 という関係式から が成り立つこともわかります。これらの量をテンソル場と関連付けると、 は可逆であり、構築されたテンソル場は に対して という式を満たすことがわかります。 $${\displaystyle {\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}=F_{~\alpha }^{i}}$$ ${\displaystyle F_{~\alpha }^{i}}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle x^{i}(X^{\alpha })}$ ${\displaystyle x^{i}}$ $${\displaystyle \det \left|{\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}\right|\neq 0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}~g^{\alpha \beta }~{\frac {\partial x^{j}}{\partial X^{\beta }}}=\delta ^{ij}}$$ $${\displaystyle g_{\alpha \beta }=C_{\alpha \beta }={\frac {\partial x^{k}}{\partial X^{\alpha }}}~{\frac {\partial x^{k}}{\partial X^{\beta }}}}$$ ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$

参照

• サンヴナンの相性条件
• 線形弾性
• 変形（力学）
• 微小ひずみ理論
• 有限ひずみ理論
• テンソル微分（連続体力学）
• 曲線座標

参考文献

1. C Amrouche、PG Ciarlet、L Gratie、S Kesavan、Saint Venant の互換性条件とポアンカレの補題について、CR Acad。科学。パリス、Ser. I、342 (2006)、887-891。 土井：10.1016/j.crma.2006.03.026
2. Barber, JR、2002、「Elasticity - 2nd Ed.」、Kluwer Academic Publications。
3. NI Muskhelishvili, 弾性の数学的理論のいくつかの基本的問題. ライデン: Noordhoff Intern. Publ., 1975.
4. スローター、WS、2003、「弾性の線形化理論」、ビルクハウザー
5. Acharya, A., 1999, 「3次元における左コーシー・グリーン変形場の適合条件について」、Journal of Elasticity、第56巻、第2号、95-105
6. Blume, JA, 1989、「左コーシー・グリーンひずみ場に対する適合条件」、J. Elasticity、v. 21、p. 271-308。
7. Thomas, TY, 1934, 「単純連結領域上で定義された全微分方程式系」 Annals of Mathematics, 35(4), p. 930-734

外部リンク

• Amit AcharyaによるiMechanicaの互換性に関するメモ
• J. Lubliner著「塑性」第1.2.4節、35ページ

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