完全な対策

数学において、完全測度（より正確には、完全測度空間）とは、あらゆる空集合のすべての部分集合が測度ゼロを持つ測度空間のことである。より正式には、測度空間（X、Σ、 μ）が完全であるための必要十分条件は、^[1]^[2]

S\subseteq N\in \Sigma {\mbox{ and }}\mu (N)=0\ \Rightarrow \ S\in \Sigma .

モチベーション

完全性の問題を考慮する必要があることは、積空間の問題を考慮することによって説明できます。

実数直線上にルベーグ測度を既に構築していると仮定する。この測度空間をと表記する。ここで、平面上に積測度として2次元ルベーグ測度を構築したい。素朴に言えば、上の𝜎-代数は、に対するすべての測定可能な「長方形」を含む最小の𝜎-代数となる。 $(\mathbb {R} ,B,\lambda ).$ $\lambda ^{2}$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{2}$ $B\otimes B,$ $A_{1}\times A_{2}$ $A_{1},A_{2}\in B.$

このアプローチは確かに測度空間を定義しますが、欠陥があります。すべてのシングルトン集合はの任意の部分集合に対して 1 次元ルベーグ測度零を持つため、が実数直線の非測度部分集合、例えばヴィタリ集合であると仮定します。その場合、の-測度は定義されませんが、このより大きな集合は -測度零を持ちます。したがって、定義したこの「2 次元ルベーグ測度」は完全ではなく、何らかの補完手続きが必要になります。 $\lambda ^{2}(\{0\}\times A)\leq \lambda (\{0\})=0$ $A$ $\mathbb {R} .$ $A$ $\lambda ^{2}$ $\{0\}\times A$ $\{0\}\times A\subseteq \{0\}\times \mathbb {R} ,$ $\lambda ^{2}$

完全な対策の構築

（おそらく不完全な）測度空間（X、Σ、 μ ）が与えられたとき、この測度空間の完全な拡大（ X、Σ0 _、 μ0 ）が存在する。 ^[3]そのような最小の拡大（すなわち最小のσ代数Σ0 _）_は測度空間の完備化と呼ばれる。

完了は次のように構築できます。

Z をXのゼロμ測度部分集合のすべての部分集合の集合とする（直感的には、Σ に含まれないZの要素は完全性が成り立たない原因となる）。
Σ _{0 を}Σ とZによって生成されるσ代数（つまり、 Σ とZのすべての要素を含む最小のσ代数）とする。
μはΣ ₀への拡張μ _{0を持ち（これは}μがσ 有限であれば一意）、これはμの外測度と呼ばれ、下限値で与えられる。

\mu _{0}(C):=\inf\{\mu (D)\mid C\subseteq D\in \Sigma \}.

すると、( X , Σ ₀ , μ ₀ ) は完備測度空間となり、( X , Σ, μ ) の完備化となる。

_{上記の構成では、Σ 0}の全ての要素は、何らかのA ∈ Σ と何らかのB ∈ Zに対してA ∪ Bの形をとることが示され、

\mu _{0}(A\cup B)=\mu (A).

例

実数直線の開区間によって生成されるボレルσ-代数上で定義されるボレル測度は完全ではないため、上記の完備化手続きを用いて完全なルベーグ測度を定義する必要がある。これは、実数上のすべてのボレル集合の集合が実数と同じ濃度を持つという事実によって示される。一方、カントール集合はボレル集合であり、測度は0であり、その冪集合の濃度は実数のそれよりも確実に大きい。したがって、ボレル集合に含まれないカントール集合の部分集合が存在する。したがって、ボレル測度は完全ではない。
n次元ルベーグ測度は、1次元ルベーグ空間とそれ自身とのn重積の完備化である。また、1次元の場合と同様に、ボレル測度の完備化でもある。

プロパティ

マハラムの定理によれば、すべての完全な測度空間は連続体上の測度と有限または可算な計数測度に分解可能です。

参照

内測
ルベーグ可測集合 – 任意の次元における面積の概念

参考文献

テレキン, AP (2001) [1994]、「完全測定」、数学百科事典、EMSプレス

^ ハルモス, ポール・R. (1950). 測度論. 大学院数学テキスト. 第18巻. ニューヨーク: シュプリンガー・ニューヨーク. p. 31. doi :10.1007/978-1-4684-9440-2. ISBN 978-1-4684-9442-6。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
^ de Barra, G. (2003). 測度論と積分. Woodhead Publishing Limited. p. 94. doi :10.1533/9780857099525. ISBN 978-1-904275-04-6。
^ ルディン、ウォルター (2013).実解析と複素解析. マグロウヒル国際版数学シリーズ (第3版、国際版、[後期]版). ニューヨーク: マグロウヒル. pp. 27– 28. ISBN 978-0-07-054234-1。

[1] ハルモス, ポール・R. (1950). 測度論. 大学院数学テキスト. 第18巻. ニューヨーク: シュプリンガー・ニューヨーク. p. 31. doi :10.1007/978-1-4684-9440-2. ISBN 978-1-4684-9442-6。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)

[2] Barra, G. (2003). 測度論と積分. Woodhead Publishing Limited. p. 94. doi :10.1533/9780857099525. ISBN 978-1-904275-04-6。

[3] ルディン、ウォルター (2013).実解析と複素解析. マグロウヒル国際版数学シリーズ (第3版、国際版、[後期]版). ニューヨーク: マグロウヒル. pp. 27– 28. ISBN 978-0-07-054234-1。