複素乗算

Theory of a class of elliptic curves

数学において、複素乗法（CM ）は、整数よりも大きな自己準同型環を持つ楕円曲線 Eの理論である。^{[1]言い換えれば、}周期格子がガウス整数格子やアイゼンシュタイン整数格子であるときに見えるような、追加の対称性を持つ楕円関数の理論が含まれている。

楕円関数、あるいは多変数複素アーベル関数は、特別な恒等式を満たし、特定の点において明示的に計算可能な特殊値をとる「非常に特殊な」関数であるため、特殊関数論に属する側面を持つ。また、代数的整数論の中心的なテーマにもなり、円分体理論のいくつかの特徴をより広い応用分野に応用することを可能にした。ダヴィド・ヒルベルトは、楕円曲線の複素乗法の理論は数学だけでなく、あらゆる科学の中で最も美しい部分であると述べたと言われている。^[2]

また、ある厳密な意味で十分な自己準同型性を持つアーベル多様体Aの高次元複素乗法理論もあり、これは大まかに言えば、 Aの単位元における接空間への作用が1 次元の加群の直和であるということです。

虚数二次体拡張の例

複素数上の楕円曲線は、複素平面を格子 Λ で割った商として得られる。ここでは、格子 Λ は2つの基本周期ω ₁とω _{2で張られている。また、Λ を含む格子 1/4 Λ に対応する4次元捩れも示されている。ガウス整数に対応する楕円曲線の例は、 ω 2} = i ω ₁のときである。

虚数二次体 を考えます。楕円関数 が複素乗法を持つとは、のすべての に対して と の間に代数関係が存在することを意味します。 ${\textstyle K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {-d}}\right),\,d\in \mathbb {Z} ,d>0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(\lambda z)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle K}$

逆に、クロネッカーは「クロネッカーのユーゲントの夢」として知られる予想の中で、任意のアーベル拡大は、複素乗法を伴う適切な楕円曲線の方程式（の根）によって得られると予想しました。これは今日に至るまで、ヒルベルトの第12問題の中で実際に解決された数少ない例の一つです。 ${\displaystyle K}$

複素乗算を伴う楕円曲線の例は次の通りである。

${\displaystyle \mathbb {C} /(\theta \mathbb {Z} [i])}$

ここで、Z [ i ] はガウス整数環、θは任意の非零複素数である。このような複素トーラスは、ガウス整数を自己準同型環として持つ。対応する曲線はすべて次のように書けることが知られている。

${\displaystyle Y^{2}=4X^{3}-aX}$

に対して、これは２つの共役位数４の自己同型を持ち、 ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle Y\to \pm iY,\quad X\to -X}$

ワイエルシュトラスの楕円関数に対するiの作用と一致します。

より一般的には、 によって生成される複素平面上の加法群である格子 Λ を考える。そして、における変数のワイエルシュトラス関数を次のように定義する。 ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \wp (z;\Lambda )=\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left\{{\frac {1}{(z+m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\},}$

そして

${\displaystyle g_{2}=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-4}}$

${\displaystyle g_{3}=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-6}.}$

を の導関数とします。すると、複素リー群の同型が得られます。 ${\displaystyle \wp '}$ ${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle w\mapsto (\wp (w):\wp '(w):1)\in \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )}$

複素トーラス群から同次座標で定義される射影楕円曲線へ ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

${\displaystyle E=\left\{(x:y:z)\in \mathbb {C} ^{3}\mid y^{2}z=4x^{3}-g_{2}xz^{2}-g_{3}z^{3}\right\}}$

ここで、楕円曲線の群法則の零元である無限遠点は、慣例により とみなされる。楕円曲線を定義する格子が、の整数環（の適切な部分環である可能性もある）との乗算によって実際に保存される場合、 の解析的自己同型環はこの（部分）環と同型となることがわかる。 ${\displaystyle (0:1:0)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E=\mathbb {C} /\Lambda }$

を書き直すと、 とのとき、 ${\displaystyle \tau =\omega _{1}/\omega _{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$ ${\displaystyle \Delta (\Lambda )=g_{2}(\Lambda )^{3}-27g_{3}(\Lambda )^{2}}$

${\displaystyle j(\tau )=j(E)=j(\Lambda )=2^{6}3^{3}g_{2}(\Lambda )^{3}/\Delta (\Lambda )\ .}$

これは、が複素乗算を持つ場合、のj 不変量は代数的数(に含まれる)であることを意味します。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E}$

自己準同型の抽象理論

楕円曲線の自己準同型環は、整数Z、虚二次数体における順序、 Q上の定位四元数代数における順序の 3 つの形式のいずれかになります。^[3]

定義体が有限体である場合、楕円曲線には常に非自明な自己準同型が存在する。これはフロベニウス写像に由来する。したがって、そのような曲線はすべて複素乗法を持つ（ただし、この用語はあまり適用されない）。しかし、基底体が数体である場合、複素乗法は例外となる。一般的な意味で、複素乗法の場合がホッジ予想の解決が最も難しいことが知られている。

クロネッカー拡大とアーベル拡大

クロネッカーは、楕円関数のねじれ点における値は、虚二次体のすべてのアーベル拡大を生成するのに十分であるはずだと初めて仮定した。この考えは、場合によってはアイゼンシュタインにまで遡り、ガウスにまで遡った。これはクロネッカーのユーゲントの夢として知られるようになり、これは確かにヒルベルトの上記の発言を促した。なぜなら、これは、志村の相互法則を介して、有理数体のアーベル拡大に対する単位根が明示的な類体論を与えるのと同様に、類体論を明示するからである。

実際、K をH類体を持つ虚二次体とする。EをH上定義されたKの整数による複素乗算を持つ楕円曲線とする。すると、Kの最大アーベル拡大は、H上のあるワイエルシュトラス模型上の有限位数の点のx座標によって生成される。^[4]

クロネッカーの思想については多くの一般化が試みられてきたが、それらはラングランズ哲学の主旨とはいくぶん斜めに位置づけられており、現在のところ決定的な説明は知られていない。

サンプル結果

ラマヌジャン定数、超越数^[5]が

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262537412640768743.99999999999925007\dots \,}$

あるいは同等に、

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=640320^{3}+743.99999999999925007\dots \,}$

はほぼ整数であり、整数に非常に近い。^[6]この注目すべき事実は、複素乗算の理論とモジュラー形式に関する知識、そして

${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right]}$

は一意の因数分解領域です。

ここでα ² = α − 41を満たす。一般に、S [ α ] はSを係数とする α のすべての多項式式の集合を表し、これはαとSを含む最小の環である。α はこの二次方程式を満たすため、必要な多項式は1次に限定できる。 ${\displaystyle (1+{\sqrt {-163}})/2}$

あるいは、

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=12^{3}(231^{2}-1)^{3}+743.99999999999925007\dots \,}$

特定のアイゼンシュタイン級数による内部構造、および他のヒーグナー数に対しても同様の簡単な表現が用いられます。

特異モジュライ

複素乗法を持つ複素数上の楕円曲線の周期比に対応する上半平面τ上の点は、まさに虚二次数である。 ^[7]対応するモジュラー不変量 j ( τ ) は特異モジュライである。これは、特異曲線を指すのではなく、非自明な自己準同型性を持つ性質を指していた古い用語に由来する。^[8]

モジュラー関数 j ( τ )は虚二次数τ上で代数的である: ^{[9]これらは}jが代数的である上半平面上の唯一の代数的数である。^[10]

Λ が周期比τの格子である場合、 j ( τ ) をj ( Λ) と書きます。さらに Λ が二次虚数体_Kの整数環O Kのイデアルaである場合、対応する特異係数をj ( a ) と書きます。値j ( a ) は実代数的整数であり、Kのヒルベルト類体Hを生成します。体拡大次数 [ H : K ] = hはKの類数であり、H / KはKのイデアル類群に同型のガロア群を持つガロア拡大です。類群は値j ( a ) に [ b ] : j ( a ) → j ( ab ) によって作用します。

特に、Kのクラス番号が1の場合、j ( a )= j ( O )は有理整数になります。たとえば、j ( Z [i])= j (i)=1728です。

参照

• 代数的ヘッケ指標
• ヒーグナーポイント
• ヒルベルトの第12の問題
• ルビン・テイト形式群、局所体
• Drinfeld shtuka、大域関数体の場合
• ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明

引用

1. Silverman 2009、p.69、注釈4.3。
2. リード、コンスタンス（1996）、ヒルベルト、シュプリンガー、p.200、ISBN 978-0-387-94674-0
3. シルバーマン 1986年、102ページ。
4. セール1967年、295ページ。
5. Weisstein, Eric W.「超越数」. MathWorld .は、Nesterenko, Yu. V.「線型微分方程式系の解の成分の代数的独立性について」Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495–512, 1974に基づいており、英語への翻訳はMath. USSR 8, 501–518, 1974に掲載されています。 ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {d}}},d\in Z^{*}}$
6. ラマヌジャン定数 – Wolfram MathWorldより
7. シルバーマン 1986年、339ページ。
8. シルバーマン 1994年、104ページ。
9. セール1967年、293ページ。
10. ベイカー、アラン(1975).超越数論.ケンブリッジ大学出版局. p. 56. ISBN 0-521-20461-5. Zbl  0297.10013。

参考文献

• Borel, A.; Chowla, S.; Herz, CS; Iwasawa, K.; Serre, J.-P.複素乗算に関するセミナー。ニュージャージー州プリンストン高等研究所で1957年から1958年にかけて開催。数学講義ノート第21号、Springer-Verlag、ベルリン-ニューヨーク、1966年
• Husemöller, Dale H. (1987).楕円曲線. Graduate Texts in Mathematics. 第111巻. Ruth Lawrenceによる付録付き. Springer-Verlag . ISBN 0-387-96371-5. Zbl  0605.14032。
• ラング、セルジュ(1983)。複素乗算。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [数学科学の基本原理]。 Vol. 255. ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 0-387-90786-6. Zbl  0536.14029。
• Serre, J.-P. (1967). 「XIII. 複素乗算」Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht (編).代数的数論. Academic Press. pp.  292– 296.
• 志村五郎(1971).保型関数の数論的理論入門. 日本数学会誌. 第11巻. 東京: 岩波書店. Zbl  0221.10029.
• 志村五郎(1998).複素乗法とモジュラー関数を含むアーベル多様体. プリンストン数学シリーズ. 第46巻. プリンストン大学出版局. ISBN 0-691-01656-9. Zbl  0908.11023。
• シルバーマン、ジョセフ・H. (1986).楕円曲線の算術.大学院数学テキスト. 第106巻.シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-96203-4. Zbl  0585.14026。
• シルバーマン、ジョセフ・H. (2009). 楕円曲線の算術. 大学院数学テキスト. 第106巻（第2版）.シュプリンガー・サイエンス. doi :10.1007/978-0-387-09494-6. ISBN 978-0-387-09493-9。
• シルバーマン、ジョセフ・H. (1994).楕円曲線の算術における高度な話題.数学大学院テキスト. 第151巻.シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-94328-5. Zbl  0911.14015。

外部リンク

• PlanetMath.orgの複素乗算
• PlanetMath.orgからの複素乗算を伴う楕円曲線の例
• リベット, ケネス A. (1995年10月). 「ガロア表現とモジュラー形式」.アメリカ数学会報. 32 (4): 375– 402. arXiv : math/9503219 . CiteSeerX  10.1.1.125.6114 . doi :10.1090/s0273-0979-1995-00616-6. S2CID  16786407.

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