Statistical distribution of complex random variables
確率論 において、 複素正規分布 族（ またはと 表記）は、 実部と虚部が共に 正規分布となる 複素確率変数 を特徴付ける 。 [1]複素正規分布族は、 位置 パラメータ μ 、 共分散 行列 、 関係 行列の 3つのパラメータを持つ 。 標準複素正規分布 は、、、 を 満たす単変量分布である 。 C N {\displaystyle {\mathcal {CN}}} N C {\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {C}}} Γ {\displaystyle \Gamma } C {\displaystyle C} μ = 0 {\displaystyle \mu =0} Γ = 1 {\displaystyle \Gamma =1} C = 0 {\displaystyle C=0}
複素正規分布族の重要なサブクラスは 円対称（中心）複素正規分布 と呼ばれ、関係行列がゼロで平均がゼロ の 場合に対応します 。 [2]このケースは 信号処理 で広く使用されており、 文献では 単に 複素正規分布と呼ばれることもあります。 μ = 0 {\displaystyle \mu =0} C = 0 {\displaystyle C=0}
定義
複素標準正規確率変数 標準 複素正規確率変数 または 標準複素ガウス確率変数 は、実部と虚部が平均0、分散を持つ独立した正規分布に従う確率変数 である 。 [3] : p. 494 [4] : pp. 501 正式には、 Z {\displaystyle Z} 1 / 2 {\displaystyle 1/2}
Z ∼ C N ( 0 , 1 ) ⟺ ℜ ( Z ) ⊥ ⊥ ℑ ( Z ) and ℜ ( Z ) ∼ N ( 0 , 1 / 2 ) and ℑ ( Z ) ∼ N ( 0 , 1 / 2 ) {\displaystyle Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)\quad \iff \quad \Re (Z)\perp \!\!\!\perp \Im (Z){\text{ and }}\Re (Z)\sim {\mathcal {N}}(0,1/2){\text{ and }}\Im (Z)\sim {\mathcal {N}}(0,1/2)} 式1
ここで、 は標準複素正規確率変数である ことを示します。 Z ∼ C N ( 0 , 1 ) {\displaystyle Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)} Z {\displaystyle Z}
複素正規確率変数 とが 実数確率変数で 、が 2次元 正規確率ベクトル であるとする。このとき、複素確率変数は 複素正規確率変数 または 複素ガウス確率変数 と呼ばれる 。 [3] : p. 500 X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} ( X , Y ) T {\displaystyle (X,Y)^{\mathrm {T} }} Z = X + i Y {\displaystyle Z=X+iY}
Z complex normal random variable ⟺ ( ℜ ( Z ) , ℑ ( Z ) ) T real normal random vector {\displaystyle Z{\text{ complex normal random variable}}\quad \iff \quad (\Re (Z),\Im (Z))^{\mathrm {T} }{\text{ real normal random vector}}} 式2
複素標準正規乱数ベクトル n次元複素乱数ベクトル は、 その成分が独立しており、そのすべてが上で定義された標準 複素正規乱数変数である場合、複素標準正規乱数ベクトル または 複素標準ガウス乱数ベクトルと呼ばれます。 [3] ：p.502 [4] ：pp.501 つまり、 標準複素正規乱数ベクトルはと表記されます 。 Z = ( Z 1 , … , Z n ) T {\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{n})^{\mathrm {T} }} Z {\displaystyle \mathbf {Z} } Z ∼ C N ( 0 , I n ) {\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})}
Z ∼ C N ( 0 , I n ) ⟺ ( Z 1 , … , Z n ) independent and for 1 ≤ i ≤ n : Z i ∼ C N ( 0 , 1 ) {\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})\quad \iff (Z_{1},\ldots ,Z_{n}){\text{ independent}}{\text{ and for }}1\leq i\leq n:Z_{i}\sim {\mathcal {CN}}(0,1)} 式3
複素正規乱数ベクトル と が、 を成分 とする 正規乱数ベクトル である ような ランダム ベクトルで あるとき、 複素ランダムベクトルは X = ( X 1 , … , X n ) T {\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\mathrm {T} }} Y = ( Y 1 , … , Y n ) T {\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\mathrm {T} }} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} [ X , Y ] {\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]} 2 n {\displaystyle 2n}
Z = X + i Y {\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} \,} は、複素正規乱数ベクトル または 複素ガウス乱数ベクトル です 。
Z complex normal random vector ⟺ ( ℜ ( Z T ) , ℑ ( Z T ) ) T = ( ℜ ( Z 1 ) , … , ℜ ( Z n ) , ℑ ( Z 1 ) , … , ℑ ( Z n ) ) T real normal random vector {\displaystyle \mathbf {Z} {\text{ complex normal random vector}}\quad \iff \quad (\Re (\mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }),\Im (\mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }))^{\mathrm {T} }=(\Re (Z_{1}),\ldots ,\Re (Z_{n}),\Im (Z_{1}),\ldots ,\Im (Z_{n}))^{\mathrm {T} }{\text{ real normal random vector}}} 式4
平均、共分散、関係 複素ガウス分布は3つのパラメータで記述できる： [5]
μ = E [ Z ] , Γ = E [ ( Z − μ ) ( Z − μ ) H ] , C = E [ ( Z − μ ) ( Z − μ ) T ] , {\displaystyle \mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z} ],\quad \Gamma =\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )({\mathbf {Z} }-\mu )^{\mathrm {H} }],\quad C=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }],} ここで は の 転置行列 、 は 共役転置行列 を表す 。 [ 3] : p. 504 [4] : pp. 500 Z T {\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }} Z {\displaystyle \mathbf {Z} } Z H {\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }}
ここで、 位置パラメータ はn次元複素ベクトルであり、 共分散行列は エルミート かつ 非負定値 であり 、 関係行列 または 擬似共分散行列は 対称 である 。複素正規乱数ベクトルは次 のように表すことができる。 さらに、行列 と 行列は、行列 μ {\displaystyle \mu } Γ {\displaystyle \Gamma } C {\displaystyle C} Z {\displaystyle \mathbf {Z} } Z ∼ C N ( μ , Γ , C ) . {\displaystyle \mathbf {Z} \ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\ \Gamma ,\ C).} Γ {\displaystyle \Gamma } C {\displaystyle C}
P = Γ ¯ − C H Γ − 1 C {\displaystyle P={\overline {\Gamma }}-{C}^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}C} は非負定値であり、 は の複素共役を表す 。 [5] Γ ¯ {\displaystyle {\overline {\Gamma }}} Γ {\displaystyle \Gamma }
共分散行列間の関係 任意の複素ランダムベクトルと同様に、行列 とを 式 を介して 共分散行列とに関連付けることができる。 Γ {\displaystyle \Gamma } C {\displaystyle C} X = ℜ ( Z ) {\displaystyle \mathbf {X} =\Re (\mathbf {Z} )} Y = ℑ ( Z ) {\displaystyle \mathbf {Y} =\Im (\mathbf {Z} )}
V X X ≡ E [ ( X − μ X ) ( X − μ X ) T ] = 1 2 Re [ Γ + C ] , V X Y ≡ E [ ( X − μ X ) ( Y − μ Y ) T ] = 1 2 Im [ − Γ + C ] , V Y X ≡ E [ ( Y − μ Y ) ( X − μ X ) T ] = 1 2 Im [ Γ + C ] , V Y Y ≡ E [ ( Y − μ Y ) ( Y − μ Y ) T ] = 1 2 Re [ Γ − C ] , {\displaystyle {\begin{aligned}&V_{XX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma +C],\quad V_{XY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [-\Gamma +C],\\&V_{YX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [\Gamma +C],\quad \,V_{YY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma -C],\end{aligned}}} そして逆に
Γ = V X X + V Y Y + i ( V Y X − V X Y ) , C = V X X − V Y Y + i ( V Y X + V X Y ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma =V_{XX}+V_{YY}+i(V_{YX}-V_{XY}),\\&C=V_{XX}-V_{YY}+i(V_{YX}+V_{XY}).\end{aligned}}}
密度関数 複素正規分布の確率密度関数は次のように計算できる。
f ( z ) = 1 π n det ( Γ ) det ( P ) exp { − 1 2 [ z − μ z ¯ − μ ¯ ] H [ Γ C C ¯ Γ ¯ ] − 1 [ z − μ z ¯ − μ ¯ ] } = det ( P − 1 ¯ − R ∗ P − 1 R ) det ( P − 1 ) π n e − ( z − μ ) ∗ P − 1 ¯ ( z − μ ) + Re ( ( z − μ ) ⊺ R ⊺ P − 1 ¯ ( z − μ ) ) , {\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&={\frac {1}{\pi ^{n}{\sqrt {\det(\Gamma )\det(P)}}}}\,\exp \!\left\{-{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}z-\mu \\{\overline {z}}-{\overline {\mu }}\end{bmatrix}}^{\mathrm {H} }{\begin{bmatrix}\Gamma &C\\{\overline {C}}&{\overline {\Gamma }}\end{bmatrix}}^{\!\!-1}\!{\begin{bmatrix}z-\mu \\{\overline {z}}-{\overline {\mu }}\end{bmatrix}}\right\}\\[8pt]&={\tfrac {\sqrt {\det \left({\overline {P^{-1}}}-R^{\ast }P^{-1}R\right)\det(P^{-1})}}{\pi ^{n}}}\,e^{-(z-\mu )^{\ast }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )+\operatorname {Re} \left((z-\mu )^{\intercal }R^{\intercal }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )\right)},\end{aligned}}} ここで 、および 。 R = C H Γ − 1 {\displaystyle R=C^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}} P = Γ ¯ − R C {\displaystyle P={\overline {\Gamma }}-RC}
特性関数 複素正規分布の特性関数は[5]で 与え られる 。
φ ( w ) = exp { i Re ( w ¯ ′ μ ) − 1 4 ( w ¯ ′ Γ w + Re ( w ¯ ′ C w ¯ ) ) } , {\displaystyle \varphi (w)=\exp \!{\big \{}i\operatorname {Re} ({\overline {w}}'\mu )-{\tfrac {1}{4}}{\big (}{\overline {w}}'\Gamma w+\operatorname {Re} ({\overline {w}}'C{\overline {w}}){\big )}{\big \}},} ここで、引数は n 次元の複素ベクトルです 。 w {\displaystyle w}
プロパティ が複素正規 n ベクトル、 m ×n 行列、 定数 m ベクトルの場合 、線形変換 も複素正規分布になります。 Z {\displaystyle \mathbf {Z} } A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} b {\displaystyle b} A Z + b {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} +b} Z ∼ C N ( μ , Γ , C ) ⇒ A Z + b ∼ C N ( A μ + b , A Γ A H , A C A T ) {\displaystyle Z\ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\,\Gamma ,\,C)\quad \Rightarrow \quad AZ+b\ \sim \ {\mathcal {CN}}(A\mu +b,\,A\Gamma A^{\mathrm {H} },\,ACA^{\mathrm {T} })} が複素正規 n ベクトルの場合 、 Z {\displaystyle \mathbf {Z} } 2 [ ( Z − μ ) H P − 1 ¯ ( Z − μ ) − Re ( ( Z − μ ) T R T P − 1 ¯ ( Z − μ ) ) ] ∼ χ 2 ( 2 n ) {\displaystyle 2{\Big [}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {H} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu )-\operatorname {Re} {\big (}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }R^{\mathrm {T} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu ){\big )}{\Big ]}\ \sim \ \chi ^{2}(2n)} 中心極限定理 。 独立かつ同一分布に従う複素確率変数の場合、 Z 1 , … , Z T {\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{T}} T ( 1 T ∑ t = 1 T Z t − E [ Z t ] ) → d C N ( 0 , Γ , C ) , {\displaystyle {\sqrt {T}}{\Big (}{\tfrac {1}{T}}\textstyle \sum _{t=1}^{T}Z_{t}-\operatorname {E} [Z_{t}]{\Big )}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma ,\,C),} ここで 、および 。 Γ = E [ Z Z H ] {\displaystyle \Gamma =\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {H} }]} C = E [ Z Z T ] {\displaystyle C=\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {T} }]}
円対称の中央ケース
意味 複素乱数ベクトルは、 任意の決定論的 ベクトルに対して の分布が の分布に等しいとき 、円対称 であるという 。 [4] : pp. 500–501 Z {\displaystyle \mathbf {Z} } φ ∈ [ − π , π ) {\displaystyle \varphi \in [-\pi ,\pi )} e i φ Z {\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }\mathbf {Z} } Z {\displaystyle \mathbf {Z} }
円対称の中心正規複素ランダムベクトルは、共分散行列によって完全に指定されるため、特に重要です 。 Γ {\displaystyle \Gamma }
円 対称（中心）複素正規分布は、 平均と関係行列がゼロの場合、すなわち、 およびに対応する 。 [3] : p. 507 [7] これは通常、次のように表記される。 μ = 0 {\displaystyle \mu =0} C = 0 {\displaystyle C=0}
Z ∼ C N ( 0 , Γ ) {\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma )}
実部と虚部の分布 が円対称（中心）複素正規分布である 場合、ベクトルは 共分散構造を持つ多変量正規分布である。 Z = X + i Y {\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} } [ X , Y ] {\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}
( X Y ) ∼ N ( [ 0 0 ] , 1 2 [ Re Γ − Im Γ Im Γ Re Γ ] ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {X} \\\mathbf {Y} \end{pmatrix}}\ \sim \ {\mathcal {N}}{\Big (}{\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},\ {\tfrac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \,\Gamma &-\operatorname {Im} \,\Gamma \\\operatorname {Im} \,\Gamma &\operatorname {Re} \,\Gamma \end{bmatrix}}{\Big )}} どこ 。 Γ = E [ Z Z H ] {\displaystyle \Gamma =\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }]}
確率密度関数 非特異共分散行列の場合 、その分布は次のように簡略化される [3] ：p.508 Γ {\displaystyle \Gamma }
f Z ( z ) = 1 π n det ( Γ ) e − ( z − μ ) H Γ − 1 ( z − μ ) {\displaystyle f_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )={\tfrac {1}{\pi ^{n}\det(\Gamma )}}\,e^{-(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )}} 。 したがって、非ゼロ平均 と共分散行列 が不明な場合、単一の観測ベクトルに対する適切な対数尤度関数は 次のようになる。 μ {\displaystyle \mu } Γ {\displaystyle \Gamma } z {\displaystyle z}
ln ( L ( μ , Γ ) ) = − ln ( det ( Γ ) ) − ( z − μ ) ¯ ′ Γ − 1 ( z − μ ) − n ln ( π ) . {\displaystyle \ln(L(\mu ,\Gamma ))=-\ln(\det(\Gamma ))-{\overline {(z-\mu )}}'\Gamma ^{-1}(z-\mu )-n\ln(\pi ).} 標準 複素正規分布 （ 式1 で定義）は、、 および を満たすスカラー確率変数の分布に対応する 。したがって、標準複素正規分布の密度は μ = 0 {\displaystyle \mu =0} C = 0 {\displaystyle C=0} Γ = 1 {\displaystyle \Gamma =1}
f Z ( z ) = 1 π e − z ¯ z = 1 π e − | z | 2 . {\displaystyle f_{Z}(z)={\tfrac {1}{\pi }}e^{-{\overline {z}}z}={\tfrac {1}{\pi }}e^{-|z|^{2}}.}
プロパティ 上記の式は 、の場合がなぜ 「円対称」と呼ばれるのかを示しています。密度関数は の大きさのみに依存し 、その 偏角 には依存しません。そのため、標準的な複素正規確率変数の 大きさは レイリー分布に従い、その二乗は 指数分布 に従いますが、 偏角は 上で 一様 分布します 。 C = 0 {\displaystyle C=0} μ = 0 {\displaystyle \mu =0} z {\displaystyle z} | z | {\displaystyle |z|} | z | 2 {\displaystyle |z|^{2}} [ − π , π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]}
が独立かつ同一分布に従う n 次元の円複素正規乱数ベクトルで、 の 場合 、乱数の2乗ノルム { Z 1 , … , Z k } {\displaystyle \left\{\mathbf {Z} _{1},\ldots ,\mathbf {Z} _{k}\right\}} μ = 0 {\displaystyle \mu =0}
Q = ∑ j = 1 k Z j H Z j = ∑ j = 1 k ‖ Z j ‖ 2 {\displaystyle Q=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }\mathbf {Z} _{j}=\sum _{j=1}^{k}\|\mathbf {Z} _{j}\|^{2}} 一般化カイ二乗分布 とランダム行列 を持つ
W = ∑ j = 1 k Z j Z j H {\displaystyle W=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }} 自由度を持つ 複素ウィシャート分布 に従う 。この分布は密度関数で記述できる。 k {\displaystyle k}
f ( w ) = det ( Γ − 1 ) k det ( w ) k − n π n ( n − 1 ) / 2 ∏ j = 1 k ( k − j ) ! e − tr ( Γ − 1 w ) {\displaystyle f(w)={\frac {\det(\Gamma ^{-1})^{k}\det(w)^{k-n}}{\pi ^{n(n-1)/2}\prod _{j=1}^{k}(k-j)!}}\ e^{-\operatorname {tr} (\Gamma ^{-1}w)}} ここで 、は 非負定値行列 です。 k ≥ n {\displaystyle k\geq n} w {\displaystyle w} n × n {\displaystyle n\times n}
参照
参考文献 ^ Goodman, NR (1963). 「ある多変量複素ガウス分布に基づく統計解析（入門）」. 数理統計年報 . 34 (1): 152– 177. doi : 10.1214/aoms/1177704250 . JSTOR 2991290. ^ 本の章、Gallager.R、9ページ。 ^ abcdef Lapidoth, A. (2009). 『デジタルコミュニケーションの基礎』 ケンブリッジ大学出版局. ISBN 9780521193955 。 ^ abcd Tse, David (2005). 無線通信の基礎. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 9781139444668 。 ^ abc Picinbono, Bernard (1996). 「2次複素ランダムベクトルと正規分布」. IEEE Transactions on Signal Processing . 44 (10): 2637– 2640. Bibcode :1996ITSP...44.2637P. doi :10.1109/78.539051. ^ Daniel Wollschlaeger. 「Hoyt分布（Rパッケージ「shotGroups」バージョン0.6.2のドキュメント）」 [ 永久リンク切れ ] ^ 本の章、Gallager.R
離散 一変数
連続 一変量
制限された間隔 でサポートされている 半無限 間隔 でサポートされている 実数直線 全体で サポートされている さまざまなタイプの サポート付き
混合 単変量
多変量 （ジョイント） 方向性 退化 と 特異性 家族
![{\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39633a1d2cf0edd432b5ceee258360ac47ebf9db)
![{\displaystyle \mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z} ],\quad \Gamma =\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )({\mathbf {Z} }-\mu )^{\mathrm {H} }],\quad C=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8186b266f6fa5b1c962c01bcc77a666d4ae579b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&V_{XX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma +C],\quad V_{XY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [-\Gamma +C],\\&V_{YX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [\Gamma +C],\quad \,V_{YY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma -C],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7816194d319a6f156db69f13e9f2add16b9937fe)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&={\frac {1}{\pi ^{n}{\sqrt {\det(\Gamma )\det(P)}}}}\,\exp \!\left\{-{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}z-\mu \\{\overline {z}}-{\overline {\mu }}\end{bmatrix}}^{\mathrm {H} }{\begin{bmatrix}\Gamma &C\\{\overline {C}}&{\overline {\Gamma }}\end{bmatrix}}^{\!\!-1}\!{\begin{bmatrix}z-\mu \\{\overline {z}}-{\overline {\mu }}\end{bmatrix}}\right\}\\[8pt]&={\tfrac {\sqrt {\det \left({\overline {P^{-1}}}-R^{\ast }P^{-1}R\right)\det(P^{-1})}}{\pi ^{n}}}\,e^{-(z-\mu )^{\ast }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )+\operatorname {Re} \left((z-\mu )^{\intercal }R^{\intercal }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )\right)},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/736e45cbaf3e68d9ca78dbb9cafda0402ed3c4b3)
![{\displaystyle 2{\Big [}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {H} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu )-\operatorname {Re} {\big (}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }R^{\mathrm {T} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu ){\big )}{\Big ]}\ \sim \ \chi ^{2}(2n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4752c39ed434c1a5f987accdda45de63384153f)
![{\displaystyle {\sqrt {T}}{\Big (}{\tfrac {1}{T}}\textstyle \sum _{t=1}^{T}Z_{t}-\operatorname {E} [Z_{t}]{\Big )}\ \xrightarrow {d} \ {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma ,\,C),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a8e03845ead334b995c22f8fb6a63887477b36d)
![{\displaystyle \Gamma =\演算子名 {E} [ZZ^{\mathrm {H} }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/040fb5df40ce465da42594603d54e851879ccdf9)
![{\displaystyle C=\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {T} }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d57ca27eba4a64bb77bac89459414af49a542522)
![{\displaystyle \Gamma =\演算子名 {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5664837bef03da1b45373e4aefa316892ccf80ed)
![{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb064fd6c55820cfa660eabeeda0f6e3c4935ae6)
