Aspect of probability theory
確率論 において 、 複合ポアソン分布 とは、複数の 独立かつ同一分布に従う確率変数の和の 確率分布 であり 、加算される項の数自体が ポアソン分布に従う変数である。結果は 連続 分布または 離散分布の いずれかとなる 。
意味 仮に
N ∼ Poisson ( λ ) , {\displaystyle N\sim \operatorname {Poisson} (\lambda ),} すなわち、 N は、その分布が 期待値 λ の ポアソン分布に 従う確率変数 であり、
X 1 , X 2 , X 3 , … {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots } は互いに独立で、かつ N にも依存しない同一分布に従う確率変数である。したがって、 iid確率変数 の和の確率分布は N {\displaystyle N}
Y = ∑ n = 1 N X n {\displaystyle Y=\sum _{n=1}^{N}X_{n}} 複合ポアソン分布です。
N = 0の場合 、これは 0 項の合計なので、 Yの値は 0 になります。したがって、 N = 0 を与えられた Y の条件付き分布は 退化した分布 です。
複合ポアソン分布は、 ( Y 、 N )の結合分布を N上で周辺化することによって得られ、この結合分布は条件付き分布 Y | Nと N の周辺分布を 組み合わせることによって得られます 。
プロパティ 複合分布の期待 値 と 分散は、 総期待値の法則 と 総分散の法則 から簡単に導くことができる 。つまり、
E ( Y ) = E [ E ( Y ∣ N ) ] = E [ N E ( X ) ] = E ( N ) E ( X ) , {\displaystyle \operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} \left[\operatorname {E} (Y\mid N)\right]=\operatorname {E} \left[N\operatorname {E} (X)\right]=\operatorname {E} (N)\operatorname {E} (X),} Var ( Y ) = E [ Var ( Y ∣ N ) ] + Var [ E ( Y ∣ N ) ] = E [ N Var ( X ) ] + Var [ N E ( X ) ] , = E ( N ) Var ( X ) + ( E ( X ) ) 2 Var ( N ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (Y)&=\operatorname {E} \left[\operatorname {Var} (Y\mid N)\right]+\operatorname {Var} \left[\operatorname {E} (Y\mid N)\right]=\operatorname {E} \left[N\operatorname {Var} (X)\right]+\operatorname {Var} \left[N\operatorname {E} (X)\right],\\[6pt]&=\operatorname {E} (N)\operatorname {Var} (X)+\left(\operatorname {E} (X)\right)^{2}\operatorname {Var} (N).\end{aligned}}} そして、 N がポアソン分布に従う場合、 E( N ) = Var( N )となるので 、これらの式は次のように簡約できる。
E ( Y ) = E ( N ) E ( X ) = λ E ( X ) , {\displaystyle \operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} (N)\operatorname {E} (X)=\lambda \operatorname {E} (X),} Var ( Y ) = E ( N ) ( Var ( X ) + ( E ( X ) ) 2 ) = E ( N ) E ( X 2 ) = λ E ( X 2 ) . {\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\operatorname {E} (N)(\operatorname {Var} (X)+(\operatorname {E} (X))^{2})=\operatorname {E} (N){\operatorname {E} (X^{2})}=\lambda {\operatorname {E} (X^{2})}.} Y の確率分布は 特性関数 によって決定できる 。
φ Y ( t ) = E ( e i t Y ) = E ( ( E ( e i t X ∣ N ) ) N ) = E ( ( φ X ( t ) ) N ) , {\displaystyle \varphi _{Y}(t)=\operatorname {E} (e^{itY})=\operatorname {E} \left(\left(\operatorname {E} (e^{itX}\mid N)\right)^{N}\right)=\operatorname {E} \left((\varphi _{X}(t))^{N}\right),\,} したがって、 ポアソン分布の 確率生成関数を用いると、
φ Y ( t ) = e λ ( φ X ( t ) − 1 ) . {\displaystyle \varphi _{Y}(t)={\textrm {e}}^{\lambda (\varphi _{X}(t)-1)}.\,} 代替アプローチは、 キュムラント生成関数 を使用することです。
K Y ( t ) = ln E [ e t Y ] = ln E [ E [ e t Y ∣ N ] ] = ln E [ e N K X ( t ) ] = K N ( K X ( t ) ) . {\displaystyle K_{Y}(t)=\ln \operatorname {E} [e^{tY}]=\ln \operatorname {E} [\operatorname {E} [e^{tY}\mid N]]=\ln \operatorname {E} [e^{NK_{X}(t)}]=K_{N}(K_{X}(t)).\,} 全キュムラントの法則 によれば、ポアソン分布の平均 λ = 1のとき、 Y の キュムラントは X 1 の モーメント と同じである ことが示される 。 [ 要出典 ]
無限に割り切れる 確率分布はすべて 、複合ポアソン分布の極限である。 [1] そして、複合ポアソン分布は定義により無限に割り切れる。
離散複合ポアソン分布 が正の整数値iid確率変数で、を満たす とき 、この複合ポアソン分布は 離散複合ポアソン分布 [2] [3] [4] （またはスタッターリングポアソン分布 [5] ）と呼ばれる。 確率生成関数の 特性 を満たす 離散確率変数は、 X 1 , X 2 , X 3 , … {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots } P ( X 1 = k ) = α k , ( k = 1 , 2 , … ) {\displaystyle P(X_{1}=k)=\alpha _{k},\ (k=1,2,\ldots )} Y {\displaystyle Y}
P Y ( z ) = ∑ i = 0 ∞ P ( Y = i ) z i = exp ( ∑ k = 1 ∞ α k λ ( z k − 1 ) ) , ( | z | ≤ 1 ) {\displaystyle P_{Y}(z)=\sum \limits _{i=0}^{\infty }P(Y=i)z^{i}=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}\lambda (z^{k}-1)\right),\quad (|z|\leq 1)} は離散複合ポアソン分布（DCP）に従う分布であり、パラメータは （ただし 、 ）であり、次のように表される。 ( α 1 λ , α 2 λ , … ) ∈ R ∞ {\displaystyle (\alpha _{1}\lambda ,\alpha _{2}\lambda ,\ldots )\in \mathbb {R} ^{\infty }} ∑ i = 1 ∞ α i = 1 {\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}=1} α i ≥ 0 , λ > 0 {\textstyle \alpha _{i}\geq 0,\lambda >0}
X ∼ DCP ( λ α 1 , λ α 2 , … ) {\displaystyle X\sim {\text{DCP}}(\lambda {\alpha _{1}},\lambda {\alpha _{2}},\ldots )} さらに、 の場合、 は 次数 の離散複合ポアソン分布を持つ と言えます 。 のとき 、DCP はそれぞれ ポアソン分布 と エルミート分布 になります。 のとき 、DCP はそれぞれ三重スタッタリングポアソン分布と四重スタッタリングポアソン分布になります。 [6] その他の特殊なケースには、シフト幾何 分布 、 負の二項分布 、 幾何ポアソン分布 、 ネイマン A 型分布、 ルリア–デルブリュック実験 におけるルリア–デルブリュック分布などがあります 。DCP のより特殊なケースについては、レビュー論文 [7] とその中の参考文献を参照してください。 X ∼ DCP ( λ α 1 , … , λ α r ) {\displaystyle X\sim {\operatorname {DCP} }(\lambda {\alpha _{1}},\ldots ,\lambda {\alpha _{r}})} X {\displaystyle X} r {\displaystyle r} r = 1 , 2 {\displaystyle r=1,2} r = 3 , 4 {\displaystyle r=3,4}
フェラーによる複合ポアソン分布の特徴付けによれば、非負整数rvは、 その分布が離散複合ポアソン分布である場合に限り、 無限に割り切れる 。 [8] 負 の二項分布は 離散 無限に割り切れる 。すなわち、 Xが 負の二項分布に従う場合、任意の正の整数 nに対して、その和が X と同じ分布に従う 離散iid確率変数 X 1 , ..., X nが 存在する。シフト 幾何分布は、 負の二項分布 の自明なケースであるため、離散複合ポアソン分布である 。 X {\displaystyle X}
この分布は、（例えば バルクキュー [5] [9] における）バッチ到着をモデル化することができます。離散複合ポアソン分布は、 保険数理学 において総請求額の分布をモデル化するために広く用いられています。 [3]
いくつかが 負の場合には、離散擬似複合ポアソン分布となる。 [3] 確率生成関数の 特性 を満たす 任意の離散確率変数を次のように定義する。 α k {\displaystyle \alpha _{k}} Y {\displaystyle Y}
G Y ( z ) = ∑ i = 0 ∞ P ( Y = i ) z i = exp ( ∑ k = 1 ∞ α k λ ( z k − 1 ) ) , ( | z | ≤ 1 ) {\displaystyle G_{Y}(z)=\sum \limits _{i=0}^{\infty }P(Y=i)z^{i}=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}\lambda (z^{k}-1)\right),\quad (|z|\leq 1)} は、パラメータ および の離散擬似複合ポアソン分布を持ち 、 となります 。 ( λ 1 , λ 2 , … ) =: ( α 1 λ , α 2 λ , … ) ∈ R ∞ {\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots )=:(\alpha _{1}\lambda ,\alpha _{2}\lambda ,\ldots )\in \mathbb {R} ^{\infty }} ∑ i = 1 ∞ α i = 1 {\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }{\alpha _{i}}=1} ∑ i = 1 ∞ | α i | < ∞ {\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }{\left|{\alpha _{i}}\right|}<\infty } α i ∈ R , λ > 0 {\displaystyle {\alpha _{i}}\in \mathbb {R} ,\lambda >0}
複合ポアソンガンマ分布 Xが ガンマ分布 に従う 場合（ 指数分布 はその特別な場合である ） 、 Y | N の条件付き分布 もガンマ分布となる。Yの周辺分布は、 分散指数1 < p < 2の Tweedie分布 である（ 特性関数 の比較による証明 ）。 [10] より明確に言えば、
N ∼ Poisson ( λ ) , {\displaystyle N\sim \operatorname {Poisson} (\lambda ),} そして
X i ∼ Γ ( α , β ) {\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {\Gamma } (\alpha ,\beta )} iidの場合、
Y = ∑ i = 1 N X i {\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}} は 、 E D ( μ , σ 2 ) {\displaystyle ED(\mu ,\sigma ^{2})}
E [ Y ] = λ α β =: μ , Var [ Y ] = λ α ( 1 + α ) β 2 =: σ 2 μ p . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [Y]&=\lambda {\frac {\alpha }{\beta }}=:\mu ,\\[4pt]\operatorname {Var} [Y]&=\lambda {\frac {\alpha (1+\alpha )}{\beta ^{2}}}=:\sigma ^{2}\mu ^{p}.\end{aligned}}} Tweedie パラメータとポアソン パラメータおよびガンマ パラメータ のマッピングは 次のとおりです。 μ , σ 2 , p {\displaystyle \mu ,\sigma ^{2},p} λ , α , β {\displaystyle \lambda ,\alpha ,\beta }
λ = μ 2 − p ( 2 − p ) σ 2 , α = 2 − p p − 1 , β = μ 1 − p ( p − 1 ) σ 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &={\frac {\mu ^{2-p}}{(2-p)\sigma ^{2}}},\\[4pt]\alpha &={\frac {2-p}{p-1}},\\[4pt]\beta &={\frac {\mu ^{1-p}}{(p-1)\sigma ^{2}}}.\end{aligned}}}
複合ポアソン過程 速度 とジャンプサイズの分布 G を持つ複合 ポアソン過程は 、次式で表される 連続時間 確率過程である。 λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} { Y ( t ) : t ≥ 0 } {\displaystyle \{\,Y(t):t\geq 0\,\}}
Y ( t ) = ∑ i = 1 N ( t ) D i , {\displaystyle Y(t)=\sum _{i=1}^{N(t)}D_{i},} ここで、 N ( t ) = 0 である限り、和は慣例的にゼロになる。ここで、 は 速度 の ポアソン過程 であり、 は独立かつ同一分布に従う確率変数であり、分布関数 Gを持ち、 [11] からも独立である。 { N ( t ) : t ≥ 0 } {\displaystyle \{\,N(t):t\geq 0\,\}} λ {\displaystyle \lambda } { D i : i ≥ 1 } {\displaystyle \{\,D_{i}:i\geq 1\,\}} { N ( t ) : t ≥ 0 } . {\displaystyle \{\,N(t):t\geq 0\,\}.\,}
複合ポアソン過程の離散バージョンは、 脆弱性モデルの 生存分析に使用できます。 [12]
アプリケーション Revfeimは、指数分布 に従う複合ポアソン分布 を用いて、1日の総降雨量の分布をモデル化した。各日にはポアソン分布に従うイベントが含まれ、各イベントは指数分布に従う降雨量をもたらす。 [13] Thompsonは同じモデルを月間総降雨量に適用した。 [14]
保険金請求 [15] [16] や X線コンピュータ断層撮影 [17] [18] [19] への応用もある 。
参照
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離散 一変数
連続 一変量
制限された間隔 でサポートされている 半無限 間隔 でサポートされている 実数直線 全体で サポートされている さまざまなタイプの サポート付き
混合 単変量
多変量 （ジョイント） 方向性 退化 と 特異性 家族
![{\displaystyle \operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} \left[\operatorname {E} (Y\mid N)\right]=\operatorname {E} \left[N\operatorname {E} (X)\right]=\operatorname {E} (N)\operatorname {E} (X),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbf2d81ae11e7ddc4afcc40b8d46bad75382f0f3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (Y)&=\operatorname {E} \left[\operatorname {Var} (Y\mid N)\right]+\operatorname {Var} \left[\operatorname {E} (Y\mid N)\right]=\operatorname {E} \left[N\operatorname {Var} (X)\right]+\operatorname {Var} \left[N\operatorname {E} (X)\right],\\[6pt]&=\operatorname {E} (N)\operatorname {Var} (X)+\left(\operatorname {E} (X)\right)^{2}\operatorname {Var} (N).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d33fcad106778ee27d263e162f8e9622802a104c)
![{\displaystyle K_{Y}(t)=\ln \operatorname {E} [e^{tY}]=\ln \operatorname {E} [\operatorname {E} [e^{tY}\mid N]]=\ln \operatorname {E} [e^{NK_{X}(t)}]=K_{N}(K_{X}(t)).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74ece4e0371220b60b44eff6c31b2cd931556ab5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [Y]&=\lambda {\frac {\alpha }{\beta }}=:\mu ,\\[4pt]\operatorname {Var} [Y]&=\lambda {\frac {\alpha (1+\alpha )}{\beta ^{2}}}=:\sigma ^{2}\mu ^{p}.\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32374b314484c515652fe03a0dc0898bfc2a057c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &={\frac {\mu ^{2-p}}{(2-p)\sigma ^{2}}},\\[4pt]\alpha &={\frac {2-p}{p-1}},\\[4pt]\beta &={\frac {\mu ^{1-p}}{(p-1)\sigma ^{2}}}.\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a9c48879da7cfbeba555071fd08487d8554c200)
