推測のバリエーション

寡占理論において、推測的変動とは、ある企業が自社の生産量や価格を変更した場合に競合他社がどのように反応するかについて、ある程度の見当をつけているという確信のことである。企業は、自社の生産量の変化に伴う、他の企業の生産量の変動について推測する。

例えば、古典的なクールノー寡占モデルでは、各企業は自社の生産量を選択する際に、他の企業の生産量を所与のものとして扱うと仮定されます。これは標準的なナッシュ均衡の概念の根底にあるため、「ナッシュ予想」と呼ばれることもあります。しかし、別の仮定も考えられます。同じ財を生産する2つの企業があり、産業価格は2つの企業の生産量の合計によって決まるとします（クールノーの1838年のオリジナルの説明における水資源複占を思い浮かべてください）。ここで、各企業が「ベルトラン予想」と呼ばれる-1の仮定を持っているとします。これは、企業Aが生産量を増加させた場合、企業Bは企業Aの増加分を正確に相殺するように生産量を減らすと予想し、その結果、総生産量、ひいては価格が変わらないことを意味します。ベルトラン予想では、各企業は、他の企業が総生産量が一定になるように生産量を調整すると信じているため、市場価格は自社の生産量に影響されないと信じているかのように行動します。もう一方の極端な例は、共同利潤最大化仮説+1です。この場合、各企業は、相手企業が自らの生産量の変化をそのまま模倣すると信じており、その結果（限界費用が一定であれば）、両企業は単一の独占供給者のように行動することになります。

歴史

推測の概念は、1924年にアーサー・ボウリー^[1]とラグナー・フリッシュ(1933年) ^[2]が推測的変動均衡を発表して以来、産業組織論において長い歴史を維持してきた(この歴史の有用な要約はジョコリ^[3]によって提供されている)。推測的変動(以下CV)モデルは、競争的から協力的まで、幅広い行動結果を捉えることができるだけでなく、単純な経済的解釈ができるパラメータを1つ持っている。CVモデルは、標準的なナッシュ均衡よりも企業行動のより一般的な記述を提供するという意味で、企業行動の実証分析においても非常に有用であることがわかっている。

スティーブン・マーティンは次のように主張している。

異なる市場における寡占企業の相互作用は多様であると考えるに足る十分な根拠があり、そうした相互作用を幅広く捉えられるモデルは有用である。いずれにせよ、産業経済学における実証研究の具体化を導く上で、推測的寡占モデルはゲーム理論的寡占モデルよりも有用であった。^[4]

一貫した推測

企業の CV は、その反応関数の傾きを決定します。たとえば、標準的なクールノー モデルでは、予想はゼロ反応ですが、クールノー反応関数の実際の傾きは負です。反応関数の実際の傾きが予想と等しくなるように要求するとどうなるでしょうか。一部の経済学者は、一貫性条件によって推測を特定できると主張しました。最も有名なのは 1981 年の Timothy Bresnahanです^。[5] Bresnahan の一貫性は、反応関数の実際の傾きが均衡出力で推測と等しくなることを要求するローカル条件でした。線形の産業需要と 2 次費用では、これは、一貫性のある推測が限界費用関数の傾きに依存するという結果をもたらしました。たとえば、形式 cost = ax ² (以下を参照) の 2 次費用では、一貫性のある推測は一意であり、 によって決定されます。a=0の場合、唯一の一貫した予想はベルトラン予想であり、a が大きくなるにつれて、一貫した予想は増加します (負の値が小さくなります) が、有限のaに対しては常にゼロ未満になります。 ${\displaystyle \phi ^{*}=-1}$

一貫性のある推測の概念は、多くの著名な経済学者から批判された。^{[6] [7]本質的に、一貫性のある推測の概念は、}ゲーム理論で採用されている合理性の標準的なモデルと互換性がないと考えられていた。

しかし、1990年代には進化ゲーム理論が経済学で流行しました。このアプローチは、一貫性のある推測の進化の基礎を提供できることが認識されました。ヒュー・ディクソンとエルネスト・ソマ^[8]は、企業の推測をミーム（遺伝子の文化的な同等物）として扱うことができることを示しました。彼らは、標準的なクールノーモデルにおいて、一貫性のある推測は進化的に安定な戦略、すなわちESS ^[9]であると示しました。著者らが主張するように、「信念は行動を決定し、行動は報酬を決定する。進化論的な観点から見ると、より高い報酬につながる行動はより一般的になる」のです。長期的には、一貫性のある推測を持つ企業はより大きな利益を上げ、優位に立つ傾向があります。

数学的例1: CV付きクールノーモデル

二つの企業XとYがあり、それぞれの生産量はxとyであるとする。市場価格Pは線形需要曲線によって与えられる。

${\displaystyle P=1-x-y}$

すると、X社の総収入は

${\displaystyle xP=x(1-x-y)=x-x^{2}-xy}$

簡単にするために、クールノーの 1838 年のモデルに従い、生産コストは存在せず、利益は収益に等しいと仮定しましょう。 ${\displaystyle \Pi =x-x^{2}-xy}$

推測のバリエーションにより、企業の第一条件は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {d\Pi }{dx}}=(1-2x-y)-x{\frac {dy}{dx}}=0}$

ここで、企業は相手企業の反応についてどのように推測するか、つまり推測変動、つまりCV項を推測します。この一次最適化条件は、企業の反応関数を定義します。これは、与えられたCVに対して、相手企業の生産量を前提とした最適な生産量の選択を示します。 ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\phi }$

${\displaystyle x=R(y,\phi )={\frac {1-y}{2+\phi }}}$

クールノー＝ナッシュ予想は であり、この場合、標準的なクールノー反応関数となる。CV項は反応関数をシフトさせ、そして最も重要なのは、その傾きを変化させる。両企業のCVが同じである対称均衡を解くには、反応関数がx=y直線を通ることに注意するだけでよい。つまり、 ${\displaystyle \phi =0}$

${\displaystyle y={\frac {1-x}{2+\phi }}}$したがって対称均衡では均衡価格は となる。 ${\displaystyle x^{*}=y^{*}={\frac {1}{3+\phi }}}$ ${\displaystyle P^{*}={\frac {1+\phi }{3+\phi }}}$

クールノー＝ナッシュ予想が成り立つ場合、 となる標準的なクールノー均衡が成立します。しかし、ベルトラン予想が成り立つ場合、価格が限界費用（ここではゼロ）に等しい完全競争の結果が得られます。共同利潤最大化予想を仮定すると、両企業は独占生産量の半分を生産し、価格は独占価格 となります。 ${\displaystyle \phi =0}$ ${\displaystyle P^{*}={\frac {1}{3}}}$ ${\displaystyle \phi =-1}$ ${\displaystyle \phi =+1}$ ${\displaystyle P^{*}={\frac {1}{2}}}$

したがって、CV 項は、標準的なクールノー モデルを含む、競争から独占の結果まで、可能性のある市場結果の全範囲を表すことができる単純な行動パラメーターです。 ${\displaystyle \phi }$

数学的例2：一貫性

前の例を考えてみましょう。生産コストを cost = ax ²の形にすると、利益関数（収益からコストを差し引いたもの）は（企業Xの場合、企業Yの場合も同様）次のようになります。

${\displaystyle \Pi =(x-x^{2}-xy)-{\frac {a.x^{2}}{2}}}$

第一条件は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {d\Pi }{dx}}=(1-2x-y)-x{\frac {dy}{dx}}-ax=0}$

これは企業Xの反応関数を次のように定義します。

${\displaystyle x=R(y,\phi )={\frac {1-y}{2+a+\phi }}}$

これは傾きを持っています（出力空間で）

${\displaystyle R_{y}=-{\frac {1}{2+a+\phi }}}$

企業Yについても同様であり、企業Yも（我々は同じ予想を持つと仮定する）同じである。一貫性が何を意味するかを理解するために、限界費用が一定であるa=0の単純なクールノー予想を考えてみよう。この場合、反応関数の傾きは-1/2であり、これは予想と「矛盾」する。ブレスネハン一貫性条件は、予想された傾きが実際の傾きと等しいことであり、これは次のことを意味する。 ${\displaystyle \phi =0}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle R_{y}}$

${\displaystyle \phi =-{\frac {1}{2+a+\phi }}}$

これは、唯一の一貫した推測を与える二次方程式である。

${\displaystyle \phi ^{*}=-(1+{\frac {a}{2}})+{\sqrt {\frac {4a+a^{2}}{4}}}}$

これは二次方程式の正の根です。負の解は-1よりも負の値をとる予想となり、2階の条件に違反します。この例からわかるように、a=0（限界費用が水平）のとき、ベルトラン予想は整合しています。限界費用の勾配が大きくなる（aが大きくなる）につれて、整合予想は大きくなります。整合予想は、有限のaに対しては常に0未満になることに注意してください。 ${\displaystyle \phi ^{*}=-1}$

注記

1. Bowley, AL (1924). 『経済学の数学的基礎』オックスフォード大学出版局.
2. Frisch R. 1951 [1933]. 独占・ポリポリ・経済における力の概念、国際経済論文、1、23-36。
3. Giocoli N (2005). 推測的変動からの脱出：ボウリーからフェルナーまでの一貫性条件. Cambridge Journal of Economics, 29, 601–18.
4. マーティン、S.（1993）、Advanced Industrial Economics、ブラックウェルズ、オックスフォード、p.30
5. Bresnahan T (1981)「一貫した推測を伴う複占モデル」アメリカ経済評論、第71巻、934-945頁。
6. Makowsky L (1987)「合理的推測は合理的か」『産業経済ジャーナル』第36巻
7. Lindh T (1992)「一貫した推測の不一致」、経済行動と組織ジャーナル、第18巻、69-80ページ
8. Dixon H and Somma E, (2003) The evolution of consistent conjectures, Journal of Economic Behaviour and Organization, volume 51, pp. 523–536. 原文（1995年）ヨーク大学 ディスカッションペーパー The Evolution of Conjectures
9. ディクソンとソマ（2003）、命題1p.528、（1995）p.13。

外部リンク

• 推測のバリエーションと競争政策公正取引局報告書、2011 年。
• 数理経済学およびゲーム理論シリーズ、第 2 巻: 推測的変分の理論、Charles Figuières、Alain Jean-Marie、Nicolas Quérou、Mabel Tidball 著。

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