構築可能な束

数学において、構成可能層（そうぞうかくせいひ）とは、ある位相空間X上のアーベル群の層であり、X は有限個の局所閉部分集合の和集合であり、その各々において層は局所定数層となるようなものである。これは代数幾何学に起源を持ち、代数幾何学ではエタールコホモロジーにおいて構成可能層が同様の方法で定義されている (Artin, Grothendieck & Verdier 1972, Exposé IX § 2)。構成可能層の導来カテゴリについては、 ℓ進層に関するセクションを参照のこと。

エタールコホモロジーにおける有限性定理は、構成可能な層の高次の直接像が構成可能であることを述べています。

スキーム上のエタール構築可能な層の定義X

ここでは、以下で参照するFreitagとKiehlの著書における構成可能エタール層の定義を用いる。この節以降では、特に断りのない限り、スキーム上のすべての層はエタール層である。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

層が構成可能と呼ばれるのは、が局所閉部分スキームの有限和として表され、被覆の各部分スキームに対して、層が有限局所定数層となるような場合である。特に、これは有限被覆に現れる各部分スキームに対して、エタール被覆が存在し、の被覆内のすべてのエタール部分スキームに対して、層が定数であり、有限集合で表されることを意味する。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i_{Y}:Y\to X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{Y}=i_{Y}^{\ast }{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \lbrace U_{i}\to Y\mid i\in I\rbrace }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (i_{Y})^{\ast }{\mathcal {F}}|_{U_{i}}}$

この定義により、ネーター帰納法と、エタール層が定数となるのは、 からへの制約も定数となる場合のみであるという事実から、 がスキーム の縮約である、という関係を導くことができる。したがって、表現可能なエタール層はそれ自体が構成可能であることが分かる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\text{red}}}$ ${\displaystyle X_{\text{red}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

構成可能エタール層の理論において特に興味深いのは、アーベル群の構成可能エタール層を扱う場合である。注目すべき結果は、アーベル群の構成可能エタール層が、すべての捩れエタール層の圏におけるノイザン対象と全く同じであるということである（Freitag-Kiehlの命題I.4.8を参照）。

代数的位相幾何学における例

構成可能層のほとんどの例は、交差コホモロジー層、または基底空間によってパラメータ化された位相空間の族上の局所システムの導出プッシュフォワードから得られます。

Pの派生プッシュフォワード¹

構成可能層の好例の一つは、上の局所系の導出プッシュフォワード（コンパクトサポートの有無に関わらず）から得られる。 の周りの任意のループはの周りのループとホモトピックなので、との周りのモノドロミーを記述するだけでよい。例えば、モノドロミー演算子を次のように設定できる。 ${\displaystyle U=\mathbb {P} ^{1}-\{0,1,\infty \}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 0,1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}={\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}},\quad &T_{1}={\begin{bmatrix}1&l\\0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

ここで、局所系の茎はと同型である。次に、 について導出されたプッシュフォワードまたはをとると、における茎が における近傍に制限された局所系のコホモロジーを計算する構成可能な層が得られる。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\oplus 2}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} j_{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} j_{!}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle j:U\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle 0,1,\infty }$ ${\displaystyle U}$

ワイエルシュトラスの楕円曲線族

例えば、退化する楕円曲線の族を考えてみましょう

${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-t)}$

上。この曲線族は節点曲線に退化する。この曲線族を と表記すると、 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle t=0,1}$ ${\displaystyle \pi :X\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbf {R} ^{0}\pi _{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong \mathbf {R} ^{2}\pi _{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {C} }}$

そして

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1}\pi _{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong {\mathcal {L}}_{\mathbb {C} -\{0,1\}}\oplus {\underline {\mathbb {Q} }}_{\{0,1\}}}$

ここで、局所系の茎はと同型である。この局所系の の周りの局所モノドロミーは、ピカール・レフシェッツの公式を用いて計算できる。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathbb {C} -\{0,1\}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$ ${\displaystyle 0,1}$

参考文献

セミナーノート

• ガンニングハム、サム、ヒューズ、リチャード、「D-モジュールのトピックス」（PDF） 、 2017年9月21日のオリジナル（PDF）からアーカイブ

参考文献

• マイケル・アーティン;アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン＝ルイ・ヴェルディエ編（1972年）。 Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 3 (PDF)。数学の講義ノート (フランス語)。 Vol. 305.ベルリン。ニューヨーク: Springer-Verlag。 pp.vi+640。土井：10.1007/BFb0070714。ISBN 978-3-540-06118-2. MR  0354654。
• ディムカ、アレクサンドル（2004）、位相幾何学における層、Universitext、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-20665-1、MR  2050072
• フライタグ、エバーハルト。 Kiehl、Reinhardt (1988)、Etale Cohomology and the Weil Conjecture、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3)、vol. 13、ベルリン: Springer-Verlag、土井:10.1007/978-3-662-02541-3、ISBN 3-540-12175-7、MR  0926276

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